2020中考幾何必備模型

目錄TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"第一章8字模型與飛鏢模型 2\o"CurrentDocument"第二章角平分線四大模型 6\o"CurrentDocument"第三章截長補短 11\o"CurrentDocument"第四章手拉手模型 14\o"CurrentDocument"第五章三垂直全等模型 16\o"CurrentDocument"第六章將軍飲馬 20\o"CurrentDocument"第七章螞蟻行程 27\o"CurrentDocument"第八章中點四大模型 31\o"CurrentDocument"第九章半角模型 36\o"CurrentDocument"第十章相似模型 41\o"CurrentDocument"第十一章圓中的輔助線 51第十二章輔助圓 58第一章8字模型與飛鏢模型模型1角的“8”字模型如圖所示，AB、CD相交于點0，連接AD、BC。結(jié)論：NA+ZD=ZB+ZC。模型分析8模型分析8字模型往往在幾何綜合題目中推導角度時用到。模型實例觀察下列圖形，計算角度：(1)如圖①，/A+NB+NC+ND+NE=；(2)如圖②，/A+NB+NC+ND+NE+NF=熱搜精練熱搜精練1.(1)如圖①，求NCAD+NB+NC+ND+NE=(2)如圖②，求NCAD+NB+NACE+ND+NE=—BB2.如圖，^ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH=模型2角的飛鏢模型如圖所示，有結(jié)論：ZD=ZA+ZB+ZCo模型分析飛鏢模型往往在幾何綜合題目中推導角度時用到。模型實例如圖，在四邊形A5CQ中，AM.CM分別平分ND45和NQC5,AM與CM交于M。探究NAMC與N5、間的數(shù)量關(guān)系。熱搜精練.如圖，求/A+/B+/C+/D+/E+/F=AEDFAEDF中考幾何必備模型（笑涵數(shù)學）.如圖，求NA+ZB+ZC+ZD=。模型3邊的“8”字模型如圖所示，AC>BD相交于點0,連接AD、BC。結(jié)論：AC+BD>AD+BC。DD模型實例如圖，四邊形ABCD的對角線AC>BD相交于點0。求證：（1）AB+BC+CD+AD>AC+BD；（2）AB+BC+CD+AD<2AC+2BD.模型4邊的飛鏢模型如圖所示有結(jié)論：AB+AC>BD+CD。模型實例如圖，點0為三角形內(nèi)部一點。求證：（1）2（A0+B0+CO）>AB+BC+AC；（2）AB+BC+AC>A0+B0+C0.熱搜精練1.如圖，在"BC中，D、E在BC邊上，且BD=CE。求證：AB+AC>AD+AE。2．觀察圖形并探究下列各問題，寫出你所觀察得到的結(jié)論，并說明理由。（1）如圖①，"BC中，P為邊BC上一點，請比較BP+PC與AB+AC的大小，并說明理由；（2）如圖②，將（1）中的點P移至△ABC內(nèi)，請比較^BPC的周長與^ABC的周長的大小，并說明理由；（3）圖③將（2）中的點P變?yōu)镻1、P2,請比較四邊形BP1P2C的周長與^ABC的周長的大小，并說明理由。

第二章角平分線四大模型模型1角平分線上的點向兩邊作垂線如圖，P是NMON的平分線上一點，過點P作PA±OM于點A,PB±ON于點B。AB的距離是AB的距離是模型分析利用角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊的距離相等，構(gòu)造模型，為邊相等、角相等、三角形全等創(chuàng)造更多的條件，進而可以快速找到解題的突破口。模型實例(1)如圖①，在"BC中，/C=90°,AD平分/CAB,(1)如圖①，在"BC中，/C=90°熱搜精練.如圖，在四邊形ABCD中，BC>AB,AD=DC,BD平分/ABC。求證：NBAD+NBCD=180°。.如圖，△ABC的外角NACD的平分線CP與內(nèi)角NABC的平分線BP交于點P，若/BPC=40°,則NCAP=。模型2截取構(gòu)造對稱全等如圖，P是NMON的平分線上一點，點A是射線OM上任意一點，在ON上截取OB=OA，連接PB。模型分析利用角平分線圖形的對稱性,在角的兩邊構(gòu)造對稱全等三角形,可以得到對應邊、對應角相等。利用對稱性把一些線段或角進行轉(zhuǎn)移,這是經(jīng)常使用的一種解題技巧。模型實例（1）如圖①所示，在AABC中，AD是^ABC的外角平分線，P是AD上異于點A的任意一點，試比較PB+PC與AB+AC的大小，并說明理由；（2）如圖②所示，AD是^ABC的內(nèi)角平分線，其他條件不變，試比較PC-PB與AC-AB的大小,并說明理由。熱搜精練1.已知，在"BC中，NA=2NB,CD是NACB的平分線，AC=16,AD=8。求線段BC的長。

AB=AC，AB=AC，ZA=108°,BD平分/ABCo求證：BC=AB+CDo3.如圖所示，在^ABC中，ZA=100°,ZA=40°,BD是ZABC的平分線，延長BD至E,DE=ADo求證：BC=AB+CE。模型3角平分線+垂線構(gòu)造等腰三角形如圖，P是ZMO的平分線上一點，AP±OP于P點，延長AP于點Bo結(jié)論：△AOB是等腰三角形。模型分析構(gòu)造此模型可以利用等腰三角形的“三線合一”,也可以得到兩個全等的直角三角形,進而得到對應邊、對應角相等。這個模型巧妙地把角平分線和三線合一聯(lián)系了起來。模型實例如圖，已知等腰直角三角形ABC中，ZA=90°,AB=AC,BD平分ZABC,CE±BD,垂足為Eo求證：BD=2CEo

熱搜精練.如圖，在"5。中，BE是角平分線，AD±BE，垂足為D。求證：N2=N1+N。。.如圖，在"BC中，/ABC=3ZC,AD是NBAC的平分線，BE±AD于點E。求證：BE=1(AC-AB)。模型4角平分線+平行線如圖，P是NMO的平分線上一點，過點P作PQ//ON,交OM于點Q。結(jié)論：△POQ是等腰三角形。模型分析有角平分線時，常過角平分線上一點作角的一邊的平行線，構(gòu)造等腰三角形，為證明結(jié)論提供更多的條件，體現(xiàn)了角平分線與等腰三角形之間的密切關(guān)系。模型實例解答下列問題：(1)如圖①所示，在以臺。中，EF//BC，點D在EF上，BD、CD分別平分/ABC>ZACB，寫出線段EF與BE、CF有什么數(shù)量關(guān)系；(2)如圖②所示，BD平分/ABC、CD平分/ACG,DE/BC交AB于點E,交AC于點F,線段EF與BE、CF有什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由。(3)如圖③所示，BD、CD分別為外角NCBM、/BCN的平分線，，DE/BC交AB延長線于點E，交AC延長線于點F,直接寫出線段EF與BE、CF有什么數(shù)量關(guān)系？熱搜精練.如圖，在△ABC中，NABC、NACB的平分線交于點E，過點E作EF/BC,交AB于點M，交AC于點N。若BM+CN=9,則線段MN的長為。.如圖，在^ABC中，AD平分/BAC,點E、F分別在BD、AD上，EF/AB，且DE=CD。求證：EF=ACoEDCEDC.如圖，梯形ABCD中，AD//BC，點E在CD上，且AE平分/BAD,BE平分/ABCo求證：AD=AB-BCo第三章截長補短模型截長補短如圖①，若證明線段AB、CD、EF之間存在EF=AB+CD，可以考慮截長補短法。截長法：如圖②，在EF上截取EG=AB，再證明GF=CD即可。補短法：如圖③，延長AB至H點，使BH=CD,再證明AH=EF即可。TOC\o"1-5"\h\zA BC DE' ? FE G F(2? i ?ABH模型分析截長補短的方法適用于求證線段的和差倍分關(guān)系。截長，指在長線段中截取一段等于已知線段；補短，指將短線段延長，延長部分等于已知線段。該類題目中常出現(xiàn)等腰三角形、角平分線等關(guān)鍵詞句，可以采用截長補短法構(gòu)造全等三角形來完成證明過程。模型實例例1.如圖，已知在"BC中，/C=2ZB,AD平分/BAC交BC于點D。例2.如圖，已知OD平分/AOB,DC±OA于點C,/A=/GBD。求證：AO+BO=2CO。熱搜精練.如圖，在"BC中，/BAC=60°,AD是/BAC的平分線，且AC=AB+BD。求/ABC的度數(shù)。.如圖，在"BC中，/ABC=60°,AD、CE分別平分/BAC、/ACB。求證：AC=AE+CD。.如圖，/ABC+/BCD=180°,BE、CE分別平分/ABC、/BCD。求證：AB+CD=BC。.如圖，在“^。中，/ABC=90°,AD平分/BAC交BC于點D，/C=30°,BE±AD于點E。求證：AC-AB=2BE。.如圖，Rt△ABC中，AC=BC,AD平分/BAC交BC于點D,CE±AD交AD于F點，交AB于點E。求證：AD=2DF+CE。.如圖，五邊形ABCDE中，AB=AC,BC+DE=CD,/B+ZE=180°。求證：AD平分/CDE。第四章手拉手模型模型手拉手如圖，△ABC是等腰三角形、山少石是等腰三角形，AB=AC,AD=AE,/BAC=/DAE=結(jié)論：△BAD/△CAE。模型分析手拉手模型常和旋轉(zhuǎn)結(jié)合，在考試中作為幾何綜合題目出現(xiàn)。模型實例例1如圖，△ADC與△EDC都為等腰直角三角形，連接AG、CE，相交于點X,問（1）AG與CE是否相等？（2）AG與CE之間的夾角為多少度？例2.如圖，直線AB的同一側(cè)作"BD和^BCE都為等邊三角形，連接AE、CD，二者交點為X。求證：（1）△ABE"DBC；（2）AE=DC；（3）ZDHA=60°；（《）△AGBSDFB；€）△EGBSCFB；（6）連接GF,GF〃AC；（7）連接HB,HB平分/AHC。

熱搜精練.如圖，在^^。中，AB=CB，/ABC=90°,F為AB延長線上一點，點E在BC上，且AE=CF。(1)求證：BE=BF；(2)若NCAE=30°,求NACF度數(shù)。.如圖，△ABD與^BCE都為等邊三角形，連接AE與CD,延長AE交CD于點H.證明:(1)AE=DC；(2)NAHD=60°；(3)連接HB,HB平分/AHC。.在線段AE同側(cè)作等邊△CDE(NACE<120°),點P與點M分別是線段BE和AD的中點。求證：^CPM是等邊三角形。.將等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按圖①方式放置，/A=90°,AD邊與AB邊重合，AB=2AD=4。將4ADE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度a(0°<a>180°),BD的延長線交CE于P。(1)如圖②，證明：BD=CE,BD±CE；(2)如圖③，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當AD±BD時，求出CP的長。第五章三垂直全等模型模型三垂直全等模型°,BC=AC模型三垂直全等模型°,BC=AC。結(jié)論：Rt△BCD0Rt△CAE。模型分析說到三垂直模型，不得不說一下弦圖，弦圖的運用在初中直角三角形中占有舉足輕重的地位，很多利用垂直倒角，勾股定理求邊長，相似求邊長都會用到從弦圖中支離出來的一部分幾何圖形去求解。圖①和圖②就是我們經(jīng)常會見到的兩種弦圖。模型實例例1.如圖，AB±BC,CD±BC,AE±DE,AE=DE。求證：AB+CD=BC。例2.如圖，NACB-90°,AC=BC,BE±CE于點D,AD=2.5cm,BE=0.8cm。求DE的長。

例3．如圖，在平面直角坐標系中，的坐標。等腰例3．如圖，在平面直角坐標系中，的坐標。等腰Rt△ABC有兩個頂點在坐標軸上，求第三個頂點熱搜精練1.如圖，正方形ABCD,BE=Cb。求證：(1)AE=BF；(2)AE±BF。c的面積分別是5c的面積分別是5和11,則b的面積是.已知，4ABC中，/BAC-90°,AB=AC,點P為BC上一動點(BP<CP)，分別過B、C作BE±AP于點E、CF±AP于點F。(1)求證：EF=CF-BE；(2)若P為BC延長線上一點，其它條件不變，則線段BE、CF、EF是否存在某種確定的數(shù)量關(guān)系？畫圖并直接寫出你的結(jié)論。.如圖，在直角梯形ABCD中，AD//BC,AB±BC,AD=2,BC=3,設NBCD=a，以D為旋轉(zhuǎn)中心，將腰DC繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°至DE。(1)當a=45°時，求△EAD的面積；(2)當a=30°時，求△EAD的面積；(3)當0°<a<90°時，猜想△EAD的面積與a大小有無關(guān)系？若有關(guān)，寫出△EAD的面.如圖，向"BC的外側(cè)作正方形ABDE、正方形AC/G,過點A作AH±BC于H,AH的反向延長線與EG交于點P。求證：BC=2APo中考幾何必備模型（笑涵數(shù)學）第六章將軍飲馬“將軍飲馬”問題主要利用構(gòu)造對稱圖形解決求兩條線段和差、三角形周長、四邊形周長等一類最值問題，會與直線、角、三角形、四邊形、圓、拋物線等圖形結(jié)合，在近年的中考和競賽中經(jīng)常出現(xiàn)，而且大多以壓軸題的形式出現(xiàn)。模型1定直線與兩定點模型定點連接模型1定直線與兩定點模型定點連接AB交直線l于點P,點P即為所求作的點。結(jié)論PA+PB的最小。A、B在直線l異側(cè)時，在直線l上找一點P，使PA+PB最小。作點B關(guān)作點B關(guān)PA+PB的最小值為AB‘。當兩定點A、B在直線l同側(cè)時在直線l上找一點P，使當兩定點A、B在直線l同側(cè)時在直線l上找一點P，使PA+PB最小。于直線l的對稱點B,，連接AB,交直線于點P，點P即為所求作的點。.A當B兩 1定點A、B在直線l同側(cè)時，在直線l上找一點P，使P^A.—PB最大。A當 1■兩 B定點A、B在直線l同側(cè)時，在直線l上找一點P，使|PA—PB|最連接AB并延長交直線l于點P，點P即為所求作的點。_pB'r_iB大。作點B關(guān)于直線l的對稱點B,，連接AB,并延長交直線PA-PB的最大值為ABoPA-PB的最大值為AB'o于點P，點P即為所求作的點。AB. l當兩定點A、B在直線l同側(cè)時，在直線l上找一點P,使PA-PB最小。BM- lP連接AB，作AB的垂直平分線交直線l于點P,點P即為所求作的點。PA—PB的最小值為0。模型實例例1如圖，正方形ABCD的面積是口,△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，則PD+PE的最小值為。例2.如圖，已知八45。為等腰直角三角形，AC=BC=4,ZBCD=15°,P為CD上的動點，則PA—PB的最大值是多少？熱搜精練.如圖，在^^。中，AC=BC=2,NACB-90°,D是BC邊的中點，E是AB邊上一動點，則EC+ED的最小值是 。.如圖，點C的坐標為（3,y），當△ABC的周長最短時，求y的值。.如圖，正方形ABCD中，AB-7,M是DC上的一點，且DM-3,N是AC上的一動點，求DNMN的最小值與最大值。模型2角到定點模型作法結(jié)論△PCD周長最小為P'P"。點P在ZAOB的內(nèi)部，在OB上找點D，在OA上找點。，使得^PCD周長最小。分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點P'、P"，連接P'P",交OA、OB于點C、D，點C、D即為所求。PC+CD的最小值為P/C。點P在/AOB的內(nèi)部，在OB上找點D，在OA上找點C，使得PD+CD最小。作點P關(guān)于OB的對稱點P’,過點尸'作P'C!OA交OB于點C,點C、D即為所求。PC+CD+DQ的最小值為P‘Q’,所以四邊形PQDC的周長的最小值為P/Q'+PQ。點P、Q在/AOB的內(nèi)部，在OB上找點D，在OA上找點C,使得四邊形PQDC周長最小。分別作點P、Q關(guān)于OA、OB的對稱點P/、Q’,連接P'Q'，交OA、OB于點C、D，點C、D即為所求。模型實例例1.如圖，NAOB=30°,NAOB內(nèi)有一定點P，且OP=10,在OA上有一點Q,OB上有一點乩若^PQR周長最小，則最小周長是多少？熱搜精練.如圖，/MON=40°,P為NMON內(nèi)一定點，A為OM上的點，B為ON上的點，當△PAB的周長取最小值時：(1)找到A、B點，保留作圖痕跡；(2)求此時NAPB等于多少度。如果NMON=，/APB又等于多少度？.如圖，四邊形ABCD中，NBAD=110°,NB=ND=90°,在BC、CD上分別找一點M、乂使^AMN周長最小，并求此時NAMN+NANM的度數(shù)。DCDC.如圖，在x軸上找一點。，在y軸上找一點D，使AD+CD+BC最小，并求直線CD的解析式及點C、D的坐標。.如圖NMON=20：A、B分別為射線OM、ON上兩定點，且OA=2，OB=4，點P、Q分別為射線OM、ON上兩動點，當P、Q運動時，線段AQ+PQ+PB的最小值是多少？B模型3兩定點一定長模型作法結(jié)論+-d-*A如B 1圖，在直線l上找M、N兩點（M在左），使得AM^+MN+NB最小，且MN=d。*d*..^A,',;M/NiiA''將點A向右平移d個單位到A’，作A’關(guān)于直線l的對稱點A",連接A"B交直線l于點N,將點N向左平移d個單位到M，點M、N即為所求。AM+MN+NB最小為A"B。

模型實例例1在平面直角坐標系中，矩形OABC如圖所示，點A在x軸正半軸上，點C在y軸正半軸上，且OA=6,OC=4,D為OC中點，點E、F在線段OA上，點E在點F左側(cè)，EF=2。當四邊形BDEF的周長最小時，求點E的坐標。熱搜精練.在平面直角坐標系中，矩形OACB的頂點O在坐標原點，頂點A、B分別在，x軸、y軸的正半軸上，A(3,0),B(0,4),D為邊OB的中點。(1)若E為邊OA上的一個動點，求^CDE的周長最小值；(2)若E、F為邊OA上的兩個動點，且EF=1，當四邊形CDEF的周長最小時，求點E、F的坐標。.村莊A和村莊B位于一條小何的兩側(cè)，若河岸彼此平行，要架設一座與河岸垂直的橋,橋址應如何選擇，才使A與B之間的距離最短？A 1 0B第七章螞蟻行程模型1立體圖形展開的最短路徑

B'A'B'A'模型分析上圖為無底的圓柱體側(cè)面展開圖，如圖螞蟻從點A沿圓柱表面爬行一周。到點B的最短路徑就是展開圖中AB,的長，AB.VAA'2+A'B'2。做此類題日的關(guān)鍵就是，正確展開立體圖形，利用“兩點之間線段最短”或“兩邊之和大于第三邊”準確找出最短路徑。模型實例例1.有一圓柱體油罐，已知油罐底面周長是12m,高AB是5m,要從點A處開始繞油罐一周建造房子，正好到達A點的正上方B處，問梯子最短有多長？例2.如圖，一直圓錐的母線長為QA=8,底面圓的半徑r=2,若一只小螞蟻從A點出發(fā)，繞圓錐的側(cè)面爬行一周后又回到A點，則螞蟻爬行的最短路線長是 。例3.已知長方體的長、寬、高分別為30cm、20cm、10cm，一只螞蟻從A處出發(fā)到B處覓食，求它所走的最短路徑。（結(jié)果保留根號）

熱搜精練.有一個圓錐體如圖，高4cm，底面半徑5cm,A處有一螞蟻，若螞蟻欲沿側(cè)面爬行到C處，求螞蟻爬行的最短距離。.如圖，圓錐體的高為8cm，底面周長為4cm，小螞蟻在圓柱表面爬行，從A點到B點,路線如圖，則最短路程為 。3．桌上有一個圓柱形無蓋玻璃杯，高為12厘米，底面周長18厘米，在杯口內(nèi)壁離杯口距離3厘米的A處有一滴蜜糖，一只小蟲22杯子外壁，當它正好在蜜糖相對方向離桌面

3厘米的B處時，突然發(fā)現(xiàn)了蜜糖，問小蟲至少爬多少厘米才能到達蜜糖所在的位置。.已知O為圓錐頂點，OA、OB為圓錐的母線，C為OB的中點，一只小螞蟻從點C開始沿圓錐側(cè)面爬行到點A，另一只小螞蟻也從C點出發(fā)繞著圓錐側(cè)面爬行到點B，它們所爬行的最短路線的痕跡如圖所示，若沿OA剪開，則得到的圓錐側(cè)面展開圖為（）.如圖，一只螞蟻沿著邊長為2的正方體表面從點A出發(fā)，經(jīng)過3個面爬行到點B，如果它運動的路徑是最短的，則最短距離為 。.如圖是一個邊長為6的正方體木箱，點Q在上底面的棱上，AQ=2,一只螞蟻從P點出發(fā)沿木箱表面爬行到點Q,求螞蟻爬行的最短路線。.如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別等于5cm、3cm和1cm,A和B是這個臺階的兩個相對的端點，A點上有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物。請你想中考幾何必備模型(笑涵數(shù)學)一想，這只螞蟻從A點出發(fā)，沿著臺階面爬到B點的最短路程是多少？第八章中點四大模型模型1倍長中線或類中線(與中點有關(guān)的線段)構(gòu)造全等三角形模型分析如圖①，AD是^ABC的中線，延長AD至點E使DE=AD,易證：AADC/△EDB(SAS)。如圖②，D是BC中點，延長FD至點E使DE=FD，易證：△FDB/△FDC(SAS)。當遇見中線或者中點的時候，可以嘗試倍長中線或類中線，構(gòu)造全等三角形，目的是對已知條件中的線段進行轉(zhuǎn)移。模型實例例1如圖，已知在"BC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，連接BE并延長

中考幾何必備模型（笑涵數(shù)學）AC于點F,AF=￡F。求證：AC=BE。熱搜精練.如圖，在"BC中，AB=12,AC=20,求BC邊上中線AD的范圍。求證：.如圖，在"BC中，D是BC的中點，DM±DN,如果BM+CN=DM+DN。求證：AD2=1（AR+AC2）4模型2已知等腰三角形底邊中點,可以考慮與頂點連接用“三線合一”模型分析等腰三角形中有底邊中點時,常作底邊的中線,利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得模型分析等腰三角形中有底邊中點時,常作底邊的中線,利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得到角相等或邊相等，為解題創(chuàng)造更多的條件，當看見等腰三角形的時候，就應想到：“邊等、角等、三線合一”。模型實例例1如圖，在△人5。中，AB=AC-5,BC=6,M為BC的中點，MN1AC于點N,求MN的長度。熱搜精練.如圖，在4ABC中，AB=AC,D是BC的中點，AE±DE,AF±DF,且AE=AF。求證:ZEDB=ZFDC。.已知Rt△ABC中，AC=BC,ZC=90°,D為AB邊的中點，ZEDF=90°,ZEDF繞點D旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AC、CB（或它們的延長線）于E、F。（1）當ZEDF繞點D旋轉(zhuǎn)至UDE±AC于E時（如圖①），求證：S&DEF求證：S&DEF+S&CEF 2SAABC（2）當ZEDF繞點D旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時，在圖②和圖③這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立,請給予證明；若不成立,S.def、S“EF、S.ABC又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想,不需證明。模型3已知三角形一邊的中點,可以考慮中位線定理模型分析在三角形中，如果有中點，可構(gòu)造三角形的中位線，利用三角形中位線的性質(zhì)定理：DE〃5C,且DE=1BC來解題，中位線定理既有線段之間的位置關(guān)系又有數(shù)量關(guān)系，該模型可以解決相等，線段之間的倍半、相等及平行問題。模型實例例1.如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD,E、F分別是BC、AD的中點，連接EF并延長，分別與ba、CD的延長線交于點M、N。求證：NBME=ZCNE。熱搜精練.(1)如圖①，BD、CE分別是△ABC的外角平分，過點A作AD±BD、AE±CE，垂足分別為D、E，連接DE。求證：DE//BC,DE=1(AB+BC+AC)；2(2)如圖②，BD、CE分別是△ABC的內(nèi)角平分，其它條件不變。上述結(jié)論是否成立？(3)如圖③，BD是^ABC的內(nèi)角平分，CE是^ABC的外角平分，其它條件不變。DE與BC還平行嗎？它與△ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并對其中一種情況進行證明。.問題一：如圖①，在四邊形ACBD中，AB與CD相交于點O,AB=CD,E、F分別是BC、

AD的中點，連接EF分別交DC、AB于點M、N,判斷△OMN的形狀，請直接寫出結(jié)論；問題二：如圖②，在"BC中，AC>AB，點D在AC上，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，連接EF并延長，與BA的延長線交于點G,若ZEFC=60°,連接GD，判斷△AGD的形狀并證明。模型4已知直角三角形斜邊中點,可以考慮構(gòu)造斜邊中線模型4已知直角三角形斜邊中點,可以考慮構(gòu)造斜邊中線模型分析在直角三角形中,當遇見斜邊中點時,經(jīng)常會作斜邊上的中線,利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即CD1AB，來證明線段間的數(shù)量關(guān)系，而且可以得到兩個等腰三角形：1CD和^BCD,該模型經(jīng)常會與中位線定理一起綜合應用。模型實例例1.如圖，在△ABC中，BE、CF分別為AC、AB上的高，D為BC的中點，DM±EF于熱搜精練.如圖，在"BC中，ZB=2ZC,AD±BC于點D,M為BC的中點，AB=10。求DM的長度。長度。.已知，4ABD和^ACE都是直角三角形，且NABD=ZACE=90°,連接DE,M為DE的中點，連接MB、MC。求證：MB=MCoEE.問題1：如圖①，△ABC中，點D是AB邊的中點，AE±BC,BF±AC,垂足分別為點E、F,AE、BF交于點M，連接DE、DF。若DEkDF,則k的值為；問題2：如圖②，△ABC中，CB=CA,點D是AB邊的中點，點M在^ABC內(nèi)部，且NMAC=NMBC。過點M分別作ME±BC,MF±AC,垂足分別為點E、F,連接DE、DF。若DE=DF；問題3：如圖③，若將上面問題②中的條件“CB=CA”變?yōu)椤癈BWCA”，其它條件不變，試探究DE與DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論。第九章半角模型模型1倍長中線或類中線（與中點有關(guān)的線段）構(gòu)造全等三角形

1已知如圖：N2=2ZAOB；OA=OB。連接F'B，將△FOB繞點O旋轉(zhuǎn)至△FOA的位置，連接F'E、FE，可得△OEF空&OEF。模型分析（1）半角模型的命名：存在兩個角度是一半關(guān)系，并且這兩個角共頂點；（2）通過先旋轉(zhuǎn)全等再軸對稱全等，一般結(jié)論是證明線段和差關(guān)系；（3）常見的半角模型是90°含45°，120°含60°。模型實例例1.如圖，已知正方形ABCD中，ZMAN=45°,它的兩邊分別交線段CB、DC于點M、N。（1）求證：BM+DN=MN；（2）作AH±MN于點H，求證：AH=AB。例2.在等邊4ABC的兩邊AB、AC上分別有兩點M、N,D為^ABC外一點，且ZMDN=60°,ZBDC=60°,BD=。。。探究：當M、N分別在線段AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系。（1）如圖①，當DM=DN時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是 ；（2）如圖②，當DMWDN時，猜想（1）問的結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明。

圖1圖1例3.如圖，在四邊形ABCD中，ZB+ZADC=180°,E、F分別是BC、CD延長線上的點，1且ZEAF=-ZBAD。求證：EF=BE-FD。乙熱搜精練.如圖，正方形ABCD,M在CB延長線上，N在DC延長線，ZMAN=45°。求證:MN=DN-BM。.已知，如圖①，在Rt△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點D、E分別為線段BC上兩動點，若ZDAE=45°。探究線段BD、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系。小明的思路是:把^AEC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ABE/，連接E’D，使問題得勁解決。請你參考小明的思路探究并解決以下問題：(1)猜想BD、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系式，并對你的猜想給予證明；(2)當動點E在線段BC上，動點D運動到線段CB的延長線上時，如圖②，其它條件不變，(1)中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變？請說明你的猜想并給予證明。.已知，在等邊"BC中，點O是邊AC、BC的垂直平分線的交點，M、N分別在直線AC、BC上，且NMON=60°。(1)如圖①，當CM=CN時，M、N分別在邊AC、BC上時，請寫出AM、CN、MN三者之間的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖②，當CMWCN時，M、N分別在邊AC、BC上時，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請你加以證明；若不成立，請說明理由；(3)如圖③，當點M在邊AC上，點N在BC的延長線上時，請直接寫出線段AM、CN、MN三者之間的數(shù)量關(guān)系。.如圖，在四邊形ABCD中，/B+ND=180°,AB=AD,E、F分別是線段BC、CD上的1點，且BE+FD=EF。求證：NEAF=-NBAD。乙.如圖①，已知四邊形ABCD,NEAF的兩邊分別與DC的延長線交于點F,與CB的延長線交于點E連接EF。(1)若四邊形ABCD為正方形，當NEAF=45°時，EF與DF、BE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？(只需直接寫出結(jié)論)

（2）如圖②，如果四邊形ABCD中，AB=AD,ZABC與NADC互補，當NEAF=1ZBAD時，EF與DF、BE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出結(jié)論并證明;（3）在（2）中，若BC=4，DC=7，CF=2，求ACEF的周長（直接寫出結(jié)論即可）。（3）在第十章相似模型模型1A、8模型已知：/1=/2模型1A、8模型已知：/1=/2求證：求證：模型分析如圖，在相似三角形的判定中，我們常通過作平行線，從而得出A型或8型相似，在做題時，我們也常常關(guān)注題目中由平行線所產(chǎn)生的相似三角形。模型實例例1.如圖，在△ABC中，中線AF、BD、CE相交于點。。OFOEOD_1OA~oC~OB2例2.如圖，點E、F分別在菱形ABCD的邊AB、AD上，且AE=DF,BF交DE于

AF HF點G,延長BF交CD的延長線于H，若——二2。求一的值。DF BG于點F,此圖中的相似三角形共有于點F,此圖中的相似三角形共有對。交熱搜精練1.如圖，D、E分別是AABC的邊AB、BC上的點，且DEIIAC,AE、CD相交于點.如圖，在△ABC中，中線BD、CE相交于點。，連接AO并延長，交BC于點F。求證：點F是BC的中點。.在4ABC中，AD是角平分線，求證:.如圖，△ABC為等腰直角三角形，NACB-90°,D是邊BC的中點，E在AB上，且AE：BE=2：1。求證：CELAD。

模型2共邊共角型已知：/1=/2結(jié)論：△ACD^△ABC模型分析上圖中，不僅要熟悉模型，還要熟記模型的結(jié)論，有時候題目中會給出三角形邊的乘積或比例關(guān)系，我們要能快速判斷題中的相似三角形，模型中由AACDs△ABC,進而可以得到AC2=AD.AC。模型實例例1.如圖，D是4ABC邊BC上的一點，AB=4, AD=2,ZDAC=ZB，如果△ABD的面積為15,那么△ACD的面積為。例2.如圖，在RtAABC中，NBAC-90°,AD±BC于D。（1）圖中有多少對相似三角形？寫出來；（2）求證：AC2=AD.AC熱搜精練.如圖所示，能判定^ABCs△DAC的有

①NB=ZOAC；②NBAC=ZADC；③AC2=DCBC;④AD2=BD.BC。.已知4AMN是等邊三角形，NBAC=120°。求證:AB2=BM.BC；AC2=CN.CB；MN2=BM.NC。.如圖，人?是半圓O的直徑，C是半圓上的一點，過C作CD±AB于D,AC=2y10,AD：DB=4：1。求CD的長。.如圖①，Rt△ABC中，/ACB-90°,CD±AB,我們可以利用△ABC^^ACD證明AC2=AD.AB，這個結(jié)論我們稱之為射影定理，結(jié)論運用：如圖②，正方^BCD的邊長為6,點O是對角線AC、BD的交點，點E在CD上，過點C作CELBE,垂足為尸，連接OF。(1)試利用射影定理證明△BOF-△BED；(2)若DE=2CE，求OF的長。模型3一線三角型

已知，如圖①②③中：/B=/ACE=ZD。結(jié)論：△ABCs、CDE模型分析在一線三等角的模型中，難點在于當已知三個相等的角的時候，容易忽略隱含的其它相等的角，此模型中的三垂直相似應用較多，當看見該模型的時候，應立刻能看出相應的相似三角形。模型實例例1.如圖在等邊△ABC中，P為BC上一點，D為AC上一點，且/APD=60°,BP=1,CD=2，則4ABC的邊長為 。3例2.如圖，/A=/B=90°,AB=7,AD=2,BC=3,在邊AB上取一點P,使得△PAD民、PBC相似，則這樣的P點共有個。熱搜精練,AB=AC=1,點D是BC,AB=AC=1,點D是BC邊上的一個動點(不與B、C點重合)，NADE=45°。(1)求證：△ABDs&dce；(2)設BD=x,AE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(3)當AADE是等腰三角形時，求AE的長。.如圖，在△ABC中，AB=AC=10,點D是邊BC上一動點(不與B、C重合)，NADE=NB=a,DE交AC于點E，且cosa=4，下列結(jié)論。①AADE^△ACD；②當BD=6時，△ABD與^DCE全等；③^DCE為直角三角形時，BD等于8或12.5；④0<CE<6.4.其中正確的結(jié)論是。(把你認為正確結(jié)論的序號都填上).如圖，已知矩形ABCD的一條邊AD=8,將矩形ABCD折疊，使得頂點B落在CD邊上的尸點外，折痕與邊BC交于。，連接AP、OP、OAo(1)求證：△OCPs^PDA；(2)若4OCP與^PDA的面積比為1：4,求邊AB的長。模型4倒數(shù)型條件：A尸〃DE//BC111結(jié)論：+ =一AFBCDE模型分析仔細觀察，會發(fā)現(xiàn)該模型中含有兩個A型相似模型，它的結(jié)論是由兩個A型相似的結(jié)論相加而得到的，該模型的練習有助于提高綜合題能力水平。模型實例例1.如圖，AF〃BC,AC、BF相交于點E，過D作ED〃AF交AB于點D。求證：1+1求證：1+1=1,“ABF^AABC^AABE熱搜精練.如圖，在△ABC中，CD±AB于點D，正方形EFGH的四個頂點都在^ABC.正方形ABCD中，以AB為邊作等邊三角形ABE，連接DE交AC于F,交AB于G，連接BF。求證：（1）（2）（1）（2）AF+BF=EF；111 + = AFBFGF模型5與圓有關(guān)的簡單相似圖①中，由同弧所對的圓周角相等，易得△PAC-△PDB；圖②中，由圓的內(nèi)接四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角，易得APAC-△PDB；圖③中，通過作輔助線構(gòu)造，易得△PAC-△PCB。C圖3C圖3模型實例c兩點。例1.如圖，點P在。O外，PB交。O于A、B兩點，PC交。O于D、求證：PA.PB=PD.PCc兩點。B熱搜精練.如圖，P是。O內(nèi)的一點，AB是過點P的一條弦，設圓的半徑為r,OP=d。

求證：PA-PD=r2—d2。.如圖，已知AB是。O的直徑，C、D是半圓的三等分點，延長AC>BD交于點E。(1)求NE的度數(shù)；(2)點M是BE上一點，且滿足EM?EB=CE2,連接CM,求證：CM是。O的切線。模型6相似與旋轉(zhuǎn)如圖①，已知DE〃BC,將AADE繞點A旋轉(zhuǎn)一定的角度，連接BD、CE，得到如圖②，結(jié)論：△ABDsAACE。模型分析該模型難度較大，常出現(xiàn)在壓軸題中，以直角三角形為背景出題，對學生的綜合能力要求較高，考察知識點有相似、旋轉(zhuǎn)、勾股定理、三角函數(shù)等，是優(yōu)等生必須掌握的一種題型。模型實例 一例1.如圖，在RtAABC中，/BAC=60°,點P在△ABC內(nèi)，且PA=<3,

PB=5,PC=2。求S△ABC熱搜精練.如圖，△ABC和^CEF均為等腰三角形，E在^ABC內(nèi)，/CAE+ZCBE=90°,連接BF。(1)求證：△CAEs△CBF；(2)若BE=1,AE=2,求CE的長。.已知，在△ABC中，NBAC=60°。(1)如圖①，若AB=AC,點P在△ABC內(nèi)，且/APC=6150°,PA=3,PC=4,把^APC繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)，使點C旋轉(zhuǎn)到點B處，得到"OB，連接QP。①依題意補全圖1;②直接寫出PB的長；(2)如圖②，若AB=AC,點P在△ABC外，且PA=3,PB=5,PC=4,求NAPC的度數(shù)；(3)如圖③，若AB=2AC,點P在△ABC內(nèi)，且PA<3,PB=5,NAPC=120°,請直接寫出PC的長。

第十一章圓中的輔助線模型1連半徑構(gòu)造等腰三角形已知AB是。。的一條弦，連接OA>OB，則NA=ZB。模型分析在圓的相關(guān)題目中，不要忽略隱含的已知條件，我們通?？梢赃B接半徑構(gòu)造等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)及圓中的相關(guān)定理，解決角度的計算問題。模型實例例1.如圖，CD是。O的直徑，/EOD=84°,AE交。O于點B，且AB=OC,求NA。熱搜精練.如圖，AB經(jīng)過。O的圓心，點B在。O上，若AD=OB，且NB=54°。試求/A的度數(shù)。1.如圖，AB是。O的直徑，弦PQ交AB于M，且PM=加0。求證：弧AP3弧BQ。

模型2構(gòu)造直角形圖①，已知AB是。O的直徑，點C是圓上一點，連接AC>BC,則NACB=90,如圖②，已知AB是。O的一條弦，過點O作OE1AB，則OE2+AE2=OA2。模型分析(1)如圖①，當圖形中含有直徑時，構(gòu)造直徑所對的圓周角是解決問題的重要思路，在證明有關(guān)問題中注意90°的圓周角的構(gòu)造。(2)如圖②，在解決求弦長、弦心距、半徑問題時，在圓中常作弦心距或連接半徑作為輔助線，利用弦心距、半徑和半弦組成一個直角三角形，再利用勾股定理進行計算。模型實例例1.如圖，已知。O的直徑AB和弦CD相交于點E,AE=2,BE=6,NDEB=60°,求CD的長。例2.如圖，AB是。O的直徑，AB=AC,BC交。O于點D,AC交。O于點E,NBAC=45°。(1)求NEBC的度數(shù)；(2)求證：BD=CD。BD

BD熱搜精練.如圖，。O的弦AB、CD互相垂直，垂足為E，且AE=5,BE=13,點O到AB的距離為2\：10，求點O到CD距離，線段OE的長及。O的半徑。.已知，AB和CD是。O的兩條弦，且AB±CD于點H，連接BC、AD，作OE1ADOE1AD于點E。求證:OE=1BC。33.如圖，直徑AB3.如圖，直徑AB=2,AB、貝UCE2+DE2=CD交于點E且夾角為45°,模型3與圓的切線有關(guān)的輔助線（1）切線的性質(zhì)；模型3與圓的切線有關(guān)的輔助線（1）切線的性質(zhì)；模型實例例1.如圖，04、OB是。O的半徑，且OA±OB,P是OA上任意一點，BP的延長線交。0于Q，過Q點的切線交0A的延長線于凡