2021-2022高中數(shù)學(xué)第一章解三角形2應(yīng)用舉例1作業(yè)含解析新人教版必修520220317185

PAGEPAGE4應(yīng)用舉例一、基礎(chǔ)過關(guān)1．已知兩燈塔A和B與海洋觀測(cè)站C的距離都等于akm，燈塔A在觀測(cè)站C的北偏東20°方向上，燈塔B在觀測(cè)站C的南偏東40°方向上，則燈塔A與燈塔B的距離為 ()A．a(chǎn)km B.eq\r(3)akmC.eq\r(2)akm D．2akm2．海上有A、B兩個(gè)小島相距10nmile，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，則B、C間的距離是 ()A．10eq\r(3)nmile B.eq\f(10\r(6),3)nmileC．5eq\r(2)nmile D．5eq\r(6)nmile3．如圖，為測(cè)一樹的高度，在地面上選取A、B兩點(diǎn)，從A、B兩點(diǎn)分別測(cè)得望樹尖的仰角為30°，45°，且A、B兩點(diǎn)之間的距離為60m，則樹的高度為 ()A．(30＋30eq\r(3))mB．(30＋15eq\r(3))mC．(15＋30eq\r(3))mD．(15＋3eq\r(3))m4.如圖，一貨輪航行到M處，測(cè)得燈塔S在貨輪的北偏東15°的方向上，與燈塔S相距20海里，隨后貨輪按北偏西30°的方向航行30分鐘后到達(dá)N處，又測(cè)得燈塔在貨輪的東北方向，則貨輪的速度為 ()A．20(eq\r(6)＋eq\r(2))海里/小時(shí)B．20(eq\r(6)－eq\r(2))海里/小時(shí)C．20(eq\r(6)＋eq\r(3))海里/小時(shí)D．20(eq\r(6)－eq\r(3))海里/小時(shí)5．如圖，A、N兩點(diǎn)之間的距離為________．6.如圖所示，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D，現(xiàn)測(cè)得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為θ，則塔高AB為________．7．要測(cè)量對(duì)岸兩點(diǎn)A、B之間的距離，選取相距eq\r(3)km的C、D兩點(diǎn)，并測(cè)得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A、B之間的距離．二、能力提升8．臺(tái)風(fēng)中心從A地以每小時(shí)20千米的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，城市B在A的正東40千米處，B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的持續(xù)時(shí)間為()A．0.5小時(shí) B．1小時(shí)C．1.5小時(shí) D．2小時(shí)9．太湖中有一小島，沿太湖有一條正南方向的公路，一輛汽車測(cè)得小島在公路的南偏西15°的方向上，汽車行駛1km后，又測(cè)得小島在南偏西75°的方向上，則小島到公路的距離是________km.10．江岸邊有一炮臺(tái)高30m，江中有兩條船，由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45°和30°，而且兩條船與炮臺(tái)底部連成30°角，求兩條船之間的距離．三、探究與拓展11．在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°的方向，距離A(eq\r(3)－1)nmile的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°的方向，距離A2nmile的C處的緝私船奉命以10eq\r(3)nmile/h的速度追截走私船．此時(shí)，走私船正以10nmile/h的速度從B處向北偏東30°的方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？

答案1．B2.D3.A4.B5.40eq\r(3)6.eq\f(s·tanθsinβ,sinα＋β)7．解如圖所示，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝eq\r(3)(km)．在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.∴BC＝eq\f(\r(3)sin75°,sin60°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)(km)．△ABC中，由余弦定理，得AB2＝(eq\r(3))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)＋\r(2),2)))2－2eq\r(3)×eq\f(\r(6)＋\r(2),2)×cos75°＝3＋2＋eq\r(3)－eq\r(3)＝5，∴AB＝eq\r(5)(km)．∴A、B之間的距離為eq\r(5)km.8．B9.eq\f(\r(3),6) 解析如圖，∠CAB＝15°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，AB＝1(km)．由正弦定理得eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，∴BC＝eq\f(1,sin60°)·sin15°＝eq\f(\r(6)－\r(2),2\r(3))(km)．設(shè)C到直線AB的距離為d，則d＝BC·sin75°＝eq\f(\r(6)－\r(2),2\r(3))·eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝eq\f(\r(3),6)(km)．10．解如圖所示 ∠CBD＝30°，∠ADB＝30°，∠ACB＝45°.∵AB＝30(m)，∴BC＝30(m)，BD＝eq\f(30,tan30°)＝30eq\r(3)(m)．在△BCD中，CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos30°＝900，∴CD＝30(m)，即兩船相距30m.11．解如圖所示，設(shè)緝私船用th在D處追上走私船， 則有CD＝10eq\r(3)t，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝eq\r(3)－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(eq\r(3)－1)2＋22－2×(eq\r(3)－1)×2×cos120°＝6，∴BC＝eq\r(6)(nmile)，且sin∠ABC＝eq\f(AC,BC)·sin∠BAC＝eq\f(2,\r(6))×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(2),2).∴∠ABC＝45°，∴BC與正北方向垂直．∵