《分層隨機(jī)抽樣》設(shè)計(jì)

《分層隨機(jī)抽樣》教學(xué)設(shè)計(jì)【教學(xué)目標(biāo)】1.通過實(shí)例，理解分層隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)和適用范圍．2.了解分層隨機(jī)抽樣的必要性，掌握各層樣本量比例分配的方法．3.結(jié)合具體實(shí)例，掌握分層隨機(jī)抽樣的樣本均值．【教學(xué)重點(diǎn)】理解分層隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)和適用范圍掌握各層樣本量比例分配的方法【教學(xué)難點(diǎn)】掌握各層樣本量比例分配的方法【課時(shí)安排】1課時(shí)【教學(xué)過程】認(rèn)知初探1．分層隨機(jī)抽樣的相關(guān)概念(1)分層隨機(jī)抽樣的定義：一般地，按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體，每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總體，在每個(gè)子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機(jī)抽樣，每一個(gè)子總體稱為層．(2)比例分配：在分層隨機(jī)抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配．2．樣本平均數(shù)的計(jì)算公式在分層隨機(jī)抽樣中，第1層和第2層包含的個(gè)體數(shù)分別為M和N，抽取的樣本量分別為m和n，第1層和第2層樣本的平均數(shù)分別為eq\x\to(x)和eq\x\to(y)，則樣本的平均數(shù)eq\x\to(ω)＝eq\f(m,m＋n)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(n,m＋n)eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(M,M＋N)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(N,M＋N)eq\o(y,\s\up6(－)).【思考1】哪種情況下適合選用分層隨機(jī)抽樣？提示:在個(gè)體之間差異較大的情形下,只要選取的分層變量合適,使得各層間差異明顯、層內(nèi)差異不大,分層隨機(jī)抽樣的效果一般會(huì)好于簡單隨機(jī)抽樣.思考2：簡單隨機(jī)抽樣和分層隨機(jī)抽樣有什么區(qū)別和聯(lián)系？[提示]區(qū)別：簡單隨機(jī)抽樣是從總體中逐個(gè)抽取樣本；分層隨機(jī)抽樣則首先將總體分成幾層，在各層中按比例分配抽取樣本．聯(lián)系：(1)抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等；(2)每次抽出個(gè)體后不再將它放回，即不放回抽樣．小試牛刀1．某校高三年級(jí)有男生1000人，女生800人．為了解該年級(jí)學(xué)生的健康情況，從男生中任意抽取50人，從女生中任意抽取40人進(jìn)行調(diào)查，這種抽樣方法是()A．簡單隨機(jī)抽樣法B．抽簽法C．隨機(jī)數(shù)法D．分層隨機(jī)抽樣法D解析：樣本由差異較大的幾部分組成，每層樣本量與層的大小比例相等，即為分層隨機(jī)抽樣法．2.某林場(chǎng)有樹苗30000棵，其中松樹苗4000棵．為調(diào)查樹苗的生長情況，采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為150的樣本，則樣本中松樹苗的數(shù)量為()A．30B．25C．20D．15C[樣本中松樹苗為4000×eq\f(150,30000)＝4000×eq\f(1,200)＝20(棵)．]3．為了保證分層抽樣時(shí)每個(gè)個(gè)體等可能地被抽取，必須要求()A．每層不等可能抽樣B．每層抽取的個(gè)體數(shù)相等C．每層抽取的個(gè)體可以不一樣多，但必須滿足抽取ni＝neq\f(Ni,N)(i＝1,2，…，k)個(gè)個(gè)體．(其中k是層數(shù)，n是抽取的樣本容量，Ni是第i層中個(gè)體的個(gè)數(shù)，N是總體的容量)D．只要抽取的樣本容量一定，每層抽取的個(gè)體數(shù)沒有限制C解析：A不正確．B中由于每層的容量不一定相等，每層抽同樣多的個(gè)體數(shù)，顯然從整個(gè)總體來看，各層之間的個(gè)體被抽取的可能性就不一樣了，因此B也不正確．C中對(duì)于第i層的每個(gè)個(gè)體，它被抽到的可能性與層數(shù)無關(guān)，即對(duì)于每個(gè)個(gè)體來說，被抽取的可能性是相同的，故C正確．D不正確．4．在某校高一年級(jí)的800名學(xué)生中，男生有360名，女生有440名．現(xiàn)采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，從中抽取樣本量為80的樣本，計(jì)算出男生樣本的平均數(shù)為171cm，女生樣本的平均數(shù)為160cm，則總樣本的平均數(shù)為________．解析：因?yàn)榉峙浔壤秊椋阅猩鷳?yīng)抽360×＝36(名)，女生應(yīng)抽440×＝44(名)．則總樣本平均數(shù)為eq\x\to(w)＝×170＋×160＝(cm)．例題講解對(duì)分層隨機(jī)抽樣概念的理解[例1]⑴下列問題中，最適合用分層隨機(jī)抽樣抽取樣本的是()A．從10名同學(xué)中抽取3人參加座談會(huì)B．某社區(qū)有500個(gè)家庭，其中高收入的家庭125個(gè)，中等收入的家庭280個(gè)，低收入的家庭95個(gè)，為了了解生活購買力的某項(xiàng)指標(biāo)，要從中抽取一個(gè)容量為100的樣本C．從1000名工人中，抽取100名調(diào)查上班途中所用時(shí)間D．在某地區(qū)中有20個(gè)特大型銷售點(diǎn)，要從中抽取7個(gè)調(diào)查其銷售收入和售后服務(wù)等情況(2)分層隨機(jī)抽樣又稱類型抽樣，即將相似的個(gè)體歸入一類(層)，然后每類抽取若干個(gè)個(gè)體構(gòu)成樣本，所以分層隨機(jī)抽樣為保證每個(gè)個(gè)體等可能抽樣，必須進(jìn)行()A．每層等可能抽樣B．每層可以不等可能抽樣C．所有層按同一抽樣比等可能抽樣D．所有層抽取的個(gè)體數(shù)量相同⑴B⑵C[解析]⑴B中總體個(gè)體差異較大，適合用分層隨機(jī)抽樣．A、C和D中總體個(gè)體差異不大，不適合用分層隨機(jī)抽樣．保證每個(gè)個(gè)體等可能的被抽取是三種基本抽樣方式的共同特征，為了保證這一點(diǎn)，分層隨機(jī)抽樣時(shí)必須在所有層都按同一抽樣比等可能抽取．方法總結(jié)分層隨機(jī)抽樣的前提和遵循的兩條原則(1)前提：分層隨機(jī)抽樣使用的前提是總體可以分層，層與層之間差異較大，而層內(nèi)個(gè)體間差異較?。?2)遵循的兩條原則①按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體，每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總體，即遵循不重復(fù)、不遺漏的原則；②在每個(gè)子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，即各層中遵循等概率抽樣的原則．當(dāng)堂練習(xí)1下列問題中，最適合用分層隨機(jī)抽樣抽取樣本的是()A．從10名同學(xué)中抽取3人參加座談會(huì)B．某社區(qū)有500個(gè)家庭，其中高收入的家庭125戶，中等收入的家庭280戶，低收入的家庭95戶，為了了解生活購買力的某項(xiàng)指標(biāo)，要從中抽取一個(gè)容量為100戶的樣本C．從1000名工人中，抽取100人調(diào)查上班途中所用時(shí)間D．從生產(chǎn)流水線上，抽取樣本檢查產(chǎn)品質(zhì)量B[A中總體所含個(gè)體無差異且個(gè)數(shù)較少，適合用簡單隨機(jī)抽樣；C和D中總體所含個(gè)體無差異且個(gè)數(shù)較多，不適合用分層隨機(jī)抽樣；B中總體所含個(gè)體差異明顯，適合用分層隨機(jī)抽樣．]分層隨機(jī)抽樣的應(yīng)用[例2]一個(gè)地區(qū)共有5個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，人口3萬人，其人口比例為3∶2∶5∶2∶3，從3萬人中抽取一個(gè)300人的樣本，分析某種疾病的發(fā)病率，已知這種疾病與不同的地理位置及水土有關(guān)，問應(yīng)采取什么樣的方法？并寫出具體過程．[解]因?yàn)榧膊∨c地理位置和水土均有關(guān)系，所以不同鄉(xiāng)鎮(zhèn)的發(fā)病情況差異明顯，因而采用分層隨機(jī)抽樣的方法．具體過程如下：第一步，將3萬人分為5層，其中一個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)為一層．第二步，按照樣本容量的比例求得各鄉(xiāng)鎮(zhèn)應(yīng)抽取的人數(shù)分別為60人，40人，100人，40人，60人．第三步，按照各層抽取的人數(shù)隨機(jī)抽取各鄉(xiāng)鎮(zhèn)應(yīng)抽取的樣本．第四步，將300人合到一起，即得到一個(gè)樣本．方法總結(jié)分層隨機(jī)抽樣的步驟當(dāng)堂練習(xí)2某學(xué)校有在職人員160人，其中行政人員有16人，教師有112人，后勤人員有32人．教育部門為了了解在職人員對(duì)學(xué)校機(jī)構(gòu)改革的意見，要從中抽取一個(gè)容量為20的樣本，請(qǐng)利用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取，寫出抽樣過程．[解]抽樣過程如下：第一步，確定抽樣比，樣本容量與總體容量的比為eq\f(20,160)＝eq\f(1,8).第二步，確定分別從三類人員中抽取的人數(shù)，從行政人員中抽取16×eq\f(1,8)＝2(人)；從教師中抽取112×eq\f(1,8)＝14(人)；從后勤人員中抽取32×eq\f(1,8)＝4(人)．第三步，采用簡單隨機(jī)抽樣的方法，抽取行政人員2人，教師人員14人，后勤人員4人．第四步，把抽取的個(gè)體組合在一起構(gòu)成所需樣本．分層隨機(jī)抽樣中的計(jì)算問題[探究問題]在分層隨機(jī)抽樣中，N為總體容量，n為樣本容量，如何確定各層的個(gè)體數(shù)？[提示]每層抽取的個(gè)體的個(gè)數(shù)為ni＝Ni×eq\f(n,N)，其中Ni為第i(i＝1,2，…，k)層的個(gè)體數(shù)，eq\f(n,N)為抽樣比．例3（1）某單位共有老、中、青年職工430人，其中有青年職工160人，中年職工人數(shù)是老年職工人數(shù)的2倍，為了解職工身體狀況，現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣方法進(jìn)行調(diào)查，在抽取的樣本中有青年職工32人，則該樣本中的老年職工的人數(shù)為.（2）某高中學(xué)校為了促進(jìn)學(xué)生個(gè)體的全面發(fā)展，針對(duì)學(xué)生發(fā)展要求，開設(shè)了富有地方特色的“泥塑”與“剪紙”兩個(gè)社團(tuán)，已知報(bào)名參加這兩個(gè)社團(tuán)的學(xué)生共有800人，按照要求每人只能參加一個(gè)社團(tuán)，各年級(jí)參加社團(tuán)的人數(shù)情況如下表：高一年級(jí)高二年級(jí)高三年級(jí)泥塑abc剪紙xyz其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社團(tuán)的人數(shù)占兩個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的eq\f(3,5)，為了了解學(xué)生對(duì)兩個(gè)社團(tuán)活動(dòng)的滿意程度，從中抽取一個(gè)50人的樣本進(jìn)行調(diào)查，則從高二年級(jí)“剪紙”社團(tuán)的學(xué)生中應(yīng)抽取人.⑴18⑵6【解析】⑴設(shè)該單位老年職工人數(shù)為x，由題意得3x＝430－160，解得x＝90.則樣本中的老年職工人數(shù)為90×eq\f(32,160)＝18.（2）法一：因?yàn)椤澳嗨堋鄙鐖F(tuán)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的eq\f(3,5)，故“剪紙”社團(tuán)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的eq\f(2,5)，所以“剪紙”社團(tuán)的人數(shù)為800×eq\f(2,5)＝320；因?yàn)椤凹艏垺鄙鐖F(tuán)中高二年級(jí)人數(shù)比例為eq\f(y,x＋y＋z)＝eq\f(3,2＋3＋5)＝eq\f(3,10)，法二：因?yàn)椤澳嗨堋鄙鐖F(tuán)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的eq\f(3,5)，故“剪紙”社團(tuán)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的eq\f(2,5)，所以抽取的50人的樣本中，“剪紙”社團(tuán)中的人數(shù)為50×eq\f(2,5)＝20.又“剪紙”社團(tuán)中高二年級(jí)人數(shù)比例為eq\f(y,x＋y＋z)＝eq\f(3,2＋3＋5)＝eq\f(3,10)，所以從高二年級(jí)“剪紙”社團(tuán)中抽取的人數(shù)為20×eq\f(3,10)＝6.方法總結(jié)分層隨機(jī)抽樣中有關(guān)計(jì)算的方法（1）抽樣比＝eq\f(該層樣本量n,總樣本量N)＝eq\f(該層抽取的個(gè)體數(shù),該層的個(gè)體數(shù)).（2）總體中某兩層的個(gè)體數(shù)之比＝樣本中這兩層抽取的個(gè)體數(shù)之比.對(duì)于分層抽樣中求某層個(gè)體數(shù)，或某層要抽取的樣本個(gè)體數(shù)，都可以通過上面兩個(gè)等量關(guān)系求解.當(dāng)堂練習(xí)3某企業(yè)三月中旬生產(chǎn)A、B、C三種產(chǎn)品共3000件，根據(jù)樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣的結(jié)果，企業(yè)統(tǒng)計(jì)員制作了如下的統(tǒng)計(jì)表格：產(chǎn)品類別ABC產(chǎn)品數(shù)量(件)1300樣本容量130由于不小心，表格中A、C產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)已被污染看不清楚了，統(tǒng)計(jì)員只記得A產(chǎn)品的樣本量比C產(chǎn)品的樣本量多10，根據(jù)以上信息，可得C產(chǎn)品的數(shù)量是________件．800[解析]設(shè)總樣本量為x，則eq\f(x,3000)＝eq\f(130,1300)，∴x＝300.∴A產(chǎn)品和C產(chǎn)品在樣本中共有300－130＝170(件)．設(shè)C產(chǎn)品的樣本容量為y，則y＋y＋10＝170，∴y＝80.∴C產(chǎn)品的數(shù)量為eq\f(3000,300)×80＝800.分層抽樣的綜合應(yīng)用[例4]某地區(qū)有居民600戶，其中普通家庭450戶、高收入家庭150戶．為了調(diào)查該地區(qū)居民奶制品月消費(fèi)支出，決定采用分層隨機(jī)抽樣的方法，按普通家庭、高收入家庭進(jìn)行分層，得到普通家庭、高收入家庭的奶制品平均月消費(fèi)支出分別為40元和90元．(1)如果在各層中按比例分配樣本，總樣本量為60，那么在普通家庭、高收入家庭中分別抽取了多少戶？在這種情況下，請(qǐng)估計(jì)該地區(qū)全體居民奶制品的平均月消費(fèi)支出．(2)如果從普通家庭、高收入家庭中抽取的樣本量分別為30和30，那么在這種情況下，抽取的這60戶居民奶制品的平均月消費(fèi)支出是多少？用這60戶居民奶制品的平均月消費(fèi)支出估計(jì)該地區(qū)全體居民奶制品的平均月消費(fèi)支出合理嗎？如果不合理，那該怎樣估計(jì)更合理？[解析](1)設(shè)在普通家庭、高收入家庭中分別抽取了m，n戶，則eq\f(m,450)＝eq\f(n,150)＝eq\f(60,600)，解得m＝45，n＝15.樣本平均數(shù)eq\x\to(w)＝eq\f(45,60)×40＋eq\f(15,60)×90＝(元)．在比例分配的分層隨機(jī)抽樣中，我們可以直接用樣本平均數(shù)eq\x\to(w)估計(jì)總體平均數(shù)eq\x\to(W)，即在普通家庭、高收入家庭中分別抽取了45戶、15戶，估計(jì)該地區(qū)全體居民奶制品的平均月消費(fèi)支出為元．(2)抽取的這60戶居民奶制品的平均月消費(fèi)支出是eq\f(30,60)×40＋eq\f(30,60)×90＝65(元)，因?yàn)樵谠摰貐^(qū)居民中，普通家庭戶數(shù)是高收入家庭戶數(shù)的3倍，而抽取的普通家庭的樣本量與高收入家庭的樣本量相等，所以用這60戶居民奶制品的平均月消費(fèi)支出估計(jì)該地區(qū)全體居民奶制品的平均月消費(fèi)支出不合理．應(yīng)該用抽取的普通家庭奶制品的平均月消費(fèi)支出40元估計(jì)該地區(qū)全體普通家庭的平均月消費(fèi)支出，用抽取的高收入家庭的平均月消費(fèi)支出90元估計(jì)該地區(qū)全體高收入家庭的平均月消費(fèi)支出，得到該地區(qū)全體居民奶制品的平均月消費(fèi)支出為eq\f(450,600)×40＋eq\f(150,600)×90＝(元)．這樣估計(jì)較合理．方法總結(jié)在分層隨機(jī)抽樣中，如果第一層的樣本量為m，平均值為x；第二層的樣本量為n，平均值為y，則樣本的平均值為eq\f(mx＋ny,m＋n).當(dāng)堂練習(xí)4在了解全校學(xué)生每年平均閱讀多少本文學(xué)經(jīng)典名著時(shí)，甲同學(xué)抽取了一個(gè)容量為10的樣本，并算得樣本的平均數(shù)為5；乙同學(xué)抽取了一個(gè)容量為8的樣本，并算得樣本的平均數(shù)為6.已知甲、乙兩同學(xué)抽取的樣本合在一起組成一個(gè)容量為18的樣本，求合在一起后的樣本均值.解：合在一起后的樣本均值為eq\f(10×5＋8×6,10＋8)＝eq\f(50＋48,18)＝eq\f(49,