《有理數(shù)》綜合復(fù)習(xí)指導(dǎo)

《有理數(shù)》綜合復(fù)習(xí)指導(dǎo)一、知識歸納(一)基本概念(1)畫數(shù)軸應(yīng)體現(xiàn)其“三要素”，即 , , (2) 叫相反數(shù)； 叫絕對值； 數(shù)的絕對值是它本身， 數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；如果a與b互為相反數(shù)，那么 ；如果ab=1，那么a、b的關(guān)系是 叫做乘方，乘方的結(jié)果叫 兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小， 大的數(shù)反而小；數(shù)軸上右邊的點(diǎn)所表示的 左邊的點(diǎn)所表示的數(shù)探索數(shù)的規(guī)律時(shí)，首先應(yīng)從特殊入手，進(jìn)行歸納、 ，對于獲得的結(jié)論，還要 或 它的正確性(二)基本運(yùn)算有理數(shù)的運(yùn)算要注意：有理數(shù)的運(yùn)算種類、各種運(yùn)算法則、運(yùn)算律、運(yùn)算順序、科學(xué)計(jì)數(shù)法、近似數(shù)與有效數(shù)字、計(jì)算器功能鍵及應(yīng)用。有理數(shù)的運(yùn)算律：加法交換律 a+b=b+a加法結(jié)合律 (a+b)+c=a+(b+c)乘法交換律 ab=ba.乘法結(jié)合律 (ab)c=a(bc)分配律 a(b+c)=ab+ac其中a、b、c表示任意有理數(shù).運(yùn)用運(yùn)算律有時(shí)可使運(yùn)算簡便.二、易、錯(cuò)點(diǎn)掃描有理數(shù)常見思維誤區(qū)對正、負(fù)數(shù)的理解有誤，如：a—定表示正數(shù)，-a—定表示負(fù)數(shù)有理數(shù)的分類問題，易把小數(shù)作為單獨(dú)的一類，不知道有限和無限循環(huán)小數(shù)可以轉(zhuǎn)

化為分?jǐn)?shù)數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值常見思維誤區(qū)主要是對三概念的理解有誤，應(yīng)用也容易出錯(cuò)有理數(shù)的運(yùn)算常見思維誤區(qū)（1）對幾種運(yùn)算法則理解不到位；（2）符號易出現(xiàn)錯(cuò)誤；（3）運(yùn)算順序、運(yùn)算性質(zhì)易錯(cuò)；（4）濫用運(yùn)算律等錯(cuò)誤五、思想方法歸納為了深刻理解新的數(shù)學(xué)概念，新教材滲透了不少的數(shù)學(xué)思想和方法.數(shù)形結(jié)合的思想在學(xué)習(xí)數(shù)軸后知道了數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示，反之?dāng)?shù)軸上的點(diǎn)也表示數(shù)，相反數(shù)的幾何意義是：在數(shù)軸上位于原點(diǎn)的兩旁，并且與原點(diǎn)的距離相等的兩點(diǎn)表示的數(shù)叫互為相反數(shù).絕對值的幾何意義是：在數(shù)軸上，一個(gè)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做該數(shù)的絕對值.這種形象與抽象的結(jié)合，加深了同學(xué)們對相反數(shù)、絕對值等概念的認(rèn)識和理解，也為今后的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).轉(zhuǎn)化的思想方法第二章中的關(guān)于有理數(shù)減法和除法法則分別是減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù);除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，這兩條法則充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想，即將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題來解決.分類的思想方法在學(xué)習(xí)有理數(shù)、絕對值概念時(shí)，都體現(xiàn)了分類的思想方法，即分?jǐn)?shù)正分?jǐn)?shù)

負(fù)分?jǐn)?shù)有理數(shù)＜分?jǐn)?shù)正分?jǐn)?shù)

負(fù)分?jǐn)?shù)有理數(shù)＜正整數(shù)整數(shù)」0、負(fù)整數(shù)a(a>0)a=<0 (a=0)—a(a<0)

有了分類思想，根據(jù)“不重不漏”的分類原則去處理問題，能使思維變得更嚴(yán)密，考慮問題更全面。例如，若a>0,bVO,則a+b 。就必須討論(1)當(dāng)|a>b|時(shí)，a+b>0；當(dāng)a|=|b|時(shí)，a+b=0；當(dāng)|a|v|b|時(shí)，a+bVO.六、考點(diǎn)解密考點(diǎn)1正、負(fù)數(shù)例1下列運(yùn)算的結(jié)果中，是正數(shù)的是( )A.(-2007)-1 B.(-1)2007 C.(—1)x(—2007) D.(—2007)+2007分析：本題主要考查符號法則，只要簡單的觀察分析一下就能知道結(jié)果解：A,B都是乘方運(yùn)算，結(jié)果為負(fù)，C，D是乘、除運(yùn)算，C為正，故選C評注：本題主要考查有理數(shù)運(yùn)算的符號法則，主要考查同學(xué)們的觀察能力，分析發(fā)現(xiàn)能力考點(diǎn)2：相反數(shù)與倒數(shù)1例2.-的相反數(shù) ，倒數(shù) ，平方等于 .分析：只要嚴(yán)格按照定義去計(jì)算即可，但要注意符號變化111解：-的相反數(shù)是；倒數(shù)是-2；平方是4評注：本題重點(diǎn)考查相反數(shù)、倒數(shù)和平方的概念與計(jì)算問題，在計(jì)算的時(shí)候容易出現(xiàn)符號錯(cuò)誤，應(yīng)引起同學(xué)們的重視！5 V——AHF-JnB考點(diǎn)3：數(shù)軸B例3.如圖1,數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)A向左移動(dòng)2個(gè)單位長度到達(dá)點(diǎn)B，再向右移動(dòng)5個(gè)單位長度到達(dá)點(diǎn)C.若點(diǎn)C表示的數(shù)為1,則點(diǎn)A表示的數(shù)為( )A.7 B.3 C.-3D.-2分析：本題只要按照題目要求，分別將距離轉(zhuǎn)化為數(shù)字，最后就能求出A表示的數(shù)解：由AA向左移動(dòng)2個(gè)單位長度到達(dá)點(diǎn)B，再向右移動(dòng)5個(gè)單位長度到達(dá)點(diǎn)C，說明A到C的距離是3個(gè)單位，又由于點(diǎn)C表示的數(shù)為1,所以A表示的數(shù)是-2，故選D

評注：本題主要考查數(shù)軸的有關(guān)知識，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法以及轉(zhuǎn)化的思想，重要注意轉(zhuǎn)化，問題就能迎刃而解考點(diǎn)4：絕對值1例4.-2的絕對值等于()1(A)-2 (B)2 (C)-21(d)2分析：根據(jù)負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)的法則就可以解決問題了111解：因?yàn)?2是負(fù)數(shù)，所以的絕對值等于2，故選d評注：本題重點(diǎn)考查絕對值與相反數(shù)的有關(guān)知識，只要熟練理解與掌握即可，但要注意區(qū)別！考點(diǎn)5：有理數(shù)大小比較例5.下列各數(shù)中，最小的數(shù)是()A.-2 B.-1 C.0D.p分析：先判斷數(shù)的屬性，在比較其大小解：A,B都是負(fù)數(shù)，又由于正數(shù)和零都大于負(fù)數(shù)，所以只要比較A,B,又由于兩個(gè)負(fù)數(shù)比較，絕對值大的反而小，所以-2V-1，故選A評注：本題主要考查有理數(shù)的大小比較問題，只要按照正數(shù)和零都大于一切負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)比較，絕對值大的反而小的法則進(jìn)行考點(diǎn)6：有理數(shù)的運(yùn)算例6.下列計(jì)算結(jié)果為1的是(A)(+1)+(—2) (B)(—1)—(—2)(C)(+1)x(—1) (D)(-2)-(+2)分析：將四個(gè)簡單的算式分別計(jì)算出結(jié)果，再進(jìn)行選擇即可/輸入x/平方二^ 否則乘以2/輸出y/解：由于(-1)-(-2)=-1+2=1，故選/輸入x/平方二^ 否則乘以2/輸出y/評注：重點(diǎn)考查加、減、乘、除的運(yùn)算法則理解和掌握，運(yùn)算時(shí)，要注意符號問題，特別是減法運(yùn)算易出錯(cuò)！例7根據(jù)如圖3所示的程序計(jì)算，若輸入x的值為1,則輸出y的值為 。分析：只要按照計(jì)算程序的一起，分步列式計(jì)算即可 祠圖3解：將1輸入列式為：12x2-4=2，結(jié)果不大于0繼續(xù)將-2輸入，列式為：(-2)2x2-4=4，結(jié)果大于0,故輸出y=4評注：本題以計(jì)算程序的輸入、輸出為背景，主要考查學(xué)生的閱讀與計(jì)算能力考點(diǎn)7：定義新運(yùn)算、新規(guī)則例8.先閱讀下列材料，然后解答問題：從A，B，C三張卡片中選兩張，有三種不同選法，抽象成數(shù)學(xué)問題就是從3個(gè)元素中選3x2取2個(gè)元素組合，記作C2二 二3.一般地，從m個(gè)元素中選取n個(gè)元素組合，記作：3 2x1m(m-1)?…(m-n+1)m n(n-1)…x3x2x1-7x6x5x4x3-一例：從7個(gè)元素中選5個(gè)元素，共有C5— —21種不同的選法.75x4x3x2x1問題：從某學(xué)習(xí)小組10人中選取3人參加活動(dòng)，不同的選法共有 種.分析：根據(jù)閱讀材料的提示和例子，將新的預(yù)示規(guī)則轉(zhuǎn)化為常規(guī)計(jì)算即可廠10倉。8“c解：由閱讀可知：10人中選取3人，共有C3= =12010 3倉21評注：本題是一道以新定義、新規(guī)定為背景的閱讀理解題，解題時(shí)需要將未知轉(zhuǎn)化為已知,再按照新規(guī)則進(jìn)行計(jì)算即可考點(diǎn)8：有理數(shù)的實(shí)際運(yùn)用例92008年8月第29屆奧運(yùn)會(huì)將在北京開幕，5個(gè)城市的國標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間(單位：時(shí))在數(shù)軸上表示如圖5所示，那么北京時(shí)間2008年8月8日20時(shí)應(yīng)是( )A.倫敦時(shí)間2008年8月8日11時(shí) B.巴黎時(shí)間2008年8月8日13時(shí)C.紐約時(shí)間2008年8月8日5時(shí) D.漢城時(shí)間2008年8月8日19時(shí)紐約 倫敦巴黎 北京漢城-5 0 1 8 9分析：由數(shù)軸顯示的信息，很容易得到北京與其余五個(gè)城市的關(guān)系解：由于北京東八區(qū)，而和、巴黎在東一區(qū)，相差7個(gè)時(shí)區(qū)，故選B評注：本題是一道數(shù)軸在實(shí)際生活中的應(yīng)用，重點(diǎn)考查學(xué)生對數(shù)軸及時(shí)差概念的理解和掌握情況，考查了數(shù)形結(jié)合的思想以及分析問題、解決問題的能力考點(diǎn)9：規(guī)律探索例10為慶?！傲弧眱和?jié)，某幼兒園舉行用火柴棒擺“金魚”比賽.如圖6所示:按照上面的規(guī)律，擺n個(gè)“金魚”需用火柴棒的根數(shù)為（ ）A.2+6n B.8+6n C.4+4n D.8n分析：本題的探索規(guī)律可以從兩個(gè)方面去分析：第一，可以從'數(shù)”的方面，圖①有8個(gè)；圖②有14個(gè)；……找規(guī)律；第二，從“形”的方面，后一個(gè)圖都比前面圖都6個(gè)，從而找出規(guī)律來解：由于圖①有8個(gè)；后一個(gè)圖都比前面圖都6個(gè)，所以應(yīng)該是2+6n，故選A評注：本題通過觀察組成各種“金魚”圖案之間的關(guān)系探索規(guī)律的，這就需要同學(xué)們仔細(xì)觀察圖形，找出各種數(shù)量之間的變化規(guī)律，從而找到它們的共同的表達(dá)式考點(diǎn)10：綜合運(yùn)用例11.根據(jù)以下10個(gè)乘積，回答問題：11x29； 12x28； 13x27； 14x26； 15x25；16x24； 17x23； 18x22； 19x21； 20x20.（1） 試將以上各乘積分別寫成一個(gè)“口2—。2”（兩數(shù)平方差）的形式，并寫出其中一個(gè)的思考過程；（2） 將以上10個(gè)乘積按照從小到大的順序排列起來；（3） 試由（1）、（2）猜測一個(gè)一般性的結(jié)論.（不要求證明）分析：通過觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)字規(guī)律，然后排序、驗(yàn)證，最后猜想結(jié)果解：（1）11x29=202—92；12x28=202—82；13x27=202—72；14x26=202—62；15x25=202—52；16x24=202—42；

17x23=202—32；18x22=202—22；19x21=202—12；20x20=202—02.例如，11x29；假設(shè)11x29=^2—o2,因?yàn)榭?—O2=（口+o）（口一O）；所以，可以令口一o=11,口+。=29.解得，口=20,o=9.故11x29=202—92.（或11x29=（20—9）（20+9）=202—92.⑵這10個(gè)乘積按照從小到大的順序依次是：11x29<12x28<13x27<14x26<15x25<16x24<17x23<18x22<19x21<20x20.⑶①若a+b=40,a,b是自然數(shù)，則ab<202=400.②若a+b=40，則ab<202=400.③若a③若a+b=m，a，b是自然數(shù),則ab<fm、I2丿④若a+b=m,⑤若a⑤若a1+b1=a2+b2=a3+b3==a+b=40.且nnIa1—b1Ra2—每曰僞一b3匕?刁D，貝I」a1b<a2b<a3b<-<ab.11 22 33 nn若a+b=a+b=a+b=???=a+b=m.^且1 1 2 2 3 3 nn1a1—b1|^|a2—b2|-|a3—b3|---1an—bnI，則a1b1<a2b2<a3b3<-<anbn.評注：這是一道以數(shù)字規(guī)律為背景的綜合題，它先通過觀察數(shù)字的規(guī)律，然后歸納、猜想,最后總結(jié)出一般性的規(guī)律以及思維過程，最后再驗(yàn)證規(guī)律的正確性

再談?dòng)欣頂?shù)的混合運(yùn)算運(yùn)算是我們必須掌握的一項(xiàng)基本功，而有理數(shù)的運(yùn)算則是運(yùn)算的基本功，它既是《有理數(shù)》一章的學(xué)習(xí)重點(diǎn)，也是難點(diǎn)?在復(fù)習(xí)階段，要提高有理數(shù)混合運(yùn)算的準(zhǔn)確性和簡捷性，必須從以下三個(gè)方面入手.一、注意符號自從有了負(fù)數(shù)，符號就與運(yùn)算有了不解之緣，在運(yùn)算時(shí)，首先要注意符號的確定TOC\o"1-5"\h\z15 2 1例1?計(jì)算：一4+6+3-2.\o"CurrentDocument"4 6 3 2分析：本題是一道有理數(shù)加減混合運(yùn)算題，在交換加數(shù)的位置時(shí)，應(yīng)帶著該加數(shù)的符號起交換.解:原式=-4\o"CurrentDocument"5 2 3 9 3解:原式=-4—+—+—=———+—=—\o"CurrentDocument"6 3 4 6 4,評注：每個(gè)數(shù)都包括它前面的符號，符號與數(shù)是一個(gè)有機(jī)的整體，在運(yùn)算時(shí)，千萬不要忽略了數(shù)的性質(zhì)符號.“1例2.計(jì)算：一14— x[2-(-3)2].6分析：在計(jì)算本題中的兩個(gè)乘方運(yùn)算時(shí)，要特別注意符號，一14=—1,而不是1，(-3)2=9，而不是一9.1 1 71解：原式=-1—x(2-9)=-1—x(-7)=-1+=：.6 6 66評注：在進(jìn)行乘方運(yùn)算時(shí)，要特別注意(-l)n與-1n的不同.二、注意運(yùn)算順序與運(yùn)算步驟有理數(shù)混合運(yùn)算的順序是：先算乘方，再算乘除，最后算加減?如果有括號，就先算括號里面的?有理數(shù)的運(yùn)算步驟是：對于每一個(gè)運(yùn)算，都應(yīng)先確定結(jié)果的符號，再計(jì)算結(jié)果的絕對值?即“符號先判斷，絕對值后計(jì)算”94例3.計(jì)算：-81=4x9=(-16).分析：這是一道有理數(shù)乘除混合運(yùn)算的題目，由于乘除是同級運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序依次進(jìn)行.44 1解：原式=—81xxx（―7）=1.99 1694評注：在計(jì)算本題時(shí)，如果你禁不住4x9=1的誘惑，來一個(gè)從中間開始算起，就違背了運(yùn)算順序的原則，必將導(dǎo)致失??！三、注意運(yùn)算律的靈活應(yīng)用有理數(shù)的運(yùn)算律包括加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律、結(jié)合律、乘法對加法的分配律.

若能靈活、巧妙地運(yùn)用它們，將使計(jì)算過程變得簡捷?在具體運(yùn)用時(shí)，主要有以下幾種技巧：（1）

相反數(shù)結(jié)合；（2）湊整結(jié)合；（3）正、負(fù)數(shù)分別結(jié)合；（4）分?jǐn)?shù)、小