第五章剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

名人名言同學(xué)們好！同學(xué)們好！人要有毅力，人要有毅力，否則將一事無(wú)成。否則將一事無(wú)成。居里夫人居里夫人第四章剛體的第五章定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的rigidbodyrotationaboutafixedaxischapter5本章內(nèi)容本章內(nèi)容Contentschapter5剛體運(yùn)動(dòng)的描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律第一節(jié)ss5-1basicmotionofrigid-body剛體運(yùn)動(dòng)的描述剛體一、剛體在外力的作用下,物體的形狀和大小不發(fā)生變化物體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離都保持恒定的物體稱為剛體.剛體是一種理想化的物理模型.在實(shí)際應(yīng)用中,如果研究對(duì)象的形變可以忽略,則可以近似看作剛體處理.剛體可看成是由許多相對(duì)位置不變的質(zhì)點(diǎn)組成的物體.特殊的質(zhì)點(diǎn)系平移-1.swf平移-1.swf平移-2.swf圓周運(yùn)動(dòng).SWF平動(dòng)二、剛體基本運(yùn)動(dòng)1.平動(dòng)剛體任意兩點(diǎn)的連線,在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持平行.因rA+rOr則dtdrAdtdrO+dtdr又因r恒矢量dtdrAdtdrO得即AvOvdtddtdAvOv即AaOaw吊籃的平動(dòng)摩天輪的轉(zhuǎn)動(dòng)va任意兩點(diǎn)具有相等的可以證明平動(dòng)剛體rArOxzyoOO1O2A2A1A剛體的平動(dòng)r定軸轉(zhuǎn)動(dòng)2.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體各點(diǎn)都繞同一直轉(zhuǎn)動(dòng)作圓周運(yùn)動(dòng).線（轉(zhuǎn)軸）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)軸的位置和方向固定不變的轉(zhuǎn)動(dòng).本課程只討論剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng).在日常生活中我們還會(huì)遇到其他形式的轉(zhuǎn)動(dòng).例如,剛體的滾動(dòng)(火車輪沿鐵軌的運(yùn)動(dòng)).剛體的進(jìn)動(dòng)(傾斜的轉(zhuǎn)動(dòng)陀螺繞鉛直軸的運(yùn)動(dòng)).我們不作詳細(xì)討論.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的各點(diǎn),在同一時(shí)間內(nèi),對(duì)軸的轉(zhuǎn)角相等，但所畫的弧長(zhǎng)不等。轉(zhuǎn)軸剛體注意：各質(zhì)點(diǎn)有相同的角速度和角加速度運(yùn)動(dòng)參量轉(zhuǎn)動(dòng)方程q((tqq沿逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正,則順時(shí)針為負(fù).若規(guī)定矢徑r角位置qrad若剛體沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)為正.dq0w則角速度ws1radtdqd1.角位置角速度角加速度轉(zhuǎn)動(dòng)平面參考平面((X參考方向p+d((ttp((trrOqqd轉(zhuǎn)軸剛體wX參考方向p+d((ttp((trqqdrO角加速度s2radbwtddqtdd22角加速度的正負(fù)，由的正負(fù)決定。dw（1）b（2）轉(zhuǎn)動(dòng)是加速還是減速，由與是bw同號(hào)還是異號(hào)決定。（見(jiàn)下例）三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述在定軸情況下,和只有兩個(gè)方向,可用正,負(fù)來(lái)區(qū)別.正方向正方向和同方向，角速度增大，和反方向，角速度減小。角速度增大角速度減小2.勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)例例已知某定軸轉(zhuǎn)動(dòng)q=t24-t(SI)剛體的運(yùn)動(dòng)方程為求角速度方程w角加速度方程b若時(shí)剛體作逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)w0試討論該剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律解法提要w=dtdq=dtdt24-t((=24-ts1radb=dtdw=dtd((24-t=2-s2radq4twbs1rads2radsrad1234502-2-2-2-2-2-202-4-6-034305-............逆時(shí)針減速轉(zhuǎn)動(dòng)順時(shí)針加速轉(zhuǎn)動(dòng)可見(jiàn)，b0未必是減速轉(zhuǎn)動(dòng)。只有當(dāng)與b異號(hào)時(shí)為減速轉(zhuǎn)動(dòng)；w與b同號(hào)時(shí)為加速轉(zhuǎn)動(dòng)。w結(jié)論：t=2s以前，該剛體作逆時(shí)針勻減速轉(zhuǎn)動(dòng)。t=2s以后，該剛體作順時(shí)針勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)。b為常量，在角線量關(guān)系定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角量與線量的關(guān)系、3()batdtdvdtdrwrnavr2(wr)2rrw2POwvaatnaPrOwqddsdsqdrvdtdqdrtdwrs這些關(guān)系在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)中都學(xué)過(guò)，這里適用于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體中任一個(gè)質(zhì)量元。例例已知Od飛輪直徑d0.4m在20秒內(nèi)轉(zhuǎn)速?gòu)牧憔鶆蛟龅?00轉(zhuǎn)秒P2((3((20秒中所轉(zhuǎn)的圈數(shù)時(shí)輪緣上一點(diǎn)求1((飛輪的NP1st的v,atna,和ab轉(zhuǎn)2((N2Dtq2pqq02p2p21bt2010003((vRwbtR21dbtt162.8s1m1((bw20w0Dt10ps2rad31.4naR221dbt22t1197s2mwRb21db6.28s2mataat+na22100s2matatanarcnatanarc31.3788.2解法提要R正向O均勻增速w00w201002p200ps1radDt20s,Paatnava例例已知飛輪半徑0.2mRORs2radb2t2+2時(shí)t0wq0000,求1((w時(shí)飛輪的qt2s,2((時(shí)輪緣的t1satna,,awbdt0tdt0t2t2+2((2t3+23tt29.3s1rad解法提要1((,dtdwbbdtdwwdwbdt0t0w,qdtddtdqwwddt0tqq,0wdt0tqdt0t((2t3+23t2t4+12t2t24.66rad2((b2t2+2t14s2radw2t3+23tt12.66s1radat,RbnaRw214.20.8ms2ms2aat+na221.63s2matatanarcna60.4第三節(jié)ss5-2lawofrigid-bodyrotating剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律aroundafixedaxis引言或F=m

a剛體平動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)定律合外力慣性質(zhì)量合加速度若剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，服從怎樣的運(yùn)動(dòng)定律？JbJbMM使剛體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效果的是合外力矩轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的慣性量度轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角加速度剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律主要概念本節(jié)力矩zyxdrOjj0F轉(zhuǎn)動(dòng)平面參考平面((PF轉(zhuǎn)軸定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體F力臂一、力對(duì)軸的力矩第三章講了力對(duì)某一定點(diǎn)的力矩,這里講力對(duì)某一定軸的力矩.0F外力(大小,方向)作用點(diǎn)P(由位置矢量r描述)Mz力矩大小sinFdFrjF對(duì)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)無(wú)貢獻(xiàn)F對(duì)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的貢獻(xiàn)用分力分力描述Mz力對(duì)Z軸的力矩產(chǎn)生的力矩其矢量式為只有在轉(zhuǎn)動(dòng)平面上的力對(duì)轉(zhuǎn)軸FzMzMzrF方向用右手螺旋法則確定jFrMz力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩的方向與轉(zhuǎn)軸平行。Mz合力矩合力矩的概念轉(zhuǎn)軸z剛體+轉(zhuǎn)動(dòng)平面rF1234FFF1r2r3r4jjjj1432O定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所受的合力矩，是轉(zhuǎn)動(dòng)平面上各力矩之和。左圖例子中的合力矩為MzrFsinj111+rFsinj222rFsinjrFsinj333444MzSiMziSiriFsiniij先設(shè)定一個(gè)力矩計(jì)算的正方向(或轉(zhuǎn)向)合力矩內(nèi)力矩內(nèi)力矩的概念結(jié)論剛體內(nèi)力矩之和為零SMz內(nèi)Mzij0剛體內(nèi)各質(zhì)元之間的相互作用力,稱為剛體的內(nèi)力.任意兩個(gè)質(zhì)元imdjmd的相互作用力FijijF大小相等方向相反在同一作用線上對(duì)同一轉(zhuǎn)軸Z力臂相等d轉(zhuǎn)軸z剛體+轉(zhuǎn)動(dòng)平面rOdirjFijimdjmdijF轉(zhuǎn)動(dòng)定律全體內(nèi)力矩之和為零法向力不產(chǎn)生力矩arbFitfit+mirirbFifi+mirai牛頓定律Fifi+mirainnn法向Fitfit+mirait切向FitirSmirirbS2二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律fit+irFitirSSmirirb2S兩邊乘ir并對(duì)全體質(zhì)元求和力矩MzJ轉(zhuǎn)動(dòng)慣量zFifiZOrifimir剛體中任一質(zhì)元的質(zhì)量受的合外力合內(nèi)力mir切向法向FinFiFitmir剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律MJbMzJbz或續(xù)上J剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),剛體的角加速度b與剛體所受的合外力矩成正比，而與剛體對(duì)此軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比。MJbM剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律角加速度轉(zhuǎn)動(dòng)慣量合外力矩質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)定律與對(duì)比Fma合外力慣性質(zhì)量線加速度可見(jiàn)J轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是描述定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的物理量說(shuō)明OCRl2lOC本章只討論密度分布均勻、有規(guī)則幾何形狀的剛體，其質(zhì)量中心(質(zhì)心)與幾何中心重合，在考慮重力作用時(shí),重力通過(guò)剛體的幾何中心.勻質(zhì)細(xì)直桿勻質(zhì)薄圓盤和是本章用得最多的剛體.勻質(zhì)薄圓盤對(duì)垂直盤面通過(guò)圓心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為勻質(zhì)細(xì)桿對(duì)垂直于細(xì)桿通過(guò)桿端的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為mm221JmR231Jml(下面先舉幾個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用例子.關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的推導(dǎo),稍后介紹.)應(yīng)用提要轉(zhuǎn)動(dòng)定律應(yīng)用選例bJMM合外力矩應(yīng)由各分力矩進(jìn)行合成。在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，可先設(shè)一個(gè)正軸向（或繞向)，若分力矩與此向相同則為正，反之為負(fù)。bbb00bMMMM合外力矩恒與合角加速度方向一致。與時(shí)刻對(duì)應(yīng)，何時(shí)則何時(shí)何時(shí)恒定則何時(shí)恒定(Nm)J(kgm)2b(rads)2M單位力矩轉(zhuǎn)動(dòng)慣量角加速度例解法提要分別畫轉(zhuǎn)動(dòng)和平動(dòng)隔離體受力圖,然后列方程求1((2((3((物體的加速度a繩中張力滑輪對(duì)軸正壓力NT1T2,例已知O勻質(zhì)滑輪rm輕繩不伸長(zhǎng)輪繩不打滑m1m2m2m1輪軸有摩擦力矩Mr滑輪對(duì)圓心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為2o21JmraaABT1T1T2T2ABm1gm2gaaONmgyMr+設(shè)rb轉(zhuǎn)動(dòng):T2rT1rMroJb平動(dòng):A:B:T1m1gm1agaT2m2m2((角量與線量關(guān)系:arb將上述四個(gè)關(guān)系式聯(lián)立解得1((a(m2m1(gMrrm1+m2+oJr2(m2m1(gMrrm1+m2+2m(m2m1(gMrrm1+m2+2m2((T1gm1a(+(m1((gMrrm2+2m2m1+m2+2mT2gm2a((m2((gMrrm1+2m2m1+m2+2m3((Nmg+T1T2+232g+2(m2m1(g+m+4m1m2gm1+m2+2m續(xù)上求1((2((3((物體的加速度a繩中張力滑輪對(duì)軸正壓力NT1T2,1((a(m2m1(gMrrm1+m2+oJr2(m2m1(gMrrm1+m2+2m(m2m1(gMrrm1+m2+2m2((T1gm1a(+(m1((gMrrm2+2m2m1+m2+2mT2gm2a((m2((gMrrm1+2m2m1+m2+2m3((Nmg+T1T2+232g+2(m2m1(g+m+4m1m2gm1+m2+2m討論:當(dāng)mMr0,0時(shí)a(m2m1(gm1+m2T1m1gm22m1+m2T2NT12m1gm24m1+m2這就退回到質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的結(jié)果.解法提要例已知O勻質(zhì)滑輪rm輕繩不伸長(zhǎng)輪繩不打滑m1m2m2m1輪軸有無(wú)摩擦力矩Mr滑輪對(duì)圓心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為2o21JmraaABT1T1T2T2ABm1gm2gaaONmgyMr+設(shè)rb例從垂直位置傾倒至求q角時(shí)細(xì)桿所受重力矩1((2((細(xì)桿的wb,Mo例勻質(zhì)細(xì)桿長(zhǎng)質(zhì)量lmmClyxxCOgq勻質(zhì)細(xì)桿以一端為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為oJ231mlwb軸無(wú)摩擦l2解法提要1((勻質(zhì)細(xì)直桿的質(zhì)量中心在l2處的C點(diǎn),重力mg對(duì)轉(zhuǎn)軸O的力臂xCl2sinq細(xì)桿所受重力矩MoxCmgl2mgsinq2((由轉(zhuǎn)動(dòng)定律bMooJ得bMooJl2mgsinq231ml3l2gsinq由bdtdwdtdwdqdqdwdqw3l2gsinq分離變量,積分3l2gsinqdwdqw0w0qw2123l2gqcos0q3l2g((1qcos得w3lg((1qcos轉(zhuǎn)動(dòng)慣量三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及其計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中,轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度.miri2SiJr轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是與剛體質(zhì)量分布密切相關(guān)的物理量,質(zhì)量分布離轉(zhuǎn)軸越遠(yuǎn),其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大.對(duì)于質(zhì)量連續(xù)分布的剛體iri2SiJmrlimmr0mr2md對(duì)于質(zhì)量離散分布的剛體JSiiri2m轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的單位:千克米2((kgm2例例如m1r1m2r2可忽略質(zhì)量的硬桿轉(zhuǎn)軸對(duì)下面這個(gè)簡(jiǎn)單的質(zhì)量離散分布的剛體Jm1r1+m2r222miri2SiJ其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為下面舉例計(jì)算有關(guān)質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.例例質(zhì)量為長(zhǎng)度為的勻質(zhì)細(xì)直桿.mL求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)軸垂直細(xì)桿通過(guò)桿中點(diǎn)1((2((轉(zhuǎn)軸垂直細(xì)桿通過(guò)桿端點(diǎn)2rdmLmLd0J2((轉(zhuǎn)軸垂直細(xì)桿通過(guò)桿端點(diǎn)OLm,dmd轉(zhuǎn)軸xxx2xxmL313L03m1L2x2rdmL2L2mLdJmL31L2L2321mL12轉(zhuǎn)軸垂直細(xì)桿通過(guò)桿中點(diǎn)1((Lmdmd轉(zhuǎn)軸Oxxx2xxxmr2Jd由解法提要例計(jì)算均勻細(xì)圓環(huán)對(duì)垂心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量R2pR2mpR2dl0mR2Jr2mdORmmddlmdmpR2dlJr2md由定義式取環(huán)上任一質(zhì)量元md各質(zhì)量元到轉(zhuǎn)軸的距離為常量rR例2mR24r40R21R2m32rdm0R2r2mRdr2r2mRdr20RrJJ例求勻質(zhì)薄圓盤對(duì)心垂軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2dmmpR2pdrr2mRdr2rrdrdm取半徑為微寬為的窄環(huán)帶的質(zhì)量為質(zhì)元OrdrRm解法提要dm移軸定理2+mJCdJAmC,L質(zhì)心質(zhì)心軸新軸AdJCJ對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量新軸對(duì)心軸的平移量對(duì)新軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量dA平行移軸定理例如:JA2+mJCd21m1L2+m((L223m1L2J21m1L2Cm,CAdL2L又如:RmCAdRJCJA2+mJCd+m((23m221R2m21R2mRR2計(jì)算須知J+J1J231m1L2+2mL2具有標(biāo)量疊加性對(duì)同一轉(zhuǎn)軸m1L2mO勻質(zhì)直桿嵌入的子彈整體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量注意質(zhì)量分布分清轉(zhuǎn)軸位置不規(guī)則復(fù)雜剛體半徑R相同總質(zhì)量m相同對(duì)同一轉(zhuǎn)軸J12JJ12J總質(zhì)量m相同總長(zhǎng)度相同LJ12JJ12J不規(guī)則復(fù)雜剛體對(duì)某一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一般需要用實(shí)驗(yàn)方法進(jìn)行測(cè)定在計(jì)算剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)通常應(yīng)該注意例lmrAl鐵l木r鐵r木10J木鐵J31m231ml木2l鐵10l鐵((22l鐵100求l木l鐵鐵JJ木例已知10r木r鐵Am鐵、木兩勻質(zhì)細(xì)直棒密度截面質(zhì)量相等相等以一端為轉(zhuǎn)軸J31ml2解法提要?jiǎng)蛸|(zhì)細(xì)直棒，以一端為轉(zhuǎn)軸其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量小實(shí)驗(yàn)長(zhǎng)桿哪個(gè)易控些？為什么？短鉛筆長(zhǎng)的易控些，理由見(jiàn)下頁(yè)小實(shí)驗(yàn)例例已知qqmB()A()LmLL2LOO兩勻直細(xì)桿地面q從小傾角處開始靜止釋放求bb兩者瞬時(shí)角加速度之比1L1LLL2213singmLq1mLsingmLq1mL32122解法提要bbbJJJM根據(jù)MM短桿的角加速度大且與勻質(zhì)直桿的質(zhì)量無(wú)關(guān)第四節(jié)ss5-3theoremofkineticenergyofrigid-bodyrotatingaroundafixedaxis剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理力矩的功Mz這正是前面講過(guò)的力矩AdMzdq力矩的元功稱剛體從q1轉(zhuǎn)到2q力矩對(duì)剛體所做的功AdAq12qMzdqMz應(yīng)理解為作用在剛體上所有外力對(duì)OZ軸的合外力矩.力矩的瞬時(shí)功率AMzNddtwqddtMz,若N一定,欲增大Mz則w變小.若力矩為恒力矩,則力矩的功為AMz((2qq1rqMzFrsinjdqdsrdqFcos((90jdsF此過(guò)程的元功為AdFdrFcos((90jdr作用于P點(diǎn),并在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的力F剛體相應(yīng)轉(zhuǎn)動(dòng)一元角位移dq點(diǎn)發(fā)生一元線位移Pdr使一、力矩的功z轉(zhuǎn)動(dòng)平面PrOFdqrdsdj例qd求擺至垂直位置的過(guò)程中重力矩所作的功A例勻直細(xì)桿一端為軸,由水平位置靜止釋放w00即0t時(shí)q00,m,()lqOCl2gmqd此重力矩使直桿轉(zhuǎn)動(dòng)所作的元功為AdMoqdgml2cosqqdq直桿從q00轉(zhuǎn)到2p重力矩所作的總功為AdAMzdq2p0gml2cosqqd2p0gml2qsin2p0gml2擺至任一q位置時(shí)直桿所受的重力矩為qMogml2cosqM)(變的力矩大小隨q解法提要l2l2cosq轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能二、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能和重力勢(shì)能rmiviriw剛體中任一質(zhì)元的速率Eik21rmivi221rmiriw22該質(zhì)元的動(dòng)能對(duì)所有質(zhì)元的動(dòng)能求和rmiri2()∑EkEik21w2∑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JzEk21w2剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能公式得JzwOzrivirmi轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能組成剛體的所有質(zhì)元重力勢(shì)能的總和，式中，剛體的重力勢(shì)能為:為剛體質(zhì)心的高度就是剛體的重力勢(shì)能rmiEp∑ighiEpmcgh轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理mA21v21mv212？回憶質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理2合外力矩的功轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理稱為dAbqdwdtdqdqdtdwdwwdJJJJzzzz則AdAqdwwdJw1q1q2w2Mzz21212wwJJ221zz由dAqdbJMzMz力矩的元功轉(zhuǎn)動(dòng)定律z例gml2qsin2p0gml2Aw212J0w212J由w2AJ得mJ231其中l(wèi)wg3l代入得解法提要1((從水平擺至垂直,外力矩作的總功gmA02pqdcosq2l用剛體的動(dòng)能定理求解方法一:用系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律求解以直桿和地球?yàn)橄到y(tǒng),O點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)方法二:()E轉(zhuǎn)動(dòng)+E勢(shì)末初gmJ21w2+00l2()E轉(zhuǎn)動(dòng)+E勢(shì)得wgmJlmJ231其中l(wèi)代入得wg3l例m,()勻直細(xì)桿一端為軸,由水平位置靜止釋放w00即0t時(shí)q00,lqOCl2gmCvaw求擺至垂直位置時(shí)的1((2((角速度w質(zhì)心C的v和aqdl2cosq例例m,()勻直細(xì)桿一端為軸,由水平位置靜止釋放w00即0t時(shí)q00,lqOCl2gmCvaw求擺至垂直位置時(shí)的1((2((角速度w質(zhì)心C的v和aqdl2cosq2((根據(jù)線量與角量的關(guān)系得擺至垂直位置時(shí)質(zhì)心C的速度vwl2g3l21切向加速度tal2b由轉(zhuǎn)動(dòng)定律bMJ0故at0法向加速度anv22l2lg3l21((23g2故aan23gwg3l例解法提要對(duì)滑輪和重物分別運(yùn)用剛體和質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理求解方法一:滑輪qr212wJ0((T0重物THm1gH212m1v0gmNTwrOTm1gv方法二:取滑輪,輕繩,重物,地球?yàn)橄到y(tǒng)應(yīng)用系統(tǒng)的機(jī)械能定律求解wrOHv00vm1rE機(jī)械能+A非保守內(nèi)力力矩A外力力矩SSS0則系統(tǒng)機(jī)械能增量為零0E轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能rE平動(dòng)動(dòng)能rE重力勢(shì)能r++0212m1v+212wJgm1H0即vrw因,J221mr代入后同樣可解得v(21m1m+m1(2gH2gH因TT,Hrq,vrwJ221mr,聯(lián)立解得v(21m1m+m1(2gH2gH例v00Ovm1gm1mHr輕繩不伸長(zhǎng)輪繩不打滑J221mr輪軸無(wú)摩擦滑輪由靜止釋放求下行時(shí)Hm1的v已知第五節(jié)ss5-4ofrigid-bodyrotatingaroundafixedaxis剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律theoremofangularmomentumandlawofconservationofangularmomentum剛體角動(dòng)量定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量是無(wú)數(shù)質(zhì)元對(duì)公共轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量的疊加vimriOriwZviriwmri任一質(zhì)元（視為質(zhì)點(diǎn)）的質(zhì)量,其角動(dòng)量大小為L(zhǎng)imriviriw2mririz一、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量LwJzz大小方向(正或負(fù))由右手螺旋法則確定全部質(zhì)元的總角動(dòng)量LwwJm2r()dz對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布的剛體zLLiw2mriri()wJz∑z∑z角動(dòng)量定理二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理ddtLrF回憶質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理M0ttdLdtL0LLL0M（微分形式）（積分形式）剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理bJJwtdd()dtdtdLdJwzzzzzM（微分形式）合外力矩角動(dòng)量的時(shí)間變化率L000ttdtLdLLLzJwJ0wzz0zM（積分形式）合外力矩的沖量矩角動(dòng)量的增量關(guān)鍵式Ltddz角動(dòng)量定理繞定軸Z轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體角動(dòng)量關(guān)鍵式：LzJwz角動(dòng)量L0L0tdttJwJw00對(duì)照質(zhì)點(diǎn)pmv,0tdttFmvmv0Lrp,Ftddp,Ltdd,rFL0L0tdttzMzMMM線動(dòng)量角動(dòng)量（微分形式）（積分形式）角動(dòng)量守恒三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律剛體的角動(dòng)量定理0Ltddz0LtddzzMzM剛體所受合外力矩由若則LJw恒量zz即剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律當(dāng)剛體所受的合外力矩等于零時(shí)，zMJw剛體的角動(dòng)量保持不變。z回轉(zhuǎn)儀LwJJwZZ萬(wàn)向支架基座回轉(zhuǎn)體（轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）Z回轉(zhuǎn)儀定向原理Z回轉(zhuǎn)體質(zhì)量呈軸對(duì)稱分布；軸摩擦及空氣阻力很小。受合外力矩為零角動(dòng)量守恒wJLZZ常矢量wJ其中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為常量若將回轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)軸指向某方向Z使其以角速度高速旋轉(zhuǎn)則轉(zhuǎn)軸將保持該方向不變而不會(huì)受基座改向的影響Z回轉(zhuǎn)儀模型宇航員在太空站修復(fù)回轉(zhuǎn)儀J⑴轉(zhuǎn)動(dòng)慣量保持不變演示轉(zhuǎn)臺(tái)俯視動(dòng)畫圖Jw變小則變大Jw收臂小大用外力矩啟動(dòng)轉(zhuǎn)盤后撤除外力矩Jw張臂大小JwJwJw角動(dòng)量守恒的另一類現(xiàn)象乘積保持不變，變小則變大，變大則變小。J⑵轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可以改變花樣滑冰花樣滑冰張臂Jw大小Jw收臂小大高臺(tái)跳水動(dòng)畫高臺(tái)跳水共軸系統(tǒng)導(dǎo)致人臺(tái)反向轉(zhuǎn)動(dòng)Jw輪輪Jw得人臺(tái)人臺(tái)末態(tài)LSi末Jw輪輪+Jw人臺(tái)人臺(tái)LSi0初w輪人沿某一轉(zhuǎn)向撥動(dòng)輪子w人臺(tái)系統(tǒng)：輪、轉(zhuǎn)臺(tái)與人JJLSi0全靜初態(tài)輪初人臺(tái)0JwSLSiSii共軸系統(tǒng)若M外則恒矢量⑶共軸剛體組直升飛機(jī)直升飛機(jī)防止機(jī)身旋動(dòng)的措施用尾槳用兩個(gè)對(duì)轉(zhuǎn)的頂槳轉(zhuǎn)動(dòng)與碰撞轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)也有碰撞問(wèn)題必須應(yīng)用角動(dòng)量概念去分析解決問(wèn)題如，鋼球碰懸錘木棒又因該碰撞為彈性碰撞，碰撞過(guò)程機(jī)械能守恒。系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。碰撞瞬間在懸錘位置發(fā)生，碰撞過(guò)程系統(tǒng)對(duì)懸掛點(diǎn)所受合外力矩為零，動(dòng)畫⑷質(zhì)點(diǎn)剛體組續(xù)上轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)也有碰撞問(wèn)題必須應(yīng)用角動(dòng)量概念去分析解決問(wèn)題又如，子彈擊入懸錘木棒擊入瞬間在懸錘位置發(fā)生，擊入過(guò)程系統(tǒng)對(duì)懸掛點(diǎn)所受合外力矩為零，系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。但因擊入過(guò)程屬非彈性碰撞，故該過(guò)程機(jī)械能不守恒。動(dòng)畫例解法提要在鉛直位置，兩種碰撞過(guò)程的角動(dòng)量都守恒。但機(jī)械能守恒，不守恒。((ab((對(duì)角動(dòng)量守恒O+1mlv0=1mlv1+J0w機(jī)械能守恒+211mv20=211m2v1+21J0w2解得O=w21mv((1m+m3lv1=1m+m3((1mm3-vm31m若鋼珠碰后反跳。例下述兩種情況，碰撞階段剛結(jié)束時(shí)求Omvl1m彈性碰撞w=桿的角速度w=鋼珠的速度v1？？非彈性碰撞Omlv1mw桿、彈系統(tǒng)的角速度碰撞過(guò)程的機(jī)械能損失量=w？=？EDk((ab((J0=31ml2J0=31ml2+1ml2對(duì)角動(dòng)量守恒O+1mlv0=wJ0解得Ow=J01mlv=1mv((1m+m3l=211mv2212EDkJ0w=211mv21m((1m+m31階段問(wèn)題用剛體角動(dòng)量守恒定律求解的階段劃分和系統(tǒng)選擇問(wèn)題下擺階段球、棒、地球系統(tǒng)，含轉(zhuǎn)動(dòng)的機(jī)械能守恒。彈碰階段（鉛垂位置）彈、棒系統(tǒng)，合外力矩為零角動(dòng)量守恒。而且轉(zhuǎn)、平動(dòng)能守恒。O彈碰光滑O擊入階段（鉛垂位置）彈、棒系統(tǒng)，合外力矩為零，角動(dòng)量守恒。上擺階段彈、棒、地球系統(tǒng)，含轉(zhuǎn)動(dòng)的機(jī)械能守恒?；蜻x彈、棒系統(tǒng)，則用含轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理。擊入摩擦大，動(dòng)能不守恒。例已知例彈嵌于棒Olm2v0m1子彈03上擺最大轉(zhuǎn)角求v0木棒聯(lián)立解得6v0m11g(2l3)(())m2+2m1m2+3m1解法提要以彈、棒為系統(tǒng)擊入階段子彈擊入木棒瞬間，系統(tǒng)在鉛直位置，受合外力矩為零，角動(dòng)量守恒。wv0+m1v0lm1l+J該瞬間之始該瞬間之末彈棒彈棒上擺階段彈嵌定于棒內(nèi)與棒一起上擺，用系統(tǒng)動(dòng)能定理，其中非保守內(nèi)力的功為零，m1gcosl(103(+21m2gcosl(103(外力（重力）的功A外0上擺末動(dòng)能()m2121v+21wJ2上擺初動(dòng)能31vwlJm2l2,其中例O彈碰光滑qmm地面為零勢(shì)面lJ31ml2下擺階段球、棒、地球系統(tǒng)，機(jī)械能守恒棒的勢(shì)能改變量從擺階到要碰但沒(méi)碰棒轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能w21J2mg21((lcosq彈碰階段鉛垂位置的瞬間過(guò)程彈、棒系統(tǒng)，合外力矩為零角動(dòng)量守恒球棒棒球0+Jw+mlvJw后而且彈碰轉(zhuǎn)、平動(dòng)能守恒0++mlvJwJw后212122212棒球棒球三個(gè)獨(dú)立方程，可聯(lián)立解出vw后w,,三個(gè)未知數(shù)。1．如圖所示，一質(zhì)量M、長(zhǎng)l的均勻細(xì)桿，以O(shè)點(diǎn)為軸，從靜止在與豎直方向成θ0角處自由下擺，到豎直位置時(shí)與光滑桌面上一質(zhì)量為m的靜止物體（可視為質(zhì)點(diǎn)）發(fā)生彈性碰撞，求碰撞后M的角速度ωM和m的線速度vm

。（）θ0m解：棒自由下擺，由轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理得在彈性碰撞過(guò)程中，棒與物體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量守恒，有由機(jī)械能守恒得2．一長(zhǎng)為質(zhì)量為M的均勻木棒，從θ角位置靜止釋放繞水平軸O開始轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示，已知棒繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，不計(jì)一切摩擦。求：（1）棒開始轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角加速度。（2）棒轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)角速度及棒中央點(diǎn)C的速度。（3）當(dāng)棒下垂靜止時(shí)，被一質(zhì)量為m，水平速度v0的子彈射入棒端并陷入其中，則棒開始轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。COmθ解：⑴由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律⑵棒從θ角轉(zhuǎn)到豎直位置過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律⑶由角動(dòng)量守恒定律完第五章完備用題集備選題集題1例aABmormlmF滑輪的2o21Jmr忽略軸摩擦欲在秒內(nèi)將貨物由A拖到Bt求F的大小解法提要分別畫轉(zhuǎn)動(dòng)和平動(dòng)隔離體受力圖FTTb+Nmgromfaxyma平動(dòng):(貨物):mgmaxTsinaf:yNmgacos0及fmNmmgacos轉(zhuǎn)動(dòng):(滑輪)rbFoJTr2o21Jmr及角線量關(guān)系:arb及l(fā)21at2將上述七個(gè)關(guān)系式聯(lián)立解得Fmg((sina+macos+l3tF的大小取決于m貨物的a坡度角m摩擦系數(shù)l行程所限定的時(shí)間t,,,,2解法提要取ABCD、、、為系統(tǒng)(地球不在系統(tǒng)內(nèi))應(yīng)用系統(tǒng)的動(dòng)能定理A外力力矩SrE動(dòng)能S系統(tǒng)的外力矩的總功MBrjMfrjDA外力矩SmglsinqMlr1Mflr2mglsinq皮帶輪運(yùn)載貨物依靠靜摩擦力,但一對(duì)靜摩擦力的功之和為零,且一對(duì)靜摩擦力矩的功之和也為零.rE動(dòng)能S系統(tǒng)的動(dòng)能增量J21w2BB+J21w2DD+21m2vv已知2JBm1r1JDm2r22,及角線量關(guān)系r1wBr2wD已知?jiǎng)虞嗈D(zhuǎn)動(dòng)慣量2JBm1r1從輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JDm2r22輕皮帶不伸長(zhǎng),與輪及貨物都不打滑.機(jī)器從靜止將貨物帶動(dòng)距離為l時(shí)求的載運(yùn)速率vm貨物代入整理后得rE動(dòng)能S21((m1+m2+m2v最后解得vl2(Mr2Mfr1mgr1sinq(((m1+m2+mr1r2r2本題也可用系統(tǒng)的功能原理求解靜摩擦力及靜摩擦力矩之和為零的情況與前相同將地球也包括在系統(tǒng)內(nèi)選P點(diǎn)作為重力勢(shì)能零點(diǎn)重力為系統(tǒng)內(nèi)保守力.A外力力矩SMlr1Mflr2rE機(jī)械能SJ21w2BB+J21w2DD+21m2vmglsinq+解出的結(jié)果完全一樣例r1r2O1O2m2m1MAmBCDq輪輪皮帶貨物定恒矩力矩力阻動(dòng)Mf(軸對(duì)輪)(軸對(duì)輪)vPl3求細(xì)直桿對(duì)轉(zhuǎn)軸OZ的角動(dòng)量Lz例zqm,lwOw圓錐角q保持不變解法提要r任意長(zhǎng)度處元長(zhǎng)度為rd的質(zhì)元的質(zhì)量為dmmlrd它對(duì)OZ軸的角動(dòng)量為L(zhǎng)zddmvrdmrw2rrOrddmqzLzLzdwrrsinqmlrdrw2rsinq((2wmlrd對(duì)全細(xì)桿積分LzLzdrsinq((2wmlrd0lrwmlsinq20l2rdsinq2wml231本題還可以從定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體角動(dòng)量的定義求解LzwJz用積分法求出Jzsinq2ml231代回定義式,得到同樣結(jié)果.4求第秒時(shí),圓盤的tw角速度角加速度b解法提要取系統(tǒng):人,盤.忽略軸摩擦,合外力矩為零.系統(tǒng)角動(dòng)量守恒.角動(dòng)量守恒是對(duì)慣性系而言.一切運(yùn)動(dòng)參量均應(yīng)相對(duì)于地面參考系.0角動(dòng)量守恒:0Jw+rvm0Jw+rmv0例已知人對(duì)圓盤作圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律為mmR1rO忽略軸摩擦At0時(shí)圓盤靜止,盤對(duì)地初速V0020+avt21sta為常量圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量0J221m1R0Jw+m((v+Vmv0r即((w+m+atv0((+wrmv0r得212m1Rbdtdwmar2mr22+2m1R盤對(duì)地:V0Vv0,w,b人對(duì)盤:,svdtd+atv0人對(duì)地:v0v0V0+v0vv+V,0,w0,0wr注意本題的非保守內(nèi)力矩的功不為零,機(jī)械能不守恒.ORmrmAvw+假設(shè)的計(jì)算正繞向解得wmatr2mr22+2m1R與假設(shè)正繞向相反5w求碰撞后木板的小球的角速度速度v1解法提要取系統(tǒng):小球,木板.碰撞瞬間,系統(tǒng)受合角動(dòng)量守恒外力矩為零,m1lv+0m1lv1+0Jw1彈性碰撞系統(tǒng)機(jī)械能(這里是動(dòng)能)守恒2221m1v+0221m1v1+210Jw212聯(lián)立,并代入m0J231l得v1m1((3mv+m1((3m2mw+m1((3mvl碰后小球速度為零若m13mm13m碰后小球反彈m13m碰后小球仍向前木板向里擺木板向里擺木板向里擺+例lm彈性撞碰已知圖中矩形板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為oom0J231l忽略軸摩擦m1v6例RROOABmvJJ忽略軸摩擦求1((2((3((子彈擊中輪緣后系統(tǒng)的角速度w子彈擊入過(guò)程中機(jī)械能的損失ED子彈擊入后,由頂點(diǎn)A轉(zhuǎn)到下端B時(shí),子彈的速度vB+解法提要1((擊入階段取系統(tǒng):子彈,輪子.系統(tǒng)受合外力矩為零,角動(dòng)量守恒mvRJw其中JmR2+Jw得mvRmR2+J2((仍為擊入階段但要考慮機(jī)械能損失,涉及重力勢(shì)能,此過(guò)程系統(tǒng)重力勢(shì)能尚未發(fā)生變化,機(jī)械能損失等于系統(tǒng)的動(dòng)能損失EDEDk系統(tǒng)初動(dòng)能Ek021mv2系統(tǒng)末動(dòng)能EkJw212((mR2+Jw212EDkEDEkEk0((mR2+J21w21mv2221mv2((1m2Rm2R+J,取系統(tǒng):子彈,輪子,地球.3((擊入過(guò)后由A到B轉(zhuǎn)動(dòng)階段取系統(tǒng):子彈,輪子,地球.系統(tǒng)機(jī)械能守恒選B點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)((mR2+Jw212+mg2R((mR2+J212wBwB線角量關(guān)系vBR解得vBmm2R+Jv2+4Rg+((mRJ7例Rm1m細(xì)繩纏繞輪緣輪軸無(wú)摩擦輕繩不伸長(zhǎng)輪繩不打滑O靜止釋放求b輪繩T解法提要Tm1g轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)TOmRJ21mR2m1ab聯(lián)立解得bm121mm1+()RgT2mm1+gm1m轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)JbTR21mR2bg1mT1ma角~線aRb…(1)…(2)…(3)若軸有摩擦力矩Mr則(1)變?yōu)門R–

Mr=

J

βMr的測(cè)量，可通過(guò)調(diào)整m1的大小，到勻速下降時(shí)的m1則Mr=

m1gR8例細(xì)繩纏繞輪緣輪軸無(wú)摩擦輕繩不伸長(zhǎng)輪繩不打滑初始靜止變力((tFOOJRR求((t((twM((t((tFR解法提要Jb((tFRJbJdtdwJdwdt((tFRdww0Jdt((tFRt0w((tJdt((tFRt0MM9例

勻直細(xì)桿一端為軸水平靜止釋放OLm,q設(shè)mg求下擺到處的q力矩角加速度bMmgL21qcos解法提要mgq力臂由Jb求JbJm231L本題代入得：23LgqcosbmgL21qcosm231Lq0,mgL21,b23Lg2pq,0,b0討論：在兩個(gè)特殊位置上的情況MMMMM續(xù)例

勻直細(xì)桿一端為軸水平靜止釋放OLm,q設(shè)mg求下擺到處的q力矩角加速度bMmgL21qcos解法提要mgq力臂由Jb求JbJm231L本題代入得：23LgqcosbmgL21qcosm231Lq0,mgL21,b23Lg2pq,0,b0討論：在兩個(gè)特殊位置上的情況MMMMMJm231L由Jb求Jb本題23LgqcosbmgL21qcosm231L應(yīng)用前兩章學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)方法，還可繼續(xù)求角速度w？MMbwdtd由而dtdqw得wwdbdq21w223Lgqsin,w3Lgqsin23Lgqcosb