一波函數(shù)沿x方向傳播的平面波波動(dòng)方程為18-7波函數(shù)薛定諤方程

一.波函數(shù)沿x方向傳播的平面波波動(dòng)方程為§18-7波函數(shù)薛定諤方程上式為下面復(fù)數(shù)形式的實(shí)數(shù)部分為區(qū)分一般的波，奧地利物理學(xué)家薛定諤提出用物質(zhì)波波函數(shù)描述微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

對(duì)能量為E、動(dòng)量為p的自由粒子，其平面物質(zhì)波波函數(shù)為自由粒子在三維空間運(yùn)動(dòng)時(shí)有

二.波函數(shù)的物理意義

*

----的共軛復(fù)數(shù)與光波類(lèi)比，波函數(shù)的強(qiáng)度為由玻恩的概率波概念，粒子出現(xiàn)在體積元dV內(nèi)的概率為

----概率密度

在整個(gè)空間總能找到粒子，應(yīng)有----波函數(shù)的歸一化條件三.波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件單值:某時(shí)刻粒子出現(xiàn)在某點(diǎn)的概率唯一有限:粒子出現(xiàn)的概率應(yīng)有限連續(xù):不應(yīng)出現(xiàn)突變(可導(dǎo))

說(shuō)明：經(jīng)典波描寫(xiě)實(shí)在物理量在空間中的傳播過(guò)程概率波不代表實(shí)在物理量的傳播過(guò)程，波函數(shù)本身沒(méi)有干脆的物理意義

四.薛定諤方程1.一般薛定諤方程自由粒子：設(shè)自由粒子沿x方向運(yùn)動(dòng)波函數(shù)

----一維運(yùn)動(dòng)自由粒子的含時(shí)薛定諤方程

在勢(shì)場(chǎng)U(x,t)中：粒子的總能量為即又----勢(shì)場(chǎng)中一維運(yùn)動(dòng)粒子的含時(shí)薛定諤方程推廣到三維空間----拉普拉斯算符

----一般的薛定諤方程引入能量算符----哈密頓算符則有

說(shuō)明：薛定諤方程是量子力學(xué)中，態(tài)隨時(shí)間變更的方程，其正確性是由方程的解與試驗(yàn)結(jié)果相符而得到證明1933年薛定諤獲得諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)只要找到體系的經(jīng)典能量公式，則可寫(xiě)出薛定諤方程并求解，可得概率密度2

2.定態(tài)方程定態(tài)：勢(shì)能函數(shù)與時(shí)間無(wú)關(guān)，即令兩邊同除以得兩邊等于同一常數(shù)時(shí)上式才能成立(1)(2)(1)的解為E具有能量量綱(2)為----定態(tài)薛定諤方程粒子波函數(shù)為即討論：定態(tài)時(shí)，概率密度不隨時(shí)間變化定態(tài)時(shí)，解得的某些能量確定值E稱(chēng)為本征值，相應(yīng)的波函數(shù)稱(chēng)為本征函數(shù)

五.求解波函數(shù)的方法及解決的幾個(gè)問(wèn)題1.求波函數(shù)的步驟：由體系的勢(shì)能寫(xiě)出薛定諤方程解方程得一般解依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)條件和歸一化條件確定有關(guān)常數(shù)項(xiàng)

2.求粒子出現(xiàn)概率極大、微小的位置求概率密度函數(shù)

推斷令

，解出

x=xm

3.求粒子在某區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的概率計(jì)算求概率密度函數(shù)

[例7]一質(zhì)量為m的粒子在自由空間繞確定點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，圓半徑為r。求粒子的波函數(shù)并確定其可能的能量值和角動(dòng)量值。解：定態(tài)薛定諤方程粒子在xy平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)r、θ(=π/2)均為常數(shù)又或解為其中是的單值、有限、連續(xù)函數(shù)或即由歸一化條件于是定態(tài)波函數(shù)為粒子的波函數(shù)為——能量量子化由能量動(dòng)量關(guān)系——角動(dòng)量量子化設(shè)粒子作一維運(yùn)動(dòng)，勢(shì)能函數(shù)為§18-8一維無(wú)限深勢(shì)阱阱外須有阱內(nèi)令其通解為C和為待定常數(shù)依據(jù)波函數(shù)的連續(xù)、單值的條件有由歸一化條件可得波函數(shù)為----能量量子化n：粒子能量量子數(shù)探討：n0：因?yàn)閚=0則n0，無(wú)意義n=1：----基態(tài)能

，能量間隙不均勻，并隨n的增大而增大

除端點(diǎn)(x=0,x=a)外，阱內(nèi)n=0稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)。基態(tài)無(wú)節(jié)點(diǎn)，第一激發(fā)態(tài)有一個(gè)節(jié)點(diǎn)，第n

激發(fā)態(tài)有(n-1)個(gè)節(jié)點(diǎn)[例8]設(shè)質(zhì)量為m的微觀粒子處在寬度為a的一維無(wú)限深勢(shì)阱中，試求：粒子在0xa/4區(qū)間中出現(xiàn)的幾率，并對(duì)n=1和n=的狀況算出概率值。在哪些量子態(tài)上，a/4處的概率密度最大？解：已知粒子出現(xiàn)在0xa/4區(qū)間中的幾率為時(shí)時(shí)處最大時(shí)有

一.一維勢(shì)壘隧道效應(yīng)粒子在x方向運(yùn)動(dòng)，勢(shì)能分布為§18-9一維勢(shì)壘諧振子經(jīng)典物理的觀點(diǎn)：時(shí)：粒子可越過(guò)勢(shì)壘到達(dá)3區(qū)時(shí)：粒子被勢(shì)壘反彈回去量子力學(xué)：薛定諤方程為2區(qū)1區(qū)3區(qū)

令則正向傳播

可得：時(shí)：k2為虛數(shù)

可得：時(shí)：k2為實(shí)數(shù)負(fù)向傳播因3區(qū)無(wú)反射波，故C’=0由標(biāo)準(zhǔn)條件可求得其它5個(gè)系數(shù)2區(qū)：透射波+反射波3區(qū)：透射波1區(qū)：入射波+反射波即

在粒子總能量低于勢(shì)壘壁高時(shí)，粒子有確定的概率穿過(guò)勢(shì)壘----隧道效應(yīng)貫穿勢(shì)壘的概率(貫穿系數(shù))為:勢(shì)壘加寬(a增大)或增高(U0增大)，則T減小蒲松齡:《聊齋志異》嶗上道士穿墻而過(guò)！

二.諧振子一維諧振子的勢(shì)能為其中薛定諤方程為

可解得最小能量(零點(diǎn)能)為(1/2)h討論：線性諧振子的能量是量子化的能級(jí)均勻分布，能隙為h或諾貝爾獎(jiǎng)?lì)C獎(jiǎng)現(xiàn)場(chǎng)癌細(xì)胞表面圖像硅表面圖像掃描隧道顯微鏡(STM)

一.氫原子的薛定諤方程氫原子中，電子的勢(shì)能函數(shù)為§18-10氫原子的量子力學(xué)處理方法薛定諤方程為：

轉(zhuǎn)換到球極坐標(biāo)系中得極坐標(biāo)形式為：設(shè)可得：(1)(2)(3)

二.量子化條件和量子數(shù)1.能量量子化和主量子數(shù)與玻爾所得結(jié)果完全一樣----主量子數(shù)由(3)可得氫原子能量為

2.角動(dòng)量量子化和角量子數(shù)對(duì)確定的n值,l有n個(gè)可能取值由(1)(2)可得電子繞核運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量量子化條件----角量子數(shù)

3.角動(dòng)量空間量子化和磁量子數(shù)對(duì)確定的l值，ml有(2l+1)個(gè)可能取值由(1)(2)可得ml應(yīng)滿足----磁量子數(shù)ml確定電子繞核運(yùn)動(dòng)角動(dòng)量在空間的取向Lz，有

一.施特恩-格拉赫試驗(yàn)§18-11電子的自旋1921年施特恩和格拉赫為驗(yàn)證電子角動(dòng)量空間量子化而進(jìn)行的試驗(yàn)無(wú)磁場(chǎng)有磁場(chǎng)原子源

試驗(yàn)發(fā)覺(jué)：不加磁場(chǎng)時(shí)底板上呈現(xiàn)一條正對(duì)狹縫的原子沉積；加磁場(chǎng)時(shí)底板上呈現(xiàn)上下兩條原子沉積沖突：角量子數(shù)為l時(shí)，角動(dòng)量在空間的取向有(2l+1)種可能

二.電子的自旋為說(shuō)明上述試驗(yàn)結(jié)果，1925年烏倫貝克和古茲密特提出電子自旋假說(shuō):電子除軌道運(yùn)動(dòng)外，還存在自旋運(yùn)動(dòng)。電子自旋角動(dòng)量S在空間任一方向上的投影Sz只能取兩個(gè)值----自旋磁量子數(shù)----與電子軌道角動(dòng)量相像由量子力學(xué)可得，自旋角動(dòng)量為----自旋量子數(shù)s只能取一個(gè)值即

三.四個(gè)量子數(shù)原子中電子的狀態(tài)由四個(gè)量子數(shù)確定主量子數(shù)n（n=1,2,）大體上確定電子的能量角量子數(shù)l（l=0,1,2,,n-1）確定電子的軌道角動(dòng)量的大小磁量子數(shù)ml（ml=0,1,2,,l）確定電子軌道角動(dòng)量在外磁場(chǎng)中的取向。自旋磁量子數(shù)ms（ms=1/2）確定電子自旋角動(dòng)量在外磁場(chǎng)中的取向

對(duì)多電子原子，其內(nèi)部電子的分布由下面兩條原理確定：§18-12原子的殼層結(jié)構(gòu)泡利不相容原理：在一個(gè)原子中不能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的電子處在完全相同的量子態(tài)，即不能具有相同的四個(gè)量子數(shù)能量最小原理：原子系統(tǒng)處于正常狀態(tài)時(shí)，每個(gè)電子趨向占有最低的能級(jí)

依據(jù)泡利不相容原理，原子中具有相同主量子數(shù)n的電子數(shù)最多為1916年柯塞耳提出原子殼層結(jié)構(gòu)：n相同的電子組成一個(gè)殼層，對(duì)應(yīng)n=1,2,3,的殼層分別用K,L,M,N,O,P,來(lái)表示

l相同的電子組成支殼層，對(duì)應(yīng)l=0,1,2,的支殼層分別用s,p,d,f,g,h,