第三章 數(shù)據(jù)分布特征的測(cè)度

一、集中趨勢(shì)的測(cè)度

二、離散程度的測(cè)度三、偏態(tài)與峰態(tài)的測(cè)度

第三章數(shù)據(jù)分布特征的測(cè)度

1在一家財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)公司的董事會(huì)上，董事們就加入世界貿(mào)易組織后公司的發(fā)展戰(zhàn)略問(wèn)題展開(kāi)了廣泛討論，其中一個(gè)人引人注目的問(wèn)題就是如何借鑒國(guó)外保險(xiǎn)公司的先進(jìn)管理經(jīng)驗(yàn)，提高自身的管理水平。有的董事提出，2002年公司的各項(xiàng)業(yè)務(wù)與前一年相比沒(méi)有太大增長(zhǎng)，除經(jīng)濟(jì)環(huán)境和市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)等因素外，家庭財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)業(yè)務(wù)開(kāi)展得不夠，公司的管理方式也存在問(wèn)題。他認(rèn)為，中國(guó)的家庭財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)市場(chǎng)潛力巨大，應(yīng)加大擴(kuò)展這一業(yè)務(wù)的力度，同時(shí)，對(duì)公司家庭財(cái)產(chǎn)推銷員實(shí)行目標(biāo)管理，根據(jù)目標(biāo)完成情況建立相應(yīng)的獎(jiǎng)懲制度。董事長(zhǎng)認(rèn)為該董事的建議一定有一定的道理，準(zhǔn)備采納。會(huì)后，他責(zé)成計(jì)劃部經(jīng)理盡快拿出具體的實(shí)施方案。計(jì)劃部經(jīng)理接到任務(wù)很感到有些頭疼，他不知道該從何處下手，不知道如何確定推銷員的具體銷售目標(biāo)。如果目標(biāo)定得過(guò)高，多數(shù)推銷員完不成任務(wù)，會(huì)使推銷失去信心；如果定得太低，將不利于充分挖掘員工工作潛力，提高公司的業(yè)績(jī)水平。為此，他從公司幾千名業(yè)務(wù)員中隨機(jī)抽取了160人，對(duì)他們2002年的月銷售額作了統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表3-1所示。這些數(shù)據(jù)對(duì)制定銷售目標(biāo)有何幫助？如果你是計(jì)劃部經(jīng)理，你如何根據(jù)這些數(shù)據(jù)制定具體的銷售目標(biāo)？保險(xiǎn)公司的銷售計(jì)劃2數(shù)據(jù)特征值的描述：數(shù)據(jù)分布的集中趨勢(shì)、離散程度和分布的形狀三、分布偏態(tài)和峰態(tài)，反映數(shù)據(jù)分布的形狀。一、分布的集中趨勢(shì)，反映各數(shù)據(jù)向其中心值靠攏或聚集的程度；二、分布的離散程度，反映各數(shù)據(jù)遠(yuǎn)離中心值的趨勢(shì)；3第1節(jié)集中趨勢(shì)的測(cè)度集中趨勢(shì)（centraltendency）是指一組數(shù)據(jù)向某一中心值靠攏的傾向、它反映了一組數(shù)據(jù)中心點(diǎn)的位置所在。

4幾種常見(jiàn)的集中趨勢(shì)度量指標(biāo)集中趨勢(shì)測(cè)量指標(biāo)特點(diǎn)適用范圍眾數(shù)不受數(shù)據(jù)中極端值的影響分類數(shù)據(jù)、順序數(shù)據(jù)和數(shù)值型數(shù)據(jù)等中位數(shù)和分位數(shù)不受數(shù)據(jù)中極端值的影響順序數(shù)據(jù)和數(shù)值型數(shù)據(jù)等均值利用了全部數(shù)據(jù)的信息，有優(yōu)良的數(shù)學(xué)性質(zhì)，但易受數(shù)據(jù)中極端值的影響

5一、分類數(shù)據(jù)：眾數(shù)眾數(shù)（mode）：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值用M0表示。

從分布的角度看，眾數(shù)是具有明顯集中趨勢(shì)點(diǎn)的數(shù)值，一組數(shù)據(jù)分布的最高峰值點(diǎn)所對(duì)應(yīng)得數(shù)據(jù)即為眾數(shù)，當(dāng)然，如果數(shù)據(jù)的分布沒(méi)有明顯的集中趨勢(shì)或最高峰點(diǎn)，眾數(shù)也不可能存在：如果有兩個(gè)最高峰點(diǎn)，也可以有兩個(gè)眾數(shù)。眾數(shù)的特點(diǎn)是不受數(shù)據(jù)中極端值的影響。6[例3-1]根據(jù)第2章表2-5中的數(shù)據(jù)，計(jì)算“飲料品牌”的眾數(shù)。解：這里的變量為“飲料品牌”，這個(gè)是分類變量，不同的品牌就是變量值，我們看到，在所調(diào)查的50人當(dāng)中，購(gòu)買(mǎi)可口可樂(lè)的人數(shù)最多，為15人，占總數(shù)調(diào)查人數(shù)的30%，因此眾數(shù)為可口可樂(lè)這一品牌，即M0=可口可樂(lè)。[例3-2]根據(jù)第二章表2-6中的數(shù)據(jù)，計(jì)算顧客“評(píng)價(jià)等級(jí)”的眾數(shù)。 解：這里的“回答類別”是一個(gè)順序變量，其變量值為：好、較好、一般、較差、差。我們看到，在所調(diào)查的100人中，回答“一般”的人數(shù)最多，為32人，因此眾數(shù)“一般”這一類別，即M0=一般7例表中給出了20家電視網(wǎng)絡(luò)黃金時(shí)間播出的廣告時(shí)間數(shù)據(jù)，求出眾數(shù)。用Excel函數(shù)計(jì)算眾數(shù)常用函數(shù)：MODE函數(shù)分類－統(tǒng)計(jì)－“MODE”函數(shù)81.中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)排序后，處于中間位置上的變量值，用Me表示。中位數(shù)是一個(gè)位置代表值，它主要用于測(cè)度順序數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，當(dāng)然也適用于作為數(shù)值型數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，但不適用于分類數(shù)據(jù)。二、順序數(shù)據(jù)：中位數(shù)和分位數(shù)9中位數(shù)位置未分組數(shù)據(jù)計(jì)算中位數(shù)時(shí)，要先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行排序，然后確定中位數(shù)的位置，其公式為：

中位數(shù)＝（n+1）/2分組數(shù)據(jù)，中位數(shù)的位置可按照下式確定：中位數(shù)＝n/210設(shè)一組數(shù)據(jù)為x1，x2,，…，xn，按從小到大排序后為x（1），x（2）,，…，x（n），則中位數(shù)為：

中位數(shù)公式11[例3-3]根據(jù)第2章表2-6的數(shù)據(jù)，計(jì)算顧客“評(píng)價(jià)等級(jí)”的中位數(shù)。解：這是一個(gè)順序數(shù)據(jù)，變量為顧客對(duì)超市服務(wù)狀況的“評(píng)價(jià)等級(jí)”，其中的五個(gè)選項(xiàng)即為變量值，由于變量值本身就是順序的，根據(jù)中位數(shù)的位置確定公式有：中位數(shù)位置=100/2=50。從表2-6的累積次數(shù)中可以很容易看到，中位數(shù)在“一般”這一類中，因此中位數(shù)是“一般”這一類別，即M0=一般。這就是說(shuō)，我們可以用“一般”作為對(duì)超市服務(wù)狀況評(píng)價(jià)的一個(gè)代表值。當(dāng)然，其代表性如何還需要進(jìn)一步分析。12[例3-4]在某城市中隨機(jī)抽取9個(gè)家庭，調(diào)查得到每個(gè)家庭的人均月收入（單位：元）數(shù)據(jù)為：1500、750、780、1080、850、960、2000、1250、1630，計(jì)算人均月收入的中位數(shù)。

假定在例3-4中我們抽取了10個(gè)家庭，每個(gè)家庭的人均收入數(shù)據(jù)排序后為：66075078085096010801250150016302000數(shù)據(jù)排序結(jié)果如下：75078085096010801250150016302000注：中位數(shù)是一個(gè)位置代表值，其特點(diǎn)是不受極端值得影響

132、分位數(shù)中位數(shù)是從中間將全部數(shù)據(jù)分為兩部分。與中位數(shù)類似的還有四分位數(shù)（quartile）、十分位數(shù)(decile)和百分位數(shù)(percentile)等。他們分別是用3個(gè)點(diǎn)、9個(gè)點(diǎn)和99個(gè)點(diǎn)將數(shù)據(jù)4等分、10等分和100等分后各分位點(diǎn)上的值。

25％25％QL

QMQU

下四分位數(shù)為QL中間的四分位數(shù)為QM上四分位數(shù)為QU14四分位數(shù)位置對(duì)于未分組的原始數(shù)據(jù)，各分位數(shù)的位置分別為：

QL位置=（n+1）/4;QM位置=2（n+1）/4;QU位置=3（n+1）/4

對(duì)于分組數(shù)據(jù)，各四分位數(shù)的位置分別為：

QL位置=n/4;QM位置=2n/4;QU位置=3n/4

QM=Me。當(dāng)四分位數(shù)的位置不在某一個(gè)數(shù)值上時(shí)，可根據(jù)四分位數(shù)的位置，按比例分?jǐn)偹姆治粩?shù)位置兩側(cè)數(shù)值的差值。

15[例3-5]根據(jù)第2章表2-6中的數(shù)據(jù)，計(jì)算顧客“評(píng)價(jià)等級(jí)”的四分位數(shù)。解：下四分位數(shù)的位置=100/4=25，從累積次數(shù)表可以看出，下四分位數(shù)在“較好”這一類中，因此QL=較好；上四分位數(shù)的位置=（3×100）/4=75，從累積次數(shù)表可以看出，上四分位數(shù)在“較差”這一類中，因此QU=較差。16[例3-6]根據(jù)表3-1中的數(shù)據(jù)，計(jì)算保險(xiǎn)業(yè)務(wù)員月銷售額的下四分位數(shù)和上分位數(shù)。 解：QL位置=（n+1）/4=（160+1）/4=40.25，即QL在第40個(gè)數(shù)值（1.57）和第41個(gè)數(shù)值（1.58）0.25的位置上，因此，QL=1.57+0.25×（1.58-1.57）=1.5725（萬(wàn)元）。QU位置=3（n+1）/4=3×

（160+1）/4=120.75，即QU在第120個(gè)數(shù)值（2.15）和第121個(gè)數(shù)值（2.16）0.75的位置上，因此，QU=2.15+0.75×

（2.16-2.15）=2.1575（萬(wàn)元）。QL和QU之間包含50%的數(shù)據(jù)，因此，我們可以說(shuō)有一半的營(yíng)業(yè)員銷售額在1.5725萬(wàn)元和2.1575（萬(wàn)元）之間。17用Excel計(jì)算中位數(shù)、四分位數(shù)中位數(shù)：函數(shù)分類－統(tǒng)計(jì)－MEDIAN四分位數(shù)：函數(shù)分類－統(tǒng)計(jì)－QUARTILE“Array”：存放數(shù)據(jù)的位置“Quart”：決定計(jì)算哪個(gè)四分位數(shù)（0,1,2,3,4）18均值（mean）也稱為算術(shù)平均數(shù)（arithmeticmean）,它是全部數(shù)據(jù)的算術(shù)平均。均值在統(tǒng)計(jì)學(xué)中有重要的位置，是集中趨勢(shì)的最主要的測(cè)度值。它主要適用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，而不適用于分類數(shù)據(jù)和順序數(shù)據(jù)。根據(jù)所掌握數(shù)據(jù)的不同，均值有不同的計(jì)算形式和計(jì)算公式。

三、數(shù)值型數(shù)據(jù)：均值19（一）簡(jiǎn)單均值與加權(quán)均值

1簡(jiǎn)單均值（simplemean）2加權(quán)均值(weightedmean)其中，設(shè)：原始數(shù)據(jù)分成k組，各組組中值各組變量值出現(xiàn)的頻數(shù)為樣本容量20[例3-7]根據(jù)案例中表3-1的數(shù)據(jù)，按組距0.25分組后計(jì)算超市銷售額的均值。21注：簡(jiǎn)單均值，其數(shù)值的大小只與變量值大小有關(guān)。

加權(quán)均值，其數(shù)值的大小不僅受各組組中值（Mi）大小的影響，而且受各組變量值出現(xiàn)的頻數(shù)即權(quán)數(shù)（fi）大小的影響。

22（二）均值得另一種表現(xiàn)形式：調(diào)和平均數(shù)

調(diào)和平均數(shù)是平均數(shù)的一種。但統(tǒng)計(jì)加權(quán)調(diào)和平均數(shù)，與數(shù)學(xué)調(diào)和平均數(shù)不同，它是加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的變形，附屬于算術(shù)平均數(shù)。數(shù)學(xué)調(diào)和平均數(shù)定義為：數(shù)值倒數(shù)的平均數(shù)的倒數(shù)。23統(tǒng)計(jì)加權(quán)調(diào)和平均數(shù)：用平均標(biāo)志值(變量值)的倒數(shù)作為新變量，以標(biāo)志總量為權(quán)數(shù)進(jìn)行加權(quán)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。

數(shù)學(xué)中“調(diào)和”的意思為“對(duì)稱”，故調(diào)和平均數(shù)為算術(shù)平均數(shù)的對(duì)稱變形。第一，變量對(duì)稱變形，即將變量x

對(duì)稱變形為作為新變量(1/x)。第二，權(quán)數(shù)對(duì)稱變形，即將權(quán)數(shù)總體總量對(duì)稱變形為標(biāo)志總量，作為新權(quán)數(shù)。第三，位置對(duì)稱變形，即將1除以用(1/x)為變量，以標(biāo)志總量為權(quán)數(shù)，計(jì)算的加權(quán)算術(shù)平均數(shù)，使其位置顛倒。經(jīng)過(guò)這三次變形，算術(shù)平均數(shù)就變形為調(diào)和平均數(shù)24加權(quán)調(diào)和平均數(shù)是加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的變形。它與加權(quán)算術(shù)平均數(shù)在實(shí)質(zhì)上是相同的，而僅有形式上的區(qū)別，即表現(xiàn)為變量對(duì)稱的區(qū)別、權(quán)數(shù)對(duì)稱的區(qū)別和計(jì)算位置對(duì)稱的區(qū)別。因而其計(jì)算公式為：

式中：（標(biāo)志總量）25蔬菜名稱批發(fā)價(jià)格（元/公斤）（x）成交額（元）(m)成交量（m/x）甲1.21800015000乙0.51250025000丙0.864008000合計(jì)

3690048000[例3-8]某蔬菜批發(fā)市場(chǎng)三種蔬菜的日成交數(shù)據(jù)如表所示，計(jì)算三種蔬菜該日的平均批發(fā)價(jià)格。

平均價(jià)格=成交額÷成交量=0.76926（三）一種特殊的均值：幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)主要適用于計(jì)算比率的平均。在實(shí)際應(yīng)用中主要用于計(jì)算社會(huì)經(jīng)濟(jì)的年平均增長(zhǎng)率27例3－9某水泥生產(chǎn)企業(yè)1999年的水泥產(chǎn)量為100萬(wàn)噸，2000年與1999年相比增長(zhǎng)率為9％，2001年與2000年相比的增長(zhǎng)率為16％，2002年與2001年相比增長(zhǎng)率為20％。求各年的平均增長(zhǎng)率。

19992000200120029%16%20%解：各年與前一年相比的比值（即發(fā)展速度）分別為109％、116％、120％，則平均發(fā)展速度等于：年平均增長(zhǎng)率為114.91％－100%＝14.91％。

28設(shè)開(kāi)始的數(shù)值為，逐年增長(zhǎng)率為第n年的數(shù)值為：

若每年的增長(zhǎng)率都相同，這個(gè)增長(zhǎng)率G就是平均增長(zhǎng)率

29[例3－10]一位投資者持有一支股票，在2000年、2001年、2002年和2003年的收益率分別為4.5％、2.1％、25.5％、1.9％。計(jì)算該投資者在這四年內(nèi)的平均收益率。

30對(duì)于比率數(shù)據(jù)的平均采用幾何平均要比算術(shù)平均更合理。幾何平均數(shù)也可以看成是均值的一種變形。

幾何平均數(shù)的對(duì)數(shù)是各變量值對(duì)數(shù)的算術(shù)平均。需要注意得是，當(dāng)數(shù)據(jù)中出現(xiàn)零值或負(fù)值時(shí)不宜計(jì)算幾何平均數(shù)。

31用Excel計(jì)算算術(shù)平均、幾何平均值和調(diào)和平均值算術(shù)平均：函數(shù)分類---統(tǒng)計(jì)---AVERAGE幾何平均：函數(shù)分類---統(tǒng)計(jì)---GEOMEAN調(diào)和平均：函數(shù)分類---統(tǒng)計(jì)---HARMEAN32四、眾數(shù)、中位數(shù)和均值得比較

眾數(shù)、中位數(shù)和均值時(shí)集中趨勢(shì)得三個(gè)主要的測(cè)度值

（一）眾數(shù)、中位數(shù)和均值得關(guān)系

從分布得角度看，眾數(shù)始終是一組數(shù)據(jù)分布的最高峰值，中位數(shù)是處于一組數(shù)據(jù)中間位置上的值，而均值則是全部數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值。

33單峰分布的大多數(shù)數(shù)據(jù)而言，眾數(shù)、中位數(shù)和均值之間具有以下關(guān)系：

對(duì)稱分布：左偏分布：

右偏分布

Mo=Me=均值Mo<Me<均值均值<Me<Mo34（二）眾數(shù)、中位數(shù)和均值的特點(diǎn)與應(yīng)用場(chǎng)合

眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)分布的均值，它是一種位置代表值，不受極端值的影響。缺點(diǎn)：不唯一或沒(méi)有。眾數(shù)適合于作為分類數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)測(cè)度值。

中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)中間位置上的代表值。其特點(diǎn)是不受數(shù)據(jù)極端值的影響。中位數(shù)以及其他分位數(shù)主要適合于作為順序數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)測(cè)度值。

均值是數(shù)值型數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)測(cè)度值。它利用了全部數(shù)據(jù)信息。調(diào)和平均數(shù)主要用于不能直接計(jì)算均值的數(shù)據(jù)，幾何平均數(shù)則主要用于計(jì)算比率數(shù)據(jù)的平均數(shù)。均值的主要缺點(diǎn)時(shí)易受數(shù)據(jù)極端值的影響，對(duì)于偏態(tài)分布的數(shù)據(jù)，均值的代表性較差。

35第2節(jié)離散程度的測(cè)度集中趨勢(shì)只是數(shù)據(jù)分布的一個(gè)特征，它所反映的是各變量值向其中心值聚集的程度。而數(shù)據(jù)的分散程度是數(shù)據(jù)分布的另一個(gè)重要特征，它所反映的是各變量值遠(yuǎn)離其中心值的程度，即離中趨勢(shì)。描述數(shù)據(jù)離散程度采用的測(cè)度值，依據(jù)數(shù)據(jù)類型的不同主要有異眾比率、四分位差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差、極差、平均差和離散系數(shù)等36一分類數(shù)據(jù)：異眾比率（variationratio）

異眾比率：指非眾數(shù)組的頻數(shù)占總頻數(shù)的比率。它的作用是衡量眾數(shù)對(duì)一組數(shù)據(jù)的代表程度。其中，變量值的總頻數(shù)，

眾數(shù)組的頻數(shù)37[例3－11]計(jì)算表2－5中數(shù)據(jù)，飲料品牌的異眾比率注：異眾比率越大，眾數(shù)的代表性越差；異眾比率越小，眾數(shù)的代表性越好。利用異眾比率還可以比較不同總體或樣本的離散程度38四分位差：上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之差，它反映了中間50％數(shù)據(jù)的離散程度。數(shù)值越小，說(shuō)明中間數(shù)據(jù)越集中；數(shù)值越大，說(shuō)明中間數(shù)據(jù)越分散。它不受極值的影響。它還說(shuō)明了中位數(shù)對(duì)一組數(shù)據(jù)的代表程度。二順序數(shù)據(jù)：四分位差（quartiledeviation）[例3－12]根據(jù)表2－6中的數(shù)據(jù)，計(jì)算顧客評(píng)價(jià)等級(jí)的四分位差39三數(shù)值型數(shù)據(jù)：方差和標(biāo)準(zhǔn)差

（一）極差（range）一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差。易受極端值的影響，不能反映中間數(shù)據(jù)的分散程度。40（二）平均差（meandeviation）是各變量值與其均值離差絕對(duì)值的平均數(shù)。平均差以均值為中心，反映了每個(gè)數(shù)據(jù)與均值的平均差異程度，它能全面準(zhǔn)確地反映一組數(shù)據(jù)的離散狀況。平均差越大說(shuō)明數(shù)據(jù)的離散程度就越大，反之則說(shuō)明數(shù)據(jù)的離散程度就越小。

未分組數(shù)據(jù)計(jì)算平均差的公式為：

分組數(shù)據(jù)計(jì)算平均差的公式為：

[例3-13]根據(jù)表3-2中的分組數(shù)據(jù)，計(jì)算業(yè)務(wù)員月銷售額的平均差。

41（三）方差和標(biāo)準(zhǔn)差（variance）方差:是各變量值于其均值離差平方的平均數(shù)，它是測(cè)度數(shù)值型數(shù)據(jù)離散程度的最主要方法。未分組數(shù)據(jù)：

分組數(shù)據(jù)：

42標(biāo)準(zhǔn)差（standarddeviation）

未分組數(shù)據(jù)：

分組數(shù)據(jù)：

[例3-14]根據(jù)表3-2中分組數(shù)據(jù)，計(jì)算業(yè)務(wù)員月銷售額的標(biāo)準(zhǔn)差。

方差或標(biāo)準(zhǔn)差是根據(jù)全部數(shù)據(jù)計(jì)算的，他反映了每個(gè)數(shù)據(jù)與其平均值相比平均相差的數(shù)值，它能準(zhǔn)確地反映出數(shù)據(jù)的離散程度。43用Excel計(jì)算離散趨勢(shì)值

平均差：“

AVEDEV”總體方差：“VARP”總體標(biāo)準(zhǔn)差：“

STDEVP”44四相對(duì)位置的測(cè)量：標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)(standardscore)

在對(duì)多個(gè)具有不同量綱的變量進(jìn)行處理時(shí)，常常需要對(duì)各變量數(shù)值進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。

[例3-15]根據(jù)例3-4的數(shù)據(jù)，計(jì)算每個(gè)家庭人均月收入的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)。

45實(shí)際上，z分?jǐn)?shù)只是將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行了線性變換，他并沒(méi)有改變一個(gè)數(shù)據(jù)在該組數(shù)據(jù)中的位置，也沒(méi)有改變?cè)摻M數(shù)分布的形狀，而只是將該組數(shù)據(jù)變?yōu)榫禐?，標(biāo)準(zhǔn)差為146用Excel標(biāo)準(zhǔn)化STANDARDIZE(標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù))“X”：需要正態(tài)化的數(shù)值；“Mean”：數(shù)據(jù)分布的算術(shù)平均值；“Standard-dev”：數(shù)據(jù)分布的標(biāo)準(zhǔn)差。47(二)經(jīng)驗(yàn)法則

數(shù)據(jù)為對(duì)稱分布時(shí)：約有99%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)加減3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)。

約有68%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)加減1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)。約有95%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)加減2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)。48離群點(diǎn)或離群數(shù)據(jù)（outlier）：

通常將在3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之外的數(shù)據(jù)稱為離群點(diǎn)

離群點(diǎn)的產(chǎn)生的原因：·該觀測(cè)值被錯(cuò)誤的測(cè)量，記錄或輸入計(jì)算機(jī)?！ぴ撚^測(cè)值來(lái)自另一個(gè)總體。·該觀測(cè)值是正確的，不過(guò)它代表一個(gè)稀有（偶然）事件。表一個(gè)稀有（偶然）事件。49（三）切比雪夫不等式（Chebyshev’sinequality）

（一般數(shù)據(jù)）·至少有75%的數(shù)據(jù)落在平均數(shù)加減2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)?！ぶ辽儆?9%的數(shù)據(jù)落在平均數(shù)加減3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)?！ぶ辽儆?4%的數(shù)據(jù)落在平均數(shù)加減4個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)。

50五相對(duì)離散程度：離散系數(shù)(變異系數(shù))

極差，平均差，方差和標(biāo)準(zhǔn)差等都是反映數(shù)據(jù)分散程度的絕對(duì)值，其數(shù)值的大小一方面取決于原變量值本身水平高低的影響，也就是與變量的均值大小有關(guān)。另一方面，它們與原變量值的計(jì)算單位相同，采用不同計(jì)量單位的變量值，其離散程度的測(cè)度值也就不同。

離散系數(shù)（變異系數(shù)）：它是一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差與其相應(yīng)的均值之比，是測(cè)度數(shù)據(jù)離散程度的相對(duì)指標(biāo)。

離散系數(shù)的作用：主要是用于比較不同總體或樣本數(shù)據(jù)的離散程度。離散系數(shù)大，說(shuō)明數(shù)據(jù)的離散程度也就大；離散系數(shù)小，說(shuō)明數(shù)據(jù)的離散程度也小。

51[例3-16]某管理局抽查了所屬的8家企業(yè)，其產(chǎn)品銷售數(shù)據(jù)如表3-8所示。試比較產(chǎn)品銷售額與銷售利潤(rùn)的離散程度。

反映數(shù)據(jù)離散程度的各個(gè)測(cè)度值，適用于各不同類型的數(shù)據(jù)分類數(shù)據(jù)：主要用異眾比率順序數(shù)據(jù)：主要用四分位差數(shù)值型數(shù)據(jù)：主要用方差和標(biāo)準(zhǔn)差不同總體或樣本數(shù)據(jù)的離散程度比較：變異系數(shù)52第3節(jié)偏態(tài)與峰態(tài)的測(cè)度集中趨勢(shì)和離散程度是數(shù)據(jù)分布的兩個(gè)重要特征，但要全面了解數(shù)據(jù)分布的特點(diǎn)，我們還需要知道數(shù)據(jù)分布的形狀是否對(duì)稱、偏斜的程度以及分布的扁平程度等。偏態(tài)和峰態(tài)就是對(duì)分布狀態(tài)的測(cè)度。

53一偏態(tài)及其測(cè)度

偏態(tài)（skewness):數(shù)據(jù)分布對(duì)稱性的測(cè)度。

判別偏態(tài)的方向:利用眾數(shù)、中位數(shù)和均值之間的關(guān)系就可以大體上判斷數(shù)據(jù)分布是對(duì)稱、左偏還是右偏。

測(cè)度偏斜的程度則需要計(jì)算偏態(tài)系數(shù)（SK）。

54未分組的原始數(shù)據(jù)計(jì)算偏態(tài)系數(shù)的公式：

若分布是對(duì)稱的，則偏態(tài)系數(shù)等于0；如果偏態(tài)系數(shù)明顯不同于0，表明分布是非對(duì)稱的。

分組數(shù)據(jù)計(jì)算偏態(tài)系數(shù)，可采用下面的公式：

55當(dāng)分布對(duì)稱時(shí)，離差三次方后正負(fù)離差可以相互抵消，因而

SK的分子等于0，則SK=0；當(dāng)分布不對(duì)稱時(shí)，正負(fù)離差不能相互抵消，就形成了正或負(fù)的偏態(tài)系數(shù)SK。

當(dāng)SK為正值時(shí)，表示正偏離差值較大，可以判斷為正偏或右偏；當(dāng)SK為負(fù)值時(shí)，表示負(fù)偏離差值較大，可判斷為負(fù)偏或左偏。在計(jì)算SK時(shí)，將離差三次方的平均數(shù)除以s3是將偏態(tài)系數(shù)轉(zhuǎn)化為相對(duì)數(shù)。SK的數(shù)值越大，表示偏斜的程度就越大。

56［例3—17］根據(jù)表3—2中的分組數(shù)據(jù)，計(jì)算業(yè)務(wù)員月銷售額的平均差。

已知

=1.883，s=0.45

57偏態(tài)系數(shù)為正值，但數(shù)值不是很大，說(shuō)明月銷售額的分布為右偏分布，但偏斜程度不是很大。58二

峰態(tài)及其測(cè)度

峰態(tài)（kurtosis）:它是對(duì)數(shù)據(jù)分布平峰或尖峰程度的測(cè)度。

如果一組數(shù)據(jù)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則峰態(tài)系數(shù)的值等于0；若峰態(tài)系數(shù)的值明顯不等于0，表明分布比正態(tài)分布更平或更尖，通常稱為平峰分