數(shù)學(xué)模型常用方法

數(shù)學(xué)模型

MathematicalModeling

引言1.數(shù)學(xué)的重要性2.為什么要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模？3.數(shù)學(xué)建模的形式、內(nèi)容和方法數(shù)學(xué)之所以有如此高的聲譽(yù)，是因?yàn)樗o予自然科學(xué)以某種程度的可靠性。

——愛(ài)因斯坦一門(mén)科學(xué)，只有當(dāng)它成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才能達(dá)到真正完善的地步。

——馬克思

一個(gè)國(guó)家的科學(xué)水平可以用它消耗的數(shù)學(xué)來(lái)度量。

——拉奧數(shù)學(xué)的重要性：眾所周知？數(shù)學(xué)的重要性：眾所周知？

E.E.DavidJr.:(NoticesofAMS,v31,n2,1984,P142)……現(xiàn)今被如此稱(chēng)頌的“高技術(shù)”本質(zhì)上是數(shù)學(xué)技術(shù)。資深評(píng)估小組對(duì)美國(guó)數(shù)學(xué)科學(xué)的國(guó)際評(píng)估報(bào)告:(NSFReport,March1998)

現(xiàn)如今的數(shù)學(xué)科學(xué)對(duì)科學(xué)的三個(gè)方面：觀(guān)察、理論和模擬來(lái)說(shuō)都是必不可少的。

……數(shù)盲和文盲一樣是極其有害的。

既要學(xué)好“算數(shù)學(xué)”,更要培養(yǎng)“用數(shù)學(xué)”的能力

利用計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)軟件,培養(yǎng)分析、思考能力

感受“用數(shù)學(xué)”的酸甜苦辣,激發(fā)學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望數(shù)學(xué)的重要性：似是而非？不少同學(xué)（甚至社會(huì)）的反映：

----無(wú)用----難學(xué)原因：很少用；用不好最常用的大學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容有哪些?數(shù)學(xué)知識(shí)數(shù)學(xué)技巧數(shù)學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)……應(yīng)用數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)技術(shù)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)……隨機(jī)數(shù)學(xué)代數(shù)與幾何微積分……數(shù)學(xué)美學(xué)數(shù)學(xué)哲學(xué)數(shù)學(xué)精神數(shù)學(xué)素質(zhì)數(shù)學(xué)文化為什么要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模?數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽(MCM)簡(jiǎn)介MathematicalContestinModeling美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽(MCM)

中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽(CUMCM)

競(jìng)賽內(nèi)容與形式簡(jiǎn)介實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)MathematicalModeling

（美國(guó)大學(xué)生）數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽(MCM)

1985年開(kāi)始舉辦，每年一次(2月)；“國(guó)際競(jìng)賽”

我國(guó)(清華等校)1989年開(kāi)始每年參加，英文答卷

MCM-2006有10個(gè)國(guó)家(地區(qū))748隊(duì)參賽，其中我國(guó)占62%;ICM-2006有224隊(duì)參賽，其中我國(guó)占87%

每年賽題和優(yōu)秀答卷刊登于同年UMAP雜志

1999年起又同時(shí)推出交叉學(xué)科競(jìng)賽（InterdisciplinaryContestinModeling–ICM)

網(wǎng)址：http://美國(guó)MCM+ICM競(jìng)賽規(guī)模與弗薩羅(Fusaro)教授的談話(huà)記錄我們從數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的歷史講起，它的歷史不長(zhǎng)，僅有20年左右。先介紹美國(guó)數(shù)模競(jìng)賽的發(fā)起人之一——美國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)教育委員會(huì)主席、美國(guó)馬里蘭大學(xué)弗薩羅(Fusaro)教授，于1990年7月應(yīng)邀到上海交通大學(xué)訪(fǎng)問(wèn)。以下是座談會(huì)紀(jì)要的摘錄：[問(wèn)]：你怎么會(huì)想到發(fā)起舉行美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽？[答]：美國(guó)從1938年以來(lái)，在大學(xué)生中舉辦了近50屆普特南數(shù)學(xué)競(jìng)賽。主要考核學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、邏輯推理和計(jì)算能力，幾乎沒(méi)有應(yīng)用題，也不能利用計(jì)算工具，完全閉卷，由個(gè)人獨(dú)立完成。這種比賽對(duì)培養(yǎng)青年數(shù)學(xué)家有積極作用。但是我發(fā)現(xiàn)有幾個(gè)問(wèn)題。一是過(guò)于純粹，而大多數(shù)學(xué)生畢業(yè)后將從事各領(lǐng)域的應(yīng)用工作。二是不能看參考書(shū)，不能用計(jì)算工具，與時(shí)代的發(fā)展和真正的科研條件不同。三是個(gè)人獨(dú)立做，而現(xiàn)代科研往往要一個(gè)團(tuán)體合作進(jìn)行。于是我和一些看法相同的同行發(fā)起，在1985年舉辦了首屆美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽。全稱(chēng)是MathematicalCompetitioninModeling，1988年后改稱(chēng)MathematicalContestinModeling(MCM)[問(wèn)]：你們的競(jìng)賽有什么特點(diǎn)？[答]：針對(duì)普特南數(shù)學(xué)競(jìng)賽的問(wèn)題，我們采取的辦法是命題來(lái)源于真實(shí)世界，通常由工業(yè)部門(mén)提出，然后由數(shù)學(xué)工作者簡(jiǎn)化或修正。每次出兩道題，一道連續(xù)型，一道離散型，學(xué)生任選一題。可以用計(jì)算機(jī)，軟件包，可以參閱任何資料。競(jìng)賽以三人組成的隊(duì)為單位，三人之間可以討論，分工協(xié)作。最后交一篇論文。論文并不評(píng)分，而是按水平分為三檔：優(yōu)秀獎(jiǎng)、良好獎(jiǎng)和鼓勵(lì)獎(jiǎng)。關(guān)于在競(jìng)賽過(guò)程中，教練起什么作用的問(wèn)題，弗薩羅教授作了如下回答。

[答]：每個(gè)隊(duì)可以有一名教練，其作用是，參賽前對(duì)隊(duì)員進(jìn)行培訓(xùn)，競(jìng)賽開(kāi)始后收發(fā)試題和答卷。除了開(kāi)始可以與隊(duì)員一起搞清題意外，競(jìng)賽過(guò)程中，教練不得跟隊(duì)員討論與競(jìng)賽有關(guān)的問(wèn)題。[問(wèn)]：公開(kāi)競(jìng)賽達(dá)三天之久，是否會(huì)出現(xiàn)舞弊或其他不公正現(xiàn)象？[答]：實(shí)踐證明，從未出現(xiàn)過(guò)這種現(xiàn)象，固然與參賽師生信守參賽誓言有關(guān)。我認(rèn)為，更重要的是這種競(jìng)賽十分緊張，在進(jìn)行過(guò)程中，別人很難插進(jìn)去。何況賽題來(lái)自許多不同領(lǐng)域，一般沒(méi)有現(xiàn)成答案，即使是數(shù)學(xué)家，未經(jīng)深思熟慮，并查閱一定資料，也很難發(fā)表中肯意見(jiàn)。從我國(guó)多年競(jìng)賽的實(shí)踐看，一般也不會(huì)出現(xiàn)舞弊或其他不公正現(xiàn)象，僅有個(gè)別參賽隊(duì)出現(xiàn)過(guò)違規(guī)現(xiàn)象。一旦出現(xiàn)違規(guī)現(xiàn)象，將取消該隊(duì)的評(píng)獎(jiǎng)資格，并向全國(guó)通報(bào)。所以各參賽隊(duì)?wèi)?yīng)引以為戒，嚴(yán)格信守參賽誓言，這也是對(duì)各參賽隊(duì)員誠(chéng)信意識(shí)的一個(gè)考驗(yàn)。近年來(lái)，隨著參賽隊(duì)的逐漸增多，水平逐漸提高，題目的難度也越來(lái)越大，而且涉及的領(lǐng)域也越來(lái)越廣。例如，2000網(wǎng)易杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的A題，就是一個(gè)現(xiàn)在正在進(jìn)行的科研問(wèn)題，有關(guān)DNA的堿基排列的特點(diǎn)問(wèn)題。A題DNA序列分類(lèi)2000年6月，人類(lèi)基因組計(jì)劃中DNA全序列草圖完成，預(yù)計(jì)2001年可以完成精確的全序列圖，此后人類(lèi)將擁有一本記錄著自身生老病死及遺傳進(jìn)化的全部信息的“天書(shū)”。這本大自然寫(xiě)的“天書(shū)”是由4個(gè)字符A，T，C，G按一定順序排成的長(zhǎng)約30億的序列，其中沒(méi)有“斷句”也沒(méi)有標(biāo)點(diǎn)符號(hào)，除了這4個(gè)字符表示4種堿基以外，人們對(duì)它包含的“內(nèi)容”知之甚少，難以讀懂。破譯這部世界上最巨量信息的“天書(shū)”是二十一世紀(jì)最重要的任務(wù)之一。在這個(gè)目標(biāo)中，研究DNA全序列具有什么結(jié)構(gòu)，由這4個(gè)字符排成的看似隨機(jī)的序列中隱藏著什么規(guī)律，又是解讀這部天書(shū)的基礎(chǔ)，是生物信息學(xué)（Bioinformatics）最重要的課題之一。雖然人類(lèi)對(duì)這部“天書(shū)”知之甚少，但也發(fā)現(xiàn)了DNA序列中的一些規(guī)律性和結(jié)構(gòu)。例如，在全序列中有一些是用于編碼蛋白質(zhì)的序列片段，即由這4個(gè)字符組成的64種不同的3字符串，其中大多數(shù)用于編碼構(gòu)成蛋白質(zhì)的20種氨基酸。又例如，在不用于編碼蛋白質(zhì)的序列片段中，A和T的含量特別多些，于是以某些堿基特別豐富作為特征去研究DNA序列的結(jié)構(gòu)也取得了一些結(jié)果。此外，利用統(tǒng)計(jì)的方法還發(fā)現(xiàn)序列的某些片段之間具有相關(guān)性，等等。這些發(fā)現(xiàn)讓人們相信，DNA序列中存在著局部的和全局性的結(jié)構(gòu)，充分發(fā)掘序列的結(jié)構(gòu)對(duì)理解DNA全序列是十分有意義的。目前在這項(xiàng)研究中最普通的思想是省略序列的某些細(xì)節(jié)，突出特征，然后將其表示成適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)對(duì)象。這種被稱(chēng)為粗?；湍Ｐ突姆椒ㄍ兄谘芯恳?guī)律性和結(jié)構(gòu)。作為研究DNA序列的結(jié)構(gòu)的嘗試，提出以下對(duì)序列集合進(jìn)行分類(lèi)的問(wèn)題：1）下面有20個(gè)已知類(lèi)別的人工制造的序列（見(jiàn)下頁(yè)），其中序列標(biāo)號(hào)1—10為A類(lèi)，11-20為B類(lèi)。請(qǐng)從中提取特征，構(gòu)造分類(lèi)方法，并用這些已知類(lèi)別的序列，衡量你的方法是否足夠好。然后用你認(rèn)為滿(mǎn)意的方法，對(duì)另外20個(gè)未標(biāo)明類(lèi)別的人工序列（標(biāo)號(hào)21—40）進(jìn)行分類(lèi)，把結(jié)果用序號(hào)（按從小到大的順序）標(biāo)明它們的類(lèi)別（無(wú)法分類(lèi)的不寫(xiě)入）：A類(lèi)__________________；B類(lèi)___________________。請(qǐng)?jiān)敿?xì)描述你的方法，給出計(jì)算程序。如果你部分地使用了現(xiàn)成的分類(lèi)方法，也要將方法名稱(chēng)準(zhǔn)確注明。這40個(gè)序列也放在如下地址的網(wǎng)頁(yè)上，用數(shù)據(jù)文件Art-model-data標(biāo)識(shí)，供下載：網(wǎng)易網(wǎng)址：教育頻道在線(xiàn)試題；教育網(wǎng)：Newsmcm2000教育網(wǎng)：/mcm2）在同樣網(wǎng)址的數(shù)據(jù)文件Nat-model-data中給出了182個(gè)自然DNA序列，它們都較長(zhǎng)。用你的分類(lèi)方法對(duì)它們進(jìn)行分類(lèi)，像1）一樣地給出分類(lèi)結(jié)果。提示：衡量分類(lèi)方法優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)是分類(lèi)的正確率，構(gòu)造分類(lèi)方法有許多途徑，例如提取序列的某些特征，給出它們的數(shù)學(xué)表示：幾何空間或向量空間的元素等，然后再選擇或構(gòu)造適合這種數(shù)學(xué)表示的分類(lèi)方法；又例如構(gòu)造概率統(tǒng)計(jì)模型，然后用統(tǒng)計(jì)方法分類(lèi)等。Art-model-data1.aggcacggaaaaacgggaataacggaggaggacttggcacggcattacacggaggacgaggtaaaggaggcttgtctacggccggaagtgaagggggatatgaccgcttgg2.cggaggacaaacgggatggcggtattggaggtggcggactgttcggggaattattcggtttaaacgggacaaggaaggcggctggaacaaccggacggtggcagcaaagga······20.gtatttaactctctttactttttttttcactctctacattttcatcttctaaaactgtttgatttaaacttttgtttctttaaggattttttttacttatcctctgttat共20個(gè)已經(jīng)分類(lèi)的DNA序列片段。網(wǎng)上下載的21——40號(hào)序列片段和另外182個(gè)DNA序列片段略，它們都是待分類(lèi)的序列片段。要對(duì)這么多DNA序列片段進(jìn)行分類(lèi)，必須用計(jì)算機(jī)編程序，找出它們堿基的排列規(guī)律，再用適當(dāng)?shù)姆诸?lèi)方法進(jìn)行分類(lèi)。分類(lèi)方法有多種，例如有概率統(tǒng)計(jì)方法、聚類(lèi)分析法、馬氏距離分類(lèi)法、模糊分類(lèi)法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等等方法進(jìn)行分類(lèi)。從當(dāng)年閱卷的情況看，上述各種方法都有使用，用得最多的是馬氏距離分類(lèi)法，在MATLAB中編程進(jìn)行分類(lèi)。再看2000網(wǎng)易杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的B題，B題鋼管訂購(gòu)和運(yùn)輸要鋪設(shè)一條A1A2···A15的輸送天然氣的主管道,如圖一所示(見(jiàn)下頁(yè))。經(jīng)篩選后可以生產(chǎn)這種主管道鋼管的鋼廠(chǎng)有S1，S2，···，S7。圖中粗線(xiàn)表示鐵路，單細(xì)線(xiàn)表示公路，雙細(xì)線(xiàn)表示要鋪設(shè)的管道(假設(shè)沿管道或者原來(lái)有公路，或者建有施工公路)，圓圈表示火車(chē)站，每段鐵路、公路和管道旁的阿拉伯?dāng)?shù)字表示里程(單位km)。為方便計(jì)，1km主管道鋼管稱(chēng)為1單位鋼管。一個(gè)鋼廠(chǎng)如果承擔(dān)制造這種鋼管，至少需要生產(chǎn)500個(gè)單位。鋼廠(chǎng)Si在指定期限內(nèi)能生產(chǎn)該鋼管的最大數(shù)量為si個(gè)單位，鋼管出廠(chǎng)銷(xiāo)價(jià)1單位鋼管為pi萬(wàn)元，如下表：1單位鋼管的鐵路運(yùn)價(jià)如下表：1000km以上每增加1至100km運(yùn)價(jià)增加5萬(wàn)元。公路運(yùn)輸費(fèi)用為1單位鋼管每公里0.1萬(wàn)元（不足整公里部分按整公里計(jì)算）。鋼管可由鐵路、公路運(yùn)往鋪設(shè)地點(diǎn)（不只是運(yùn)到點(diǎn)A1,A2,···,A15，而是管道全線(xiàn)）。（1）請(qǐng)制定一個(gè)主管道鋼管的訂購(gòu)和運(yùn)輸計(jì)劃，使總費(fèi)用最?。ńo出總費(fèi)用)。（2）請(qǐng)就（1）的模型分析：哪個(gè)鋼廠(chǎng)鋼管的銷(xiāo)價(jià)的變化對(duì)購(gòu)運(yùn)計(jì)劃和總費(fèi)用影響最大，哪個(gè)鋼廠(chǎng)鋼管的產(chǎn)量的上限的變化對(duì)購(gòu)運(yùn)計(jì)劃和總費(fèi)用的影響最大，并給出相應(yīng)的數(shù)字結(jié)果。（3）如果要鋪設(shè)的管道不是一條線(xiàn)，而是一個(gè)樹(shù)形圖，鐵路、公路和管道構(gòu)成網(wǎng)絡(luò)，請(qǐng)就這種更一般的情形給出一種解決辦法，并對(duì)圖二按（1）的要求給出模型和結(jié)果。A13258010103120124270108810706270302020304501043017506061942052016804803002202104205006003060195202720690520170690462160320160110290115011001200A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15S1S2S3S4S5S6S7圖一A13258010103120124270108810706270302020304501043017506061942052016804803002202104205006003060195202720690520170690462160320160110290115011001200A19130190260100A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15S1S2S3S4S5S6S7A16A17A18A20A21圖二B題很可能是西氣東輸管道鋪設(shè)的實(shí)際問(wèn)題經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化而來(lái)的，解決此問(wèn)題必須用最優(yōu)化方法。最優(yōu)化方法有多種：線(xiàn)性規(guī)劃，非線(xiàn)性規(guī)劃，多目標(biāo)規(guī)劃等模型。有的隊(duì)甚至用了圖論的模型。就A、B兩個(gè)問(wèn)題而言，哪怕你是專(zhuān)家，也得經(jīng)過(guò)深思熟慮，至少花幾天的時(shí)間才能計(jì)算出有價(jià)值的結(jié)果。因此對(duì)于數(shù)模競(jìng)賽的大部分題目，即使你去請(qǐng)教專(zhuān)家，他也只能告訴你一些解題思路，不可能給出解答結(jié)果。數(shù)模競(jìng)賽的大部分題目都沒(méi)有準(zhǔn)確答案，區(qū)分答卷的優(yōu)劣主要看你的模型是否正確，方法是否簡(jiǎn)潔、恰當(dāng)，文章敘述是否清晰，假設(shè)是否合理，結(jié)果是否符合實(shí)際情況等等。關(guān)于如何組成參賽隊(duì)的問(wèn)題，弗薩羅教授的回答是這樣的。[答]：一個(gè)隊(duì)的三個(gè)成員最好各有所長(zhǎng)。比如其中一人數(shù)學(xué)基本功扎實(shí)，一人計(jì)算機(jī)使用熟練，一人有豐富的工程知識(shí)，至少還得有一人寫(xiě)作水平高一些。對(duì)于我國(guó)大學(xué)生來(lái)說(shuō)，最好是大三的學(xué)生參賽。因?yàn)榇笕龑W(xué)生大部分必要的知識(shí)已經(jīng)掌握，而且也不存在準(zhǔn)備考研，影響參賽的問(wèn)題。當(dāng)然，少數(shù)大二的優(yōu)秀學(xué)生參賽也可以。大一的學(xué)生可以努力學(xué)習(xí)，爭(zhēng)取以后參賽，這是比較明智的選擇。中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽（CUMCM）

弗薩羅教授到上海訪(fǎng)問(wèn)后不久，上海和西安就率先分別獨(dú)立地舉辦了數(shù)模競(jìng)賽。1992年由國(guó)家教委和中國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)聯(lián)合發(fā)起，在全國(guó)各高校舉辦了中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽。重慶有四所大學(xué)參加了第一屆競(jìng)賽：重慶大學(xué)、重慶建筑大學(xué)、重慶交通學(xué)院和重慶郵電學(xué)院。川西沒(méi)有代表隊(duì)參加，成都的大學(xué)大概是94年才開(kāi)始參加。在省教委組織下我們與成都的大學(xué)組成四川代表隊(duì)，一起參賽，統(tǒng)一閱卷。中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽（CUMCM）97年重慶直轄，從98年起，重慶與成都又分別組織參賽，各自閱卷。直到現(xiàn)在，也沒(méi)有再合。由于參賽隊(duì)伍逐年擴(kuò)大，很多專(zhuān)科學(xué)校也派出參賽隊(duì)，參賽學(xué)生層次參差不齊。有的學(xué)校老拿不到多少獎(jiǎng)，影響他們的參賽積極性。因此從99年開(kāi)始，劃分了本科組和專(zhuān)科組，題目不同，各自閱卷。這樣，就吸引了更多的學(xué)校參賽。05年重慶就有20多所大專(zhuān)院校的近400個(gè)隊(duì)參賽。照此趨勢(shì)發(fā)展下去，競(jìng)賽的規(guī)模將越來(lái)越大。我國(guó)數(shù)模競(jìng)賽的形式完全仿照美國(guó)競(jìng)賽的形式進(jìn)行。競(jìng)賽進(jìn)行三天，多在每年9月下旬的第一周的某天上午8:00開(kāi)始，到第四天的上午8:00結(jié)束，歷時(shí)共72小時(shí)。

1992年中國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)(CSIAM)開(kāi)始組織

1994年起教育部高教司和CSIAM共同舉辦(每年9月)

2006年有30省/市/區(qū)和香港的864所學(xué)校9982隊(duì)參加

賽題和優(yōu)秀答卷刊登于次年“數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)”（2001年起刊登于當(dāng)年“工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)”）

網(wǎng)址：http://

獎(jiǎng)勵(lì)：證書(shū)（“一次參賽，終身受益”）

等級(jí)：全國(guó)一等~3%、二等~7%；賽區(qū)獎(jiǎng)~1/3獲國(guó)家獎(jiǎng)后，由國(guó)家教委和中國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)發(fā)給每人一張證書(shū)，沒(méi)有獎(jiǎng)金。獲重慶市獎(jiǎng)后，由市教委發(fā)給每人一張證書(shū)，也沒(méi)有獎(jiǎng)金。但是各單位根據(jù)自己的財(cái)力及獲獎(jiǎng)的等級(jí)均發(fā)給數(shù)額不等的獎(jiǎng)金或其他獎(jiǎng)勵(lì)。因此，應(yīng)該提倡“重在參與”。這不只是一個(gè)口號(hào)，實(shí)際情況也是如此。許多同學(xué)參賽后都表示收獲很大。短期來(lái)說(shuō)，對(duì)你畢業(yè)時(shí)寫(xiě)畢業(yè)論文等于是一次預(yù)演。長(zhǎng)期來(lái)說(shuō)，對(duì)你畢業(yè)后從事實(shí)際工作是一個(gè)很大的鍛煉，至少有了一定解決實(shí)際問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)。我國(guó)CUMCM競(jìng)賽規(guī)模競(jìng)賽內(nèi)容與形式內(nèi)容賽題：工程、管理中經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化的實(shí)際問(wèn)題答卷：一篇包含問(wèn)題分析、模型假設(shè)、建立、求解(通常用計(jì)算機(jī))、結(jié)果分析和檢驗(yàn)等的論文形式

3名大學(xué)生組隊(duì)，在3天內(nèi)完成的通訊比賽

可使用任何“死”材料(圖書(shū)/互聯(lián)網(wǎng)/軟件等),但不得與隊(duì)外任何人討論（包括上網(wǎng)討論）宗旨創(chuàng)新意識(shí)團(tuán)隊(duì)精神重在參與公平競(jìng)爭(zhēng)標(biāo)準(zhǔn)假設(shè)的合理性，建模的創(chuàng)造性，結(jié)果的正確性，表述的清晰性。IBM中國(guó)研究中心-招聘條件Positiontitle:BusinessOptimization(BJ)

1．Backgroundinindustrialengineering,operationsresearch,mathematics,ArtificialIntelligence,managementscienceetc.

2.Knowledgeinnetworkdesign,jobscheduling,dataanalysis,simulationandoptimization

3．Awardinmathematicalcontestinmodelingisaplus

4.Experienceinindustryisaplus

5.Experienceineclipseorprogrammingmodel/architecturedesignisaplus----/cn/ibm/crl/careers/condition.shtml

競(jìng)賽的反響（一例）(19-Feb-2006)2000年：DNA序列分類(lèi)，飛越北極；2001年：血管的三維重建，公交車(chē)調(diào)度；2002年：車(chē)燈光源優(yōu)化設(shè)計(jì)，彩票中的數(shù)學(xué)；2003年：SARS傳播，露天礦生產(chǎn)安排，搶渡長(zhǎng)江；2004年：奧運(yùn)會(huì)臨時(shí)超市網(wǎng)點(diǎn)設(shè)計(jì)，電力市場(chǎng)輸電阻塞管理，飲酒駕車(chē)，公務(wù)員招聘；2005年：長(zhǎng)江水質(zhì)的評(píng)價(jià)和預(yù)測(cè)，DVD在線(xiàn)租賃，雨量預(yù)報(bào)方法的評(píng)價(jià)；2006年：出版社的資源配置，艾滋病療法評(píng)價(jià)與療效預(yù)測(cè)，易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)，煤礦瓦斯和煤塵的監(jiān)測(cè)與控制。部分競(jìng)賽題目參賽同學(xué)反映：“一次參賽，終身受益”數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模是20世紀(jì)80年代初進(jìn)入我國(guó)大學(xué)的一門(mén)新課，其主要內(nèi)容是通過(guò)眾多的示例著重介紹如何將實(shí)際問(wèn)題“翻譯”成數(shù)學(xué)問(wèn)題，以及數(shù)學(xué)求解的結(jié)果又如何“翻譯”回到實(shí)際中去。課堂講授需要簡(jiǎn)明的實(shí)際背景、合理的模型假設(shè)、有創(chuàng)意的模型構(gòu)造及必要的模型檢驗(yàn)，不會(huì)涉及太多的數(shù)學(xué)概念和繁瑣的公式推導(dǎo)。建立數(shù)學(xué)模型1.1從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型1.2數(shù)學(xué)建模的重要意義1.3數(shù)學(xué)建模示例1.4數(shù)學(xué)建模的方法和步驟1.5數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)和分類(lèi)1.6怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型……~實(shí)物模型水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機(jī)……~物理模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖……~符號(hào)模型模型是為了一定目的，對(duì)客觀(guān)事物的一部分進(jìn)行簡(jiǎn)縮、抽象、提煉出來(lái)的原型的替代物。模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征1從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型我們常見(jiàn)的模型你碰到過(guò)的數(shù)學(xué)模型——“航行問(wèn)題”用x表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小時(shí)20千米/小時(shí).甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時(shí)，從乙到甲逆水航行需50小時(shí)，問(wèn)船的速度是多少?x=20y=5求解航行問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟作出簡(jiǎn)化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；

用符號(hào)表示有關(guān)量（x,y表示船速和水速）；

用物理定律（勻速運(yùn)動(dòng)的距離等于速度乘以時(shí)間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）；

求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20,y=5）；

回答原問(wèn)題（船速每小時(shí)20千米/小時(shí)）。數(shù)學(xué)模型(MathematicalModel)和數(shù)學(xué)建模（MathematicalModeling)數(shù)學(xué)模型:對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對(duì)象，為了一個(gè)特定目的,作出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，根據(jù)對(duì)象的內(nèi)在規(guī)律，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)?，F(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答數(shù)學(xué)模型的解答表述求解解釋驗(yàn)證(歸納)(演繹)數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程2數(shù)學(xué)建模的重要意義

電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展；

數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透。數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的第一步，越來(lái)越受到人們的重視。

在一般工程技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地；

在高新技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具；

數(shù)學(xué)進(jìn)入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開(kāi)辟了許多處女地。數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用

分析與設(shè)計(jì)

預(yù)報(bào)與決策

控制與優(yōu)化

規(guī)劃與管理數(shù)學(xué)建模計(jì)算機(jī)技術(shù)知識(shí)經(jīng)濟(jì)如虎添翼生產(chǎn)過(guò)程中產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的預(yù)報(bào),氣象預(yù)報(bào),人口預(yù)報(bào),經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)預(yù)報(bào)描述藥物濃度在人體內(nèi)的變化,跨音速空氣流和激波的數(shù)學(xué)模型,用數(shù)值模擬設(shè)計(jì)新的飛機(jī)翼型電力,化工生產(chǎn)過(guò)程的最優(yōu)控制,零件設(shè)計(jì)中的參數(shù)優(yōu)化生產(chǎn)計(jì)劃,資源配置,運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃,水庫(kù)優(yōu)化調(diào)度,以及排隊(duì)策略,物資管理3數(shù)學(xué)建模示例汽車(chē)剎車(chē)距離椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？商人安全過(guò)河問(wèn)題人口預(yù)測(cè)問(wèn)題例1汽車(chē)剎車(chē)距離問(wèn)題：汽車(chē)行駛前方出現(xiàn)突發(fā)事件緊急剎車(chē)；車(chē)速越快，剎車(chē)距離越長(zhǎng)；剎車(chē)距離與車(chē)速之間是什么關(guān)系？(線(xiàn)性、)剎車(chē)距離：從司機(jī)決定剎車(chē)到車(chē)完全停止這段時(shí)間內(nèi)汽車(chē)行駛的距離。v20406080100120140d6.517.833.657.183.4118.0153.5實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：車(chē)速v(km/h)與剎車(chē)距離d(m)例1汽車(chē)剎車(chē)距離d與v不是線(xiàn)性關(guān)系問(wèn)題分析制動(dòng)力使汽車(chē)作勻減速運(yùn)動(dòng)常數(shù)剎車(chē)距離=反應(yīng)距離+制動(dòng)距離常數(shù)例1汽車(chē)剎車(chē)距離反應(yīng)距離:“司機(jī)決定剎車(chē)到制動(dòng)器開(kāi)始起作用”的距離制動(dòng)距離反應(yīng)距離反應(yīng)時(shí)間車(chē)速司機(jī)狀況制動(dòng)系統(tǒng)靈活性制動(dòng)器作用力車(chē)重、車(chē)速道路、氣候…制動(dòng)距離:“制動(dòng)器開(kāi)始起作用到汽車(chē)完全停止”的距離假設(shè)與建模剎車(chē)距離d=反應(yīng)距離d1+制動(dòng)距離d2反應(yīng)距離d1與車(chē)速v成正比：d1=k1

v,剎車(chē)使用最大制動(dòng)力F，F(xiàn)作功等于汽車(chē)動(dòng)能的改變k1~反應(yīng)時(shí)間

F使車(chē)作勻減速運(yùn)動(dòng)：F=

maFd2=mv2/2例1汽車(chē)剎車(chē)距離參數(shù)估計(jì)v(km/h)20406080100120140實(shí)際距離d(m)6.517.833.657.183.4118.0153.5例1汽車(chē)剎車(chē)距離反應(yīng)時(shí)間為k10.65s

剎車(chē)時(shí)的減速度a=1/2k2

6m/s2

模型計(jì)算距離d(m)6.2617.7834.5656.6183.92116.49154.33用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)k1,k2

作擬合:k1=0.6522，k2=0.0853

例2椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？問(wèn)題分析模型假設(shè)通常~三只腳著地放穩(wěn)~四只腳著地四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳連線(xiàn)呈正方形;地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面;地面相對(duì)平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時(shí)著地。模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái)椅子位置利用正方形(椅腳連線(xiàn))的對(duì)稱(chēng)性D′C′B′A′用(對(duì)角線(xiàn)與x軸的夾角)表示椅子位置四只腳著地距離是的函數(shù)四個(gè)距離(四只腳)A,C兩腳與地面距離之和~f()B,D兩腳與地面距離之和~g()兩個(gè)距離椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)正方形對(duì)稱(chēng)性xBADCO用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái)f(),g()是連續(xù)函數(shù)對(duì)任意，f()，g()至少一個(gè)為0數(shù)學(xué)問(wèn)題已知：f(),g()是連續(xù)函數(shù);對(duì)任意，f()?g()=0;且g(0)=0，f(0)>0.證明：存在0，使f(0)=g(0)=0.模型構(gòu)成地面為連續(xù)曲面椅子在任意位置至少三只腳著地模型求解給出一種簡(jiǎn)單、粗糙的證明方法將椅子旋轉(zhuǎn)900，對(duì)角線(xiàn)AC和BD互換。由g(0)=0，f(0)>0，f(/2)=0，g(/2)>0.令h()=f()–g()，則h(0)>0和h(/2)<0.由f，g的連續(xù)性知

h為連續(xù)函數(shù)，據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)，必存在0，使h(0)=0，即f(0)=g(0).因?yàn)閒()?g()=0，所以f(0)=g(0)=0.評(píng)注和思考建模的關(guān)鍵~假設(shè)條件的本質(zhì)與非本質(zhì)考察四腳呈長(zhǎng)方形的椅子和f(),g()的確定例3商人安全過(guò)河問(wèn)題問(wèn)題(智力游戲)3名商人3名隨從隨從們密約,在河的任一岸,一旦隨從的人數(shù)比商人多,就殺人越貨.但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們?cè)鯓硬拍馨踩^(guò)河?問(wèn)題分析多步?jīng)Q策過(guò)程決策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員要求~在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過(guò)河.河小船(至多2人)模型構(gòu)成xk~第k次渡河前此岸的商人數(shù)yk~第k次渡河前此岸的隨從數(shù)xk,yk=0,1,2,3;

k=1,2,sk=(xk,yk)~過(guò)程的狀態(tài)S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允許狀態(tài)集合uk~第k次渡船上的商人數(shù)vk~第k次渡船上的隨從數(shù)dk=(uk,vk)~決策D={(u

,v)u+v=1,2}~允許決策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=sk

dk+(-1)k~狀態(tài)轉(zhuǎn)移律求dkD(k=1,2,n),使skS,并按轉(zhuǎn)移律由s1=(3,3)到達(dá)sn+1=(0,0).多步?jīng)Q策問(wèn)題模型求解xy3322110窮舉法~編程上機(jī)圖解法狀態(tài)s=(x,y)~16個(gè)格點(diǎn)~10個(gè)點(diǎn)允許決策~移動(dòng)1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,，d11給出安全渡河方案評(píng)注和思考規(guī)格化方法,易于推廣考慮4名商人各帶一隨從的情況d1d11允許狀態(tài)S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;

x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}討論：1、商人過(guò)河問(wèn)題的進(jìn)一步思考：(1)若船的情況不變，則2名商人2個(gè)隨從如何安全渡河？(2)m名商人m個(gè)隨從(m≥4)能否安全渡河？(3)一般地，m個(gè)商人n個(gè)隨從，m>n能否安全渡河？若能，怎樣渡河？在商人們安全過(guò)河問(wèn)題中，若商人和隨從各四人，怎樣才能安全過(guò)河呢？2、探索（1）阿拉伯夫妻過(guò)河問(wèn)題有三對(duì)阿拉伯夫妻要過(guò)河，船最多可載兩人。約束條件是根據(jù)阿拉伯法律，任一女子不得在其丈夫不在場(chǎng)的情況下與另外男子在一起，問(wèn)此時(shí)這三對(duì)夫妻能否過(guò)河?四對(duì)夫妻呢？（2）人、狗、雞、米過(guò)河問(wèn)題某人要帶一條狗、一只雞、一籮米過(guò)河，但小船除需要人劃外，最多只能載一物過(guò)河，而當(dāng)人不在場(chǎng)時(shí)，狗要咬雞、雞要吃米。問(wèn)此人應(yīng)如何過(guò)河?背景年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長(zhǎng)概況中國(guó)人口增長(zhǎng)概況年19081933195319641982199019952000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口變化規(guī)律控制人口過(guò)快增長(zhǎng)例4如何預(yù)報(bào)人口的增長(zhǎng)指數(shù)增長(zhǎng)模型——馬爾薩斯提出(1798)常用的計(jì)算公式x(t)~時(shí)刻t的人口基本假設(shè)

:人口(相對(duì))增長(zhǎng)率r是常數(shù)今年人口x0,年增長(zhǎng)率rk年后人口隨著時(shí)間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無(wú)限增長(zhǎng)指數(shù)增長(zhǎng)模型的應(yīng)用及局限性與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合

適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代

可用于短期人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)

不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長(zhǎng)規(guī)律

不能預(yù)測(cè)較長(zhǎng)期的人口增長(zhǎng)過(guò)程19世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)人口增長(zhǎng)率r不是常數(shù)(逐漸下降)阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設(shè)r~固有增長(zhǎng)率(x很小時(shí))xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線(xiàn),x增加先快后慢x0xm/2阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)參數(shù)估計(jì)用指數(shù)增長(zhǎng)模型或阻滯增長(zhǎng)模型作人口預(yù)報(bào)，必須先估計(jì)模型參數(shù)r或r,xm

利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合例：美國(guó)人口數(shù)據(jù)（單位~百萬(wàn)）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4專(zhuān)家估計(jì)阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392.1模型檢驗(yàn)用模型計(jì)算2000年美國(guó)人口，與實(shí)際數(shù)據(jù)比較實(shí)際為281.4(百萬(wàn))模型應(yīng)用——預(yù)報(bào)美