自動控制課件ch

第三章自動控制系統(tǒng)的時域分析3.1穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)3.2典型輸入信號和階躍響應(yīng)性能指標(biāo)3.3一階系統(tǒng)的動態(tài)性能3.4二階系統(tǒng)的動態(tài)性能3.6穩(wěn)態(tài)誤差分析概述1.系統(tǒng)分析方法指控制系統(tǒng)在典型測試信號下，根據(jù)輸出量的時域表達(dá)式，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能。典型信號：階躍信號、斜坡信號、拋物線信號、脈沖信號、正弦信號。時域分析法是直接在時間域中對系統(tǒng)進(jìn)行分析的方法，所以時域分析具有直觀和準(zhǔn)確的優(yōu)點。--時域分析法、根軌跡法、頻率特性法2.時域分析方法3.1穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)一、穩(wěn)定的概念穩(wěn)定是控制系統(tǒng)的重要性能，也是系統(tǒng)能夠正常運行的首要條件。穩(wěn)定：設(shè)系統(tǒng)處于某一起始的平衡狀態(tài)，在外作用的影響下，離開了該平衡狀態(tài)，當(dāng)外作用消失后，若經(jīng)過足夠長的時間它能回復(fù)到原來的起始平衡狀態(tài)，則稱這樣的系統(tǒng)為穩(wěn)定的系統(tǒng)，否則為不穩(wěn)定的系統(tǒng)。二、線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：若輸入：r(t)=d(t)，則：R(s)=1。若Re[pj]<0，則：若Re[pj]

>0，則：對于穩(wěn)定系統(tǒng)，t→

時：輸出量c(t)=0。線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：系統(tǒng)特征方程的根均具有負(fù)部，或者說，特征方程的全部閉環(huán)極點都位于s平面的左半部。注意：穩(wěn)定性是線性定常系統(tǒng)的一個屬性，只與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，與輸入輸出信號無關(guān)，與初始條件無關(guān)；只與極點有關(guān)，與零點無關(guān)。j0穩(wěn)定區(qū)域[s平面]不穩(wěn)定區(qū)域二、勞斯穩(wěn)定性判據(jù)設(shè)系統(tǒng)特征方程為：D(s)=ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0=0(ai>0)列勞斯表：由特征方程的系數(shù)構(gòu)成系數(shù)1.勞斯表(勞斯陣列)計算式：……計算式：……注意：勞斯表的每一行右邊要計算到出現(xiàn)零為止；總行數(shù)應(yīng)為n+1；如果計算過程無誤，最后一行應(yīng)只有一個數(shù)，且等于a0。2.勞斯判據(jù)線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：特征方程的全部系數(shù)為正數(shù)，且勞斯表的第一列系數(shù)都為正數(shù)。若第一列系數(shù)出現(xiàn)變號，系統(tǒng)就不穩(wěn)定，而且第一列符號改變次數(shù)系統(tǒng)特征方程含有正實部根的個數(shù)。例3-1:特征方程為：a3s3+a2s2+a1s+a0=0，試確定系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件。穩(wěn)定的充要條件為：

a3,a2,a1,a0均大于零；且a1a2-a3a0>0。解：勞斯表為：a3a1a2a0a0例3-2:系統(tǒng)的特征方程為：s4+2s3+3s2+4s+5=0，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：勞斯表如下：由于勞斯表第一列有兩次符號變化，表明系統(tǒng)在s右半平面有兩個極點。所以，系統(tǒng)不穩(wěn)定。符號改變一次符號改變一次13

524015-65結(jié)論用一個正數(shù)去乘或除某整行，不會改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性結(jié)論；勞斯表第一列所有系數(shù)均不為零，但也不全為正數(shù)，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。表示s右半平面上有極點，極點個數(shù)等于勞斯陣列第一列系數(shù)符號改變的次數(shù)。(1)勞斯表某一行第一列系數(shù)為0，而其余系數(shù)不全為0。3.勞斯判據(jù)的特殊情況處理辦法：用很小的正數(shù)e代替0例3-4：s4+s3+3s2+3s+2=0，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。第一列不全為正，系統(tǒng)不穩(wěn)定，s右半平面有兩個極點?！嗟谝涣杏袃纱畏栕兓?3213002(e)2例3-3：s4+3s3+3s2+3s+2=0，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。第一列元素符號沒有改變，但表明有一對純虛根存在，因此，系統(tǒng)也是不穩(wěn)定的。推論：若系數(shù)a0至an有缺項或小于零則系統(tǒng)不穩(wěn)定。13233022(e)02(2)勞斯表某行系數(shù)全為0(第k行)處理辦法：(1)用第k-1行的系數(shù)構(gòu)建輔助方程；(2)將輔助方程對s求導(dǎo)，用其系數(shù)代替全零行；(3)解輔助方程，求出所有數(shù)值相同、符號相反的特征根。說明特征方程中存在一些大小相等，但方向相反的根。如：大小相等、符號相反的一對實根，或一對共軛虛根，或?qū)ΨQ于虛軸的兩對共軛復(fù)根。例：設(shè)系統(tǒng)特征方程為s6+2s5+6s4+8s3+10s2+4s+4=0，試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：列出勞斯表s616104s5284s4284s30

00輔助多項式A(s)的系數(shù)A(s)=2s4+8s2+4=0dA(s)/ds=8s3+16s=0s244s18s04s3816dA(s)/ds的系數(shù)第一列元素全為正，系統(tǒng)沒有正根，但勞斯表出現(xiàn)全零行，系統(tǒng)肯定是不穩(wěn)定的(---臨界穩(wěn)定)。解輔助方程可得共軛純虛根：A(s)=2s4+8s2+4=2(s4+4s2+2)=0三、勞斯穩(wěn)定性判據(jù)的應(yīng)用1.判定控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性2.分析系統(tǒng)參數(shù)變化對穩(wěn)定性的影響

利用勞斯穩(wěn)定性判據(jù)還可以討論個別參數(shù)對穩(wěn)定性的影響，從而求得這些參數(shù)的取值范圍。[例3-6]已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，試確定系統(tǒng)的臨界放大系數(shù)。[解]：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：勞斯表：要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須：①系數(shù)皆大于0；②勞斯陣第一列皆大于0。所以，臨界放大系數(shù)Kp=14。特征方程為：3.確定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性(穩(wěn)定裕度)利用勞斯穩(wěn)定性判據(jù)確定的是系統(tǒng)穩(wěn)定或不穩(wěn)定，即絕對穩(wěn)定性。在實際系統(tǒng)中，往往需要知道系統(tǒng)離臨界穩(wěn)定有多少裕量，這就是相對穩(wěn)定性或穩(wěn)定裕量問題。s平面利用勞斯判據(jù)確定穩(wěn)定裕量的方法：令s=z–σ,

代入原系統(tǒng)特征方程，得到z為自變量的方程，然后利用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。穩(wěn)定裕量[例3-7]對于例3-6系統(tǒng)，若要使系統(tǒng)具有σ=1以上的穩(wěn)定裕度，試確定K的取值范圍。例：將s=z-1代入原系統(tǒng)特征方程，得經(jīng)整理得：勞斯表：3.2典型輸入信號和階躍響應(yīng)性能指標(biāo)一、典型輸入作用1.單位階躍函數(shù)12.單位斜坡函數(shù)(速度階躍函數(shù))3.單位拋物線函數(shù)(加速度階躍函數(shù))4.理想單位脈沖函數(shù)0t5.正弦函數(shù)A--振幅w--角頻率二、典型響應(yīng)1.單位脈沖函數(shù)響應(yīng)：2.單位階躍函數(shù)響應(yīng)：3.單位斜坡函數(shù)響應(yīng)：4.單位拋物線函數(shù)響應(yīng)：[提示]：上述幾種典型響應(yīng)有如下關(guān)系：單位脈沖函數(shù)響應(yīng)單位階躍函數(shù)響應(yīng)單位斜坡函數(shù)響應(yīng)單位拋物線函數(shù)響應(yīng)積分積分積分微分微分微分

通常以階躍響應(yīng)來衡量系統(tǒng)控制性能的優(yōu)劣和定義瞬態(tài)過程的時域性能指標(biāo)。穩(wěn)定的隨動系統(tǒng)(不計擾動)的單位階躍響應(yīng)函數(shù)有衰減振蕩和單調(diào)變化兩種。1.衰減振蕩(1)延遲時間td--輸出第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值c(∞)的50%所需的時間。三、階躍響應(yīng)性能指標(biāo)(2)上升時間tr--輸出第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值c(∞)所需的時間。--或輸出由穩(wěn)態(tài)值c(∞)的10%上升到90%所需的時間。--輸出超過穩(wěn)態(tài)值達(dá)到第一個峰值cmax所需要的時間。(3)峰值時間tp(4)最大超調(diào)量s%--輸出量的最大值超出穩(wěn)態(tài)值的百分比。(5)調(diào)節(jié)時間(過渡過程時間)ts--輸出c(t)到達(dá)并保持在允許誤差范圍(穩(wěn)態(tài)值c(∞)的±2%或±5%)內(nèi)所需時間。(6)振蕩次數(shù)N(7)穩(wěn)態(tài)誤差ess--在調(diào)節(jié)時間內(nèi)，輸出c(t)偏離c(∞)的振蕩次數(shù)。--系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值與輸入量1(t)之差。ess=

1-c(∞)td、tp、tr、ts

--階躍響應(yīng)的快速性指標(biāo)s%、N--時間響應(yīng)的平穩(wěn)性指標(biāo)ess--靜態(tài)性能指標(biāo)2.單調(diào)變化特點：(1)單調(diào)上升曲線；(2)穩(wěn)態(tài)誤差為零；(3)只用調(diào)節(jié)時間ts表示快速性。3.3一階系統(tǒng)的動態(tài)性能標(biāo)準(zhǔn)形式：傳遞函數(shù)：一、單位階躍響應(yīng)單位階躍輸入：輸出響應(yīng)：

t

0

T2T

3T

4T

5T…

c(t)

0

0.632

0.865

0.95

0.982

0.993…二、性能指標(biāo)階躍響應(yīng)曲線2.tp、

s%

、N不存在；3.響應(yīng)曲線初始斜率：由圖可知：1.時間常數(shù)T決定系統(tǒng)的過渡過程的快慢；3.4二階系統(tǒng)的動態(tài)性能開環(huán)傳遞函數(shù)為:閉環(huán)傳遞函數(shù)為:-

z---阻尼系數(shù)wn

---無阻尼振蕩角頻率或自然角頻率二階系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖一、典型二階系統(tǒng)的響應(yīng)1.閉環(huán)極點的分布二階系統(tǒng)的特征方程為：z

取值不同則特征根不同兩根為：(1)z=0--無阻尼狀態(tài)s2s1--一對純虛根s1s2(2)0<z<1--欠阻尼狀態(tài)--一對具有負(fù)實部的共軛復(fù)根s1s2(3)z=1--臨界阻尼狀態(tài)---兩相等負(fù)實根(4)z>1--過阻尼狀態(tài)--兩不相等負(fù)實根s1s2(5)z<0系統(tǒng)不穩(wěn)定2.二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)(1)無阻尼

z=0等幅振蕩wn--無阻尼振蕩角頻率tc(t)10(2)欠阻尼

0<z<1s1s2b其中：---有阻尼振蕩角頻率---阻尼角c(t)10t衰減振蕩(3)臨界阻尼

z=1單調(diào)上升c(t)10t(4)過阻尼

z>1c(t)10t二階系統(tǒng)的典型階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng)極點位置特征根阻尼系數(shù)單調(diào)上升兩個互異負(fù)實根單調(diào)上升一對負(fù)實重根

衰減振蕩一對共軛復(fù)根(左半平面)

等幅周期振蕩一對共軛虛根

0<z<1欠阻尼z=0無阻尼z=1臨界阻尼z>1過阻尼二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線可以看出：1)二階系統(tǒng)的z(阻尼系數(shù))決定了其振蕩特性；z=0時，出現(xiàn)等幅振蕩；0<z<1時，有振蕩，且z愈小，振蕩愈嚴(yán)重，但響應(yīng)愈快；z

≥1時，無振蕩、無超調(diào)，過渡過程長。2)控制系統(tǒng)的阻尼比選擇

工程中除了一些不允許產(chǎn)生振蕩的應(yīng)用，如指示和記錄儀表系統(tǒng)等，通常采用欠阻尼系統(tǒng)，且z通常選擇在0.4~0.8之間，以保證系統(tǒng)的快速性同時又不至于產(chǎn)生過大的振蕩。二、典型二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)1.欠阻尼0<z<1當(dāng)t=tr時c(tr)=1(1)上升時間tr取n=1b---阻尼角z和wn可從傳遞函數(shù)獲得討論：wn固定，z

↓

→tr

↓；

z固定，wn

↑

→tr

↓。

當(dāng)t=tp時：(2)峰值時間tp由于tp出現(xiàn)在第一次峰值時間，取n=1，有：討論：z一定時，wn越大，tp越??；wn一定時，z越大，tp越大。(3)最大超調(diào)量s%s1s2b--僅與阻尼比z有關(guān)s%和z的關(guān)系

z越大，s%越小，系統(tǒng)的平穩(wěn)性越好z一般取0.4~0.8，則超調(diào)量在2.5%~25%之間(4)調(diào)節(jié)時間ts當(dāng)t≥ts時當(dāng)z較小時：近似估計公式：當(dāng)z一定時，wn越大，ts越小，系統(tǒng)響應(yīng)越快。wnts和z的關(guān)系(0<z<1)當(dāng)z由零增大時wnts先減小后增大?=0.05，wnts的最小值出現(xiàn)在z＝0.78處；?=0.02，wnts的最小值出現(xiàn)在z＝0.69處；出現(xiàn)最小值后，wnts隨z幾乎線性增加。結(jié)論：當(dāng)z增加到0.69或0.78時，調(diào)整時間ts為最小。設(shè)計二階系統(tǒng)，一般選z=0.707，為最佳阻尼比，此時不但調(diào)整時間ts為最小，而且超調(diào)量也不大。(5)振蕩次數(shù)N---有阻尼振蕩周期2.臨界阻尼z=1其中：3.過阻尼z>1wnts和z的關(guān)系(z>1)1.二階系統(tǒng)的動態(tài)性能由wn和z決定；

2.增加z

→降低振蕩，減小超調(diào)量s%和振蕩次數(shù)N，

→系統(tǒng)快速性降低，tr、tp增加；3.z一定，wn越大，系統(tǒng)響應(yīng)快速性越好，tr、tp、ts越??；4.s%、N僅與z有關(guān)，而tr、tp、ts與z、wn有關(guān)，通常根據(jù)允許的最大超調(diào)量來確定z。z一般選擇在0.4~0.8之間，然后再調(diào)整wn以獲得合適的瞬態(tài)響應(yīng)時間。總結(jié)三、參數(shù)計算例1:二階系統(tǒng)如圖所示，其中z=0.5，wn=4(弧度/秒)，當(dāng)輸入信號為單位階躍信號時，試計算系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)。解：例2:已知系統(tǒng)如圖，要求性能指標(biāo)為s%=20%，tp=15秒，試確定K和A，并計算ts、tr。解：-所以：--標(biāo)準(zhǔn)形式例3:系統(tǒng)如圖所示，已知：K0=K01.K02=16(秒-1)，T0=0.25(秒)，試(1)s%、ts；(2)若要使s%=10%，T0不變，K0=？解：(1)標(biāo)準(zhǔn)形式：(2)3.6穩(wěn)態(tài)誤差分析在控制系統(tǒng)設(shè)計中誤差是一項重要的性能指標(biāo)，只有在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，才有必要研究穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)態(tài)誤差的形式和大小反映了控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)跟蹤能力的強、弱或控制精度的高、低。穩(wěn)態(tài)誤差是控制系統(tǒng)準(zhǔn)確性的定量描述指標(biāo)。穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、輸入信號的形式有關(guān)，對于不同的輸入信號具有不同的穩(wěn)態(tài)誤差。為了分析方便，把系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差按輸入信號形式不同分為擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差和給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。一、誤差的定義--在外作用下，系統(tǒng)的實際輸出與期望輸出之間的偏差。1.從輸入端定義-E(s)=R(s)－B(s)e(t)=r(t)－b(t)特點：不容易測量，但便于理論分析。--輸入信號與反饋信號之差穩(wěn)態(tài)誤差：2.從輸出端定義--輸出的期望值與實際值之差。特點：物理意義明確，容易測量，便于工程應(yīng)用，但不便于理論分析。-對于單位反饋控制系統(tǒng)二者相同，一般多采用第一種定義。穩(wěn)態(tài)誤差：3.終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差-誤差傳遞函數(shù)：GK(s)=G(s)H(s)--開環(huán)傳遞函數(shù)誤差：終值定理要求：(3)除在原點處可以有極點外，sE(s)的所有極點都在s平面的左半平面。(1)e(t)和d[e(t)]/dt可進(jìn)行拉氏變換；即只有穩(wěn)定的系統(tǒng)，才可計算穩(wěn)態(tài)誤差。顯然，ess與輸入和開環(huán)傳遞函數(shù)有關(guān)。例:系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖，當(dāng)輸入為單位階躍和斜坡信號時，即r(t)=1(t)+t.1(t)，求系統(tǒng)在輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差ess。-解：輸入信號為單位階躍時：輸入信號為單位斜坡時：二、控制系統(tǒng)的類型假設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)GK(s)形式如下：式中：K0--開環(huán)放大系數(shù)；u

--積分環(huán)節(jié)的個數(shù)；G0(s)--開環(huán)傳遞函數(shù)去掉積分和比例環(huán)節(jié)；u--型別當(dāng)u=0時--0型系統(tǒng)；當(dāng)u=1時--Ⅰ型系統(tǒng)；當(dāng)u=2時--Ⅱ型系統(tǒng)；三、給定輸入作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差不考慮擾動的影響，系統(tǒng)的誤差：-1.單位階躍輸入--靜態(tài)位置誤差系數(shù)當(dāng)u=0時當(dāng)u≥1時

Kp的大小反映了系統(tǒng)在階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)精度。Kp越大，ess越小。所以Kp反映了系統(tǒng)跟蹤階躍輸入的能力。--有差系統(tǒng)--無差系統(tǒng)2.單位斜坡輸入--靜態(tài)速度誤差系數(shù)當(dāng)u=0時當(dāng)u=1時當(dāng)u≥2時結(jié)論：(1)0型系統(tǒng)不能跟蹤斜坡輸入信號，隨著時間的推移誤差越來越大；(2)Ⅰ型系統(tǒng)可以跟蹤斜坡輸入信號，但穩(wěn)態(tài)誤差與K0有關(guān)，可用增加K0的方法提高穩(wěn)態(tài)精度；(3)Ⅱ型及以上系統(tǒng)可完全跟蹤斜坡輸入信號，即穩(wěn)態(tài)誤差為零。

Kv的大小反映了系統(tǒng)在斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)精度。Kv越大，ess越小。所以Kv反映了系統(tǒng)跟蹤斜坡輸入的能力。3.單位拋物線輸入--靜態(tài)加速度誤差系數(shù)當(dāng)u=0,1時當(dāng)u=2時當(dāng)u≥3時結(jié)論：(1)Ⅰ型及以下系統(tǒng)不能跟蹤拋物線輸入，隨著時間的推移誤差越來越大；(2)Ⅱ型系統(tǒng)可以跟蹤拋物線輸入信號，但穩(wěn)態(tài)誤差與K0有關(guān)的，可用增加K0的方法提高穩(wěn)態(tài)精度；(3)Ⅲ型及以上系統(tǒng)可完全跟蹤拋物線輸入信號，即穩(wěn)態(tài)誤差為零。輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差ⅠⅡ系統(tǒng)型別0靜態(tài)誤差系數(shù)KpKvKa1+K0∞∞∞K0K0000階躍輸入r(t)=r0.1(t)斜坡輸入r(t)=v0t拋物線輸入r(t)=a0t2/2∞∞∞000如果系統(tǒng)的輸入信號是多種典型函數(shù)的線性組合：如根據(jù)線性疊加的原理，可將每一種輸入分量單獨作用于系統(tǒng)，再將各誤差分量疊加起來：這時至少