矩陣最小二乘

線性參數(shù)的最小二乘處理最小二乘原理最小二乘原理等精度測(cè)量線性參數(shù)的最小二乘原理不等精度測(cè)量線性參數(shù)的最小二乘原理正規(guī)方程線性參數(shù)的最小二乘處理的正規(guī)方程非線性參數(shù)的最小二乘處理的正規(guī)方程最小二乘原理和算術(shù)平均值原理的關(guān)系精度估計(jì)測(cè)量數(shù)據(jù)的精度估計(jì)最小二乘估計(jì)量的精度估計(jì)主要內(nèi)容引入待測(cè)量（難以直接測(cè)量）：直接測(cè)量量：?jiǎn)栴}：如何根據(jù)和測(cè)量方程解得待測(cè)

量的估計(jì)值？直接求得。有利于減小隨機(jī)誤差，方程組有冗余，采用最小二乘原理求討論：最小二乘原理：最可信賴值應(yīng)使殘余誤差平方和最小。最小二乘原理設(shè)直接測(cè)量量的估計(jì)值為，則有由此得測(cè)量數(shù)據(jù)的殘余誤差殘差方程式等精度測(cè)量的最小二乘原理：最小不等精度測(cè)量的最小二乘原理：最小最小二乘原理測(cè)量結(jié)果的最可信賴值應(yīng)使殘余誤差平方和（或加權(quán)殘余誤差平方和）最小。矩陣的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算1、矩陣Y=F(x)對(duì)標(biāo)量x求導(dǎo)，相當(dāng)于每個(gè)元素求導(dǎo)數(shù)2、標(biāo)量y對(duì)列向量x求導(dǎo)注意：對(duì)m×1向量求導(dǎo)后還是m×1向量3、行向量yT對(duì)列向量x求導(dǎo)注意：1×n向量對(duì)m×1向量求導(dǎo)后是m×n矩陣；將y的每一列對(duì)x求偏導(dǎo)，將各列構(gòu)成一個(gè)矩陣。結(jié)論：4、列向量y對(duì)行向量xT求導(dǎo)轉(zhuǎn)化為行向量yT對(duì)列向量x的導(dǎo)數(shù)，然后轉(zhuǎn)置。注意m×1向量對(duì)1×n向量求導(dǎo)結(jié)果為m×n矩陣。結(jié)論：5、向量積對(duì)列向量x求導(dǎo)運(yùn)算法則

結(jié)論：6、矩陣Y對(duì)列向量x求導(dǎo)將Y對(duì)x的每一個(gè)分量求偏導(dǎo)，構(gòu)成一個(gè)超向量。注意該向量的每一個(gè)元素都是一個(gè)矩陣。7、標(biāo)量y對(duì)矩陣X的導(dǎo)數(shù)類似標(biāo)量y對(duì)列向量x的導(dǎo)數(shù)，把y對(duì)每個(gè)X的元素求偏導(dǎo)，不用轉(zhuǎn)置。結(jié)論：重點(diǎn)關(guān)注：（1）（2）最小二乘估計(jì)設(shè)有一線性觀測(cè)模型：則有加權(quán)最小二乘估計(jì)（1）權(quán)重的概念（2）單位權(quán)化（3）加權(quán)最小二乘估計(jì)精度估計(jì)目的：給出估計(jì)量的精度一、測(cè)量數(shù)據(jù)精度估計(jì)A）等精度測(cè)量數(shù)據(jù)的精度估計(jì)對(duì)進(jìn)行n次等精度測(cè)量，給出的估計(jì)量。可以證明是自由度（n－t）的變量。根據(jù)變量的性質(zhì)，有則可取作為的無(wú)偏估計(jì)量。因此測(cè)量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量為B）不等精度測(cè)量數(shù)據(jù)的精度估計(jì)測(cè)量數(shù)據(jù)的單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差的無(wú)偏估計(jì)最小二乘估計(jì)量的精度估計(jì)A）等精度測(cè)量最小二乘估計(jì)量的精度估計(jì)設(shè)有正規(guī)方程設(shè)利用上述不定乘數(shù)，可求得其中：由于為等精度的相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量同理可得則相應(yīng)的最小二乘估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差為B）不等精度測(cè)量