山東省濟(jì)南市第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析

山東省濟(jì)南市第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P,Q分別是邊AB，BC邊上的動(dòng)點(diǎn)且，則的最小值為（

）

A．1

B．2 C．3

D．4

參考答案：C2.平面向量與的夾角為，，，則（

）A．B．C．4

D．12參考答案：B3.已知是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)任意，都有，且在區(qū)間上是增函數(shù)，則、、的大小關(guān)系是（

）A．

B．C．

D．參考答案：C4.設(shè)函數(shù)，則f（﹣7）+f（log312）=（）A．7 B．9 C．11 D．13參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)的值．【分析】由﹣7＜1，1＜log312求f（﹣7）+f（log312）的值．【解答】解：∵﹣7＜1，1＜log312，∴f（﹣7）+f（log312）=1+log39+=1+2+4=7，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用及對(duì)數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用．5.設(shè)x，y滿足約束條件，則z=2x﹣3y的最小值是（）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣3參考答案：B考點(diǎn)： 簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．分析： 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，進(jìn)行求最值即可．解答： 解：由z=2x﹣3y得y=，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖（陰影部分ABC）：平移直線y=，由圖象可知當(dāng)直線y=，過點(diǎn)C時(shí)，直線y=截距最大，此時(shí)z最小，由，解得，即C（3，4）．代入目標(biāo)函數(shù)z=2x﹣3y，得z=2×3﹣3×4=6﹣12=﹣6．∴目標(biāo)函數(shù)z=2x﹣3y的最小值是﹣6．故選：B．點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解決問題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合是解決問題的基本方法．6.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S9=54，則a2+a4+a9=（）A．9 B．15 C．18 D．36參考答案：C【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)．【分析】由等差數(shù)列的求和公式和性質(zhì)可得a5=4，而要求的式子可化為3a5，代入可得答案．【解答】解：由等差數(shù)列的求和公式可得：S9=（a1+a9）=54，又由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a1+a9=2a5，即9a5=54，解得a5=6，而a2+a4+a9=a5+a4+a6=3a5=18．故選：C．7.已知向量（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B略8.已知函數(shù)f（x）=x﹣1﹣lnx，對(duì)定義域內(nèi)任意x都有f（x）≥kx﹣2，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A．（﹣∞，1﹣] B．（﹣∞，﹣] C．[﹣，+∞） D．[1﹣，+∞）參考答案：A【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】問題轉(zhuǎn)化為k≤1+﹣對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，令g（x）=1+﹣，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最小值，從而求出k的范圍即可．【解答】解：f（x）=x﹣1﹣lnx，若對(duì)定義域內(nèi)任意x都有f（x）≥kx﹣2，則k≤1+﹣對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，令g（x）=1+﹣，則g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x＞e2，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜e2，故g（x）在（0，e2）遞減，在（e2，+∞）遞增，故g（x）的最小值是g（e2）=1﹣，故k≤1﹣，故選：A．9.已知集合，，則（

）A．{1}

B．{－2,1}

C．{x︱－1≤x≤1}

D．{x︱x=－2或－1≤x≤1}參考答案：A，，，故選A.10.已知集合A={x|x2﹣5x﹣6=0}，則A∩N*=（）A．? B．{﹣1} C．{1} D．{6}參考答案：D【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【分析】求出A中方程的解確定出A，找出A與正自然數(shù)集的交集即可．【解答】解：∵A={x|x2﹣5x﹣6=0}={﹣1，6}，∴A∩N*={6}，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sn=(對(duì)于所有n≥1)，且a4=54，則a1的數(shù)值是_______________________.參考答案：答案：212.在的展開式中，x4的系數(shù)為______．參考答案：【分析】由二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)公式確定，即可得到x4的系數(shù)?！驹斀狻坑深}意可知，解得則x4的系數(shù)為【點(diǎn)睛】求二項(xiàng)展開式中的指定項(xiàng)，一般是利用通項(xiàng)公式進(jìn)行，化簡(jiǎn)通項(xiàng)后，令字母的指數(shù)符合要求（求常數(shù)項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為零；求有理項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為整數(shù)等），解出，代回通項(xiàng)即可。13.．t＞0，關(guān)于x的方程|x|+=的解為集合A，則A中元素個(gè)數(shù)可能為（寫出所有可能）．參考答案：0，2，3，4【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】化方程為，得到兩個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的圖象，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合得答案．【解答】解：由|x|+=，得，由y=，得x2+y2=t（y≥0），又，作出圖象如圖：由圖可知，當(dāng)0＜t＜1或t時(shí)，A中元素個(gè)數(shù)為0；當(dāng)t=1時(shí)，A中元素個(gè)數(shù)為2；當(dāng)t=時(shí)，A中元素個(gè)數(shù)為3；當(dāng)1＜t＜時(shí)，A中元素個(gè)數(shù)為4．故答案為：0，2，3，4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，考查了數(shù)形結(jié)合與分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．14.給出以下四個(gè)命題，其中所有正確命題的序號(hào)為：________________．（1）“”是“”的充要條件；（2）已知線性回歸方程，當(dāng)變量增加2個(gè)單位，其預(yù)報(bào)值平均增加4個(gè)單位；（3）函數(shù)在區(qū)間上只有1個(gè)零點(diǎn)；（4）命題“若，則”的逆否命題為“若，則”；（5）設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2,9)，若P(ξ＞c＋1)＝P(ξ＜c－1)，則c等于3；參考答案：（2）、（3）15.理：已知、是方程的兩根，、，則=

.參考答案：16.已知的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，面積為，若，且，則的最大值為

．參考答案：217.（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線的離心率為，則的值為

▲

．參考答案：2?！究键c(diǎn)】雙曲線的性質(zhì)。由得。

∴，即，解得。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分7分）在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．求過橢圓（為參數(shù)）的右焦點(diǎn)且與直線（為參數(shù)）平行的直線的極坐標(biāo)方程。參考答案：橢圓的普通方程為右焦點(diǎn)為（4，0），……2分直線（為參數(shù)）的普通方程為，斜率為；……4分所求直線方程為：所以極坐標(biāo)方程為……7分19.（13分）已知橢圓+=1，（a＞b＞0）的離心率e=，直線y=x與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，C為橢圓的右頂點(diǎn)，（1）求橢圓的方程；（2）若橢圓上存在兩點(diǎn)E，F(xiàn)使，λ∈（0，2），求△OEF面積的最大值．

參考答案：考點(diǎn):直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．專題:圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析:（1）設(shè)A（t，t）且t＞0，通過，以及橢圓的離心率，A在橢圓上，列出方程求出橢圓的幾何量，然后求解橢圓方程．（2）設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），EF中點(diǎn)為M（x0，y0），利用，得到方程組，利用E，F(xiàn)在橢圓上，代入橢圓方程，利用平方差法求出EF的斜率，得到直線EF的方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理求出|EF|，求出三角形的高，表示出三角形的面積，利用基本不等式求出最值．解：（1）根據(jù)題意，不妨設(shè)A（t，t）且t＞0，，，∴…①（1分），…②（2分），…③，a2﹣b2=c2…④，聯(lián)立①②③④解得：a2=3，b2=1∴橢圓的方程為：…（6分）（2）設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），EF中點(diǎn)為M（x0，y0），∵，∴…（7分）∵E，F(xiàn)在橢圓上，則，相減可得，，∴直線EF的方程為：，即，代入，整理得：，∴，…（9分），===，∵原點(diǎn)O（0，0）到直線EF的距離為，…（11分）=，…（12分）=，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以△OEF得最大值為．…（13分）點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓的方程的求法，橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的綜合應(yīng)用，基本不等式以及斜率與圓錐曲線相結(jié)合，考查分析問題解決問題的能力．

20.某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)。（1）sin213°+cos217°–sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°–sin18°cos12°（4）sin2（–18°）+cos248°–sin2（–18°）cos48°（5）sin2（–25°）+cos255°–sin2（–25°）cos55°Ⅰ試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)Ⅱ根據(jù)（Ⅰ）的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣位三角恒等式，并證明你的結(jié)論。參考答案：21.已知函數(shù)．（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)x＞0時(shí)，，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】3F：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．【專題】33：函數(shù)思想；49：綜合法；53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）先求出f（x）的定義域，再利用導(dǎo)數(shù)判斷f（x）的單調(diào)性，（2）分類參數(shù)可得a＞h（x），利用導(dǎo)數(shù)求出h（x）的最值或極限即可得出a的范圍．【解答】解：（1）令g（x）=xex，則g′（x）=ex（1+x），∴當(dāng)x＜﹣1時(shí)，g′（x）＜0，當(dāng)x＞﹣1時(shí)，g′（x）＞0，∴g（x）≥g（﹣1）=﹣，即xex≥﹣＞﹣1，∴xex+1＞0恒成立，∴f（x）的定義域?yàn)镽．f′（x）==，令f′（x）＞0得x＜0，令f′（x）＜0得x＞0，∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（﹣∞，0），單調(diào)減區(qū)間為（0，+∞）．（2）當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0，ax2+1＞0（a≥0），∵，∴a＞﹣+（x＞0），令h（x）=﹣+（x＞0），則h′（x）=﹣+﹣=，令p（x）=2ex﹣2﹣x﹣xex（x＞0），則p′（x）=ex﹣1﹣xex，∴p″（x）=﹣xex＜0，∴P′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，∴p′（x）＜p′（0）=0，∴p（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，∴p（x）＜p（0）=0，∴h′（x）＜0，∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，又h（x）=，∴==，∴h（x）＜，∴a≥．22.（本小