《17.3勾股定理》期末復(fù)習(xí)自主提升訓(xùn)練 八年級數(shù)學(xué)上冊

八年級數(shù)學(xué)上冊《17.3勾股定理》期末復(fù)習(xí)自主提升訓(xùn)練（附答案）1．同學(xué)們都學(xué)習(xí)過“趙爽弦圖”，如圖所示，若大正方形的面積為5，小正方形的面積為1，則每個直角三角形的兩直角邊的乘積為（）A．1 B．2 C． D．2．一個直角三角形兩條直角邊的長分別為6，8，則其斜邊上的高為（）A． B．13 C． D．253．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各邊為邊在△ABC外作三個正方形，S1，S2，S3分別表示這三個正方形的面積，若S1＝3，S2＝10，則S3＝（）A．5 B．7 C．13 D．154．下列各組數(shù)中，不是勾股數(shù)的是（）A．3，4，5 B．30，40，50 C．7，14，15 D．5，12，135．下列數(shù)組中，不能構(gòu)成直角三角形的一組是（）A．3，4，5 B．1，， C．6、8、10 D．2、3、56．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，下列條件中，不能判斷△ABC是直角三角形的是（）A．a(chǎn)＝3，b＝4，c＝5 B．a(chǎn)＝b，∠C＝45° C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．a(chǎn)＝，b＝，c＝27．三個頂點(diǎn)都在網(wǎng)格點(diǎn)上，且有一個角為直角的三角形稱為網(wǎng)格直角三角形．在6×6的網(wǎng)格圖中，若△ABC為網(wǎng)格直角三角形，則滿足條件的C點(diǎn)個數(shù)有（）A．6 B．7 C．13 D．158．《九章算術(shù)》中的“折竹抵地”問題：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，問折高者幾何？意思是一根竹子，原高兩丈（一丈＝10尺），一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹稍恰好抵地，抵地處離竹子底部9尺遠(yuǎn)，問折斷處離地面的高度是多少？設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為（）A．x2﹣9＝（20﹣x）2 B．x2﹣92＝（20﹣x）2 C．x2+9＝（20﹣x）2 D．x2+92＝（20﹣x）29．如圖，高速公路上有A、B兩點(diǎn)相距25km，C、D為兩村莊，已知DA＝10km，CB＝15km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，現(xiàn)要在AB上建一個服務(wù)站E，使得C、D兩村莊到E站的距離相等，則AE的長是（）km．A．5 B．10 C．15 D．2510．如圖，桌面上的長方體長為8，寬為6，高為4，B為CD的中點(diǎn)．一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿長方體的表面到達(dá)B點(diǎn)，則它運(yùn)動的最短路程為（）A． B． C．10 D．11．勾股定理a2+b2＝c2本身就是一個關(guān)于a，b，c的方程，顯然這個方程有無數(shù)解，滿足該方程的正整數(shù)（a，b，c）通常叫做勾股數(shù)．如果三角形最長邊c＝2n2+2n+1，其中一短邊a＝2n+1，另一短邊為b，如果a，b，c是勾股數(shù)，則b＝（用含n的代數(shù)式表示，其中n為正整數(shù)）12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，若a：b＝3：4，c＝20cm，則b＝．13．如圖是“趙爽弦圖”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四個全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝20，AH＝12，那么FG＝．14．如圖，△ABC的頂點(diǎn)A，B，C都在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，CD⊥AB于點(diǎn)D，則CD的長為．15．三角形的兩邊長分別為1cm和2cm，要使這個三角形是直角三角形，則第三條邊長是cm．16．如圖所示，是一塊由花園小道圍成的邊長為12米的正方形綠地，在離C處5米的綠地旁邊B處有健身器材，為提醒居住在A處的居民愛護(hù)綠地，不直接穿過綠地從A到B，而是沿小道從A→C→B．小麗想在A處樹立一個標(biāo)牌“沿路多走■米，共建美麗家園”請問：小麗在標(biāo)牌■填上的數(shù)字是．17．如圖，秋千靜止時，踏板離地的垂直高度BE＝1m，將它往前推6m至C處時，水平距離CD＝6m，踏板離地的垂直高度CF＝4m，它的繩索始終拉直，則AC的長是m．18．如圖，有互相垂直的兩面墻OM，ON，梯子AB＝6m，兩端點(diǎn)A，B分別在兩面墻上滑動（AB長度不變），P為AB的中點(diǎn)，柱子CD＝4m，底端C到墻角O的距離為6m．在此滑動過程中，點(diǎn)D到點(diǎn)P的距離的最小值為m．19．有一塊等腰三角形草地，測得腰CA＝CB，AB＝6m，腰比底邊上的高多1米，求該草坪的面積？20．已知等腰三角形ABC的底邊BC＝2cm，D是腰AB上一點(diǎn)，且CD＝4cm，BD＝2cm．（1）求證：CD⊥AB；（2）求△ABC的面積．21．如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上．“綜合執(zhí)法1號”、“綜合執(zhí)法2號”輪船同時離開港口，各自沿一定方向執(zhí)法巡邏，“綜合執(zhí)法1號”每小時航行16nmile，“綜合執(zhí)法2號”每小時航行12nmile，它們離開港口一個半小時后分別位于點(diǎn)Q，R處，且相距30nmile．（1）求PQ，PR的長度；（2）如果知道“綜合執(zhí)法1號”沿北偏東61°方向航行，能知道“綜合執(zhí)法2號”沿哪個方向航行嗎？22．如圖，在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若∠C為直角，如圖1，則有結(jié)論：a2+b2＝c2；當(dāng)∠C為銳角（如圖2）或鈍角（如圖3）時，請你完成下列探究：（1）分別猜想∠C為銳角或鈍角這兩種情況下a2+b2與c2的大小關(guān)系；（2）任選（1）中的一個猜想進(jìn)行證明．23．滿足a2+b2＝c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．（1）請把下列三組勾股數(shù)補(bǔ)充完整：①，8，10②5，，13③8，15，．（2）小敏發(fā)現(xiàn)，很多已經(jīng)約去公因數(shù)的勾股數(shù)組中，都有一個數(shù)是偶數(shù)，如果將它寫成2mn，那么另外兩個數(shù)可以寫成m2+n2，m2﹣n2，如4＝2×2×1，5＝22+12，3＝22﹣12．請你幫小敏證明這三個數(shù)2mn，m2+n2，m2﹣n2是勾股數(shù)組．（3）如果21，72，75是滿足上述小敏發(fā)現(xiàn)的規(guī)律的勾股數(shù)組，求m+n的值．24．用四個完全相同的直角三角形（如圖1）拼成一大一小兩個正方形（如圖2），直角三角形的兩條直角邊分別是a、b（a＞b），斜邊長為ccm，請解答：（1）圖2中間小正方形的周長，大正方形的邊長為．（2）用兩種方法表示圖2正方形的面積．（用含a，b，c）①S＝；②S＝；（3）利用（2）小題的結(jié)果寫出a、b、c三者之間的一個等式．（4）根據(jù)第（3）小題的結(jié)果，解決下面的問題：已知直角三角形的兩條直角邊長分為是a＝8，b＝6，求斜邊c的值．

參考答案1．解：如圖，設(shè)兩直角邊為a，b，∵大正方形的面積為5，∴a2+b2＝5，由題意4×ab+1＝5，∴2ab＝4，∴ab＝2，故選：B．2．解：設(shè)h為斜邊上的高，∵直角三角形的兩條直角邊的長分別為6和8，∴斜邊為＝10，∵三角形的面積＝×6×8＝×10h，∴h＝．故選：C．3．解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，∴AC2＝10﹣3＝7，∴S3＝7，故選：B．4．解：A、32+42＝52，能構(gòu)成直角三角形，是整數(shù)，故是勾股數(shù)，此選項不符合題意；B、302+402＝502，三邊是整數(shù)，同時能構(gòu)成直角三角形，故是勾股數(shù)，此選項不符合題意；C、72+142≠152，不是勾股數(shù)，此選項符合題意；D、52+122＝132，是正整數(shù)，故是勾股數(shù)，此選項不符合題意．故選：C．5．解：A、32+42＝52，能構(gòu)成直角三角形，故本選項不符合題意；B、12+（）2＝（）2，能構(gòu)成直角三角形，故本選項不符合題意；C、62+82＝102，能構(gòu)成直角三角形，故本選項不符合題意；D、22+32≠52，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項符合題意；故選：D．6．解：A、由題意知，a2+c2＝b2＝25，則△ABC是直角三角形，故本選項不符合題意；B、由題意知，∠A＝∠B＝62.5°，則△ABC不是直角三角形，故本選項符合題意；C、由題意知∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝90°，△ABC是直角三角形，故本選項不符合題意；D、由題意知，a2+c2＝b2＝7，則△ABC是直角三角形，故本選項不符合題意．故選：B．7．解：由勾股定理得：AB＝，如圖所示：故有13個，故選：C．8．解：如圖，設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則AB＝（20﹣x）尺，BC＝9尺，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即x2+92＝（20﹣x）2．故選：D．9．解：設(shè)AE＝x，則BE＝25﹣x，由勾股定理得：在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝102+x2，在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝152+（25﹣x）2，由題意可知：DE＝CE，所以：102+x2＝152+（25﹣x）2，解得：x＝15（km），所以，AE＝15km，故選：C．10．解：如圖1所示，則AB＝＝2；如圖2所示，AB＝＝10，故它運(yùn)動的最短路程為10，故選：C．11．解：c＝2n2+2n+1，a＝2n+1∴b＝2n2+2n，故答案為：2n2+2n12．解：∵a：b＝3：4，∴設(shè)a＝3x，b＝4x，∵c＝20cm，由勾股定理可得（3x）2+（4x）2＝202，解得x＝4，∴b＝4×4＝16cm，故答案為16cm．13．解：∵△ABH≌△BCG，∴BG＝AH＝12，∵四邊形EFGH都是正方形，在直角三角形AHB中，由勾股定理得到：BH＝．∴FG＝GH＝BH﹣BG＝16﹣12＝4，故答案為：4．14．解：∵由勾股定理得：AB＝＝，∴s△ABC＝×BC×3＝AB×CD，∵5×3＝×CD，∴CD＝故答案為：．15．解：∵三角形的兩邊長分別為1cm和2cm，∴可設(shè)第三邊為xcm，∵此三角形是直角三角形，∴當(dāng)x是斜邊時，x2＝12+22，解得x＝；當(dāng)x是直角邊時，x2+12＝22，解得x＝．故答案為：或．16．解：在Rt△ABC中，AB為斜邊，∴＝＝13米，少走的距離為AC+BC﹣AB＝（12+5）﹣13（米）＝4米答：小明在標(biāo)牌■填上的數(shù)字是4．故答案為：4．17．解：設(shè)秋千繩索AB的長度為xm，由題意可得AC＝AB＝xm，四邊形DCFE為矩形，BE＝1m，DC＝6m，CF＝4m，DE＝CF＝4m，∴DB＝DE﹣BE＝3m，AD＝AB﹣BD＝（x﹣3）m，在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2，即（x﹣3）2+62＝x2，解得x＝7.5，即AC的長度為7.5m，故答案為：7.5．18．解：∵木棍的中點(diǎn)為P，△AOB為直角三角形，∴OP＝AB＝3m，即點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離為3m，∴點(diǎn)P的軌跡為以O(shè)為圓心，3m為半徑的弧上，如圖，連接OD交⊙O于P，則D到P的距離最?。诨∩先稳∫稽c(diǎn)P′，連接OP′，DP′，∵OP′+DP′＞OD＝OP+DP，OP＝OP′，∴DP′＞DP，∴DP為最小值，在Rt△OCD中，OC＝6，CD＝4，∴OD＝＝＝2，∴PD＝OD﹣OP＝（2﹣3）（m），故答案為：（2﹣3）．19．解：過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，∵CA＝CB∴，設(shè)CD為xm，則AC＝（x+1）m，在Rt△ACD中，AC2＝CD2+AD2，即（x+1）2＝x2+33，解得：x＝4，∴CD＝4m，∴S△ABC＝，∴該草坪的面積為12m2．20．（1）證明：∵BC＝2cm，CD＝4cm，BD＝2cm，∴CD2＝16，BC2＝20，BD2＝4，∴CD2+BD2＝BC2，∴三角形BCD是直角三角形，∠BDC＝90°，∴CD⊥AB．（2）解：設(shè)AD＝x，則AB＝x+2，∵△ABC為等腰三角形，且AB＝AC，∴AC＝x+2，在Rt△ACD中，AD2+CD2＝AC2，∴x2+42＝（x+2）2，解得：x＝3，∴AB＝5，∴S△ABC＝×AB×CD＝×5×4＝10（cm2）．21．解：（1）由題意可得：RP＝12×1.5＝18（海里），PQ＝16×1.5＝24（海里）；（2）能，理由：∵RP＝12×1.5＝18海里，PQ＝16×1.5＝24海里，QR＝30海里，∵182+242＝302，∴△RPQ是直角三角形，∴∠RPQ＝90°，∵“綜合執(zhí)法1號”沿北偏東61°方向航行，∴∠QPS＝61°，∴∠SPR＝90°﹣61°＝29°，∴“綜合執(zhí)法2號”沿北偏西29°方向航行方向航行．22．解：（1）猜想：若∠C為銳角時，a2+b2＞c2，若∠C為鈍角時，a2+b2＜c2；（2）當(dāng)∠C為銳角時，a2+b2＞c2，證明如下：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥CB于點(diǎn)D，設(shè)CD＝x，則BD＝a﹣x，在直角三角形ACD中，AD2＝b2﹣x2，在直角三角形ABD中，AD2＝c2﹣（a﹣x）2，∴b2﹣x2＝c2﹣（a﹣x）2，即a2+b2＝c2+2ax，∵a＞0，x＞0，∴a2+b2＞c2，當(dāng)∠C為鈍角時，a2+b2＜c2，證明如下：如圖，過點(diǎn)A作BC的垂線交BC的延長線于點(diǎn)M，CM＝y(tǒng)，則BM＝a+y，在直角三角形ACM中，AM2＝b2﹣y2，在直角三角形ABM中，AM2＝c2﹣（a+y）2，∴b2﹣y2＝c2﹣（a+y）2，即a2+b2＝c2﹣2ay，∵a＞0，y＞0，∴a2+b2＜c2．23．解：（1）①6，8，10；②5.12，13；③8，15，17．故答案為：6，12，17；（2）證明：∵（m2﹣n2）2+（2mn）2＝m4+n4﹣2m2n2+4m2n2＝m4+n4+2m2n2，（m2+n2）2＝m4+n4+2m2n