概率論與統(tǒng)計(jì)學(xué)

統(tǒng)計(jì)學(xué)

statistics李欣先

Email:lixinxian2005@126.comtongjxxx@163.com1/31/20231山東輕院皮革教研室第5章概率論概念縱覽

（asurveyofprobabilityconcepts

）

第1節(jié)什么是概率（whatisaprobability）第2節(jié)概率求解方法（approachtoprobability）第3節(jié)幾個(gè)概率法則（somerulesofprobability）第4節(jié)樹形圖（treediagrams）第5節(jié)貝葉斯定理（Bayes’theorem）第6節(jié)計(jì)數(shù)定理（principlesofcounting）1/31/20232山東輕院皮革教研室Managersoftenbasetheirdecisionsonananalysisofuncertaintiessuchasthefollowing:1.Whatarethechancesthatsaleswilldecreaseifweincreaseprices?2.Whatisthelikelihoodanewassemblymethodwillincreaseproductivity?3.Howlikelyisitthattheprojectwillbefinishedontime?4.Whatisthechancethatanewinvestmentwillbeprofitable?1/31/20233山東輕院皮革教研室第1節(jié)什么是概率（whatisaprobability）概率是對(duì)事件發(fā)生的可能性大小的度量，記為P(A)明天降水的概率是80%。這里的80%就是對(duì)降水這一事件發(fā)生的可能性大小的一種數(shù)值度量你購買一只股票明天上漲的可能性是30%，這也是一個(gè)概率一個(gè)介于0和1之間的一個(gè)值

1/31/20234山東輕院皮革教研室試驗(yàn)

(experiment)對(duì)試驗(yàn)對(duì)象進(jìn)行一次觀察或測(cè)量的過程擲一顆骰子，觀察其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)從一副52張撲克牌中抽取一張，并觀察其結(jié)果(紙牌的數(shù)字或花色)試驗(yàn)的特點(diǎn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行每次試驗(yàn)的可能結(jié)果可能不止一個(gè)，但試驗(yàn)的所有可能結(jié)果在試驗(yàn)之前是確切知道的在試驗(yàn)結(jié)束之前，不能確定該次試驗(yàn)的確切結(jié)果1/31/20235山東輕院皮革教研室事件

(event)事件：試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果(任何樣本點(diǎn)集合)擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為3用大寫字母A，B，C，…表示隨機(jī)事件(randomevent)：每次試驗(yàn)可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件擲一顆骰子可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)1/31/20236山東輕院皮革教研室事件

(event)簡(jiǎn)單事件(simpleevent)

：不能被分解成其他事件組合的基本事件拋一枚均勻硬幣，“出現(xiàn)正面”和“出現(xiàn)反面”

必然事件(certainevent)：每次試驗(yàn)一定出現(xiàn)的事件，用表示擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于7不可能事件(impossibleevent)：每次試驗(yàn)一定不出現(xiàn)的事件，用表示擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于61/31/20237山東輕院皮革教研室樣本空間與樣本點(diǎn)樣本空間(sampleSpace)一個(gè)試驗(yàn)中所有結(jié)果的集合，用表示例如：在擲一顆骰子的試驗(yàn)中，樣本空間表示為：{1,2,3,4,5,6}在投擲硬幣的試驗(yàn)中，{正面，反面}樣本點(diǎn)(samplepoint)樣本空間中每一個(gè)特定的試驗(yàn)結(jié)果用符號(hào)表示1/31/20238山東輕院皮革教研室第2節(jié)概率求解方法（approachtoprobability）Theclassicalmethodofassigningprobabilitiesisappropriatewhenalltheexperimentaloutcomesareequallylikely.【例】擲骰子的例子，偶數(shù)面朝上的概率是多少?1/31/20239山東輕院皮革教研室Therelativefrequencymethodofassigningprobabilitiesisappropriatewhendataare

availabletoestimatetheproportionofthetimetheexperimentaloutcomewilloccurifthe

experimentisrepeatedalargenumberoftimes.1/31/202310山東輕院皮革教研室Thesubjectivemethodofassigningprobabilitiesismostappropriatewhenonecannotrealisticallyassumethattheexperimentaloutcomesareequallylikelyandwhenlittlerelevantdataareavailable.1/31/202311山東輕院皮革教研室互斥事件及其概率

(mutuallyexclusiveevents)在試驗(yàn)中，兩個(gè)事件有一個(gè)發(fā)生時(shí)，另一個(gè)就不能發(fā)生，則稱事件A與事件B是互斥事件,(沒有公共樣本點(diǎn))AB互斥事件的文氏圖(Venndiagram)1/31/202312山東輕院皮革教研室互斥事件及其概率

(例題分析)【例】在一所城市中隨機(jī)抽取600個(gè)家庭，用以確定擁有個(gè)人電腦的家庭所占的比例。定義如下事件：

A：600個(gè)家庭中恰好有265個(gè)家庭擁有電腦

B：恰好有100個(gè)家庭擁有電腦

C：特定戶張三家擁有電腦說明下列各對(duì)事件是否為互斥事件，并說明你的理由

(1)A與B

(2)A與C

(3)B與C1/31/202313山東輕院皮革教研室互斥事件及其概率

(例題分析)解：(1)事件A與B是互斥事件。因?yàn)槟阌^察到恰好有265個(gè)家庭擁有電腦，就不可能恰好有100個(gè)家庭擁有電腦

(2)事件A與C不是互斥事件。因?yàn)閺埲苍S正是這265個(gè)家庭之一，因而事件與有可能同時(shí)發(fā)生

(3)事件B與C不是互斥事件。理由同(2)1/31/202314山東輕院皮革教研室互斥事件及其概率

(例題分析)【例】同時(shí)拋擲兩枚硬幣，并考察其結(jié)果。恰好有一枚正面朝上的概率是多少？

解：用H表示正面，T表示反面，下標(biāo)1和2表示硬幣1

和硬幣2。該項(xiàng)試驗(yàn)會(huì)有4個(gè)互斥事件之一發(fā)生

(1)兩枚硬幣都正面朝上，記為H1H2

(2)1號(hào)硬幣正面朝上而2號(hào)硬幣反面朝上，記為H1T2

(3)1號(hào)硬幣反面朝上而2號(hào)硬幣正面朝上，記為T1H2

(4)兩枚硬幣都是反面朝上，記為

T1T21/31/202315山東輕院皮革教研室互斥事件及其概率

(例題分析)解：由于每一枚硬幣出現(xiàn)正面或出現(xiàn)反面的概率都是1/2，當(dāng)拋擲的次數(shù)逐漸增大時(shí)，上面的4個(gè)簡(jiǎn)單事件中每一事件發(fā)生的相對(duì)頻數(shù)(概率)將近似等于1/4。因?yàn)閮H當(dāng)H1T2或T1H2發(fā)生時(shí)，才會(huì)恰好有一枚硬幣朝上的事件發(fā)生，而事件H1T2或T1H2又為互斥事件，兩個(gè)事件中一個(gè)事件發(fā)生或者另一個(gè)事件發(fā)生的概率便是1/2(1/4+1/4)。因此，拋擲兩枚硬幣，恰好有一枚出現(xiàn)正面的概率等于H1T2或T1H2發(fā)生的概率，也就是兩種事件中每個(gè)事件發(fā)生的概率之和1/31/202316山東輕院皮革教研室互斥事件的加法規(guī)則

(additionlaw)加法規(guī)則若兩個(gè)事件A與B互斥，則事件A發(fā)生或事件B發(fā)生的概率等于這兩個(gè)事件各自的概率之和，即

P(A∪B)=P(A)+P(B)事件A1，A2，…，An兩兩互斥，則有

P(A1∪A2

∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)1/31/202317山東輕院皮革教研室互斥事件的加法規(guī)則

(例題分析)

解：擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)(1，2，3，4，5，6)共有

6個(gè)互斥事件，而且每個(gè)事件出現(xiàn)的概率都為1/6

根據(jù)互斥事件的加法規(guī)則，得【例】拋擲一顆骰子，并考察其結(jié)果。求出其點(diǎn)數(shù)為1點(diǎn)或2點(diǎn)或3點(diǎn)或4點(diǎn)或5點(diǎn)或6點(diǎn)的概率1/31/202318山東輕院皮革教研室概率的性質(zhì)

(小結(jié))非負(fù)性對(duì)任意事件A，有P1規(guī)范性一個(gè)事件的概率是一個(gè)介于0與1之間的值，即對(duì)于任意事件

A，有0P1必然事件的概率為1；不可能事件的概率為0。即P()=1；P()=0可加性若A與B互斥，則P(A∪B)=P(A)+P(B)推廣到多個(gè)兩兩互斥事件A1，A2，…，An，有

P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)1/31/202319山東輕院皮革教研室事件的補(bǔ)及其概率事件的補(bǔ)(complement)

事件A不發(fā)生的事件，稱為補(bǔ)事件A的補(bǔ)事件(或稱逆事件)，記為A

。它是樣本空間中所有不屬于事件A的樣本點(diǎn)的集合A

AP(A)=1-P(A)1/31/202320山東輕院皮革教研室廣義加法公式

(generalruleofaddition)廣義加法公式

對(duì)任意兩個(gè)隨機(jī)事件A和B，它們和的概率為兩個(gè)事件分別概率的和減去兩個(gè)事件交的概率，即

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)兩個(gè)事件的并兩個(gè)事件的交1/31/202321山東輕院皮革教研室廣義加法公式

(事件的并或和)

事件A或事件B發(fā)生的事件，稱為事件A與事件B的并。它是由屬于事件A或事件B的所有樣本點(diǎn)的集合，記為A∪B或A+BBAA∪B1/31/202322山東輕院皮革教研室廣義加法公式

(事件的交或積)ABA∩B事件A與事件B同時(shí)發(fā)生的事件，稱為事件A與事件B的交，它是由屬于事件A也屬于事件B的所有公共樣本點(diǎn)所組成的集合，記為B∩A

或AB1/31/202323山東輕院皮革教研室廣義加法公式

(例題分析)

解：設(shè)A

=員工離職是因?yàn)閷?duì)工資不滿意

B=員工離職是因?yàn)閷?duì)工作不滿意依題意有：P(A)=0.40；P(B)=0.30；P(AB)=0.15P(AB)=P(A)+P(B)+P(AB)=0.40+0.30-0.15=0.55【例】一家計(jì)算機(jī)軟件開發(fā)公司的人事部門最近做了一項(xiàng)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)在最近兩年內(nèi)離職的公司員工中有40%是因?yàn)閷?duì)工資不滿意，有30%是因?yàn)閷?duì)工作不滿意，有15%是因?yàn)樗麄儗?duì)工資和工作都不滿意。求兩年內(nèi)離職的員工中，離職原因是因?yàn)閷?duì)工資不滿意、或者對(duì)工作不滿意、或者二者皆有的概率1/31/202324山東輕院皮革教研室條件概率與事件的獨(dú)立性假設(shè)一個(gè)盒子里有10卷膠卷，且3卷是次品。從盒子拿出一卷，接著拿出第二卷，則第二卷是次品的概率是？1/31/202325山東輕院皮革教研室條件概率

(conditionalprobability)在事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，稱為已知事件B時(shí)事件A的條件概率，記為P(A|B)

P(B)P(AB)P(A|B)=事件B及其概率P(B)事件AB及其概率P(AB)事件A

事件B一旦事件B發(fā)生1/31/202326山東輕院皮革教研室條件概率

(例題分析)解：設(shè)A=顧客購買食品，B=顧客購買其他商品依題意有：P(A)=0.80；P(B)=0.60；P(AB)=0.35【例】一家超市所作的一項(xiàng)調(diào)查表明，有80%的顧客到超市是來購買食品，60%的人是來購買其他商品，35%的人既購買食品也購買其他商品。求：

(1)已知某顧客購買食品的條件下，也購買其他商品的概率

(2)已知某顧客購買其他的條件下，也購買食品的概率1/31/202327山東輕院皮革教研室條件概率

(例題分析)【例】一家電腦公司從兩個(gè)供應(yīng)商處購買了同一種計(jì)算機(jī)配件，質(zhì)量狀況如下表所示

從這200個(gè)配件中任取一個(gè)進(jìn)行檢查，求

(1)

取出的一個(gè)為正品的概率

(2)

取出的一個(gè)為供應(yīng)商甲的配件的概率

(3)取出一個(gè)為供應(yīng)商甲的正品的概率

(4)已知取出一個(gè)為供應(yīng)商甲的配件，它是正品的概率甲乙兩個(gè)供應(yīng)商提供的配件正品數(shù)次品數(shù)合計(jì)供應(yīng)商甲

84690供應(yīng)商乙

1028110合計(jì)186142001/31/202328山東輕院皮革教研室條件概率

(例題分析)解：設(shè)A

=取出的一個(gè)為正品

B=取出的一個(gè)為供應(yīng)商甲供應(yīng)的配件

(1)(2)(3)

(4)1/31/202329山東輕院皮革教研室Asanillustrationoftheapplicationofconditionalprobability,considerthesituationofthepromotionstatusofmaleandfemaleofficersofamajormetropolitanpoliceforceintheeasternUnitedStates.Thepoliceforceconsistsof1200officers,960menand240women.Overthepasttwoyears,324officersonthepoliceforcereceivedpromotions.ThespecificbreakdownofpromotionsformaleandfemaleofficersisshowninTable4.4.1/31/202330山東輕院皮革教研室Afterreviewingthepromotionrecord,acommitteeoffemaleofficersraisedadiscriminationcaseonthebasisthat288maleofficershadreceivedpromotionsbutonly36femaleofficershadreceivedpromotions.Thepoliceadministrationarguedthattherelativelylownumberofpromotionsforfemaleofficerswasduenottodiscrimination,buttothefactthatrelativelyfewfemalesaremembersofthepoliceforce.Letusshowhowconditionalprobabilitycouldbeusedtoanalyzethediscriminationcharge.1/31/202331山東輕院皮革教研室menwomentotalpromoted28836324Notpromoted672204876total96024012001/31/202332山東輕院皮革教研室menwomentotalpromoted0.240.030.27Notpromoted0.560.170.73total0.80.211/31/202333山東輕院皮革教研室乘法公式

(multiplicativelaw)用來計(jì)算兩事件交的概率以條件概率的定義為基礎(chǔ)設(shè)A，B為兩個(gè)事件，若P(B)>0，則

P(AB)=P(B)P(A|B)

或

P(AB)=P(A)P(B|A)1/31/202334山東輕院皮革教研室乘法公式

(例題分析)【例】一家報(bào)紙的發(fā)行部已知在某社區(qū)有75%的住戶訂閱了該報(bào)紙的日?qǐng)?bào)，而且還知道某個(gè)訂閱日?qǐng)?bào)的住戶訂閱其晚報(bào)的概率為50%。求某住戶既訂閱日?qǐng)?bào)又訂閱晚報(bào)的概率

解：設(shè)A

=

某住戶訂閱了日?qǐng)?bào)

B

=

某個(gè)訂閱了日?qǐng)?bào)的住戶訂閱了晚報(bào)依題意有：P(A)=0.75；P(B|A)=0.50

P(AB)=P(A)·P(B|A)=0.75×0.5=0.3751/31/202335山東輕院皮革教研室獨(dú)立事件與乘法公式

(例題分析)【例】從一個(gè)裝有3個(gè)紅球2個(gè)白球的盒子里摸球(摸出后球不放回)，求連續(xù)兩次摸中紅球的概率

解：設(shè)A

=

第2次摸到紅球

B

=

第1次摸到紅球依題意有：

P(B)=3/5；P(A|B)=2/4

P(AB)=P(A)·P(B|A)=3/5×2/4=0.31/31/202336山東輕院皮革教研室獨(dú)立事件與乘法公式

(independentevents)若P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B)，則稱事件A與B事件獨(dú)立，或稱獨(dú)立事件若兩個(gè)事件相互獨(dú)立，則這兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率等于它們各自發(fā)生的概率之積，即

P(AB)=P(A)·P(B)若事件A1,A2,,An相互獨(dú)立，則

P(A1,A2,,An)=P(A1)·P(A2)··P(An)

1/31/202337山東輕院皮革教研室獨(dú)立事件與乘法公式

(例題分析)【例】一個(gè)旅游經(jīng)景點(diǎn)的管理員根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)得知，有80%的游客在古建筑前照相留念。求接下來的兩個(gè)游客都照相留念的概率

解：設(shè)A

=第一個(gè)游客照相留念

B

=第二個(gè)游客照相留念兩個(gè)游客都照相留念是兩個(gè)事件的交。在沒有其他信息的情況下，我們可以假定事件A

和事件B是相互立的，所以有

P(AB)=P(A)·P(B)=0.80×0.80=0.641/31/202338山東輕院皮革教研室獨(dú)立事件與乘法公式

(例題分析)【例】假定我們是從兩個(gè)同樣裝有3個(gè)紅球2個(gè)白球的盒子摸球。每個(gè)盒子里摸1個(gè)。求連續(xù)兩次摸中紅球的概率

解：設(shè)A

=

從第一個(gè)盒子里摸到紅球

B

=

從第二個(gè)盒子里摸到紅球

依題意有：P(A)=3/5；P(B|A)=3/5

P(AB)=P(A)·P(B|A)=3/5×3/5=0.361/31/202339山東輕院皮革教研室全概公式與逆概公式1/31/202340山東輕院皮革教研室全概公式全概公式B2B5B4B1B3完備事件組1/31/202341山東輕院皮革教研室全概公式

(例題分析)【例】假設(shè)在n張彩票中只有一張中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券，那么第二個(gè)人摸到獎(jiǎng)券的概率是多少？

解：設(shè)A

=第二個(gè)人摸到獎(jiǎng)券，B=第一個(gè)人摸到獎(jiǎng)券依題意有：P(B)=1/n；P(B)=(n-1)/n

P(A|B)=0P(A|B)=1/n-11/31/202342山東輕院皮革教研室逆概公式逆概公式(貝葉斯公式)P(Bi)被稱為事件Bi的先驗(yàn)概率(priorprobability)P(Bi|A)被稱為事件Bi的后驗(yàn)概率(posteriorprobability)1/31/202343山東輕院皮革教研室逆概公式

(例題分析)【例】某考生回答一道四選一的考題，假設(shè)他知道正確答案的概率為1/2，而他不知道正確答案時(shí)猜對(duì)的概率應(yīng)該為1/4?？荚嚱Y(jié)束后發(fā)現(xiàn)他答對(duì)了，那么他知道正確答案的概率是多大呢？

解：設(shè)A

=

該考生答對(duì)了，B

=

該考生知道正確答案依題意有：P(B)=1/2；P(B)=1-1/2=1/2

P(A|B)=1/4P(A|B)=11/31/202344山東輕院皮革教研室第4節(jié)樹形圖（treediagrams）Atreediagramisagraphicalrepresentationthathelpsinvisualizingamultiple-stepexperiment.1/31/202345山東輕院皮革教研室1/31/202346山東輕院皮革教研室1/31/202347山東輕院皮革教研室第6節(jié)計(jì)數(shù)定理

（principlesofcounting）Combinations

Ausefulcountingruleallowsonetocountthenumberofexperimentaloutcomeswhentheexperimentinvolvesselectingnobjectsfroma(usuallylarger)setofNobjects