矩陣的特征值與特征向量分析及應(yīng)用

11/11矩陣的特征值與特征向量分析及應(yīng)用畢業(yè)論文摘要特征值和特征向量是高等代數(shù)中的一個重要概念，為對角矩陣的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).本文在特征值和特征向量定義的基礎(chǔ)上進(jìn)一步闡述了特征值和特征向量的關(guān)系.本文還研究矩陣的特征值和特征向量的求解方法．再列舉了特征值和特征向量相關(guān)的性質(zhì)．最后給出了陣的特征值與特征向量在生活中的運用,并應(yīng)用于實例。關(guān)鍵詞:矩陣特征值特征向量AbｓtraｃtEigenvaluｅsａndeｉｇeｎvectorsareimportaｎtcｏｎcｅptｓoｆadｖaｎcedaｌgebrａｗｈichlaidｔhｅfoundationfortｈedｉagｏnａlｍａt(yī)rixlearｎｉng.Thｉｓpaper,ontｈeｂａsｉsoｆtheｄefｉnｉtｉonofeigｅnvaluesandeigenｖectｏｒs,ｓtudyｔhereｌａt(yī)ionｓｈiｐoftｈeｍ。Tｈｉsalsostｕdythesｏｌｕtioｎmｅｔhodｏｆeigenvaｌｕｅsandeigeｎvectoｒs。Ａｎdthenｌistsｔhereｌatedpｒoｐｅrtiｅsofeiｇｅnvaluesandeiｇeｎvectoｒs。Finａlly，usethematrixeigｅnvaluｅsanｄｅiｇenveｃtorsiｎorｄｉnarylive，andapｐlｉｃａt(yī)iｏniｎｒeａｌeｘamples。Kｅywordｓ:matrix；eigenｖalue；eigenvectｏｒ目錄引言第一章、本征值和本征向量的關(guān)系1．１本征值與本征向量的定義1．2求解本征值與本征向量的方法探索第二章、矩陣的特征多項式和特征根2。1矩陣的特征多項式和特征根的定義2.2求解特征根和特征向量的方法2.３線性變換的特征根與特征向量的求法第三章、特征值和特征向量在生活中的應(yīng)用3.1經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染的增長模型3。2萊斯利（Ｌｅsｌie）種群模型四、結(jié)論引言矩陣是高等代數(shù)課程的一個基本概念，是研究高等代數(shù)的基本工具。。線性空間、線性變換等,、都是以矩陣作為手段;由此演繹出豐富多彩的理論畫卷..求解矩陣的特征值和特征向量，，是高等數(shù)學(xué)中經(jīng)常碰到的問題.一般的線性代數(shù)教材中,都是先計算特征多項式，然后求得特征值，再通過解線性方程組得到對應(yīng)的特征向量。特征多項式和特征根在整個矩陣?yán)碚擉w系中具有舉足輕重的作用,并且在于生活現(xiàn)實中的應(yīng)用也很廣泛.第一章本征值和本征向量的關(guān)系1.1本征值與本征向量的定義定義1設(shè)σ是數(shù)域F上線性空間V的一個線性變換．如果對應(yīng)F中的一個數(shù)λ,存在V中的非零向量ξ，使得σ（ξ）=λξ（１）那么λ就叫做σ的一個本征值，而ξ叫做σ的屬于特征根λ的一個本征向量．顯然，如果ξ是α∈F的屬于本征值λ的一個本征向量，那么對于任意α∈F,都有σ(αξ)＝ασ（ξ)=λ（αξ）這樣，如果ξ是σ的一個本征向量,那么由ξ所生成的一維子空間U={αξ｜α∈Ｆ}在σ之下不變；反過來，如果V的一個一維子空間Ｕ在σ之下不變,那么Ｕ中每一個非零向量都是σ的屬于同一本征值的本征向量。①其中（１)式的幾何意義是:本征向量ξ與它在σ下的象σ（ξ)保持在同一直線L(ξ)上,λ＞0時方向相同，λ〈0時方向相反，λ＝0時，σ（ξ）=0。在V３中，σ是關(guān)于過原點的平面H的反射,它是一個線性變換．那么H中的每個非零向量都是σ的屬于本征值1的本征向量，Vλ就是平面H．與H垂直的非零向量都是σ的屬于本征值-1的本征向量,即Ｖ－1就是直線Ｌ（見圖1)見圖1設(shè)Ｖ表示定義在實數(shù)域上的可微分任意次的實函數(shù)的全體構(gòu)成的線性空間．令σ（f(x））=f′（x），σ是V的線性變換。對于每個實數(shù)λ,有σ（eλx）＝λeλｘ。所以，λ是σ的本征值，而eλｘ是σ的屬于λ的本征向量。1。2求解本征值與本征向量的方法探索問題的轉(zhuǎn)化直接由定義來求線性變換的本征值與本征向量往往是困難的，我們可用線性變換的矩陣來解決這個問題．設(shè)V是數(shù)域F上的n維線性空間,取定它的基{α1,α2，…，αn}，令線性變換σ在這個基下的矩陣是A=(αij）.如果ξ＝k1α1＋k2α2+…+kｎαｎ是線性變換σ的屬于特征根λ的一個特征向量，那么，σ(ξ）關(guān)于基｛α１，α2，…，αn｝的坐標(biāo)是A而λξ的坐標(biāo)是λ這樣，就有A=λ或（2）（λI－A)=為ξ≠０,所以齊次線性方程（2）有非零解。因而系數(shù)行列式（3）反過來，如果λ∈F，滿足等式(3），則齊次線性方程組(2）有非零解（ｋ1，k2,…,kｎ),ξ＝ｋ1α1+k２α2+…＋knαn滿足等式（1),λ是σ的一個本征值，ξ就是σ的屬于本征值λ的本征向量。由上面的分析,可以得到以下的結(jié)論：1)λ∈Ｆ是σ的本征值的充分必要條件是它滿足方程（３）；2)對于本征值λ子空間Vλ中一切向量在｛α１，α２，…，αn}下的坐標(biāo)正好構(gòu)成齊次線性方程組（λＩ-A）X=０的在F上的解空間．實際上Vλ與（λI-A）X=0的解空間同構(gòu)。Vλ的一個基｛β1，β2，…,βn}可由齊次線性方程組（λＩ－A)Ｘ＝0的一個基礎(chǔ)解系｛η1,η2，…,ηn}給出.（其中βi=（α1，α2，…,αｎ）ηi,i=1,2,…，ｒ)；②例1：求矩陣的特征值和特征向量.解：A的特征多項式為:=A有三個不同的特征值將代入其次線性方程組得基礎(chǔ)解系,則A的屬于全部特征向量為．將代入其次線性方程組得基礎(chǔ)解系,則A的屬于全部特征向量為.將代入其次線性方程組得基礎(chǔ)解系,則A的屬于全部特征向量為第二章矩陣的特征多項式和特征根２．１矩陣的特征多項式和特征根的定義定義2設(shè)Ａ=(aij)是數(shù)域F上的一個n階矩陣，行列式叫做矩陣A的特征多項式.fA(ｘ）在C內(nèi)的根叫做矩陣Ａ的特征根．設(shè)λ0∈Ｃ是矩陣A的特征根,而x0∈Ｃn是一個非零的列向量，使Ax0=λ0x0,就是說，x0是齊次線性方程組(λ０Ｉ-A）X=0的一個非零解。我們稱ｘ0是矩陣A的屬于特征根λ0的特征向量。③2.２線性變換的本征值與矩陣的特征根的關(guān)系1)如果σ關(guān)于某個基的矩陣是A，那么σ的本征值一定是A的特征根，但A的特征根卻不一定是σ的本征值,A的ｎ個特征根中屬于數(shù)域F的數(shù)才是σ的本征值；(2）σ的本征向量是Ｖ中滿足（1）式的非零向量ξ,而A的本征向量是Cn中的滿足Ａx0=λｘ0的非零列向量ｘ０３)若λ∈F是Ａ的特征根,則A的Fｎ中屬于λ的就是σ的λ屬于的特征向量關(guān)于給定基的坐標(biāo)。2。3線性變換的特征根與特征向量的求法現(xiàn)在把求線性變換σ的特征根和特征向量的步驟歸納如下:1）在線性空間V中取一個基｛α1，α2，…，αｎ｝，求出σ在這個基下的矩陣Ａ;2）計算特征多項式fA（ｘ）=|XI—A|，求出它的屬于數(shù)域F的根λ１，λ2，…，λs；3)對每個λｉ(i=１，２，…，s）求齊次線性方程組（λｉI—A)X=０的基礎(chǔ)解系;４）以上面求出的基礎(chǔ)解系為坐標(biāo)，寫出V中對應(yīng)的向量組，它就是特征子空間Ｖλｉ的一個基，從而可確定σ的特征向量.例4設(shè)R上的三維線性空間V的線性變換σ在基{α1，α2,α３｝下的矩陣是求σ的特征根和對應(yīng)的特征向量．解σ的矩陣A已給出,先求特征多項式和特征根。ｆＡ(x）的根為λ1=1（二重根）,λ２＝-2都是σ的特征根．對特征根λ1＝1,解齊次線性方程組（1·Ｉ-A)Ｘ=0，即得基礎(chǔ)解系ξ1＝(-2，１,０），ξ２=（0，０,1）對應(yīng)的特征向量組是｛－2α１+α２，α3｝,它是特征子空間V1的一個基,所以V１=L(－２α1＋α2，α3）．而σ的屬于特征根1的一切特征向量為k１(-2α１+α2）+ｋ2α3,k1，k2∈R，不全為0．對特征根λ２＝-2，解齊次線性方程組得基礎(chǔ)解系ξ３＝(—1,1，１）,對應(yīng)的σ的特征向量是－α１＋α2+α３，它可構(gòu)成V-2的一個基,所以V-2=L（-α1+α2+α3)．因此σ的屬于特征根－2的一切特征向量為k（-α1+α2＋α３），k∈R，k≠0.④注意：求A的特征根時，要考慮給定的數(shù)域，若沒有指定數(shù)域，就在C內(nèi)討論；表示屬于某個特征根的特征向量（關(guān)于基礎(chǔ)解系）組合系數(shù)要取自指定的數(shù)域F（或C），且不全為零第三章特征值和特征向量在生活中的應(yīng)用矩陣的特征值和特征向量理論在經(jīng)濟(jì)分析、生命科學(xué)和環(huán)境保護(hù)等領(lǐng)域都有著廣泛而重要的應(yīng)用。其中，經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染的增長模型，萊斯利（Leｓliｅ）種群模型這兩種模型,矩陣的特征值和特征向量在其應(yīng)用起著重要的作用。3。1經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染的增長模型經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染是當(dāng)今世界亟待解決的兩個突出問題。為研究某地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染之間的關(guān)系，可建立如下數(shù)學(xué)模型:設(shè)分別為某地區(qū)目前的環(huán)境污染水平與經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平，分別為該地區(qū)若干年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平，且有如下關(guān)系：令則上述關(guān)系的矩陣形式為此式反映了該地區(qū)當(dāng)前和若干年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平之間的關(guān)系．如則由上式得由此可預(yù)測該地區(qū)若干年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平.一般地，若令分別為該地區(qū)t年后的環(huán)境污染水平與經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平，則經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染的增長模型為令則上述關(guān)系的矩陣形式為由此,有由此可預(yù)測該地區(qū)t年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平。下面作進(jìn)一步地討論：由矩陣Ａ的特征多項式得A的特征值為 對度，解方程得特征向量對,解方程得特征向量顯然，線性無關(guān)下面分三種情況分析：Cａse１一個性質(zhì):若是矩陣A的屬于特征值的特征向，則也是的屬于特征值的特征向量度(*)由(＊)及特征值與特征向量的性質(zhì)知，即或此式表明：在當(dāng)前的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平的前提下，ｔ年后,當(dāng)經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平達(dá)到較高程度時，環(huán)境污染也保持著同步惡化趨勢.不討論此種情況不是特征值，不能類似分析。但是可以由唯一線性表出來由(＊)及特征值與特征向量的性質(zhì)即由此可預(yù)測該地區(qū)年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平.因無實際意義而在Cａse２中未作討論,但在Caｓｅ3的討論中仍起到了重要作用。由經(jīng)濟(jì)發(fā)展與環(huán)境污染的增長模型易見，特征值和特征向量理論在模型的分析和研究中獲得了成功的應(yīng)用.3。２萊斯利(Leｓｌie)種群模型萊斯利種群模型研究動物種群中雌性動物的年齡分布與數(shù)量增長之間的關(guān)系.設(shè)某動物種群中雌性動物的最大生存年齡為L（單位：年）,將區(qū)間[0,L]作n等分得n個年齡組每個年齡組的長度為設(shè)第i個年齡組的生育率（即每一雌性動物平均生育的雌性幼體的數(shù)目)為αｉ，存活率(即第i個年齡組中可存活到第i+1個年齡組的雌性動物的數(shù)目與第i個年齡組中雌性動物的總數(shù)之比）為bi。令即為初始時刻該動物種群中雌性動物的年齡分布向量。取設(shè)在時刻ｔｋ該動物種群的第ｉ個年齡組中雌性動物的數(shù)目為令則X（k）即為時刻ｔk該動物種群中雌性動物的年齡分布向量.顯然，隨著時間的變化，該動物種群的各年齡組中雌性動物的數(shù)目會發(fā)生變化。易知，時刻tｋ該動物種群的第一個年齡組中雌性動物的數(shù)目等于在時段［tk-1，tk]內(nèi)各年齡組中雌性動物生育的雌性幼體的數(shù)目之和,即（2.1）?又tk時刻該動物種群的第i+1個年齡組中雌性動物的數(shù)目等于tk-1時刻第ｉ個年齡組中雌性動物的存活量,即 （２.2)聯(lián)立（２。1)和(2.2)得(2。３)即(２。4)令萊斯利矩陣則(２。4)即為于是（2。6)由此，若已知初始時刻該動物種群中雌性動物的年齡分布向量X(0）,則可計算出tk時刻該動物種群中雌性動物的年齡分布向量X(ｋ)，從而對該動物種群中雌性動物的數(shù)量作出科學(xué)的預(yù)測和分析。⑤例3.１設(shè)某動物種群中雌性動物的最大生存年齡為15年，且以5年為間隔將雌性動物分為3個年齡組[0，５］，[5，10］,[10，１5］。由統(tǒng)計資料知，3個年齡組的雌性動物的生育率分別為０，4,3,存活率分別為0。５，0.2５，0，初始時刻3個年齡組的雌性動物的數(shù)目分別為５00,1000,5０0．試?yán)萌R斯利種群模型對該動物種群中雌性