畫法幾何及土木工程制圖-第6章 曲面

畫法幾何及土木工程制圖第六章曲線和曲面（第四版）1目錄

§6-1曲線

§6-2曲面概述

§6-3直紋面

§6-4曲線面2§6-1曲線

一、曲線的形成和分類

曲線可以看作是由以下三種方式形成的：

(1)不斷改變方向的點連續(xù)運動的軌跡。

(2)曲面與曲面或曲面與平面相交的交線。

(3)直線族或曲線族的包絡(luò)。

點的運動軌跡曲表面的交線包絡(luò)曲線3§6-1曲線

曲線的分類：

曲線可分為規(guī)則曲線與不規(guī)則曲線，例如圓是規(guī)則曲線，地面等高線是不規(guī)則曲線；曲線又可分為平面曲線和空間曲線，曲線上所有的點都位于一個平面上，這樣的曲線叫平面曲線；連續(xù)四個點不在同一平面上的曲線叫空間曲線。圓柱螺旋線就是空間曲線的例子。4§6-1曲線

二、曲線的投影

畫出曲線上一系列點的投影，可得到曲線的投影。為了準確地表示曲線，一般應(yīng)畫出曲線上特殊點的投影，以便控制好曲線的形狀。

曲線的投影性質(zhì)：

(1)曲線的投影一般仍為曲線，特殊情形下平面曲線的投影可能退化成直線。

點擊1次5§6-1曲線

(2)曲線的切線在某投影面上的投影仍與曲線在該投影面上的投影相切，而且切點的投影仍為切點。

(3)二次曲線的投影一般仍為二次曲線，例如圓的投影一般為橢圓。6§6-1曲線

平面曲線的投影，其形狀視平面與投影面的傾斜狀態(tài)而定。當(dāng)平面平行于投影面時，曲線的投影反映曲線的實形；當(dāng)平面垂直于投影面時，曲線的投影重合為直線；當(dāng)平面傾斜于投影面時，曲線的投影為變了形的曲線。反映實形重合成直線變了形的曲線點擊1次7§6-1曲線

三、圓的投影

1.投影面垂直面上的圓

圓在所垂直的那個投影面上的投影為直線段，線段的長度等于圓的直徑，圓的另外兩投影為橢圓，橢圓的長軸長度等于圓的直徑。8§6-1曲線

例6-1

已知直徑為d

的圓位于鉛垂面內(nèi)，并知圓心O和PH的位置，試作出其投影。

解：圓的水平投影為線段，長度等于d，重合在PH上；正面投影和側(cè)面投影為橢圓，長軸豎直，長度等于d，短軸水平，長度根據(jù)水平投影作出。利用圓的輔助投影可作出橢圓上的一些中間點。翻頁看作圖演播9§6-1曲線作圖過程演播點擊后自動演播10§6-1曲線作圖過程演播點擊后自動演播11§6-1曲線

2.一般斜平面上的圓

圓所在的平面傾斜于三個投影面時，圓的任一投影都是橢圓，橢圓長軸的長度總是等于圓的直徑d。12§6-1曲線

例6-2

半徑為r的圓位于一般傾斜平面□ABCD上，并知圓心O的位置，試作出其投影。

解：首先，在水平投影中作橢圓的長短軸：長軸的方向為面內(nèi)水平線的水平投影的方向，長度等于圓的直徑2r。短軸垂直于長軸，長度利用直角三角形法求出。點擊6次13§6-1曲線

其次，求出水平投影中長短軸在正面投影中的投影，它們是一對共軛直徑1'2'、3'4'。根據(jù)共軛直徑可求出橢圓上的其余四個點5'、6'、7'、8'，用八點法畫出正面投影橢圓。14§6-1曲線

最后，利用平面上定點的方法求出水平投影中的5、6、7、8四點，從而畫出水平投影橢圓。15

1.圓柱螺旋線的形成

點P沿圓柱面上的一條直母線作等速移動，該母線又繞柱軸作等速轉(zhuǎn)動，點P的軌跡為圓柱螺旋線。

§6-1曲線

四、螺旋線的投影

動畫16§6-1曲線

2.螺旋線的投影

螺旋線軸線為鉛垂線時，螺旋線的水平投影為圓。把圓周等分（例如12等分），分點按旋向依次編號為0、1、2…；在正面投影中把導(dǎo)程也作相同的等分，過各分點作水平線；由水平投影中的各分點作豎直線與正面投影上的對應(yīng)水平線相交，得0'、1'、2'…,把這些點連成光滑曲線，即為螺旋線的正面投影。17§6-1曲線單擊后自動演播ph螺旋線投影圖作圖過程演播

18§6-1曲線單擊后自動演播ph螺旋線投影圖作圖過程演播

19§6-2曲面概述

一、曲面的形成和分類

曲面分為規(guī)則曲面和不規(guī)則曲面。規(guī)則曲面可以看成是運動的線按照一定的規(guī)則或受某種控制運動的軌跡。運動的線稱為母線，曲面上任意位置的母線稱為素線。控制母線運動的線或面，分別稱為導(dǎo)線或?qū)妗?/p>

20§6-2曲面概述

由直母線運動生成的曲面稱為直紋面，例如圓柱面、圓錐面；只能由曲母線運動生成的曲面稱為曲線面，例如球面。21§6-2曲面概述

根據(jù)母線運動時有無旋轉(zhuǎn)軸，曲面可以分為旋轉(zhuǎn)面和非旋轉(zhuǎn)面。在旋轉(zhuǎn)面中，由直母線旋轉(zhuǎn)生成的叫旋轉(zhuǎn)直紋面；由曲母線旋轉(zhuǎn)生成的叫旋轉(zhuǎn)曲線面。動畫動畫22§6-2曲面概述

二、曲面的投影

平行于某個投射方向且與曲面相切的投射線形成投射平面或柱面，它們與曲面相切的切線稱為該投射方向的曲面外形輪廓線，簡稱外形線。曲面在某個投影面上的投影，可以用該投射方向上外形線的投影來表示。此外，有時還需同時畫出曲面上若干條素線。23§6-2曲面概述

外形線通常還同時是曲面在該投射方向下可見與不可見部分的分界線。24§6-2曲面概述

三、曲面上點的投影

曲面上點的投影在曲面的同面投影上。這里討論的問題是，已知曲面的投影，根據(jù)曲面上點的一個投影如何求出它的其余投影。與平面上定點類似，這里也要借助于輔助線。曲面上選用的輔助線，其投影應(yīng)為直線或圓。對于直紋面，可選用其直的素線為輔助線，用這種方法求點的投影稱為素線法。對于旋轉(zhuǎn)面，可以選用緯圓作為輔助線，用這種方法求點的投影稱為緯圓法。25§6-2曲面概述

在圓錐面上用素線法和緯圓法求點的投影的例子：動畫26

直紋面分為旋轉(zhuǎn)直紋面和非旋轉(zhuǎn)直紋面。圓柱面、圓錐面、旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面等屬于旋轉(zhuǎn)直紋面，切線面、雙曲拋物面、錐狀面、柱狀面等屬于非旋轉(zhuǎn)直紋面?！?-3直紋面

一、柱面

點擊1次27§6-3直紋面

在柱面上求點的投影，一般可用素線法。

直母線l

沿著一條曲導(dǎo)線C

運動，且始終平行于某一固定方向T，這樣形成的曲面稱為柱面。柱面的所有素線均互相平行，畫柱面的投影時需畫出外形線的投影（輪廓素線的投影）。28§6-3直紋面

柱面的曲導(dǎo)線一般為平面曲線。柱面是按正截面的形狀取名的，正截面是圓時，稱為圓柱面；正截面是橢圓時，稱為橢圓柱面。如果柱面有兩個以上的對稱平面，則對稱平面的交線稱為柱面的軸。下面是幾種有軸柱面的投影。29§6-3直紋面

二、錐面

直母線l

沿著一條曲導(dǎo)線C

運動，且始終通過定點S，這樣形成的曲面稱為錐面。S

稱為錐頂，所有的素線都通過它。在投影圖上，應(yīng)畫出錐頂、導(dǎo)曲線和錐面外形線的投影。30§6-3直紋面

在錐面上作點，一般利用素線法。當(dāng)用投影面平行面能截出圓形交線時，也可以用緯圓法作點。下面是幾種有軸的錐面。31§6-3直紋面

三、切線面

直母線l

沿著一條曲導(dǎo)線C

運動，且始終與C

相切，這樣形成的曲面稱為切線面。曲導(dǎo)線C是空間曲線，稱為切線面的脊線。32§6-3直紋面

工程中彎曲坡道兩側(cè)的邊坡往往設(shè)計成切線面，并且使切線面的所有切線與地面成同一角度，這樣設(shè)計成的切線面稱為同坡曲面。33

直母線l

沿著兩條交叉直導(dǎo)線AB、CD

運動，且始終平行于某一導(dǎo)平面Q，這樣形成的曲面稱為雙曲拋物面，工程上也稱扭面?！?-3直紋面

四、雙曲拋物面34§6-3直紋面

雙曲拋物面的投影圖中，只需畫出兩條直導(dǎo)線和若干素線的投影，而不必畫出導(dǎo)平面。35§6-3直紋面雙曲拋物面在工程上有廣泛的用途。水渠邊坡漸變段道路邊坡過渡段36§6-3直紋面

對于同一個雙曲拋物面，也可以把它看作是以AD、BC為交叉直導(dǎo)線，以平行于端點連線AB、CD

的平面P為導(dǎo)平面所形成的。也就是說，雙曲拋物面上有兩族素線，其中每一條素線與同族的所有素線都不相交，而與另一族的所有素線都相交。37

直母線l

沿著一條直導(dǎo)線EF

和一條曲導(dǎo)線ABC運動，且始終平行于導(dǎo)平面P（P

平行于兩條導(dǎo)線端點的連線AE

和CF

），這樣形成的曲面稱為錐狀面。

§6-3直紋面

五、錐狀面

38§6-3直紋面

六、柱狀面

直母線l

沿著兩條曲導(dǎo)線運動，且始終平行于某一導(dǎo)平面，這樣形成的曲面稱為柱狀面。

柱狀面橋墩柱狀面管道39§6-3直紋面

柱狀面的所有素線都平行于導(dǎo)平面，而彼此間則成交叉狀態(tài)。投影圖上只需表示兩條導(dǎo)線和若干條素線的投影，而不畫出導(dǎo)平面。以正平面為導(dǎo)平面的柱狀面管道40§6-3直紋面

七、旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面

直母線l繞一條與它交叉的直線OO

旋轉(zhuǎn)，這樣形成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面，直線OO

稱為旋轉(zhuǎn)軸。41§6-3直紋面

投影圖上應(yīng)畫出旋轉(zhuǎn)軸和若干條素線的投影、直母線兩端點軌跡的投影以及素線的包絡(luò)線。

42§6-3直紋面

旋轉(zhuǎn)中母線上的每個點都在作圓周運動，其軌跡是緯圓。母線上距軸線最近的點，其軌跡是最小的緯圓，叫喉圓。過旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面上的每個點，還可以畫出另外一條素線，也就是說，同一個旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面上存在著兩族素線，同族的素線間均不相交，而每一條素線都與另一族的所有素線相交。43§6-3直紋面

工程用例：水塔支架冷卻塔44§6-3直紋面

八、螺旋面

分別以圓柱螺旋線和其軸線為導(dǎo)線，直母線l

沿此兩導(dǎo)線移動而又同時與軸線保持一定的角度，這樣形成的曲面稱為螺旋面。若母線與軸正交，得到的叫正螺旋面，否則得到的叫斜螺旋面。45§6-3直紋面

1.正螺旋面投影圖直觀圖46§6-3直紋面

應(yīng)用實例：螺旋樓梯的作圖47§6-3直紋面

塔柱上的螺旋樓梯

48§6-3直紋面

2.斜螺旋面

在作出螺旋線的正面投影的基礎(chǔ)上，首先作一條平行于V

面的素線，使其與螺旋軸的夾角等于定角θ，如圖中的0'01'。自01'起向上量取導(dǎo)程并按水平投影的等分數(shù)將其等分，過各分點與螺旋線正面投影上相應(yīng)點0'、1'、…12'連接，即得螺旋面的素線的正面投影，最后畫出素線的包絡(luò)線，完成螺旋面的正面投影。49§6-4曲線面

一、球面

圓繞其任一直徑旋轉(zhuǎn)生成球面。所以球面被任一平面截割，其交線均為圓。球的任一正投影也總是圓。圓的直徑等于球的直徑。50§6-4曲線面

在球面上作點，一般用緯圓法。例如已知球面上點A的正面投影a',過a'作水平緯圓的正面投影，得緯圓半徑ra，在水平投影中以ra為半徑畫圓，得緯圓的水平投影，a在此圓上。51§6-4曲線面

例6-3

根據(jù)部分球面的正面投影和水平投影，求作側(cè)面投影，并根據(jù)球面上A點的正面投影a'

和B點的水平投影b，作出其余的投影。

解：本題表示的是1/4球面，其側(cè)面投影為一扇形。用緯圓法可求出A

和B的其余各投影。單擊后自動演播52§6-4曲線面

例6-3

根據(jù)部分球面的正面投影和水平