復(fù)變函數(shù)第一章1

復(fù)變函數(shù)與積分變換2010-2011學(xué)年第一學(xué)期課程內(nèi)容與重點(diǎn)復(fù)數(shù)，基本概念和性質(zhì)解析函數(shù)與基本初等函數(shù)復(fù)變函數(shù)的積分級(jí)數(shù)留數(shù)共形映射（保形映射）*傅立葉變換拉普拉斯變換課程要求80%考試，20%平時(shí)（作業(yè)、考勤等）。兩個(gè)作業(yè)本（統(tǒng)一），每周交一個(gè)留一個(gè)。按時(shí)交作業(yè)。補(bǔ)交、抄襲作業(yè)者扣分。8次隨機(jī)考勤，缺1/3者不能參加期末考試第一章復(fù)數(shù)與復(fù)平面一、重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：難點(diǎn)：1.復(fù)數(shù)運(yùn)算和各種表示法2.復(fù)變函數(shù)以及映射的概念1.復(fù)數(shù)方程表示曲線以及不等式表示區(qū)域2.映射的概念二、內(nèi)容提要復(fù)數(shù)復(fù)變函數(shù)極限連續(xù)性代數(shù)運(yùn)算乘冪與方根復(fù)數(shù)表示法幾何表示法

向量表示法三角及指數(shù)表示法復(fù)球面復(fù)平面擴(kuò)充曲線與區(qū)域判別定理極限的計(jì)算復(fù)數(shù)的概念起源于求方程的根，在二次、三次代數(shù)方程的求根中就出現(xiàn)了負(fù)數(shù)開(kāi)平方的情況。在很長(zhǎng)時(shí)間里，人們對(duì)這類數(shù)不能理解。但隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，這類數(shù)的重要性就日益顯現(xiàn)出來(lái)。復(fù)數(shù)的一般形式是：a+bi，其中i是虛數(shù)單位。

以復(fù)數(shù)作為自變量的函數(shù)就叫做復(fù)變函數(shù)，而與之相關(guān)的理論就是復(fù)變函數(shù)論。解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)中一類具有解析性質(zhì)的函數(shù)，復(fù)變函數(shù)論主要就研究復(fù)數(shù)域上的解析函數(shù)，因此通常也稱復(fù)變函數(shù)論為解析函數(shù)論。0.1導(dǎo)論復(fù)變函數(shù)論產(chǎn)生于十八世紀(jì)。1774年，歐拉在他的一篇論文中考慮了由復(fù)變函數(shù)的積分導(dǎo)出的兩個(gè)方程。而比他更早時(shí)，法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾在他的關(guān)于流體力學(xué)的論文中，就已經(jīng)得到了它們。因此，后來(lái)人們提到這兩個(gè)方程，把它們叫做“達(dá)朗貝爾-歐拉方程”。到了十九世紀(jì)，上述兩個(gè)方程在柯西和黎曼研究流體力學(xué)時(shí)，作了更詳細(xì)的研究，所以這兩個(gè)方程也被叫做“柯西-黎曼條件”。0.2復(fù)變函數(shù)論的發(fā)展簡(jiǎn)況

復(fù)變函數(shù)論的全面發(fā)展是在十九世紀(jì)，就像微積分的直接擴(kuò)展統(tǒng)治了十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)那樣，復(fù)變函數(shù)這個(gè)新的分支統(tǒng)治了十九世紀(jì)的數(shù)學(xué)。當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家公認(rèn)復(fù)變函數(shù)論是最豐饒的數(shù)學(xué)分支，并且稱為這個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)享受，也有人稱贊它是抽象科學(xué)中最和諧的理論之一。0.2復(fù)變函數(shù)論的發(fā)展簡(jiǎn)況

為復(fù)變函數(shù)論的創(chuàng)建做了最早期工作的是歐拉、達(dá)朗貝爾，法國(guó)的拉普拉斯也隨后研究過(guò)復(fù)變函數(shù)的積分，他們都是創(chuàng)建這門學(xué)科的先驅(qū)。后來(lái)為這門學(xué)科的發(fā)展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德國(guó)數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯。

0.2復(fù)變函數(shù)論的發(fā)展簡(jiǎn)況

二十世紀(jì)初，復(fù)變函數(shù)論又有了很大的進(jìn)展，維爾斯特拉斯的學(xué)生，瑞典數(shù)學(xué)家列夫勒、法國(guó)數(shù)學(xué)家彭加勒、阿達(dá)瑪?shù)榷甲髁舜罅康难芯抗ぷ鳎_(kāi)拓了復(fù)變函數(shù)論更廣闊的研究領(lǐng)域，為這門學(xué)科的發(fā)展做出了貢獻(xiàn)。

0.2復(fù)變函數(shù)論的發(fā)展簡(jiǎn)況

復(fù)變函數(shù)的理論和方法在數(shù)學(xué)，自然科學(xué)和工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，是解決諸如流體力學(xué)，電磁學(xué)，熱學(xué)彈性理論中平面問(wèn)題的有力工具。比如物理學(xué)上有很多不同的穩(wěn)定平面場(chǎng)，所謂場(chǎng)就是每點(diǎn)對(duì)應(yīng)有物理量的一個(gè)區(qū)域，對(duì)它們的計(jì)算就是通過(guò)復(fù)變函數(shù)來(lái)解決的。

0.2復(fù)變函數(shù)論的發(fā)展簡(jiǎn)況

比如俄國(guó)的茹柯夫斯基在設(shè)計(jì)飛機(jī)的時(shí)候，就用復(fù)變函數(shù)論解決了飛機(jī)機(jī)翼的結(jié)構(gòu)問(wèn)題，他在運(yùn)用復(fù)變函數(shù)論解決流體力學(xué)和航空力學(xué)方面的問(wèn)題上也做出了貢獻(xiàn)。

0.2復(fù)變函數(shù)論的發(fā)展簡(jiǎn)況

復(fù)變函數(shù)論不但在其他學(xué)科得到了廣泛的應(yīng)用，而且在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多分支也都應(yīng)用了它的理論。它已經(jīng)深入到微分方程、積分方程、概率論和數(shù)論等學(xué)科，對(duì)它們的發(fā)展很有影響復(fù)變函數(shù)中的許多概念，理論和方法是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)領(lǐng)域的推廣和發(fā)展。0.2復(fù)變函數(shù)論的發(fā)展簡(jiǎn)況

第一節(jié)復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算一、復(fù)數(shù)的概念二、復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算三、小結(jié)與思考一、復(fù)數(shù)的概念1.虛數(shù)單位:對(duì)虛數(shù)單位的規(guī)定:虛數(shù)單位的特性:……拓展閱讀：虛數(shù)符號(hào)的由來(lái)許凱是最先考察負(fù)數(shù)開(kāi)平方運(yùn)算的人，在1484年，他在解方程4+x2=3x時(shí)得到的x值,如以現(xiàn)代的符號(hào)表示他的成果，即由于是負(fù)數(shù)，所以他認(rèn)為不可能解這方程。

而第一個(gè)對(duì)負(fù)數(shù)開(kāi)方運(yùn)算進(jìn)行研究并得到虛數(shù)及其運(yùn)算方法的人是卡爾達(dá)諾，在1545年，在他所著的《大術(shù)》中，記載了以下的乘法運(yùn)算：

當(dāng)中相等于根號(hào)，是減（即負(fù)），表示√-15，這就是最早表示虛數(shù)的方法。當(dāng)時(shí)，他稱負(fù)數(shù)的平方根為「詭辯量」，并且懷疑運(yùn)算這些數(shù)的合理性，因此，卡爾達(dá)諾稱正數(shù)的根為真實(shí)的根（realroot），負(fù)數(shù)的根為虛構(gòu)的根（fictitiousroot）。但實(shí)和虛的用法與現(xiàn)代的不同。1637年，在笛卡兒的《幾何學(xué)》一書(shū)中第一次出現(xiàn)了虛數(shù)的名稱。「imaginaires」代表虛的，及「reelles」代表實(shí)的。

1777年，歐拉在一篇遞交給彼得堡科學(xué)院的論文《微分公式》中首次以i來(lái)表示:√-1，但很少人注意到。直到1801年，高斯才有系統(tǒng)地使用這個(gè)符號(hào)，并沿用至今。

2.復(fù)數(shù):有序數(shù)對(duì)z=(x,y)=x+iy稱為復(fù)數(shù)的Hamilton定義。例1解令兩復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部和虛部分別相等.復(fù)數(shù)z

等于0當(dāng)且僅當(dāng)它的實(shí)部和虛部同時(shí)等于0.說(shuō)明兩個(gè)數(shù)如果都是實(shí)數(shù),可以比較它們的大小,如果不全是實(shí)數(shù),就不能比較大小,也就是說(shuō)復(fù)數(shù)不能比較大?。《?、復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算1.兩復(fù)數(shù)的和:2.兩復(fù)數(shù)的積:3.兩復(fù)數(shù)的商:4.共軛復(fù)數(shù):實(shí)部相同而虛部絕對(duì)值相等符號(hào)相反的兩個(gè)復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù).例2解5.共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì):以上各式證明略.例3解例4解例5解例6解例7證例8解三、小結(jié)與思考本課學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的有關(guān)概念、性質(zhì)及其運(yùn)算.重點(diǎn)掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算,它是本節(jié)課的重點(diǎn).思考題復(fù)數(shù)為什么不能比較大??？思考題答案由此可見(jiàn),在復(fù)數(shù)中無(wú)法定義大小關(guān)系.放映結(jié)束，按Esc退出.附錄：向Hamilton學(xué)習(xí)Hamilton.WilliamRowan（威廉.羅萬(wàn).哈密頓，1805——1865）爵士，無(wú)疑是使愛(ài)爾蘭人在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中享有盛益的最偉大的人物，同時(shí)也是有名望的物理學(xué)家和天文學(xué)家。他1805年生于都柏林，除了短時(shí)間外出訪問(wèn)外，一生都是在這里度過(guò)的。他才一歲時(shí)，被委托給一位叔叔教育，這位叔叔的熱心在于給他側(cè)重語(yǔ)言上的教育，不久之后，他就成了孤兒。Hamilton是個(gè)神童，3歲時(shí)能閱讀英文，5歲時(shí)能閱讀、翻譯拉丁、希臘和希伯萊文，8歲就會(huì)講意大利語(yǔ)和法語(yǔ)，而且能用拉丁文描寫美麗的愛(ài)爾蘭江山，12歲就讀完了用拉丁文寫的Euclid的《幾何原理》，據(jù)說(shuō)他到十三歲時(shí)就掌握了十三種語(yǔ)言。在14歲時(shí)，有波斯大使到達(dá)他的家鄉(xiāng)都柏林訪問(wèn)，他還用波斯文寫了一篇?dú)g應(yīng)詞。這使得他逐步喜愛(ài)上了古典文學(xué),沉醉于詩(shī)的寫作之中,他成為當(dāng)時(shí)的偉大詩(shī)人WillamWordsworth的親密朋友和相互贊賞者。然而遺憾的是卻沒(méi)有什么真正的成就。直到十五歲，哈密爾頓的興趣才轉(zhuǎn)變，愛(ài)上了數(shù)學(xué)。這個(gè)變化是由于他認(rèn)識(shí)美國(guó)的心算專家ZerahColburn(科爾伯恩)引起的。這位計(jì)算家雖然只是個(gè)小孩子，但是他在都柏林表演了他的快速計(jì)算能力。不久之后Hamilton偶然間見(jiàn)到Newton的《通用算術(shù)》的抄本，他貪婪地讀它，然后又掌握了解析幾何和微積分，并接著讀了歐洲大陸的數(shù)學(xué)巨著。他讀了Laplace的《天體力學(xué)》（MecaniqueCéleste）后,指出了其中的一個(gè)數(shù)學(xué)錯(cuò)誤；1823年，他寫了一篇關(guān)于這件事的論文，受到相當(dāng)?shù)淖⒁?，第二年，他進(jìn)了都柏林的三一學(xué)院。Hamilton的大學(xué)經(jīng)歷也是獨(dú)一無(wú)二的。他在1827年，當(dāng)他二十二歲還是一個(gè)大學(xué)生時(shí)，就無(wú)異議地被任命為愛(ài)爾蘭的皇家天文學(xué)家，鄧辛克天文臺(tái)臺(tái)長(zhǎng)，和大學(xué)的天文學(xué)教授。不久之后，僅從數(shù)學(xué)理論方面，預(yù)見(jiàn)到二軸晶體中圓錐形的折射，后來(lái)，有物理學(xué)家們戲劇般地從試驗(yàn)上加以肯定。在物理學(xué)中常見(jiàn)到的Hamilton的名字有Hamilton原理（最小作用量原理，1829），Hamilton數(shù)（哈數(shù)）和動(dòng)力學(xué)的Hamilton——Jacobi微分方程等。從1833年起，他轉(zhuǎn)而研究代數(shù)，并于1835年寫成了《共軛函數(shù)或者代數(shù)對(duì)的理論》

的有價(jià)值的論文，并把它呈交給愛(ài)爾蘭科學(xué)

院，在這篇文章中，詳細(xì)談到了形如x+iy的復(fù)

數(shù)把它當(dāng)做實(shí)數(shù)對(duì)來(lái)研究，這是Hamilton的偉

大成就之一。

繼他的這篇論文之后，Hamilton用許多年的時(shí)

間斷斷續(xù)續(xù)地考慮實(shí)數(shù)的有序三元組和有序四

元組的代數(shù)，但總是在如何定義乘法，使得能

夠保持人們所熟悉的運(yùn)算率上處于困境。最后在1843年，一閃念間，他直覺(jué)地想到，要求的太多了，必須犧牲交換率。于是，第一個(gè)四元數(shù)的代數(shù)，第一個(gè)非交換代數(shù)，就這樣突然誕生了。關(guān)于四元數(shù)，有一種說(shuō)法：這是他在經(jīng)過(guò)十年無(wú)效的苦思冥想之后，當(dāng)他在黃昏前，和他的妻子一道，沿著都柏林附近的皇家運(yùn)河散步時(shí)突然想到的，并把這種想法刻在了步老姆橋（BroughmBridge）的石柱上。

在生命的最后二十年中，Hamilton花費(fèi)了大量時(shí)間和精力推演其四元數(shù)，他認(rèn)為這將在數(shù)學(xué)物理中引起巨大的變革，1853年發(fā)表了他的偉大巨著《論四元數(shù)》（TreatiseonQuaternious），在這之后，他準(zhǔn)備寫一本擴(kuò)展了的四元數(shù)原理。但不幸的是，1865年他在都柏林死于酒精中毒，據(jù)說(shuō)這是由于不愉快的婚姻帶給他的潦倒生活所致，使這項(xiàng)工作未能完成。1866年，其遺著《四元數(shù)的理論基礎(chǔ)》出版。雖然，由于后來(lái)有了美國(guó)物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家，耶魯大學(xué)的吉步斯（JosiahWillardGibbs1839-1903）的更方便的向量分析，格拉斯曼（HermanGiintherGrassman）的更一般的有序n元組，使四元數(shù)的理論被淹沒(méi)成為數(shù)學(xué)史上一件有趣的古董，但他在數(shù)學(xué)史上的重要性在于：Hamilton1843的創(chuàng)造，把代數(shù)學(xué)從受束縛于實(shí)數(shù)算術(shù)的傳統(tǒng)中解放出來(lái)，并且因而打開(kāi)了現(xiàn)代抽象代數(shù)的閘門。Hamilton在其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域也有許多貢獻(xiàn)。如矩陣論中的Hamilton——Cayley定理、方程和多項(xiàng)式；圖論中的Hamilton博弈問(wèn)題等。一生共發(fā)表了140余篇論文。Hamilton一生受到的榮益也是很高的，他是新成立的美國(guó)國(guó)家科學(xué)院選作的第一個(gè)外籍院士，1835年被封為爵士，1845年他還得到了一個(gè)罕有的榮譽(yù)—那年，他參加了不列顛協(xié)會(huì)的第二次劍橋會(huì)議，