線性代數(shù)3學(xué)分性質(zhì)1.對(duì)稱(chēng)矩陣特征值為實(shí)數(shù)

§4對(duì)稱(chēng)矩陣的性質(zhì)1.對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值為實(shí)數(shù)證

由此可知若是對(duì)稱(chēng)矩陣A的特征值,則AEX0的系數(shù)矩陣是實(shí)矩陣.所以它的基礎(chǔ)解系可以取實(shí)向量,所以1x1

x

性質(zhì)2.λ1λ2是對(duì)稱(chēng)矩A的兩個(gè)不同的特征值,p1 1設(shè),記 ,其中x表示x的共軛復(fù)數(shù).記A(a) 1

是對(duì)應(yīng)的實(shí)特征向量.則p1與p2正交

即對(duì)稱(chēng)矩陣的屬于不同特征值的特征向量是正交的x

x n n AA

證:由條件知Apiipi(iTATTATTAT

Ap22

pTAppT 2 2 pTATp(Ap)TppTp

1 T

所以(pTp

T

T 所以(p,p)

p所以由(1),(2)知()

因?yàn)?,所以Txx x

|x|2 |x|2

所以p1與p2正交0 0x所以.所以是實(shí)數(shù) 定理.An階對(duì)稱(chēng)矩陣,則必有正交矩陣P,

求正交矩陣P(不唯一),把n階對(duì)稱(chēng)矩陣A化為對(duì)角陣

設(shè)|EA|

(ks),(ij則 0P1APPTAP ,

求出(AiE)X0的基礎(chǔ)解系:i1 ,i,. n其中1 推論.設(shè)A為n階對(duì)稱(chēng)矩陣,0是A的特征多項(xiàng)式的k重根則RA0E)nk,從而0的幾何重?cái)?shù)為k,所以0

把它們正交化,單位化,得到ki個(gè)兩兩正交i單位向量pi1 , .(因?yàn)榈拇鷶?shù)重?cái)?shù)是k,所以的幾何 所以這個(gè)方程組的基礎(chǔ)解系恰好有ki個(gè)向量這些向量都是單位向量代數(shù)重?cái)?shù)0的幾何重?cái)?shù)可以利用上面一節(jié)介紹的矩陣可對(duì)角化的最后一個(gè)判定準(zhǔn)

ks

EA是n次多項(xiàng)式 令P(p

,p ,

1 (因?yàn)閜i1 ,pi,k是兩,正.(1is)且ij(i

例.設(shè)A 1.求一個(gè)正交陣P,使P1AP為對(duì)角陣所以

11 ,

,

s1 ,

是兩兩正交的

101 101所1

,p ,

是Rn的一組規(guī)范正交基

解:|AE

所以P是正交陣

1 1 P1AP

引理:若P(p p)

c2c3

0

1

s

Apiipi,則PAP n

(1)((1)(1)2(求得A的所有不同的特征值為12(1重21(2重對(duì)2,解方程A2EXAEX

對(duì)21解方程AEXA2EX

1

1 1

3

r A2E 1

AE 1 0

0 2

2

1 1

xxx

r

0

3

1

0

0

3 0 1

xx

x

x2 1x 0

求得x1

記

1,

.令x1

3

0

xx

x 0

2

x2 0

1

令x1

x1

記0所以

1是基礎(chǔ)解系把單位化得p

3

11 1

||||

3

所以是AEX0的基礎(chǔ)解系1 11 1

1

把,正交化

0 1

0

令P(p,p,p),則P是正交陣,且P1AP 0.0

1

令2233(,2

1 (2,2)(2,2)

01 1

如果令Qp,p,p),則Q也是正交陣,且Q1AQ

0 1

302121

11 0 2 把2,3單位化,

p122||222

11020 1

1p3

11122

11

2

6例.設(shè)A 1,求An

對(duì)3,解方程A3EX2 2

r 解:只要求出可逆矩陣P,使P1AP為對(duì)角陣2

A3E

x1x2 |AE

2

(1)(

令x1則x1.所以1是基礎(chǔ)解系 對(duì)11,解方程AEX

1

0 r

令P(1,2)

則P1AP AE

3 1 0

0所以AP

x1x2

3 0

1 0 1

11 13n

AnP P1P 所以1是基礎(chǔ)解系

3

3n

21 13n

0

小結(jié)

求正交矩陣,把n階對(duì)稱(chēng)矩陣A化為對(duì)角陣

k例

設(shè)矩陣A

與

設(shè)|EA|

(s),(i

1 y 求xy;并求一個(gè)正交矩陣P,使P1AP解:首先求參數(shù)x

則i的代數(shù)重?cái)?shù)為 E)X0的基礎(chǔ)解系 把它們正交化,單位化,得到ki個(gè)兩兩正交的.單位向量pi1 ,.令P(p , ,p ,5(4)y1x

求出x4y

|A4E| |A5E|

P1AP

00

s

0若P(p p)可逆,App,則

引 i

n)..證:|AE|AET|ATE|所以AT與A的特征值相同例 設(shè)n階矩陣A,B滿足R(A)R(B)n.證明A與B公共的特征值,有公共的特征向量證:RARAR(Bn,所以|A|0,同理所以0是A與B公共的特征值.要證A與B有公共的特征向量只要證存在非零列向量使得AB 只要證 X0有非零解 R R(A)R(B) 所以BX0有非零解,即存在0Rn,