有限元軟件ABAQUS在結(jié)構(gòu)彈塑性地震時(shí)程中的應(yīng)用

有限元分析軟件ABAQUS在結(jié)構(gòu)彈塑性地震時(shí)程分析中的應(yīng)用摘要：ABAQUS軟件是國(guó)際上公認(rèn)的功能強(qiáng)大的通用有限元分析軟件，具有豐富的材料、單元模型庫(kù)，能夠處理高度非線性問(wèn)題，在結(jié)構(gòu)抗震分析領(lǐng)域有著良好的推廣前景。本文介紹了ABAQUS在結(jié)構(gòu)彈塑性地震時(shí)程分析應(yīng)用中的兩個(gè)問(wèn)題：（1）傳統(tǒng)上有限元軟件采用的隱式積分算法，求解過(guò)程需占用大量的存儲(chǔ)空間，隨著結(jié)構(gòu)自由度數(shù)量和非線性程度的增加，會(huì)遭遇到計(jì)算瓶頸，而ABAQUS采用的顯式積分算法，能否有效地解決這個(gè)問(wèn)題;（2）ABAQUS中的塑性區(qū)模型能否通過(guò)輸入材料的本構(gòu)關(guān)系得到構(gòu)件各時(shí)刻的彈塑性變形和內(nèi)力，從而有效地進(jìn)行結(jié)構(gòu)的彈塑性性能評(píng)比。關(guān)鍵詞：ABAQUS彈塑性時(shí)程分析隱式算法顯式算法引言ABAQUS是由美國(guó)HKS公司研制開(kāi)發(fā)的國(guó)際上公認(rèn)的功能強(qiáng)大的有限元軟件之一，可以分析各種固體力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)系統(tǒng)。特別是能夠處理非常復(fù)雜的問(wèn)題和模擬高度非線性問(wèn)題。近些年來(lái)ABAQUS優(yōu)秀的分析能力和模擬復(fù)雜系統(tǒng)的可靠性使得ABAQUS被各國(guó)的工業(yè)和研究機(jī)構(gòu)廣泛采用。需進(jìn)行彈塑性地震時(shí)程分析的結(jié)構(gòu)往往自由度比較多，而且在地震作用下，結(jié)構(gòu)構(gòu)件反復(fù)進(jìn)入彈塑性受力階段，具有高度非線性，傳統(tǒng)上采用隱式算法求解，求解過(guò)程需反復(fù)迭代，占用大量存儲(chǔ)空間，極易遭遇計(jì)算瓶頸。更為嚴(yán)重的是，當(dāng)結(jié)構(gòu)出現(xiàn)嚴(yán)重的剛度突變（塑性鉸模型）時(shí)，可能發(fā)生即使細(xì)分步長(zhǎng)也不能收斂的情況[1]。而ABAQUS采用的顯式算法能有效地解決存儲(chǔ)空間問(wèn)題，沒(méi)有計(jì)算瓶頸，且ABAQUS可采用塑性區(qū)模型通過(guò)輸入材料的本構(gòu)關(guān)系來(lái)進(jìn)行結(jié)構(gòu)的彈塑性分析，沒(méi)有剛度突變問(wèn)題。所以ABAQUS是目前解決大規(guī)模結(jié)構(gòu)彈塑性時(shí)程分析的最佳方案之一。ABAQUS對(duì)時(shí)程分析問(wèn)題的處理眾所周知，結(jié)構(gòu)在地震作用下的振動(dòng)方程式為：（1）式中：[M]、[C]、[K]分別是結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣。、、分別是結(jié)構(gòu)的加速度向量、速度向量和位移向量，是地面加速度向量。結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)時(shí)程分析的過(guò)程即求解振動(dòng)方程的過(guò)程，ABAQUS采用直接積分法來(lái)求解振動(dòng)方程，ABAQUS/Standard模塊中采用隱式算法進(jìn)行積分，ABAQUS/Explicit模塊中采用顯式算法進(jìn)行積分。在彈塑性時(shí)程分析中，剛度矩陣是隨時(shí)間變化的函數(shù)，選擇合適的彈塑性模型是關(guān)鍵問(wèn)題，ABAQUS可采用塑性區(qū)模型等。2.1積分算法2.1.1隱式積分算法ABAQUS/Standard應(yīng)用Hilber-hughes方法對(duì)運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行隱式的時(shí)間積分，Hilber-hughes是Newmark-β法的改進(jìn)法?；痉匠倘缦拢海?）（3）（4）式中是數(shù)值阻尼系數(shù)，如果=0.0就是Newmark-β法。在ABAQUS中，系數(shù)γ取1/2，β取1/4，所以積分算法無(wú)條件穩(wěn)定。采用隱式積分進(jìn)行靜力分析和彈性動(dòng)力時(shí)程分析時(shí)，擬剛度矩陣只需組集一次便可多次求解，求解效率很高。且在幾何非線性和彈塑性非線性分析中，積分步長(zhǎng)可以取的比較長(zhǎng)，求解速度較快。但擬剛度矩陣求解需消耗很大的存儲(chǔ)空間，其大小隨結(jié)構(gòu)自由度增加呈幾何級(jí)數(shù)增長(zhǎng)；在求解大規(guī)模問(wèn)題中，極易遭遇計(jì)算瓶頸。在處理高度非線性問(wèn)題時(shí)，需不斷迭代縮小步長(zhǎng)求解，每次迭代都需重組剛度矩陣，計(jì)算代價(jià)很高。2.1.2顯式積分算法ABAQUS/Explicit應(yīng)用中心差分方法對(duì)運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行顯式時(shí)間積分，動(dòng)力學(xué)平衡方程如下：（5）對(duì)時(shí)間顯式積分：（6）（7）式中M是質(zhì)量矩陣，Pi是所施加外力，Ii 是單元內(nèi)力。求解過(guò)程如下：在當(dāng)前增量步開(kāi)始時(shí)，用動(dòng)力學(xué)平衡方程(5)計(jì)算加速度，對(duì)加速度在時(shí)間上進(jìn)行積分時(shí)采用中心差分方法，在計(jì)算速度的變化時(shí)假定加速度為常數(shù)。應(yīng)用這個(gè)速度的變化值加上前一個(gè)增量步中點(diǎn)的速度來(lái)確定當(dāng)前增量步中點(diǎn)的速度，速度對(duì)時(shí)間的積分并加上在增量步開(kāi)始時(shí)的位移以確定增量步結(jié)束時(shí)的位移。采用顯式積分進(jìn)行時(shí)程分析時(shí)，為滿足加速度在時(shí)間增量?jī)?nèi)保持不變的假定，積分步長(zhǎng)必須小于模型自振周期中的最小值，積分時(shí)間步長(zhǎng)一般是隱式步長(zhǎng)的1/1000～1/100。以加速度為計(jì)算的基本要素，在處理實(shí)際不產(chǎn)生加速度的靜力加載問(wèn)題時(shí)，需分多步緩慢加載，耗時(shí)很長(zhǎng)。但其無(wú)需進(jìn)行矩陣求逆，所求解方程均為一元方程，無(wú)需迭代求解，每步均可保證收斂。對(duì)存儲(chǔ)空間的消耗與單元數(shù)目成正比，資源占用率低，求解速度取決于CPU浮點(diǎn)計(jì)算速度，適合處理大規(guī)模問(wèn)題。隱式算法與顯式算法的比較顯式算法是有條件穩(wěn)定，積分步長(zhǎng)依賴于模型的最高階自然頻率，而與載荷類型及持續(xù)時(shí)間無(wú)關(guān)；隱式算法是無(wú)條件穩(wěn)定，積分步長(zhǎng)的大小通常參考精度和收斂情況來(lái)決定。顯式算法最顯著的特點(diǎn)是無(wú)需進(jìn)行隱式方法中所必需的整體切線剛度矩陣求逆。由于是“顯式”地前推模型狀態(tài)，所以不需要迭代和收斂準(zhǔn)則。在隱式分析中，每一次迭代都需要求解大型線性方程組，這一過(guò)程需要占用相當(dāng)數(shù)量的計(jì)算資源、磁盤空間和內(nèi)存。顯式算法的求解速度取決于CPU的浮點(diǎn)計(jì)算能力，而隱式算法的求解速度取決于虛擬內(nèi)存與磁盤之間的I/O運(yùn)算。2.2彈塑性模型描述單元（梁、柱）的常用彈塑性模型有塑性鉸模型和塑性區(qū)模型。塑性鉸模型將塑性變形限制發(fā)生在單元的局部區(qū)域，其余部位則永遠(yuǎn)保持彈性，這是對(duì)工程實(shí)際情況的簡(jiǎn)化，該模型的單元本構(gòu)關(guān)系大多采用桿件的內(nèi)力-變形關(guān)系，即與桿件截面相關(guān)的本構(gòu)關(guān)系。塑性區(qū)模型則是在單元長(zhǎng)度方向和截面內(nèi)逐漸進(jìn)入塑性，是對(duì)工程實(shí)際情況的更精確的模擬。該模型的單元本構(gòu)關(guān)系采用材料一點(diǎn)的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，單元?jiǎng)偠汝噭t由材料一點(diǎn)的應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系對(duì)截面和單元長(zhǎng)度積分得到，因而軸力和雙向彎矩耦合作用的屈服準(zhǔn)則和滯回規(guī)律得到較精確的模擬。目前高端的大型通用軟件如ABAQUS、ANSYS等均有塑性區(qū)模型，雖然塑性區(qū)模型計(jì)算工作量偏大，但隨著現(xiàn)代微機(jī)計(jì)算能力的快速提高，使得該模型得以進(jìn)入實(shí)用化階段。ABAQUS有豐富的材料庫(kù)，可以提供多種材料本構(gòu)關(guān)系及失效準(zhǔn)則模型，如塑性模型有金屬動(dòng)力硬化模型、混凝土損傷模型等。同時(shí)為了方便用戶開(kāi)發(fā)自己需要的材料模型，ABAQUS提供了方便靈活的二次開(kāi)放平臺(tái)，用戶可以根據(jù)需要編寫用戶子程序（UMAT）。在模擬地震作用下結(jié)構(gòu)的反應(yīng)時(shí)，混凝土材料選擇混凝土彈塑性損傷模型，鋼材選擇動(dòng)力硬化模型（如圖1鋼材雙線型應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系曲線圖1）。算例分析3.1隱式算法與顯式算法的對(duì)比一棟10層三跨框架結(jié)構(gòu)[2]，層高均為3.6m，見(jiàn)圖2。各樓層質(zhì)量取為6.21×104kg，梁柱采用Q235鋼材，雙線性動(dòng)力強(qiáng)化模型，強(qiáng)化系數(shù)0.02，阻尼比0.02。結(jié)構(gòu)構(gòu)件截面參數(shù)見(jiàn)表1。表1構(gòu)件截面參數(shù)構(gòu)件類別寬度/mm高度/mm翼緣厚度/mm腹板厚度/mm中柱5757252016邊柱5006502016所有梁3257002016圖2結(jié)構(gòu)分析模型使用ABAQUS計(jì)算得出結(jié)構(gòu)的前三階周期為0.961s、0.389s、0.1705s?？疾旖Y(jié)構(gòu)在地震作用在下的響應(yīng)，選用EI-centro地震記錄。分別采用隱式算法和顯式算法計(jì)算20s內(nèi)結(jié)構(gòu)在8度罕遇、9度多遇地震下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)。在計(jì)算8度罕遇地震結(jié)構(gòu)響應(yīng)時(shí)，模型材料采用金屬動(dòng)力硬化彈塑性模型，在計(jì)算9度多遇地震下結(jié)構(gòu)響應(yīng)時(shí)，模型材料采用彈性模型。計(jì)算所用機(jī)器的CPU為P4-3.1G，內(nèi)存1G。用隱式算法計(jì)算時(shí)，使用ABAQUS/Standard模塊，分別采用B23單元和B21單元，參數(shù)設(shè)置：采用ABAQUS固定積分步長(zhǎng)為0.02s。用顯式算法計(jì)算時(shí)，使用ABAQUS/Explicit模塊，使用B21單元，參數(shù)設(shè)置：積分步長(zhǎng)分別采用2e-6，1e-5兩種情況。圖3給出了ABAQUS/Standard和ABAQUS/Explicit得到的8度罕遇地震作用下的底部剪力時(shí)程曲線的對(duì)比圖（圖中實(shí)線表示隱式算法結(jié)果，虛線表示顯式算法結(jié)果）。表2給出的是隱式分析與顯式分析的計(jì)算費(fèi)用對(duì)比。(a)隱式算法采用B23單元時(shí)(b)隱式算法采用B21單元時(shí)圖38度罕遇地震作用下底部剪力時(shí)程曲線表2隱式算法與顯式算法的計(jì)算費(fèi)用對(duì)比CUP使用率所占內(nèi)存（MB）耗時(shí)(s)磁盤空間（MB）隱式算法8度罕遇地震20％～30％820MB197.5s17.2MB9度多遇地震20％～25％750MB193.6s17.2MB顯式算法8度罕遇地震2e-650%~60%670MB5400s1.84MB1e-550%~60%662MB2220s1.77MB9度多遇地震2e-650%~60%665MB5360s1.77MB1e-550%~60%663MB2100s1.80MB從圖3、表2可知：（1）顯式算法中，積分步長(zhǎng)越小，由其得到的結(jié)果與由隱式算法得到的結(jié)果越接近。一般地，采用系統(tǒng)默認(rèn)的自動(dòng)劃分積分步長(zhǎng)足以保證精度。（2）顯式算法采用積分步長(zhǎng)2×10e-6時(shí)，底部剪力的時(shí)程曲線與隱式的在形狀和幅值上基本相同（圖3-a），差別源于在分析中二者分別采用了B21單元和B23單元。實(shí)際工程運(yùn)算時(shí)，基于高精度的目的，通常采用B23單元。如果ABAQUS/Standard采用B21單元，那么由兩種算法得到的結(jié)果幾乎沒(méi)有差別（圖3-b）。（3）從計(jì)算成本上看，隱式算法耗費(fèi)的存儲(chǔ)空間比較大，而CPU使用率很低。而顯式算法的計(jì)算成本較低，有效地使用了CPU資源。隨著自由度數(shù)量的增加，特別是在彈塑性分析時(shí)，隱式算法需要大量迭代，方程求解器對(duì)資源的需求迅速增加，因此在實(shí)際工程運(yùn)算上，隱式算法的計(jì)算瓶頸在于可用存儲(chǔ)空間的大小。（4）由于該模型的單元數(shù)較少，沒(méi)有體現(xiàn)出顯式算法在耗時(shí)上的優(yōu)越性；在自由度數(shù)目不多，非線性不強(qiáng)烈的情況下，用隱式算法比用顯式算法耗時(shí)少。為了比較規(guī)模龐大的結(jié)構(gòu)在顯式算法與隱式算法方面的差異，將上述算例擴(kuò)展為一個(gè)20層15跨的純鋼框架模型，模型其他條件同上例。計(jì)算10s內(nèi)8度罕遇地震下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)。顯式算法和隱式算法均采用自動(dòng)劃分積分步長(zhǎng)。表3給出的是隱式算法與顯式算法的計(jì)算費(fèi)用對(duì)比。表3隱式算法與顯式算法的計(jì)算費(fèi)用對(duì)比CPU使用率所占內(nèi)存（MB）耗時(shí)磁盤空間（MB）隱式算法20%～30％10243小時(shí)15分鐘716顯式算法60％～65％7201小時(shí)9分鐘59.2從表3可以看出在結(jié)構(gòu)自由度比較多時(shí)，顯式算法比隱式算法耗時(shí)明顯減少，存儲(chǔ)空間也小得多，所以在處理結(jié)構(gòu)自由度比較多時(shí)，宜采用顯式算法。3.2塑性區(qū)模型與塑性鉸模型的對(duì)比某5層辦公樓采用單跨輕鋼框架結(jié)構(gòu)[3]，構(gòu)件截面尺寸見(jiàn)表4，鋼筋混凝土樓面，壓型鋼板加保溫層屋面，墻體為蒸壓輕質(zhì)加氣混凝土(ALC)板，（見(jiàn)圖4）。第2～第4層每個(gè)節(jié)點(diǎn)的質(zhì)量為23000kg，頂層節(jié)點(diǎn)質(zhì)量為3410kg。阻尼系數(shù)取0.02，梁柱使用Q235鋼，強(qiáng)化系數(shù)0.02。選用EI-centro地震記錄，時(shí)間步長(zhǎng)取0.02s，計(jì)算抗震設(shè)防烈度分別為8、9度罕遇地震下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)。表4構(gòu)件截面參數(shù)構(gòu)件類別寬度/mm高度/mm翼緣厚度/mm腹板厚度/mm柱3005501812樓面梁300600188屋面梁25035086圖4結(jié)構(gòu)分析模型由于模型的自由度較少，使用ABAQUS中的隱式算法進(jìn)行求解。分別采用B23單元和B21單元進(jìn)行求解。采用B23單元時(shí)每根構(gòu)件分別劃分為1個(gè)單元和7個(gè)單元兩種情況；采用B21單元時(shí)每根構(gòu)件分別劃分為1、2、3、7個(gè)單元四種情T1=0.976sT2=0.296sT3=0.157s況。材料采用金屬動(dòng)力硬化模型（KinematicPlastic）圖5結(jié)構(gòu)的前三個(gè)振型，積分步長(zhǎng)取0.02s。計(jì)算得出結(jié)構(gòu)的前三周期分別為0.976s，0.296s，0.157s。結(jié)構(gòu)的前三個(gè)振型如圖5所示。圖6分別給出了由塑性鉸模型[3]和塑性區(qū)模型得到的9度罕遇地震下底部剪力時(shí)程曲線，圖7分別給出了由塑性鉸模型[3]和塑性區(qū)模型得到9度罕遇地震下頂點(diǎn)位移時(shí)程曲線。8、9度罕遇地震下結(jié)構(gòu)的底部剪力與層間位移曲線如圖8、9所示。圖10給出了由計(jì)算結(jié)果得到的進(jìn)入塑性構(gòu)件的材料本構(gòu)關(guān)系。表5所示的是由塑性區(qū)模型與塑性鉸模型[3]得到的結(jié)果對(duì)比。(a)塑性鉸模型(b)塑性區(qū)模型圖69度罕遇地震下的底部剪力時(shí)程曲線(a)塑性鉸模型(b)塑性區(qū)模型圖79度罕遇地震下的頂點(diǎn)位移時(shí)程曲線.(a)塑性鉸模型(b)塑性區(qū)模型圖88度罕遇地震下的結(jié)構(gòu)底部剪力與層間位移滯回曲線(a)塑性鉸模型(b)塑性區(qū)模型圖99度罕遇地震下的結(jié)構(gòu)底部剪力與層間位移滯回曲線表5塑性區(qū)模型與塑性鉸模型的對(duì)比最大位移和剪力8度罕遇9度罕遇塑性鉸模型塑性區(qū)模型差值塑性鉸模型塑性區(qū)模型差值頂點(diǎn)最大位移/ccm19.8815.9219.9%43.7518.557.7%底部最大剪力/kkN656.1377.342.5%727.141043.6%最大層間位移/ccm7.45.328.3%14.636.3556.6%從這些圖表中可看出：（1）塑性區(qū)模型的計(jì)算結(jié)果與塑性鉸模型的結(jié)果對(duì)比，頂點(diǎn)位移和底部剪力小很多；并且隨著地震最大加速度的提高，位移差距增大，底部剪力差距增加較小，原因可能是因?yàn)樵谒苄詤^(qū)模型中，在單元長(zhǎng)度方向和截面內(nèi)逐漸進(jìn)入塑性，而在塑性鉸模型中，采用集中塑性鉸假設(shè)，塑性鉸的幾何長(zhǎng)度為0。梁端截面進(jìn)入塑性后即形成塑性鉸，所以在地震反復(fù)運(yùn)動(dòng)作用下，塑性鉸模型的塑性變形大些，這可以從圖8和圖9的底部剪力與層間位移曲線中看出來(lái)。地震運(yùn)動(dòng)越劇烈，在地震作用過(guò)程中，塑性變形差距越大，兩個(gè)模型間的頂點(diǎn)位移差距越大。而底部剪力增量等于剛度矩陣乘以位移增量，雖然在9度罕遇地震下，塑性鉸模型的位移增量比較大，但由于形成塑性鉸時(shí)，剛度比較小，所以底部剪力的差距增加較小。（2）從圖10可以看出，反演的材料應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系與金屬材料的雙線型滯回曲線吻合良好，ABAQUS采用的動(dòng)力強(qiáng)化塑性模型能很好地模擬鋼材等金屬材料的滯回性能。所以ABAQUS采用塑性區(qū)模型符合工程實(shí)際情況。(a)8度罕遇地震(b)9度罕遇地震圖10塑性區(qū)模型反演的材料應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系從圖11可以看出單元對(duì)結(jié)果的影響，采用B23單元的模型，網(wǎng)格劃分稀疏對(duì)結(jié)果影響不大；采用B21單元的模型，隨著網(wǎng)格劃分加密，時(shí)程曲