2023屆數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測(cè)：專題02 正余弦定理在解三角形中的高級(jí)應(yīng)用與最值問(wèn)題（精講精練）（解析版）

專題02正余弦定理在解三角形中的高級(jí)應(yīng)用與最值問(wèn)題【命題規(guī)律】解三角形是每年高考常考內(nèi)容，在選擇、填空題中考查較多，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)在選擇題、填空題的壓軸小題位置，綜合考查以解答題為主，中等難度．【核心考點(diǎn)目錄】核心考點(diǎn)一：倍長(zhǎng)定比分線模型核心考點(diǎn)二：倍角定理核心考點(diǎn)三：角平分線模型核心考點(diǎn)四：隱圓問(wèn)題核心考點(diǎn)五：正切比值與和差問(wèn)題核心考點(diǎn)六：四邊形定值和最值核心考點(diǎn)七：邊角特殊，構(gòu)建坐標(biāo)系核心考點(diǎn)八：利用正、余弦定理求解與三角形的周長(zhǎng)、面積有關(guān)的問(wèn)題核心考點(diǎn)九：利用正、余弦定理求解三角形中的最值或范圍【真題回歸】1．（2022·全國(guó)·高考真題（理））已知中，點(diǎn)D在邊BC上，．當(dāng)取得最小值時(shí)，________．【答案】【解析】[方法一]：余弦定理設(shè)，則在中，，在中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)取最小值時(shí)，．故答案為：．[方法二]：建系法令BD=t，以D為原點(diǎn)，OC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系．則C（2t，0），A（1，），B（-t，0）[方法三]：余弦定理設(shè)BD=x，CD=2x．由余弦定理得，，，，令，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．[方法四]：判別式法設(shè)，則在中，，在中，，所以，記，則由方程有解得：即，解得：所以，此時(shí)所以當(dāng)取最小值時(shí)，，即．

2．（2022·全國(guó)·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．（1）求的面積；（2）若，求b．【解析】（1）由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則；（2）由正弦定理得：，則，則，．3．（2022·全國(guó)·高考真題（文））記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c﹐已知．（1）若，求C；（2）證明：【解析】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，顯然，所以，，而，，所以．（2）由可得，，再由正弦定理可得，，然后根據(jù)余弦定理可知，，化簡(jiǎn)得：，故原等式成立．4．（2022·全國(guó)·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）若，求B；（2）求的最小值．【解析】（1）因?yàn)?，即，而，所以；?）由（1）知，，所以，而，所以，即有，所以所以．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．【方法技巧與總結(jié)】1、正弦定理和余弦定理的主要作用，是將三角形中已知條件的邊、角關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系或邊的關(guān)系，基本思想是方程思想，即根據(jù)正弦定理、余弦定理列出關(guān)于未知元素的方程，通過(guò)解方程求得未知元素．2、與三角形面積或周長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題，一般要用到正弦定理或余弦定理，進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化．要適當(dāng)選用公式，對(duì)于面積公式，一般是已知哪一個(gè)角就使用哪個(gè)公式．3、對(duì)于利用正、余弦定理解三角形中的最值與范圍問(wèn)題，主要有兩種解決方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是將所求式轉(zhuǎn)化為只含有三角形某一個(gè)角的三角函數(shù)形式，結(jié)合角的范圍，確定所求式的范圍．4、利用正、余弦定理解三角形，要注意靈活運(yùn)用面積公式，三角形內(nèi)角和、基本不等式、二次函數(shù)等知識(shí)．5、正弦定理和余弦定理是求解三角形周長(zhǎng)或面積最值問(wèn)題的殺手锏，要牢牢掌握并靈活運(yùn)用．利用三角公式化簡(jiǎn)三角恒等式，并結(jié)合正弦定理和余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化，再結(jié)合角的范圍、輔助角公式、基本不等式等求其最值．6、三角形中的一些最值問(wèn)題，可以通過(guò)構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，再利用單調(diào)性求解．7、“坐標(biāo)法”是求解與解三角形相關(guān)最值問(wèn)題的一條重要途徑．充分利用題設(shè)條件中所提供的特殊邊角關(guān)系，建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，選取合理的參數(shù)，正確求出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，準(zhǔn)確表示出所求的目標(biāo)，再結(jié)合三角形、不等式、函數(shù)等知識(shí)求其最值．【核心考點(diǎn)】核心考點(diǎn)一：倍長(zhǎng)定比分線模型【規(guī)律方法】如圖，若在邊上，且滿足，，則延長(zhǎng)至，使，連接，易知∥，且，．．【典型例題】例1．（2022·福建·廈門雙十中學(xué)高三期中）如圖，在中，，，為上一點(diǎn)，且滿足，若，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則，，解得．因?yàn)椋?，又，，所以為等邊三角形，所以，，由余弦定理，所以；故選：B例2．（2021·全國(guó)·高考真題）記是內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.【解析】（1）設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理，得，因?yàn)椋?，即．又因?yàn)椋裕?）[方法一]【最優(yōu)解】：兩次應(yīng)用余弦定理因?yàn)?，如圖，在中，，①在中，．②由①②得，整理得．又因?yàn)?，所以，解得或，?dāng)時(shí)，（舍去）．當(dāng)時(shí)，．所以．[方法二]：等面積法和三角形相似如圖，已知，則，即，而，即，故有，從而．由，即，即，即，故，即，又，所以，則．[方法三]：正弦定理、余弦定理相結(jié)合由（1）知，再由得．在中，由正弦定理得．又，所以，化簡(jiǎn)得．在中，由正弦定理知，又由，所以．在中，由余弦定理，得．故．[方法四]：構(gòu)造輔助線利用相似的性質(zhì)如圖，作，交于點(diǎn)E，則．由，得．在中，．在中．因?yàn)椋?，整理得．又因?yàn)椋?，即或．下同解?．[方法五]：平面向量基本定理因?yàn)椋裕韵蛄繛榛?，有．所以，即，又因?yàn)椋裕塾捎嘞叶ɡ淼?，所以④?lián)立③④，得．所以或．下同解法1．[方法六]：建系求解以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)D垂直于的直線為y軸，長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，則．由（1）知，，所以點(diǎn)B在以D為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)．設(shè)，則．⑤由知，，即．⑥聯(lián)立⑤⑥解得或（舍去），，代入⑥式得，由余弦定理得．【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問(wèn)題利用等面積法使得問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問(wèn)題的常用思路；方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長(zhǎng)比例關(guān)系的不錯(cuò)選擇；方法五：平面向量是解決幾何問(wèn)題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算法則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問(wèn)題更加直觀化.例3．（2022·湖南·寧鄉(xiāng)一中高三期中）設(shè)a，b，c分別為的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，AD為BC邊上的中線，c＝1，，．(1)求AD的長(zhǎng)度；(2)若E為AB上靠近B的四等分點(diǎn)，G為的重心，連接EG并延長(zhǎng)與AC交于點(diǎn)F，求AF的長(zhǎng)度．【解析】（1）依據(jù)題意，由可得，則，，，，解得，，解得AD為（2）G為的重心，，，，，，，，例4．（2022·廣西柳州·高三階段練習(xí)（文））已知，將的圖象向右平移單位后，得到的圖象，且的圖象關(guān)于對(duì)稱．(1)求；(2)若的角所對(duì)的邊依次為，且，，若點(diǎn)為邊靠近的三等分點(diǎn)，試求的長(zhǎng)度．【解析】（1），，由的圖象關(guān)于對(duì)稱，得即，由得，所以，解得；（2）由得，由得，所以，解得，在中由余弦定理得，，所以，則，，設(shè)，在中由余弦定理得，，所以

①在中由余弦定理得，，所以

②聯(lián)立①②消去得，所以．例5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，D為上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，且．記的面積為．(1)若，求；(2)求的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，因?yàn)闉樯峡拷c(diǎn)的三等分點(diǎn)，，所以，在中由余弦定理即①，在中由余弦定理即②，又，所以所以，，，所以，，所以（2）設(shè)，，則，所以顯然，所以，即例6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，分別是內(nèi)角，，所對(duì)的邊，且滿足，若為邊上靠近的三等分點(diǎn)，，求：（1）求的值；（2）求的最大值．【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理得，可得，即，由，可得，由，可得．?）由題意得，兩邊平方得，整理得，即，解得，，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)．所以的最大值是．例7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在①②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并進(jìn)行求解.問(wèn)題：在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，c=8，點(diǎn)M，N是BC邊上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，，___________，求AM的長(zhǎng)和外接圓半徑.【解析】若選擇條件①因?yàn)?，所以設(shè)，則.又，所以在中，，即，即，解得或(舍去).在中，，所以，同理，所以.由正弦定理可得，所以外接圓的半徑，若選擇條件②因?yàn)辄c(diǎn)M，N是BC邊上的三等分點(diǎn)，且，所以.因?yàn)椋?，所以，所?在中，，所以.同理，所以，由正弦定理可得，所以外接圓的半徑.若選擇條件③設(shè)，則.在中，，同理在中，，因?yàn)?，所以，所以在中，，所?同理，所以.由正弦定理可得，所以外接圓的半徑.例8．（2022·湖北·高三期中）中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知，．(1)求角B；(2)若邊上的點(diǎn)D滿足，，求的面積．【解析】（1）在中，由正弦定理可得：∵，∴∴∵，∴∴，化簡(jiǎn)可得：∴，∵，∴∴，又∵，∴.（2）∵，∴兩邊平方得：，即則，∴①在中，由余弦定理得：，化簡(jiǎn)得：②由①②可得：，即，∴或當(dāng)時(shí)，，∴；當(dāng)時(shí)，，，∴．核心考點(diǎn)二：倍角定理【規(guī)律方法】，這樣的三角形稱為“倍角三角形”．推論1：推論2：【典型例題】例9．（2022·廣西·靈山縣新洲中學(xué)高三階段練習(xí)（文））在銳角中，角所對(duì)的邊為，且.(1)證明:(2)若，求的取值范圍.【解析】（1）∵，由正弦定理，得，即，∴，∴或（舍），即，（2）由銳角△ABC，可得，，．即，∴．由正弦定理可得：，所以.所以的取值范圍為：.例10．（2022·黑龍江·哈師大附中高三階段練習(xí)）已知a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，是的面積,．(1)證明：A＝2C；(2)若a＝2，且為銳角三角形，求b＋2c的取值范圍．【解析】（1）證明：由，即，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴A，B，C∈（0，π），∴即A＝2C．（2）∵，且a＝2，∴∵A＝2C，∴B＝π－3C，∵為銳角三角形，所以,∴，∴，由a＝2，，所以，則，且，設(shè),，設(shè)，則，∴，，所以,為減函數(shù)，∴．例11．（2022·福建龍巖·高三期中）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知．(1)證明：；(2)若是鈍角，，求面積的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，由，得．所以，，或（舍去），．?）由條件得，解得，，，，．的面積＝＝，，．又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，，則面積的取值范圍為．例12．（2022·江蘇·寶應(yīng)中學(xué)高三階段練習(xí)）在中，設(shè)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足.(1)求證：；(2)求的最小值.【解析】（1）證明：在中，由已知及余弦定理，得，即,由正弦定理，得，又，故.∵，∴,∵，∴，故.（2）由（1）得，∴，，由（1），得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.例13．（2022·江蘇連云港·高三期中）在中，AB＝4，AC＝3．(1)若，求的面積；(2)若A＝2B，求BC的長(zhǎng)．【解析】（1）在中，設(shè)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c．由余弦定理得，即，得或（舍），由，，得，所以的面積．（2）在中，由正弦定理得，所以．在中，再由余弦定理得，所以，解得．例14．（2022·浙江·紹興魯迅中學(xué)高三階段練習(xí)）在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足.(1)證明：.(2)求的取值范圍.【解析】（1）由得，由正弦定理得故，可得即，因?yàn)?，所以，即；?），在銳角中，，所以.核心考點(diǎn)三：角平分線模型【規(guī)律方法】角平分線張角定理：如圖，為平分線，（參考一輪復(fù)習(xí)）斯庫(kù)頓定理：如圖，是的角平分線，則，可記憶：中方=上積一下積．【典型例題】例15．（2022·湖北·武漢市武鋼三中高三階段練習(xí)）中，，，，.(1)若，，求的長(zhǎng)度；(2)若為角平分線，且，求的面積.【解析】（1）∵，，∴，又∵在中，，，，∴，∴，即：.（2）在中，，又∵，∴，∴，∴，∴，∴.例16．（2022·黑龍江齊齊哈爾·高三期中）在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足(1)求角C的大?。?2)若，角A與角B的內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)D，求面積的取值范圍.【解析】（1）∵，由正弦定理可得,，整理可得：,即，即：,又因?yàn)殇J角，所以，，所以，即，又，所以；（2）由題意可知，設(shè)，所以，又，，所以，在中，由正弦定理可得，即，所以，所以，又，所以，所以，所以即面積的取值范圍為.例17．（2022·江蘇泰州·高三期中）在①；②兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解決該問(wèn)題．已知△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，．(1)求角C的大?。?2)若∠ACB的角平分線CD交線段AB于點(diǎn)D，且，求△ABC的面積．【解析】（1）選①：由正弦邊角關(guān)系得，再由余弦邊角關(guān)系得，所以，而且，所以.選②：，所以，即，又，則且，所以，可得，所以.（2）過(guò)作交延長(zhǎng)線于，因?yàn)闉榻瞧椒志€，且，則，由，則，又，所以，，故，又，故△為等邊三角形，則，，結(jié)合（1）結(jié)論，△ABC的面積為.例18．（2022·遼寧·東北育才學(xué)校高三階段練習(xí)）已知向量，，函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，∠ACB的角平分線交AB于點(diǎn)D，若恰好為函數(shù)的最大值，且此時(shí)，求3a＋4b的最小值．【解析】（1），則函數(shù)的最小正周期.（2）由（1）可知，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值為，則，，因?yàn)槠椒郑?，則點(diǎn)分別到的距離，由，則，即，整理可得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故最小值為.例19．（2022·河北·高三階段練習(xí)）已知中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，其中，.(1)若點(diǎn)D為的中點(diǎn)且，求的余弦值；(2)若的角平分線與相交于點(diǎn)E，當(dāng)取得最大值時(shí)，求的長(zhǎng).【解析】（1）根據(jù)題意，延長(zhǎng)到F，使得，連接，可得四邊形為平行四邊形，所以；（2）設(shè)，，可得，因此，又當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以.例20．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且______．在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問(wèn)題中，并進(jìn)行解答．(1)求角的大小；(2)若角的內(nèi)角平分線交于，且，求的最小值．【解析】（1）若選條件①，由正弦定理得：，，，，則，又，.若選條件②，由得：，，則，又，.若選條件③，由得：，，即，又，，.（2），，即，，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），的最小值為.例21．（2022·貴州貴陽(yáng)·高三開(kāi)學(xué)考試（理））已知的內(nèi)角對(duì)應(yīng)的邊分別是，內(nèi)角的角平分線交邊于點(diǎn)，且．若，則面積的最小值是（

）A．16 B． C．64 D．【答案】B【解析】∵，∴，即，又，，∴，即，又，∴，由題可知，，所以，即，又，即，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，所以.故選：B.核心考點(diǎn)四：隱圓問(wèn)題【規(guī)律方法】若三角形中出現(xiàn)，且為定值，則點(diǎn)C位于阿波羅尼斯圓上．【典型例題】例22．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））阿波羅尼奧斯是與阿基米德、歐幾里得齊名的古希臘數(shù)學(xué)家，以他姓名命名的阿氏圓是指平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的比值為常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡．已知在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且，，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由正弦定理可得，設(shè)的外接圓半徑為，則，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則、，設(shè)點(diǎn)，由，可得，化簡(jiǎn)可得，所以，的邊上的高的最大值為，因此，.故選：A.例23．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）阿波羅尼斯是古希臘數(shù)學(xué)家，他與阿基米德、歐幾里得被稱為亞歷山人時(shí)期的“數(shù)學(xué)三巨匠”，以他名字命名的阿波羅尼斯圓是指平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離比值為定值的動(dòng)點(diǎn)的軌跡.已知在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意，，得，即，以邊所在的直線為軸，的垂直平分線為軸建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，由，則的軌跡為阿波羅尼斯圓，其方程為，邊高的最大值為，∴.故選:C例24．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）阿波羅尼斯（古希臘數(shù)學(xué)家，約公元前262—190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡幾乎使后人沒(méi)有插足的余地.他證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)（且）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓，現(xiàn)有，，，則當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_____.【答案】【解析】如上圖所示，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，邊所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫海?，所以：，化?jiǎn)得：，且，，圓的位置如上圖所示，圓心為，半徑，觀察可得，三角形底邊長(zhǎng)不變的情況下，當(dāng)點(diǎn)位于圓心的正上方時(shí)，高最大，此時(shí)的面積最大，點(diǎn)坐標(biāo)為，所以故答案為：例25．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）阿波羅尼斯是古希臘數(shù)學(xué)家，他與阿基米德、歐幾里得被稱為亞歷山大時(shí)期的“數(shù)學(xué)三巨匠”，以他名字命名的阿波羅尼斯圓是指平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為定值（）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡.已知在中，角的對(duì)邊分別為，則面積的最大值為_(kāi)_________．【答案】【解析】依題意，，得，即，以邊所在的直線為軸，的垂直平分線為軸建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，由，則的軌跡為阿波羅尼斯圓，其方程為，邊高的最大值為，∴.故答案為：例26．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）波羅尼斯（古希臘數(shù)學(xué)家，約公元前262-190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡幾乎使后人沒(méi)有插足的余地.他證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k（且）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有，，則當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，AC邊上的高為_(kāi)______________.【答案】【解析】為非零常數(shù)，根據(jù)阿波羅尼斯圓可得：點(diǎn)B的軌跡是圓.以線段AC中點(diǎn)為原點(diǎn)，AC所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系則，設(shè)，∵∴，整理得因此，當(dāng)面積最大時(shí)，BC邊上的高為圓的半徑.核心考點(diǎn)五：正切比值與和差問(wèn)題【規(guī)律方法】定理1：定理2：定理3：（正切恒等式）中，．【典型例題】例27．（2022·江蘇南通·高三期中）在中，點(diǎn)D在邊BC上，且，記.(1)當(dāng)，，求；(2)若，求的值.【解析】（1）當(dāng)，時(shí)，，，設(shè)，，，，∴在△ACD中，根據(jù)余弦定理得：，．（2）分別過(guò)作，，，，易知，，且，，，．例28．（2022·河南焦作·高三期中（文））在銳角中，分別為角所對(duì)的邊，，且的面積．(1)若，求；(2)求的最大值．【解析】（1），解得：；，，，由余弦定理得：，解得：.（2），即，由正弦定理得：，，，；，，，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，的最大值為.例29．（2022·江西·蘆溪中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知在中，角，，，的對(duì)邊分別為，，，且，(1)若，求邊的值；(2)若，求的面積．【解析】（1），即，，即，因?yàn)?，所以，根?jù)正弦定理可知：（2）因?yàn)?，所以，故?0．（2022·江西贛州·高三期中（理））在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足．(1)求角B的大小；(2)若，求的值．【解析】（1）由題意得，所以，則由正弦定理得，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以．?），則，又，可得，因?yàn)?，所以，則，所以，所以，則．例31．（2022·湖南·高三階段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C滿足且．(1)求證：；(2)求的最小值．【解析】（1）由題設(shè)，，則，，所以，即，，又，則；（2），設(shè)，（當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立）．∴所求最小值為．例32．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知三角形中，角所對(duì)的邊分別為，且.(1)當(dāng)，時(shí)，求的值；(2)判斷的形狀.【解析】（1）由，得，所以，所以，則，又，，，所以，所以，因?yàn)?，所以，，所以，所以，所以，，，由，得；?）因?yàn)?，所以，所以，又，所以，化?jiǎn)得，所以因?yàn)?，所以，所以，，所以，又，，，所以，，都為銳角，所以為銳角三角形.例33．（2022·湖北·高三開(kāi)學(xué)考試）在中，內(nèi)角滿足.(1)求證：；(2)求最小值.【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理得，從而，則，所以，即有.（2）由（1），有，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).所以的最小值為3.例34．（2022·江蘇南京·高三開(kāi)學(xué)考試）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)若，求A，B；(2)若△ABC為銳角三角形，求的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)椋?，代入，則，所以，且，所以；（2）由（1）知，①當(dāng)時(shí)，且，若是銳角三角形，則，所以，不成立；②當(dāng)時(shí)，且，所以，所以，則，且，且，又，所以.例35．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若向量，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，向量，，因?yàn)?，所以，可得，由正弦定理得，整理得，又由余弦定理，可得，因?yàn)椋?，由，所以，因?yàn)槭卿J角三角形，且，可得，解得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.故選：C.例36．（2022·山西呂梁·高三階段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，則______．【答案】3【解析】方法一：由余弦定理可得，所以，所以，即由正弦定理得，又，所以，即，又且為三角形內(nèi)角，，所以；方法二：因?yàn)樗?；方法三：作于D，設(shè)，，，則有，所以，即，，所以，所以．故答案為：3.例37．（2022·河南安陽(yáng)·高三階段練習(xí)（文））在中，角所對(duì)的邊分別為，若，且，則__________．【答案】【解析】中，，，，由正弦定理有，，由，得，有，即，，得，由，可得，即，代入，得，∴，由余弦定理，，得，故答案為：核心考點(diǎn)六：四邊形定值和最值【規(guī)律方法】正常的四邊形我們不去解釋，只需多一次余弦定理即可，我們需要注意一些圓內(nèi)接的四邊形，尤其是擁有對(duì)角互補(bǔ)的四邊形，尤其一些四邊形還需要引入托勒密定理．勒密定理：在四邊形中，有，當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD四點(diǎn)共圓時(shí)，等號(hào)成立．【典型例題】例38．（2022·甘肅·蘭州西北中學(xué)高三期中（理））在四邊形中，，則四邊形面積的最大值為_(kāi)_____.【答案】【解析】在中，由余弦定理知，在中，由余弦定理知，所以，即.可得，令，，則，等號(hào)成立時(shí)所以，所以四邊形面積的最大值為.故答案為：例39．（2022·江蘇無(wú)錫·高三期中）如圖，在平面四邊形中，．(1)判斷的形狀并證明；(2)若，，，求四邊形的對(duì)角線的最大值．【解析】（1）已知，由正弦定理可得：，即得，，，故，即為直角三角形．（2）如圖，在BC上方作Rt△BCM使，且，∴，∴且∴，由，，得，在中，，由，，得.由，得，∴，當(dāng)M在AC上時(shí)等號(hào)成立，∴．例40．（2022·山西忻州·高三階段練習(xí)）在平面四邊形中，，，．(1)若，求的長(zhǎng)；(2)求四邊形周長(zhǎng)的最大值．【解析】（1）連接，因?yàn)?，，故為等邊三角形，，，則，由正弦定理得，所以，.（2）由余弦定理可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.因此，四邊形周長(zhǎng)的最大值為.例41．（2022·黑龍江·齊齊哈爾市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求的最小正周期T和單調(diào)遞減區(qū)間；(2)四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BD=2，銳角A滿足，求四邊形ABCD面積S的取值范圍.【解析】（1），∴∴.由，得，所以單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由于，根據(jù)（1）得，∵，∴，.分別設(shè)AB=a，AD=b，BC=c，CD=d.因BD=2，分別在和中由余弦定理得，，∴，.∵，，等號(hào)在a=b=2，時(shí)成立，∴，，解得，.∴.等號(hào)在a=b=2，時(shí)成立，∵，所以S的取值范圍是.例42．（2022·遼寧·朝陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，在平面凹四邊形中，，，.(1)若且，求凹四邊形的面積；(2)若，求凹四邊形的面積的最小值.【解析】（1）如圖，連接，在中，由正弦定理得，所以，同理可得，在中，有，因?yàn)椋?，即，又，都是銳角，所以.（也可由點(diǎn)向，作垂線，證明是角平分線）在中，由余弦定理得，即，解得，所以凹四邊形的面積.（2）如圖，連接，在中，由余弦定理得，故.在中，設(shè)，，因?yàn)樗裕捎嘞叶ɡ淼?，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)顯然點(diǎn)在的內(nèi)部，所以.（不寫(xiě)取等條件扣1分）又，所以凹四邊形的面積的最小值.例43．（2022·全國(guó)·高三階段練習(xí)（理））如圖，在平面四邊形中，，，.(1)若，，求對(duì)角線的長(zhǎng)；(2)當(dāng)，時(shí)，求平面四邊形的面積的最大值及此時(shí)的值.【解析】（1）因?yàn)樗?又因?yàn)?，所?在中，由余弦定理得，故，即對(duì)角線的長(zhǎng)為.（2）因?yàn)?，所以，連接.又，所以為的平分線，所以，在中，由正弦定理得.所以四邊形的面積，因?yàn)?，所?所以當(dāng)，即時(shí)，取到最大值，最大值為.例44．（2022·上海·華師大二附中高三開(kāi)學(xué)考試）設(shè)，其中，已知.(1)求的最小值；(2)已知凸四邊形中，，求面積的最大值.【解析】（1）依題意，由得：，而，即，于是得，解得，，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.（2）由（1）知，，在凸四邊形中，，于是得為銳角，，，，設(shè)，則，令凸四邊形的面積為，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以面積的最大值為.核心考點(diǎn)七：邊角特殊，構(gòu)建坐標(biāo)系【規(guī)律方法】利用坐標(biāo)法求出軌跡方程【典型例題】例45．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，．若，則的面積的最大值為_(kāi)_____．【答案】【解析】:方法1:如圖，在中，以線段所在的直線為軸，的中垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，得，整理得，當(dāng)面積最大時(shí)，故，當(dāng)時(shí)，面積取得最大值為.方法2:如圖，設(shè)，，，由，得，即，又，得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))，所以，又(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即，將與代人中，得.所以面積取得最大值為.方法3:由三角形面積公式，得，即，由，得，由余弦定理，得，所以(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))，當(dāng)時(shí)，，取得最大值，即，所以面積的最大值為(也可以用基本不等式求的最大值，即，所以面積的最大值為).方法4:在中，由余弦定理，得，由，得，即，又，所以，即，故，又，所以，令，，得，令，得，0極大值即當(dāng)時(shí)，，，所以面積的最大值為.例46．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，．若，在所在的平面內(nèi)存在點(diǎn)，使得，則的面積的最大值為_(kāi)_____．【答案】【解析】:以所在直線為軸，邊的垂直平分線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，，.由，得，即①，又，故②，其中①式可以看作以(0，0)為圓心，半徑為的圓的軌跡方程，②式可以看作以為圓心，半徑為的圓的軌跡方程，由題意知兩圓有公共點(diǎn)，即點(diǎn)，則③，又，得④，由③，④得，因?yàn)椋?，，?dāng)時(shí)，取得最大值，故的最大值為.核心考點(diǎn)八：利用正、余弦定理求解與三角形的周長(zhǎng)、面積有關(guān)的問(wèn)題【規(guī)律方法】與三角形面積或周長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題，一般要用到正弦定理或余弦定理，進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化．要適當(dāng)選用公式，對(duì)于面積公式，一般是已知哪一個(gè)角就使用哪個(gè)公式．【典型例題】例47．（2022·重慶一中高三期中）在中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，且滿足.(1)證明：a，b，c成等比數(shù)列；(2)若且，的面積為，求的周長(zhǎng).【解析】（1）根據(jù)等比數(shù)列中等比中項(xiàng)定義可知a，b，c成等比數(shù)列，證畢（2）根據(jù)余弦定理可知?jiǎng)t，根據(jù)三角形面積公式：得得，故的周長(zhǎng)為：例48．（2022·山東聊城·高三期中）已知中，A、B、C所對(duì)邊分別為a、b、c，且，．(1)若，求的面積；(2)若，求的周長(zhǎng)．【解析】（1）因?yàn)?，，，∴，解得，∴．?）因?yàn)?，由正弦定理可得，代入，解得，，因?yàn)?，所以A為銳角，∴，當(dāng)B為銳角時(shí)，，∴，因?yàn)椋?，，∴，?dāng)B為鈍角時(shí)，，∴，因?yàn)椋?，，∴．綜上：的周長(zhǎng)為或．例49．（2022·山西·高三階段練習(xí)）在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解決該問(wèn)題．問(wèn)題：在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足___________．(1)求角A的大小；(2)若D為線段延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且，求的面積．【解析】（1）若選擇①，∵．∴，∵，∴，即，∵∴；若選擇②，∵，∴，∴，∴，，∵∴；若選擇③，∵，∴，∴，∴，∴，又∵．∴，∴，∵，∴；（2）設(shè)，，，在中，用余弦定理可得，即①，又∵在中，，即.即，即②，在中，用余弦定理可得，即③，③+①可得，將②式代入上式可得，．例50．（2022·云南云南·模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.(1)求角C；(2)若，D為邊BC的中點(diǎn)，的面積且，求AD的長(zhǎng)度.【解析】（1）因?yàn)?，所以，又，所以，因?yàn)椋?，所以，即，又，所以；?）由面積可得，則，即，得①，又，所以②，聯(lián)立①②得或，又，所以，在中，由余弦定理可得，所以.例51．（2022·全國(guó)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，△ABC中，點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，且滿足．(1)證明：；(2)若AB＝2，AC＝1，，求△ABD的面積．【解析】（1）在中，由正弦定理得,在中，由正弦定理得,又，故，由于，所以，因此，（2）由AB＝2，AC＝1，以及余弦定理可得,由于為三角形內(nèi)角,所以，由(1)知,故因此,進(jìn)而得核心考點(diǎn)九：利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范圍【規(guī)律方法】對(duì)于利用正、余弦定理解三角形中的最值與范圍問(wèn)題，主要有兩種解決方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是將所求式轉(zhuǎn)化為只含有三角形某一個(gè)角的三角函數(shù)形式，結(jié)合角的范圍，確定所求式的范圍．【典型例題】例52．（2022·黑龍江·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)求B；(2)若為銳角三角形，且，求周長(zhǎng)的取值范圍.【解析】（1）在中，，由正弦定理得：，整理得，由余弦定理得：，而，所以.（2）由（1）知，，由正弦定理得：，則，而，令，在銳角中，，解得，，于是得，則，所以周長(zhǎng)的取值范圍是.例53．（2022·寧夏六盤山高級(jí)中學(xué)高三期中（理））已知向量，，函數(shù)．將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖像．(1)求函數(shù)的零點(diǎn)；(2)若銳角的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別是，，，且，求的取值范圍．【解析】（1），∴，由，解得，函數(shù)的零點(diǎn)是；（2）由正弦定理得，由（1），而，得，∴，，又，得，∴代入上式化簡(jiǎn)得：，又為銳角三角形，∴，∴，則有，∴．例54．（2022·山東菏澤·高三期中）已知函數(shù)．(1)在下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得實(shí)數(shù)m的值唯一確定，并求出使函數(shù)在區(qū)間上最小值為時(shí)，a的取值范圍；條件①：的最大值為1；條件②：的一個(gè)對(duì)稱中心為；條件③：的一條對(duì)稱軸為．(2)若，在銳角中，若，且能蓋住的最小圓的面積為，求的取值范圍．【解析】（1），選條件①：因?yàn)榈淖畲笾禐?，所以，即，此時(shí)實(shí)數(shù)m的值唯一確定，滿足題意．當(dāng)時(shí)，，要使最小值為，則，解得，所以函數(shù)在區(qū)間上最小值為時(shí)a的取值范圍為．選條件②：的一個(gè)對(duì)稱中心為，則，即，此時(shí)實(shí)數(shù)m的值唯一確定，滿足題意，當(dāng)時(shí)，，所以，解得，所以函數(shù)在區(qū)間上最小值為時(shí)a的取值范圍為．條件③：的一條對(duì)稱軸為，則無(wú)法確定m的值，不滿足題意．（2）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，所以，故有．已知能蓋住的最小圓為的外接圓，由面積為，則半徑，設(shè)的角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．由正弦定理，所以，，，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得．所以，則，故，所以的取值范圍是．例55．（2022·河南·汝陽(yáng)縣一高高三階段練習(xí)（理））已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，且．(1)求角C的大小；(2)若△ABC為銳角三角形，且，求△ABC面積的取值范圍．【解析】（1）由以及，可得，即，即，即，即，由于，故，又，故，故或，解得或（舍去），故.（2）由正弦定理得，即，．所以的面積，．因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，所以，故面積的取值范圍是．例56．（2022·湖南·安仁縣第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為已知(1)求角C的大小.(2)若，求的最大值.【解析】（1）由倍角公式知原式可化為即整理得：，即所以，故（2）由余弦定理和基本不等式可得：，即即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立..即例57．（2022·山東·日照市教育科學(xué)研究中心高三期中）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，點(diǎn)D滿足，且．(1)若b＝c，求A的值；(2)求B的最大值．【解析】（1）因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)閎＝c，所以，因?yàn)?，所以．?）因?yàn)?，由余弦定理得，，即，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取等號(hào)．因?yàn)椋訠的最大值為．例58．（2022·河南·駐馬店市第二高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，．已知．(1)求；(2)若，求面積的最大值．【解析】（1）在中，，由余弦定理得，，整理得，由正弦定理得：，而，解得，，所以.（2）由（1）知，而，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，于是得，所以當(dāng)時(shí)，面積取得最大值.例59．（2022·湖北黃岡·高三階段練習(xí)）在①；②；③.三個(gè)條件中選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線處，并解答問(wèn)題.在中，內(nèi)角A?B?C的對(duì)邊分別為a?b?c，的面積為S，且滿足___________(1)求A的大?。?2)設(shè)的面積為，點(diǎn)D在邊上，且，求的最小值.【解析】（1）選①，由，由正弦定理得，中，∴，，則，所以，，可得，則，因此，；選②，，，則，∴，得；選③，，由正弦定理和切化弦得，中，∴中，，∴，得（2）由，有，由，有，∴，等號(hào)成立時(shí)即，∴的最小值為.【新題速遞】一、單選題1．（2022·河南駐馬店·高三期中（文））在中，已知，，則的最小值為（

）A．-1 B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)三角形外接圓半徑為，則，所以的外接圓半徑為1，為鈍角時(shí)，取到負(fù)值；如圖，為的中點(diǎn)，在上的投影向量為；由可知當(dāng)在上的投影長(zhǎng)最長(zhǎng)時(shí)，即與圓相切時(shí)，可取到最小值；，當(dāng)時(shí)，，所以的最小值為.故選：D2．（2022·黑龍江·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，若角A的內(nèi)角平分線的長(zhǎng)為3，則的最小值為（

）A．21 B．24 C．27 D．36【答案】C【解析】在中，，由正弦定理得，即，由余弦定理得，而，則，因角A的內(nèi)角平分線的長(zhǎng)為3，由得：，即，因此，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值27.故選：C3．（2022·山西·高三階段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．點(diǎn)D為的中點(diǎn)，，且的面積為，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】因?yàn)椋捎嘞叶ɡ淼?，即，又，得，所以，即，故，則，所以，故．故選：A.4．（2022·山東菏澤·高三期中）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則外接圓面積與面積之比的最小值為（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】由可得：，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以或，則或（舍去），設(shè)外接圓半徑為，則外接圓面積為：，面積為所以，而，因?yàn)椋?，，?dāng)時(shí)，即時(shí)，.故選：B.5．（2022·湖北·高三期中）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，下列結(jié)論正確的是（

）A．B．當(dāng)，時(shí)，的面積為C．若是的角平分線，且，則D．當(dāng)時(shí)，為直角三角形【答案】D【解析】選項(xiàng)A:因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，又因?yàn)?，所以，化?jiǎn)可得，因?yàn)?，所以可得，，故，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：當(dāng)，時(shí)，由選項(xiàng)A，得，因?yàn)?，可得，無(wú)解，故此時(shí)三角形不存在，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：因?yàn)槿羰堑慕瞧椒志€，且，由選項(xiàng)A，得故，而得，得，所以，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：因?yàn)?，由正弦定理可得，又，，得，所以，化?jiǎn)可得，因?yàn)?，解得或，由條件可知，故舍去，故，所以，所以為直角三角形，選項(xiàng)D正確．故選：D6．（2022·貴州·模擬預(yù)測(cè)（理））在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，是邊上一點(diǎn)，平分，且，若，則的最小值是（

）A． B．6 C． D．4【答案】C【解析】∵，由正弦定理得，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴.∵，∴，∴，∴.∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以最小值為.故選：C.7．（2022·寧夏·銀川一中高三階段練習(xí)（理））已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若△ABC是銳角三角形，且滿足，若△ABC的面積，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?，由余弦定理可得，即，又，故可得，由正弦定理可得：，則，，又均為銳角，故可得，即；由可得，又，故可得；由，可得；又，又，，解得或（舍去負(fù)值）,則，即的取值范圍是.故選：A.8．（2022·重慶·西南大學(xué)附中高三階段練習(xí)）已知是三角形的外心，若，且，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A．6 B． C． D．3【答案】D【解析】如圖所示：設(shè).由題意可得，，化簡(jiǎn)可得，由是三角形的外心可得，是三邊中垂線交點(diǎn)，則，代入上式得，，即依據(jù)題意，為外接圓半徑，根據(jù)正弦定理可得，代入得，則結(jié)合不等式可得，的最大值為3故選：D二、多選題9．（2022·江蘇南通·高三期中）在圓O的內(nèi)接四邊形中，，，，則（

）A． B．四邊形的面積為C． D．【答案】ABD【解析】由題意，，故，在中，由余弦定理，在中，由余弦定理，故，解得，又，故故，解得，A正確；，B正確；在中，，在中，，，C錯(cuò)誤；，又，故，D正確.故選：ABD10．（2022·江蘇淮安·高三期中）在中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為，若，則下列四個(gè)選項(xiàng)中哪些值可以作為三角形的面積（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】因?yàn)?，，所以，即，因?yàn)椋瑑墒狡椒较嗉涌傻?，由基本不等式可得，所以，所以，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：AB11．（2022·湖北·高三階段練習(xí)）已知外接圓的面積為，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，成等比數(shù)列，設(shè)的周長(zhǎng)和面積分別為，，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】由及正弦定理，得，由余弦定理，得，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，所以，則，因?yàn)橥饨訄A的面積為，所以外接圓的半徑，由正弦定理，得，所以，，選項(xiàng)AB正確；，所以，故，選項(xiàng)D正確；對(duì)于選項(xiàng)C，取滿足條件，，則C錯(cuò)誤.故選：ABD.12．（2022·山西太原·高三期中）已知分別是內(nèi)角的對(duì)邊，，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】因?yàn)?，，所以，所以因?yàn)?，且，因?yàn)椋?，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；、所以，，所以，，即，故B選項(xiàng)正確；所以，因?yàn)?，所以，所以，所以令，因?yàn)椋?，所以，即，所以，所以，，因?yàn)?，所以，即，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：BC三、填空題13．（2022·四川成都·高三階段練習(xí)（文））在中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，若；則當(dāng)角A最大時(shí)，的面積為_(kāi)_____.【答案】【解析】由，，根據(jù)正弦定理以及余弦定理，則可得，整理可得，即，根據(jù)余弦定理，可得，由，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，可得，由函數(shù)在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，取最大，故，則.故答案為：.14．（2022·四川南充·高三期中（文））已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，且內(nèi)切圓面積為，則周長(zhǎng)的最小值是______．【答案】【解析】，，即，由正弦定理可得，又，所以，，因?yàn)椋?/p>