過程控制及自動(dòng)化儀表課件第3章被控過程的數(shù)學(xué)模型

第3章被控過程的數(shù)學(xué)模型本章要點(diǎn)掌握被控過程機(jī)理建模的方法與步驟熟悉被控過程的自衡和非自衡特性

熟悉單容過程和多容過程的階躍響應(yīng)曲線及解析表達(dá)式

重點(diǎn)掌握被控過程基于階躍響應(yīng)的建模步驟、作圖方法和數(shù)據(jù)處理

3.1 過程建模的基本概念3.1.1被控過程的數(shù)學(xué)模型及其作用

被控過程的數(shù)學(xué)模型是指過程的輸入變量與輸出變量之間定量關(guān)系的描述

數(shù)學(xué)模型在過程控制中的重要性良好數(shù)學(xué)模型的建立是控制器參數(shù)確定的重要依據(jù)。數(shù)學(xué)建模是仿真或研究、開發(fā)新型控制策略的必要條件。通過對(duì)生產(chǎn)工藝過程及相關(guān)設(shè)備數(shù)學(xué)模型的分析或仿真，可以為生產(chǎn)工藝及設(shè)備的設(shè)計(jì)與操作提供指導(dǎo)。利用數(shù)學(xué)模型可以及時(shí)發(fā)現(xiàn)工業(yè)過程中控制系統(tǒng)的故障及其原因，并提供正確的解決途徑。全面、深入地掌握被控過程的數(shù)學(xué)模型是控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。3.1.2被控過程的特性依據(jù)過程特性的不同分為自衡特性與無自衡特性、單容特性與多容特性、振蕩與非振蕩特性等

1．有自衡特性和無自衡特性

當(dāng)原來處于平衡狀態(tài)的過程出現(xiàn)干擾時(shí)，其輸出量在無人或無控制裝置的干預(yù)下，能夠自動(dòng)恢復(fù)到原來或新的平衡狀態(tài)，則稱該過程具有自衡特性，否則，該過程則被認(rèn)為無自衡特性。

具有自衡特性的過程及其響應(yīng)曲線

h(∞)0.982h(∞)0.95h(∞)0.865h(∞)0.632h(∞)t0T2T3T4T

無自衡過程及其階躍響應(yīng)曲線

自平衡特性其傳遞函數(shù)的典型形式有：一階慣性環(huán)節(jié)

二階慣性環(huán)節(jié)

二階慣性+純滯后環(huán)節(jié)

一階慣性+純滯后環(huán)節(jié)

一階環(huán)節(jié)一階+純滯后環(huán)節(jié)二階+純滯后環(huán)節(jié)無平衡特性其傳遞函數(shù)的典型形式：二階環(huán)節(jié)

3．振蕩與非振蕩過程的特性4．具有反向特性的過程特性3.1.3過程建模方法1．機(jī)理演繹法

根據(jù)被控過程的內(nèi)部機(jī)理，運(yùn)用已知的靜態(tài)或動(dòng)態(tài)平衡關(guān)系，用數(shù)學(xué)解析的方法求取被控過程的數(shù)學(xué)模型。2．試驗(yàn)辨識(shí)法3.混合法

機(jī)理演繹法與試驗(yàn)辯識(shí)法的相互交替使用的一種方法。

先給被控過程人為地施加一個(gè)輸入作用，然后記錄過程的輸出變化量，得到一系列實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或曲線，最后再根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定數(shù)學(xué)模型的結(jié)構(gòu)及其參數(shù)。3.2解析法建立過程的數(shù)學(xué)模型3.2.1．解析法建模的一般步驟1）明確過程的輸出變量、輸入變量和其他中間變量2）依據(jù)過程的內(nèi)在機(jī)理和有關(guān)定理、定律以及公式列寫靜態(tài)方程或動(dòng)態(tài)方程3）消去中間變量，求取輸入、輸出變量的關(guān)系方程4）將其簡(jiǎn)化成控制要求的某種形式，如高階微分（差分）方程或傳遞函數(shù)（脈沖傳遞函數(shù)）等3.2.2單容過程的解析法建模

某單容液位過程，貯罐中液位高度h為被控參數(shù)，流入貯罐的體積流量為q1過程的輸入量并可通過閥門1的開度來改變；流出貯罐的體積流量q2為過程的干擾，其大小可以通過閥門2的開度來改變。試確定q1與h之間的數(shù)學(xué)關(guān)系?解

單容熱力過程p18※能量動(dòng)態(tài)平衡關(guān)系增量式容器絕熱，為常數(shù)容器絕熱，為常數(shù)

例4-3如圖4-10：如果水箱出口由泵打出，其不同之處在于：當(dāng)q1發(fā)生變化時(shí)，q2不發(fā)生變化。如果q1＞q2

，水位H將不斷上升，直至溢出，可見該系統(tǒng)是無自衡能力。

絕大多數(shù)對(duì)象都有自衡能力，一般而言有自衡能力的系統(tǒng)比無自衡能力的系統(tǒng)容易控制。圖4-10無自衡特性水槽Δq2=0

h0閥門1q10q20h單容無自衡特性

若閥門1突然開大?μ1，則q1增大，q2不變化。

傳遞函數(shù)：3.2.3多容過程的解析法建模

以自衡特性的雙容過程為例，如圖設(shè)為q1過程輸入量，第二個(gè)液位槽的液位h2為過程輸出量，若不計(jì)第一個(gè)與第二個(gè)液位槽之間液體輸送管道所形成的時(shí)間延遲，試求q1與h2之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。

（6）兩邊對(duì)t求導(dǎo)，得：（7）代入（8），整理得：或兩邊取拉氏變換：傳遞函數(shù)：

當(dāng)輸入量是階躍增量Δq1

時(shí)，被控變量Δh2的反應(yīng)（飛升）曲線呈S型。所謂滯后是指被控變量的變化落后于輸入變化的時(shí)間。0tΔh2（∞）Δh2為簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)模型，可以用帶滯后的單容過程來近似。0tΔh2（∞）Δh2τ0

0tτcT0Δh2（∞）在S形曲線的拐點(diǎn)上作一切線，若將它與時(shí)間軸的交點(diǎn)近似為反應(yīng)曲線的起點(diǎn)，則曲線可表達(dá)為帶滯后的一階特性：

如果槽1和槽2之間管道長(zhǎng)度形成的時(shí)間延遲為如果過程為n個(gè)容器依次分離串聯(lián)，則傳函為：，則傳函為：

若將閥門3改為定量泵，則傳函為：三、如圖所示為相互影響的雙容對(duì)象3.3實(shí)驗(yàn)法建立過程的數(shù)學(xué)模型3.3.1響應(yīng)曲線法3.3.1.1階躍響應(yīng)曲線法1）試驗(yàn)測(cè)試前，被控過程應(yīng)處于相對(duì)穩(wěn)定的工作狀態(tài)

一、注意事項(xiàng)2）相同條件下重復(fù)多做幾次試驗(yàn)，減少隨機(jī)干擾的影響3）對(duì)正、反方向的階躍輸入信號(hào)進(jìn)行試驗(yàn)，以衡量過程的非線性程度4）一次試驗(yàn)后，應(yīng)將被控過程恢復(fù)到原來的工況并穩(wěn)定一段時(shí)間再做第二次試驗(yàn)5）輸入的階躍幅度不能過大，以免對(duì)生產(chǎn)的正常進(jìn)行產(chǎn)生不利影響。但也不能過小，以防其它干擾影響的比重相對(duì)較大而影響試驗(yàn)結(jié)果。二、模型結(jié)構(gòu)的確定一階慣性一階慣性+純滯后

二階慣性+純滯后

二階慣性三。模型參數(shù)的確定（1）確定一階環(huán)節(jié)的參數(shù)該響應(yīng)曲線可近似為無時(shí)延的一階環(huán)節(jié)則其輸入與輸出的關(guān)系為：為過程的放大系數(shù)，為時(shí)間常數(shù)。其中上式中，當(dāng)時(shí)以上式為斜率在t=0處作切線，切線方程為

當(dāng)則有：和時(shí)

（2）計(jì)算法2、確定一階時(shí)延環(huán)節(jié)的參數(shù)

3、確定二階環(huán)節(jié)的參數(shù)

t1=0.4t2=0.8時(shí)，應(yīng)為一階環(huán)節(jié)

其中當(dāng)時(shí)，應(yīng)為二階環(huán)節(jié)

其中時(shí)，應(yīng)為二階以上環(huán)節(jié)。

當(dāng)對(duì)于n階環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)n12345678101214t1/t20.320.460.530.580.620.650.670.6850.710.7350.75高階過程的n與的關(guān)系當(dāng)其中4、確定二階時(shí)延環(huán)節(jié)的參數(shù)

0.080.04TC/TAT1/TA0.75T2/TAABC3.3.1.2方波響應(yīng)曲線法

如圖，q1為過程的流入量，q2為過程的流出量，h為液位高度，C為容量系數(shù)。若以q1為過程的輸入量，h為輸出量（被控量），R1、R2設(shè)為線性液阻，求過程的傳函R1q1hq2q3h1h2⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻代入⑺

拉普拉斯變換

已知兩個(gè)水箱串聯(lián)工作，其輸入量為

q1

，流出量為

q2、q3，

h1、h2

分別為兩個(gè)水箱的水位。

h2

為被控參數(shù)，

C1、C2

為容量系數(shù)，假設(shè)

R1,R2,R12,R3

為線性液阻。

要求：1）列出該液位過程的微分方程組。

2）畫出該過程的框圖

3）求該液位過程的傳遞函數(shù)

q1h1q2R2C1R12C2h2R3q3

解⑴微分方程組

----⑵過程框圖⑶過程傳函

對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換4.3.2最小二乘法4.3.2.1離散化模型與輸入試驗(yàn)信號(hào)1．離散化模型（1）離散時(shí)域模型

如果對(duì)被控過程的輸入信號(hào)u(t)，輸出信號(hào)y(t)進(jìn)行采樣，采樣周期為T，則相應(yīng)得到差分方程為：

（2）離散頻域模型

離散頻域模型可用脈沖傳遞函數(shù)表示。對(duì)輸出離散序列進(jìn)行Z變換2．輸入試驗(yàn)信號(hào)

（1）輸入試驗(yàn)信號(hào)的條件與要求

為了使被控過程是可辨識(shí)的，輸入試驗(yàn)信號(hào)必須滿足條件:1）在辨識(shí)時(shí)間內(nèi)被控過程的模態(tài)必須被輸入試驗(yàn)信號(hào)持續(xù)激勵(lì)；2）輸入試驗(yàn)信號(hào)的選擇應(yīng)能使辨識(shí)模型的精度最高。

從工程的角度，輸入試驗(yàn)信號(hào)的選取還要考慮如下一些要求：3）工程上易于實(shí)現(xiàn)，成本低。1）輸入試驗(yàn)信號(hào)的功率或幅值不宜過大，也不能太??；2）輸入試驗(yàn)信號(hào)對(duì)過程的“凈擾動(dòng)”要小；（2）輸入試驗(yàn)信號(hào)的選取

白色噪聲作為輸入試驗(yàn)信號(hào)可以保證獲得較好的辨識(shí)效果，但白色噪聲在工程上不易實(shí)現(xiàn)

研究表明，最長(zhǎng)線性移位寄存器序列（簡(jiǎn)稱M序列）具有近似白色噪聲的性能3．M序列的產(chǎn)生

（1）移位寄存器產(chǎn)生

（2）軟件實(shí)現(xiàn)可以使用MATLAB語言編程實(shí)現(xiàn)產(chǎn)生M序列4.3.2.2最小二乘法最小二乘法將待辨識(shí)的過程看作“黑箱”如圖所示

輸入和輸出y(t)是可以量測(cè)的；e(k)為量測(cè)噪聲

則過程模型為

其中

最小二乘法要解決的問題是如何利用過程的輸入/輸出量測(cè)數(shù)據(jù)確定多項(xiàng)式

和的系數(shù)

對(duì)于模型展開后寫成最小二乘格式為

其中4.3.2.3最小二乘問題的解1.一次完成解法（適用于理論研究）

將準(zhǔn)則函數(shù)

寫成二次型的形式，即可求得參數(shù)的估計(jì)值，使模型的輸出“最好”地預(yù)報(bào)過程的輸出。代表模型的輸出

其中顯然，極小化的經(jīng)計(jì)算，有唯一的滿足使

其計(jì)算機(jī)程序流程，如右圖所示：可獲得一批輸入/輸出數(shù)據(jù)之后，利用這種方法可一次求得相應(yīng)的參數(shù)估計(jì)值，這種處理問題的方法稱為一次完成算法。的方法，稱為最小二乘法。這種計(jì)算稱為最小二乘參數(shù)估計(jì)值。（2）最小二乘遞推解法（適合于計(jì)算機(jī)在線辨識(shí)）優(yōu)點(diǎn)：每次計(jì)算只需采用k+1時(shí)刻的輸入/輸出數(shù)據(jù)修正k時(shí)刻的參數(shù)估計(jì)值，從而使參數(shù)估計(jì)值不斷更新，而無需對(duì)所有數(shù)據(jù)進(jìn)行重復(fù)計(jì)算，適合于在線辨識(shí)。

其核心思想是下一時(shí)刻的參數(shù)估計(jì)值等于上一時(shí)刻參數(shù)估計(jì)值加一項(xiàng)修正項(xiàng)。

其信息變換圖如下：（3）模型階次和純滯后時(shí)間的確定

上述情況是假定在系統(tǒng)階次n和純滯后時(shí)間已知的情況下，但實(shí)際情況是這兩個(gè)參數(shù)未必能夠事先知道，往往需要根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)加以確定。確定模型階次n最簡(jiǎn)單實(shí)用的方法是采用數(shù)據(jù)擬合度檢驗(yàn)法。它是通過比較不同階次的模型輸出與實(shí)際過程的輸出擬合程度來決定模型的節(jié)次。純