山東省煙臺(tái)市萊州南十里中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

山東省煙臺(tái)市萊州南十里中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且是偶函數(shù)，則曲線在原點(diǎn)處的切線方程為（

）A．

B．C．

D．參考答案：B略2.已知集合A={x|﹣1≤x≤3}，集合B={x|＜0}，則A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜0}B．{x|﹣1≤x＜0}C．{x|x＜0}D．{x|x≤3}參考答案：D考點(diǎn)：并集及其運(yùn)算．專題：集合．分析：利用并集的性質(zhì)求解．解答：解：∵集合A={x|﹣1≤x≤3}，集合B={x|＜0}={x|x＜0}，∴A∪B={x|x≤3}．故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題考查并集的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，是基礎(chǔ)題．3.已知函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A．a(chǎn)>一2

B．一2<a<一1

C．a(chǎn)≤一2 D．a(chǎn)≤一參考答案：C4.某校某班級(jí)有42人，該班委會(huì)決定每月第一周的周一抽簽決定座位，該班級(jí)座位排成6列7行，同學(xué)先在寫(xiě)有1、2、3、4、5、6的卡片中任取一張，確定所在列，再在寫(xiě)有1、2、3、4、5、6、7的卡片中任取一張確定所在行，如先后抽到卡片為2、5，則此同學(xué)座位為第2列第5行，在一學(xué)期的5次抽簽中，該班班長(zhǎng)5次位置均不相同的概率是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【分析】先求出基本事件總數(shù)，再求出該班班長(zhǎng)5次位置均不相同包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出在一學(xué)期的5次抽簽中，該班班長(zhǎng)5次位置均不相同的概率．【解答】解：由題意得在一學(xué)期的5次抽簽中，基本事件總數(shù)n=425，該班班長(zhǎng)5次位置均不相同包含的基本事件個(gè)數(shù)m=，∴在一學(xué)期的5次抽簽中，該班班長(zhǎng)5次位置均不相同的概率p==．故選：C．5.曲線y=在點(diǎn)（1，﹣1）處的切線方程為(

)A．y=x﹣2 B．y=﹣3x+2 C．y=2x﹣3 D．y=﹣2x+1參考答案：D【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=1處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，再用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程，化成斜截式即可．【解答】解：y′=（）′=，∴k=y′|x=1=﹣2．l：y+1=﹣2（x﹣1），則y=﹣2x+1．故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題．6.若在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)k，則“直線與圓相交”的概率為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C若直線與圓相交，則，解得或，又所求概率，故選C.

7.（2012?重慶）設(shè)x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，則|+|=（）A． B． C．2 D．10參考答案：B【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角．【專題】計(jì)算題．【分析】通過(guò)向量的垂直，求出向量，推出，然后求出模．【解答】解：因?yàn)閤∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，所以x﹣2=0，所以=（2，1），所以=（3，﹣1），所以|+|=，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的基本運(yùn)算，模的求法，考查計(jì)算能力．8.數(shù)列中，，是方程的兩個(gè)根，則數(shù)列的前項(xiàng)和

A、

B、

C、

D、

參考答案：D9.直線與圓相交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若△AOB是正三角形，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．1B．-1C．D．參考答案：C由題意得，圓的圓心坐標(biāo)，所以弦長(zhǎng)，得.所以，解得10.已知是等比數(shù)列，對(duì)任意恒成立，且，則等于（）A．36 B．±6 C．－6 D．6參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)n∈N*，圓的面積為Sn，則=．參考答案：4π考點(diǎn)： 極限及其運(yùn)算；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 利用圓的面積計(jì)算公式可得Sn=．再利用數(shù)列極限運(yùn)算性質(zhì)即可得出．解答： 解：∵圓的面積為Sn，∴Sn=．∴==4π．故答案為：4π．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了圓的面積計(jì)算公式、數(shù)列極限運(yùn)算性質(zhì)，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．12.《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問(wèn)題：現(xiàn)有1根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第五節(jié)的容積為 .參考答案：13.函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_______．參考答案：且，∴且，即值域?yàn)榍遥?4.已知奇函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，則________．參考答案：略15.已知函數(shù)f（x）=Atan（x+）（＞0，），y=f（x）的部分圖像如下圖，則f（）=____________.參考答案：本題主要考查了正切函數(shù)的圖像及其性質(zhì)，考查了識(shí)圖能力.，難度中等.。由圖知，故，對(duì)稱中心為，因此，，故，所以，，得，.16.已知圓直線，點(diǎn)，使得存在點(diǎn)，使（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的取值范圍是__________________.參考答案：略17.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x+b是曲線y=alnx的切線，則當(dāng)a＞0時(shí)，實(shí)數(shù)b的最小值是

．參考答案：﹣1【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】計(jì)算題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】設(shè)出曲線上的一個(gè)切點(diǎn)為（x，y），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的坐標(biāo)，可得b=alna﹣a，再求導(dǎo)，求最值即可．【解答】解：設(shè)出曲線上的一個(gè)切點(diǎn)為（x，y），由y=alnx，得y′=，∵直線y=x+b是曲線y=alnx的切線，∴y′==1，∴x=a，∴切點(diǎn)為（a，alna），代入y=x+b，可得b=alna﹣a，∴b′=lna+1﹣1=0，可得a=1，∴函數(shù)b=alna﹣a在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴a=1時(shí)，b取得最小值﹣1．故答案為：﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算求出切線斜率，根據(jù)切線斜率和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系建立方程進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.某企業(yè)招聘工作人員，設(shè)置、、三組測(cè)試項(xiàng)目供參考人員選擇，甲、乙、丙、丁、戊五人參加招聘，其中甲、乙兩人各自獨(dú)立參加組測(cè)試，丙、丁兩人各自獨(dú)立參加組測(cè)試．已知甲、乙兩人各自通過(guò)測(cè)試的概率均為，丙、丁兩人各自通過(guò)測(cè)試的概率均為．戊參加組測(cè)試，組共有6道試題，戊會(huì)其中4題.戊只能且必須選擇4題作答，至少答對(duì)3題則競(jìng)聘成功.（Ⅰ）求戊競(jìng)聘成功的概率；（Ⅱ）求參加組測(cè)試通過(guò)的人數(shù)多于參加組測(cè)試通過(guò)的人數(shù)的概率；（Ⅲ）記、組測(cè)試通過(guò)的總?cè)藬?shù)為，求的分布列和期望.參考答案：(I)設(shè)戊競(jìng)聘成功為A事件，則

…………3分（Ⅱ）設(shè)“參加組測(cè)試通過(guò)的人數(shù)多于參加組測(cè)試通過(guò)的人數(shù)”為B事件

…………6分（Ⅲ）可取0，1，2，3，401234P

…………12分19.已知函數(shù).（1）解關(guān)于的不等式；（2）若關(guān)于的不等式的解集不是空集，求的取值范圍.參考答案：（1），或或或，所以，原不等式的解集為.（2）由條件知，不等式有解，則即可.由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故.所以，的取值范圍是.20.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O為AC與BD的交點(diǎn)，E為棱PB上一點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：平面EAC⊥平面PBD；

（Ⅱ）若PD∥平面EAC，求三棱錐P﹣EAD的體積．

參考答案：（Ⅰ）證明：∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PD．∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，

又∵PD∩BD=D，AC⊥平面PBD．

而AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBD．

（Ⅱ）解：∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD=OE，

∴PD∥OE，

∵O是BD中點(diǎn)，∴E是PB中點(diǎn)．

取AD中點(diǎn)H，連結(jié)BH，∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=60°，

∴BH⊥AD，又BH⊥PD，AD∩PD=D，∴BD⊥平面PAD，．

∴==．21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A和B分別是橢圓C1：+=1（a＞b＞0）和C2：+=1（m＞n＞0）上的動(dòng)點(diǎn)，已知C1的焦距為2，且?=0，又當(dāng)動(dòng)點(diǎn)A在x軸上的射影為C1的焦點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A恰在雙曲線2y2﹣x2=1的漸近線上．（Ⅰ）求橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若C1與C2共焦點(diǎn)，且C1的長(zhǎng)軸與C2的短軸長(zhǎng)度相等，求|AB|2的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．【分析】（I）雙曲線2y2﹣x2=1的漸近線方程為，可得，又C1的焦距為2，可得半焦距c=1．a(chǎn)2﹣b2=1，解得即可得出橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程；（II）由于C1與C2共焦點(diǎn)，且C1的長(zhǎng)軸與C2的短軸長(zhǎng)度相等，可得m2=n2+1，2n=2a=2，即可得出橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（1）當(dāng)直線OA的斜率k存在且k≠0時(shí)，設(shè)直線OA的方程為y=kx，與橢圓方程聯(lián)立可得|OA|2=1+．同理可得|OB|2=3﹣，根據(jù)?=0，可得|AB|2=|OA|2+|OB|2=4﹣，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．（2）當(dāng)直線OA的斜率不存在時(shí)，可得|AB|2=4．【解答】解：（I）雙曲線2y2﹣x2=1的漸近線方程為，∴，又C1的焦距為2，∴半焦距c=1．∴a2﹣b2=1，解得a2=2，b=1．∴橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（II）∵C1與C2共焦點(diǎn)，且C1的長(zhǎng)軸與C2的短軸長(zhǎng)度相等，∴m2=n2+1，2n=2a=2，解得n2=2，m2=3，∴橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（1）當(dāng)直線OA的斜率k存在且k≠0時(shí)，設(shè)直線OA的方程為y=kx，聯(lián)立，可得，y2=，∴|OA|2==1+．聯(lián)立，可得x2=，y2=，∴|OB|2==3﹣，∵?=0，∴|AB|2=|OA|2+|OB|2=4+﹣=4﹣≥4﹣=，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又|AB|2＜4，∴|AB|2＜4．（2）當(dāng)直線OA的斜率不存在時(shí)，可得|AB|2=4．綜上（1）（2）可得：|AB|2的取值范圍是．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、勾股定理、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．22.（本小題滿分13分）已知數(shù)列滿足，，且．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和公式．參考答案：（1）∵依題意只需證明，………1分

∵∴

∴只需證………3分

即只需證，即只需證

即只需證或………5分

∵不符合∴只需證

顯然數(shù)列是等差數(shù)列，且滿足，以上各步都可逆

∴數(shù)列是等差數(shù)列………………