2018年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)整式的乘法與因式分解講義

2018-2019學(xué)年八年級(jí)(上)數(shù)學(xué)-專屬教案整式的乘法與因式分解知識(shí)點(diǎn)平方差公式:(a+b)(a—b)=a2—b2【類型一】判斷能否應(yīng)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算下列下列運(yùn)算中，可用平方差公式計(jì)算的是()A．(x＋y)(x＋y)B．(—x＋y)(x—y)C．(—x—y)(y—x)D．(x＋y)(—x—y)解析：A中含x、y的項(xiàng)符號(hào)相同，不能用平方差公式計(jì)算，錯(cuò)誤；B中(-x+y)(x—y)=—(x—y)(x—y),含x、y的項(xiàng)符號(hào)相同，不能用平方差公式計(jì)算，錯(cuò)誤；C中(一x—y)(y—x)=(x+y)(x—y),含x的項(xiàng)符號(hào)相同，含y的項(xiàng)符號(hào)相反，能用平方差公式計(jì)算，正確；D中(x+y)(—x—y)=—(x+y)(x+y),含x、y的項(xiàng)符號(hào)相同，不能用平方差公式計(jì)算，錯(cuò)誤；故選C.方法總結(jié)：對(duì)于平方差公式，注意兩個(gè)多項(xiàng)式均為二項(xiàng)式且兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)．【類型二】直接應(yīng)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算利用平方差公式計(jì)算:(1)(3x—5)(3x＋5)；(2)(—2a—b)(b—2a)；(3)(—7m＋8n)(—8n—7m)；(4)(x—2)(x＋2)(x2＋4)．解析：直接利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．解：(1)(3x—5)(3x+5)=(3x)2—52=9x2—25；(2)(—2a—b)(b—2a)=(—2a)2—b2=4a2—b2；(3)(—7m＋8n)(—8n—7m)=(—7m)2—(8n)2=49m2—64n2；(4)(x—2)(x＋2)(x2＋4)=(x2—4)(x2＋4)=x4—16.方法總結(jié)：應(yīng)用平方差公式計(jì)算時(shí)，應(yīng)注意以下幾個(gè)問(wèn)題：(1)左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，并且這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)；(2)右邊是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方；(3)公式中的a和b可以是具體數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.【類型三】平方差公式的連續(xù)使用求2(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)的值.解析：根據(jù)平方差公式,可把2看成是(3—1),再根據(jù)平方差公式即可算出結(jié)果．解：2(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)=(3—1)(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)=(32—1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)=(34—1)(34＋1)(38＋1)=(38—1)(38＋1)=316—1.方法總結(jié)：連續(xù)使用平方差公式，直到不能使用為止．【類型四】應(yīng)用平方差公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算利用平方差公式簡(jiǎn)算:TOC\o"1-5"\h\z/、1 2/、(1)20-X19-；(2)13.2X12.8.3312 1 1解析：(1)把203X19鼻寫成(20+-)X(20—3)，然后利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算；(2)把13.2X12.8寫33 3 3成(13+0.2)X(13—0.2),然后利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算.12 1 1 1 8解：(1)20zX19-=(20+-)X(20—-)=400—=399-；33 3 3 9 9(2)13.2X12.8=(13＋0.2)X(13—0.2)=169—0.04=168.96.方法總結(jié)：熟記平方差公式的結(jié)構(gòu)并構(gòu)造出公式結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵．

【類型五】【類型五】化簡(jiǎn)求值先化簡(jiǎn)，再求值:(2x—y)(y+2x)—(2y+x)(2y—x),其中x=1,y=2.先化簡(jiǎn)，再求值:解析：利用平方差公式展開(kāi)并合并同類項(xiàng)，然后把x、y的值代人進(jìn)行計(jì)算即可得解.解：(2x—y)(y+2x)—(2y+x)(2y—x)=4x2—y2—(4y2—x2)=4x2—y2—4y2+x2=5x2—5y2.當(dāng)x=1,y=2時(shí)，原式=5X12—5X22=—15.方法總結(jié)：利用平方差公式先化簡(jiǎn)再求值，切忌代入數(shù)值直接計(jì)算．【類型六】利用平方差公式探究整式的整除性問(wèn)題定是10的倍數(shù)嗎?對(duì)于任意的正整數(shù)n,整式(3n+1)(3n—1)—(3—n)(3+n定是10的倍數(shù)嗎?解析：利用平方差公式對(duì)代數(shù)式化簡(jiǎn)，再判斷是否是10的倍數(shù)．解：原式=9n2—1—(9—n2)=10n2—10=10(n+1)(n—1),???n為正整數(shù)，???(n—1)(n+1)為整數(shù)，即(3n+1)(3n—1)—(3—n)(3+n)的值是10的倍數(shù).方法總結(jié)：對(duì)于平方差中的a和b可以是具體的數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式，在探究整除性或倍數(shù)問(wèn)題時(shí)，要注意這方面的問(wèn)題．【類型七】平方差公式的實(shí)際應(yīng)用“我把王大伯家把一塊邊長(zhǎng)為a米的正方形土地租給了鄰居李大媽.今年王大伯對(duì)李大媽說(shuō):“我把這塊地一邊減少4米,另外一邊增加4米,繼續(xù)租給你,你看如何?”李大媽一聽(tīng),就答應(yīng)了．你認(rèn)為李大媽吃虧了嗎?為什么?解析：根據(jù)題意先求出原正方形的面積，再求出改變邊長(zhǎng)后的面積，然后比較二者的大小即可．解：李大媽吃虧了.理由：原正方形的面積為a2,改變邊長(zhǎng)后面積為(a+4)(a—4)=a2—16,：a2>a2—16,??.李大媽吃虧了.方法總結(jié)：解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出算式，然后根據(jù)公式化簡(jiǎn)解決問(wèn)題．完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab＋b2；【類型一】直接運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算F利用完全平方公式計(jì)算:(1)(5—a)2；(2)(—3m—4n)2；(3)(—3a＋b)2.解析：直接運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可．解：(1)(5—a)2=25—10a+a2；(2)(—3m—4n)2=9m2＋24mn＋16n2；(3)(—3a＋b)2=9a2—6ab＋b2.方法總結(jié)：完全平方公式：(a土b)2=a2±2ab+b2.可巧記為“首平方，末平方，首末兩倍中間放”.【類型二】構(gòu)造完全平方式如果36如果36x2+(m+1)xy+25y2是個(gè)完全平方式，求m的值.解析：先根據(jù)兩平方項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)，再根據(jù)完全平方公式確定m的值.解：,.?36x2+(m+1)xy+25y2=(6x)2+(m+l)xy+(5y)2,.，.(m+1)xy=±2?6x?5y,.，.m+1=士60,.'.m=59或一61.方法總結(jié)：兩數(shù)的平方和加上或減去它們積的2倍，就構(gòu)成了一個(gè)完全平方式．注意積的2倍的符號(hào)，避免漏解．【類型三】運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算利用乘法公式計(jì)算:⑴982—101X99；(2)20162—2016X4030+20152.解析：原式變形后，利用完全平方公式及平方差公式計(jì)算即可得到結(jié)果.解：(1)原式=(100—2)2—(100+1)(100—1)=1002—400+4—1002+1=—395；(2)原式=20162—2X2016X2015+20152=(2016—2015)2=1.方法總結(jié)：運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算，要熟記完全平方公式的特征，將原式轉(zhuǎn)化為能利用完全平方公式的形式．【類型四】靈活運(yùn)用完全平方公式求代數(shù)式的值已知*—丫=6,xy=—8.(1)求x2+y2的值;

(2)求代數(shù)式1(x+y+z)2+1(x—y—z)(x—y+z)—z(x+y)的值.乙 乙解析：⑴由(x—y)2=x2+y2—2*丫，可得x?+y2=(x—丫)2+2*丫，將x—y=6,xy=-8代入即可求得x2+y2的值；⑵首先化簡(jiǎn)1(x+y+z)2+1(x—y—z)(x—y+z)—z(x+y)=x?+y2,由⑴即可求得答案.22解：(1)Vx—y=6,xy=—8,A(x—y)2=x2+y2—2xy,Ax2+y2=(x—y)2+2xy=36—16=20；(2)V1(x+y+z)2+1(x—y—z)(x—y+z)—z(x+y)=1(x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz)+1[(x—y)2—22 2 2z2]—xz—111z2]—xz—11111yz^rx2+-y2+-z2+xy+xz+yz+-x2+-y2—xy—-Z2—xz—yz=x2+y2,222 22 2又\"2+丫2=20,???原式=20.方法總結(jié)：通過(guò)本題要熟練掌握完全平方公式的變式：(x-y)2=x2+y2-2xy,x?+y2=(x—y)2+2xy.【類型五】完全平方公式的幾何背景我們已經(jīng)接觸了很多代數(shù)恒等式，知道可以用一些硬紙片拼成的圖形面積來(lái)解釋一些代數(shù)恒等式.例如圖甲可以用來(lái)解釋(a+b)2—(a—b)2=4ab.那么通過(guò)圖乙面積的計(jì)算，驗(yàn)證了一個(gè)恒等式，此等式是()困甲 四已A．a(chǎn)2—b2=(a＋b)(a—b)B．(a—b)(a＋2b)=a2＋ab—2b2C．(a—b)2=a2—2ab＋b2D．(a＋b)2=a2＋2ab＋b2解析：空白部分的面積為(a—?2,還可以表示為a2—2&匕+匕2,所以，此等式是(a—b)2=a2—2ab+b2.故選C.方法總結(jié)：通過(guò)幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對(duì)完全平方公式做出幾何解釋．探究點(diǎn)二：添括號(hào)后運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：(1)(a—b+c)2；(2)(1—2x＋y)(1＋2x—y)．解析：利用整體思想將三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式，再利用完全平方公式或平方差公式求解，并注意添括號(hào)的符號(hào)法則.解：(1)原式=[(a—b)+c]2=(a—b)2+c2+2(a—b)c=a2—2ab+b2+c2+2ac—2bc=a2+b2+c2—2ab＋2ac—2bc；(2)原式=[1+(—2x+y)][1—(—2x+y)]=12—(—2x+y)2=1—4x2+4xy—y2.方法總結(jié)：利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)，應(yīng)先將式子變成(a土b)2的形式.注意a,b可以是多項(xiàng)式，但應(yīng)保持前后使用公式的一致性．因式分解提公因式法(1)ma+mb+mc=m(a+b+c)；(2)a2—b2=(a+b)(a—b)；(3)a2+2ab+b2=(a+b)2.探究點(diǎn)一：因式分解的概念下列從左到右的變形中是因式分解的有(①x2—y2—1=(x+y)(x—y)—1；②x3+x=x(x2+1)；③(x—y)2=x2-2xy+y2；④x2—9y2=(x+3y)(x—3y)．A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)解析：①?zèng)]把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式，故①不是因式分解；②把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾

個(gè)整式積的形式，故②是因式分解；③是整式的乘法，故③不是因式分解；④把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式，故④是因式分解；故選B.方法總結(jié)：因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運(yùn)算，二者是一個(gè)式子的不同表現(xiàn)形式．因式分解是兩個(gè)或幾個(gè)因式積的表現(xiàn)形式，整式乘法是多項(xiàng)式的表現(xiàn)形式．探究點(diǎn)二：提公因式法分解因式【類型一】確定公因式多項(xiàng)式6ab2c—3a2bc+12a2b2中各項(xiàng)的公因式是(A．a(chǎn)bcB．3a2b2C．3a2b2cD．3ab解析：系數(shù)的最大公約數(shù)是3,相同字母的最低指數(shù)次冪是ab,??.公因式為3ab.故選D.方法總結(jié)：確定多項(xiàng)式中各項(xiàng)的公因式，可概括為三“定”：(1)定系數(shù)，即確定各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；(2)定字母，即確定各項(xiàng)的相同字母因式(或相同多項(xiàng)式因式)；(3)定指數(shù)，即各項(xiàng)相同字母因式(或相同多項(xiàng)式因式)的指數(shù)的最低次冪．【類型二】用提公因式法因式分解因式分解:(1)8a3b2＋12ab3c；(2)2a(b＋c)—3(b＋c)；(3)(a＋b)(a—b)—a—b.解析：將原式各項(xiàng)提取公因式即可得到結(jié)果．解：⑴原式=4ab2(2a2+3bc)；⑵原式=(2a—3)(b+c)；(3)原式=(a+b)(a—b—1).方法總結(jié)：提公因式法的基本步驟：(1)找出公因式；(2)提公因式并確定另一個(gè)因式．(1)39X37—13X91；(2)29X20.16+72X20.16+13X20.16—20.16X14.解析：(1)(1)39X37—13X91；(2)29X20.16+72X20.16+13X20.16—20.16X14.解析：(1)首先提取公因式13,進(jìn)而求出即可；(2)首先提取公因式20.16,進(jìn)而求出即可．解：(1)39X37—13X91=3X13X37—13X91=13X(3X37—91)=13X20=260；(2)29X20.16+72X20.16+13X20.16—20.16X14=20.16X(29+72+13—14)=2016.方法總結(jié)：在計(jì)算求值時(shí)，若式子各項(xiàng)都含有公因式，用提取公因式的方法可使運(yùn)算簡(jiǎn)便．【類型四】利用因式分解整體代換求值已知&+匕=7,ab=4,求a2b+ab2的值.解析：原式提取公因式變形后，將a+b與ab的值代入計(jì)算即可求出值.解：\*a+b=7,ab=4,.?.原式=&伏&+?=4*7=28.方法總結(jié)：求代數(shù)式的值，有時(shí)要將已知條件看作一個(gè)整體代入求值．公式法:平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)【類型一】判定能否利用平方差公式分解因式下列多項(xiàng)式中能用平方差公式分解因式的是(A．a(chǎn)2+(—b)2B．5m2—20mnC．—x2—y2D．—x2+9解析：A中a2+(-b)2符號(hào)相同，不能用平方差公式分解因式，錯(cuò)誤；B中5m2—20mn兩項(xiàng)都不是平方項(xiàng)，不能用平方差公式分解因式，錯(cuò)誤；C中一X2-y2符號(hào)相同，不能用平方差公式分解因式，錯(cuò)誤;D中一X2+9=-X2+32,兩項(xiàng)符號(hào)相反，能用平方差公式分解因式，正確.故選D.方法總結(jié)：能夠運(yùn)用平方差公式分解因式的多項(xiàng)式必須是二項(xiàng)式，兩項(xiàng)都能寫成平方的形式，且符號(hào)相反．【類型二】利用平方差公式分解因式分解因式:⑴a4—116b4；⑵X3y2—Xy4.解析：⑴a4-和可以寫成(a2)2-(4b2)2的形式，這樣可以用平方差公式進(jìn)行分解因式，而其中有一

個(gè)因式a2—7b2仍可以繼續(xù)用平方差公式分解因式；(2)x3y2—xy4有公因式xy2,應(yīng)先提公因式再進(jìn)一步分解因式．解：⑴原式=(a2+1b2)(a2—1b2)=(a2+1b2)(a—1b)(a+1b)；44 422(2)原式=xy2(x2—y2)=xy2(x+y)(x—y).方法總結(jié)：分解因式前應(yīng)先分析多項(xiàng)式的特點(diǎn)，一般先提公因式，再套用公式．分解因式必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式都不能再分解因式為止．【類型三】底數(shù)為多項(xiàng)式或單項(xiàng)式時(shí)，運(yùn)用平方差公式分解因式分解因式:(1)(a＋b)2－4a2；(2)9(m＋n)2－(m－n)2.解析：將原式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)式子的平方差的形式后，運(yùn)用平方差公式分解因式．解：(1)原式=(a+b—2a)(a+b+2a)=(b—a)(3a+b)；⑵原式=(3m+3n—m+n)(3m+3n+m—n)=(2m+4n)(4m+2n)=4(m+2n)(2m+n).方法總結(jié)：在平方差公式a2—b2=(a+b)(a—b)中，a和b可以代表單項(xiàng)式、多項(xiàng)式或單獨(dú)一個(gè)數(shù).【類型四】利用因式分解整體代換求值已知x2已知x2—y2=—1,x+y=2，求x—y的值.解析：已知第一個(gè)等式左邊利用平方差公式化簡(jiǎn)，將x+y的值代入計(jì)算即可求出x—y的值.解：Vx2—y2=(x+y)(x—y)=—1,x+y=1,Ax—y=—2.2方法總結(jié)：有時(shí)給出的條件不是字母的具體值，就需要先進(jìn)行化簡(jiǎn)，求出字母的值，但有時(shí)很難或者根本就求不出字母的值，根據(jù)題目特點(diǎn)，將一個(gè)代數(shù)式的值整體代入可使運(yùn)算簡(jiǎn)便．【類型五】利用因式分解解決整除問(wèn)題248—1可以被60和70之間某兩個(gè)自然數(shù)整除，求這兩個(gè)數(shù).解析：先利用平方差公式分解因式，再找出范圍內(nèi)的解即可.解：248—1=(224+1)(224—1)=(224+l)(2l2+1)⑵2—1)=(224+1)⑵2+1)⑵+1)(26—1).V26=64,；.26—1=63,26+1=65,.?.這兩個(gè)數(shù)是65和63.方法總結(jié)：解決整除的基本思路就是將代數(shù)式化為整式乘積的形式，然后分析被哪些數(shù)或式子整除．【類型六】利用平方差公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算利用因式分解計(jì)算:(1)1012—992；小c1 … 1(2)5722X4—4282X4.解析：(1)根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可；(2)先提取公因式，再根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可.解：(1)1012—992=(101+99)(101—99)=400；(2)5722X4—4282x1=(5722—4282)X4=(572+428)(572—428)x4=1000X144X4=36000.方法總結(jié)：一些比較復(fù)雜的計(jì)算，如果通過(guò)變形轉(zhuǎn)化為平方差公式的形式，則可以使運(yùn)算簡(jiǎn)便．【類型七】在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式.(1)x2—5；(2)x3—2x.解析：(1)直接利用平方差公式分解，即可求得答案；(2)首先提取公因式x,然后利用平方差公式進(jìn)行二次分解，即可求得答案.解：(1)x2—5=(x+\i'5)(x—\'5)；(2)x3—2x=x(x2—2)=x(x+\'2)(x—\'2).方法總結(jié)：注意因式分解的步驟為：一提公因式；二看公式.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行因式分解的結(jié)果可以出現(xiàn)無(wú)理數(shù)．課后練習(xí)一、選擇題1．下列計(jì)算中正確的是( )．A.a2+b3=2a5C.a2?a4=a82.(%—a)(x2+ax+a2)的計(jì)算結(jié)果是(A.x3＋2ax2－a3C.x3+2a2x—a3B.a4：a=a4D.(—a2)3=—a6).B.x3—a3D.x3+2ax2+2a2—a3.下面是某同學(xué)在一次測(cè)驗(yàn)中的計(jì)算摘錄，其中正確的個(gè)數(shù)有().①3x3?(一2x2)=—6x5；②4a3b：(—2a2b)=—2a[③53)2=a5；④(—a)3：(—a)=—a2.TOC\o"1-5"\h\zA.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè).若2a=3,2b=2，貝Q2a+2b=( ).A.12B.7C.6 D.5A.A.下列各式是完全平方式的是( ).x2—x+ B.1+x2C.4x+xy+1把多項(xiàng)式ax2—ax—2a分解因式，下列結(jié)果正確的是().a(x—2)(x+1)B.a(x+2)(x—1)D.x2+2x—1C．a(chǎn)(x－1)2 D．(ax－2)(ax＋1)7.如(%+m)與(x+3)的乘積中不含％的一次項(xiàng)，則m的值為().A．－A．－3 B．3C．0D．18.若3%=15,3y=5,則3%^等于(A.5 B.3C.159．下列分解因式正確的是(A．x3－x=x(x2－1)C．(a+4)(a－4)=a2－16)．D.10)B．m2+m－6=(m+3)(m－2)D．x2+y2=(x+y)(x－y)10.從邊長(zhǎng)為a的正方形中去掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，如圖，然后將剩余部分剪開(kāi)拼成一個(gè)矩形，上述操作所能驗(yàn)證的等式是()A.a2-A.a2-b2=(a+b)(a-b)B.(a-b)2=a2-2ab+b2C.(a+b)2=a2+2ab+b2D.a2+ab=a(a+b)二、填空題19二、填空題19.計(jì)算(一3%2y).(3%y2)=2311.計(jì)算：(一不%--y)2=22.10.計(jì)算：(—3m+n)(—