絕對(duì)值不等式恒成立

本資料分享自千人教師QQ群323031380期待你的加入與分享本資料分享自千人教師QQ群323031380期待你的加入與分享1．已知當(dāng)，不等式恒成立，則的取值范圍是．解法一：結(jié)合的圖象分類討論：當(dāng)，即時(shí)，，解得當(dāng)，即時(shí)，，解得當(dāng)，即時(shí)，，解得綜上可知：或解法二：當(dāng)時(shí)顯然成立當(dāng)時(shí)，有或進(jìn)而有：或所以或綜上：或2．設(shè)實(shí)數(shù)使得不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則滿足條件組成的集合是。解法一：設(shè)當(dāng)時(shí)，所以所以，解得當(dāng)時(shí)，所以所以，解得綜上，解法二：由齊次化思想，令，則原不等式為轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立易得所以，解得2015年浙江第18題3.設(shè)函數(shù)，記為在上的最大值（1）設(shè)，求證：（2）若，請(qǐng)求出的最值。證明：（1）因?yàn)閷?duì)稱軸或證法一：規(guī)劃視角故，又結(jié)合，可以從規(guī)劃視角來解題，以為橫坐標(biāo)，為橫坐標(biāo)建系，畫出可行域如圖1所示，目標(biāo)函數(shù)視為可行域內(nèi)的點(diǎn)到直線的距離的倍，顯然當(dāng)取點(diǎn)時(shí)同理，可行域如圖2所示，目標(biāo)函數(shù)視為可行域內(nèi)的點(diǎn)到直線的距離的倍，顯然當(dāng)取點(diǎn)時(shí)綜上，證法二：絕對(duì)值不等式解法三：令，則在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出和的圖象，兩者取其大，則顯然當(dāng)時(shí)，故（2）解法一：規(guī)劃視角顯然又是一個(gè)規(guī)劃問題了。以為橫坐標(biāo)，為橫坐標(biāo)建系，畫出可行域如圖中的藍(lán)色部分。這里畫圖時(shí)注意到上下兩條拋物線恰與兩條直線相切（這里命題人命題時(shí)可能又是兩邊夾的應(yīng)用）目標(biāo)函數(shù)，（當(dāng)然這個(gè)目標(biāo)函數(shù)也可以理解為一個(gè)正方形逐漸變大）顯然當(dāng)在第一象限（含坐標(biāo)軸）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)當(dāng)在第二象限時(shí)，目標(biāo)函數(shù)當(dāng)在第三象限時(shí)，目標(biāo)函數(shù)當(dāng)在第四象限時(shí)，目標(biāo)函數(shù)綜上，的最大值為3，最小值為0。解法二：顯然，而時(shí)，，，所以可以取到，所以又由（1）的逆否命題可知當(dāng)時(shí)，必有，且（i）若，則（ii）若，則，所以，從而當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，，綜上，的最大值為3，最小值為0。解法三：顯然，而時(shí)，，，所以可以取到，所以由故故或又，故4.（2015重慶理科第16題）若函數(shù)的最小值為5，則________．解法一：按照兩類分類討論，畫出的折線圖，圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為5，求得或解法二：由題意得，從而設(shè)的圖象是以為頂點(diǎn)的開口向上的“V”形圖。的圖象是以為頂點(diǎn)的開口向下（開口比的圖象開口大）的“V”形圖，且與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為。當(dāng)或時(shí)，，所以若函數(shù)的最小值為5，則或5.已知，對(duì)任意滿足的實(shí)數(shù)，都有成立，則的最大值是．解法一：顯然于是問題轉(zhuǎn)化為求的最大值當(dāng)時(shí)，容易得到，由圖可知直線在上的值域?yàn)榈淖蛹?，于是斜率必然在?nèi)，故從而當(dāng)時(shí)，原式取到最大值為40解法二：絕對(duì)值不等式因?yàn)楣?，同解法一練?xí)：若對(duì)任意滿足的實(shí)數(shù)，都有成立，則的取值范圍是．如圖，易得點(diǎn)評(píng)：本題就是將一次函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)槎魏瘮?shù)，異曲同工。6.（2012杭州一模）設(shè)對(duì)任意實(shí)數(shù)，．若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為．解法一：令，則令，則故的最小值為解法二：待定系數(shù)法與題中所給不等式相比對(duì)，待定系數(shù)可得解得，故故的最小值為7.已知函數(shù)，且。對(duì)恒成立，則的最小值為。解法一：齊次化思想根據(jù)條件有，則因此令，則解法二：由題意可知，即此時(shí)已經(jīng)轉(zhuǎn)成齊次式了，所以分子分母同除則當(dāng)且僅當(dāng)及時(shí)，即時(shí)取得。解法