電磁學(xué)通論 Chapter3 恒定電流場 直流電路

章節(jié)概述一、電流場的描述、電流場的若干運(yùn)動學(xué)關(guān)系、電荷守恒律的積分形式和微分形式、恒定電流場的通量定理及其散度方程和邊值關(guān)系、導(dǎo)電介質(zhì)的電流動力方程和金屬導(dǎo)電的微觀模型。二、旋轉(zhuǎn)帶電體的電流場，及其相聯(lián)系的體電流密度、面電流密度和線電流強(qiáng)度。三、三種熱電效應(yīng)或溫差電效應(yīng)。四、電阻率和遷移率及其對溫度的依賴。3.1電流場的運(yùn)動學(xué)關(guān)系3.2導(dǎo)電介質(zhì)中電流場動力學(xué)方程3.3金屬導(dǎo)電的微觀模型3.4電源與電動勢熱電效應(yīng)3.5直流電路三、恒定電流場直流電路23.1電流場的運(yùn)動學(xué)關(guān)系電流場的概念電流密度矢量j電流強(qiáng)度I與j之關(guān)系穩(wěn)恒電流場系無源場討論—不斷膨脹的空間電荷所造成的電流場產(chǎn)生電流的條件j與載流子運(yùn)動速度v之關(guān)系電荷守恒律及其定量表達(dá)式例題—旋轉(zhuǎn)帶電體形成的電流場▲電流場的概念電荷的運(yùn)動形成電流。3圖(a)，淺層電解槽中出現(xiàn)的二維電流場圖像。

圖(b)，在大地某局域中出現(xiàn)的三維電流場圖像。。

圖(c)，直流電路。它由電阻元件、導(dǎo)線和直流電源三者組成一閉合回路，其電流被局限于這一線型回路。

空間電荷的運(yùn)動，同樣地可以形成一個三維電流場，或二維電流場或一維電流場。

帶電體運(yùn)動起來，或轉(zhuǎn)動或平動，也將形成電流。

4▲產(chǎn)生電流的條件:靜止的連續(xù)介質(zhì)，需具備以下兩個條件：(1)介質(zhì)體內(nèi)存在能自由運(yùn)動的電荷。比如，金屬導(dǎo)體中的自由電子，溶液或氣體中的正、負(fù)自由離子，半導(dǎo)體中的電子和空穴。它們被統(tǒng)稱為載流子，其意為電流的載體之單元。體內(nèi)存在載流子的介質(zhì)統(tǒng)稱為導(dǎo)電介質(zhì)。(2)介質(zhì)體內(nèi)存在可驅(qū)使電荷運(yùn)動的力。可分為兩類，一類為靜電場力，另一類為非靜電力。非靜電力：直流電源內(nèi)部因化學(xué)勢不同而產(chǎn)生的化學(xué)力，載流子濃度差產(chǎn)生的擴(kuò)散力，載流子溫度差產(chǎn)生的溫差力，磁場施于運(yùn)動電荷的洛倫茲力，磁場變化產(chǎn)生的渦旋電場力，等等。5例：對于一般絕緣載流導(dǎo)線而言，當(dāng)其線徑為1mm左右，其額定電流密度約為10A/mm2；而當(dāng)其線徑為5mm左右，其額定電流密度降為約4A/mm2?！娏髅芏仁噶縥:

單位時間內(nèi)通過單位正截面的電量公式（3.1）：電流密度單位：(安／米2)6(1)電流密度矢量場j(p)

可以用電流場給出逐點定量描述。

(2)可以由電流密度矢量求得通過任意面元的電量值。

在圖3.2(a)中，斜面元與對應(yīng)的正面元之關(guān)系：通過斜面元的電量值等于通過正面元的電量值:(公式3.2)或7▲j與載流子運(yùn)動速度ν之關(guān)系:載流子的定向運(yùn)動形成電流：如圖所示，一定時間內(nèi)載流子的運(yùn)動所經(jīng)過的體積。，其中所含電量：由公式(3.1)有：最后得(公式3.3)：對于金屬，其導(dǎo)電載流子均為自由電子(-e)，上式可寫成：

(3.3’)對于電解液，其導(dǎo)電載流子同時有正離子與負(fù)離子，則

，(3.3”)這兩項電流密度是同向的，雖然速度是反向的。8()()9例題:試估算載流導(dǎo)體中自由電子定向運(yùn)動速度(數(shù)量級)設(shè)其電流密度為Nmol6104對于一般金屬：1061023在假設(shè)每個原子貢獻(xiàn)一個自由電子的前提下自由電子數(shù)密度為：相應(yīng)的自由電荷體密度為:自由電子定向運(yùn)動速率為:I==，(→0)10▲電流強(qiáng)度I與j之關(guān)系:電流強(qiáng)度I:單位時間通過該曲面的電量,單位為安倍。=A1安培電流等于在1秒鐘內(nèi)通過1庫侖電量電量dQ等于(S)面上大量小面元ds所通過電量dq之和,則有：11最終電流強(qiáng)度與電流密度矢量之關(guān)系式為:(公式3.4’）

式(3.4’)表達(dá)的j與I的關(guān)系，完全相同于靜電學(xué)中場強(qiáng)E與電通量的關(guān)系：12▲

電荷守恒律及其定量表達(dá)式:一個孤立系統(tǒng)的總電荷量不變，即在任何時刻，系統(tǒng)的正電荷與負(fù)電荷之代數(shù)和保持不變?！镫姾墒睾懵墒谴罅繉嶒炇聦嵉目偨Y(jié)。1897年,英國物理學(xué)家J.J.湯姆孫陰極射線是由電子所組成電子的發(fā)現(xiàn)及其荷質(zhì)比的確定，為精確建立電荷守恒律圖(b)，在電流場j(r)中，考察一閉合()所包圍的區(qū)域(V)內(nèi)電量變化率。我們約定()上面元ds方向為其外法線方向，于是，當(dāng),意味著流出電量，則；當(dāng),意味著流入電量，則。13電荷守恒率：區(qū)域內(nèi)所含總電量：則有：電荷守恒率數(shù)學(xué)表達(dá)式：(公式3.5)式(3.5)也可以進(jìn)一步顯現(xiàn)為:

(公式3.5’)14注意到導(dǎo)電介質(zhì)體內(nèi)的原子實分布不動，即，故有可得電荷守恒律的微分表達(dá)式：或(公式3.6)借助數(shù)學(xué)場論中的高斯定理：15▲

穩(wěn)恒電流場系無源場:

穩(wěn)恒電流場j(r)，其相聯(lián)系的電場必為靜電場，電荷分布必處靜止?fàn)顟B(tài)，與時間t無關(guān)，即:或進(jìn)一步由公式3.6有：(公式3.7)或這表明在穩(wěn)恒電流場中，處處散度為零?；蛘哒f，穩(wěn)恒電流場中的電流線即j線總是閉合的，無頭無尾，形成一個閉合環(huán)路。簡言之，穩(wěn)恒電流場系無源場。關(guān)于穩(wěn)恒電流場必為無源場的結(jié)論，為動力學(xué)機(jī)制指明了一條途徑，那就是單憑靜電場是不可能形成穩(wěn)恒電流場的，因為靜電場線不可能是閉合的如圖3.4(a)所示一均勻帶電圓環(huán)繞圓心軸旋轉(zhuǎn)，其線電荷密度為，角速度為。則它在半徑為R的圓周上造成一線電流，其電流強(qiáng)度為:16▲例題:

旋轉(zhuǎn)帶電體形成的電流場。I=與此類似的情況是，一帶電粒子q，以角速度作圓周運(yùn)動，而造成的等效電流強(qiáng)度為I=如圖3.4(b)所示，一均勻帶電圓片繞圓心軸旋轉(zhuǎn)，其面電荷密度為()，角速度為。則它在半徑為R的圓片上造成一個面電流場。仿照體電流密度j的定義方式，可以定義出一個面電流密度:17進(jìn)一步可得：由可得：該面電流密度值非均勻，隨與圓心的距離增加而線性增大，雖然面電荷密度是均勻的。r如圖3.4(c)，一均勻帶電球體繞一直徑軸而旋轉(zhuǎn)，其體電荷密度為()，角速度為，則其造成的體電流密度函數(shù)，倒是我們所熟悉的，18運(yùn)動電荷一般情形旋轉(zhuǎn)帶電體體電荷運(yùn)動體電流密度球體

面電荷運(yùn)動面電流密度圓片線電荷運(yùn)動電流強(qiáng)度圓環(huán)

帶電粒子運(yùn)動電流元粒子

rI=如圖3.5所示，一球狀空間電荷區(qū)，設(shè)其初始半徑為，初始電荷體密度為，其表面以速率向外不斷膨脹，試討論其造成的電流場19▲討論題:

不斷膨脹的球狀空間電荷所造成的電流場提示：假設(shè)該膨脹過程近似為一準(zhǔn)靜態(tài)過程，即任意時刻其體內(nèi)電荷近似為一均勻分布；推演出發(fā)點擬為203.2導(dǎo)電介質(zhì)中電流動力方程引言電阻率&電導(dǎo)率

導(dǎo)電介質(zhì)中電流動力方程導(dǎo)線怎樣成為電流管小結(jié)—恒定電流場的基本規(guī)律歐姆定律電阻率與溫度的關(guān)系

關(guān)于導(dǎo)電介質(zhì)的體電荷密度恒定電流場邊值關(guān)系和圖象討論—靜電高壓球漏電問題▲引言

泛泛而論，電場力是驅(qū)動電荷運(yùn)動的一種動力，從而形成一個電流場.然而，定量上j與E的關(guān)系卻取決于運(yùn)動電荷的處境，是載流子運(yùn)動于導(dǎo)電介質(zhì)體內(nèi)，或是電子束、離子束運(yùn)動于電真空器件中的空間.這兩種場合下，j與E之關(guān)系，或電流I與電壓U之關(guān)系，是截然不同的.相對而言，運(yùn)動于導(dǎo)電介質(zhì)中的載流子動力學(xué)問題較為簡單，且為常見實用情形，而空間電荷運(yùn)動的動力學(xué)問題較為復(fù)雜.本節(jié)主要論述導(dǎo)電介質(zhì)中與之關(guān)系，稱其為電流動力方程，這要從歐姆定律說起.21德國物理學(xué)家G.S.歐姆，從1825年開始對金屬細(xì)絲的電導(dǎo)率進(jìn)行實驗研究，于次年總結(jié)出，一導(dǎo)線兩端的電壓與通過的電流和其電阻三者之間遵從一個簡單的比例關(guān)系，這被后人謂之歐姆定律。▲歐姆定律

圖3.6(a)，其電流強(qiáng)度I與電壓U之間呈現(xiàn)—線性關(guān)系,即引入一比例常數(shù)R，將這一線性關(guān)系寫成一等式:(歐姆定律)(公式3.8)為材料的電阻率，它系物質(zhì)電性參數(shù)，其單位為：

，稱之“歐.米”22表達(dá)式中R值稱為該元件的電阻，圖3.6(b)顯示了純電阻元件的伏安特性，它呈現(xiàn)線性關(guān)系.電阻的單位為:R=V/A,

記作，謂之“歐姆”.電阻率&電導(dǎo)率對于一般材料制成的電阻絲其R值正比于其長度l，而反比于其正截面積S，即:引入一比例常數(shù)，將以上關(guān)系寫成一個等式:三類材料的電阻率數(shù)量級范圍為:金屬；半導(dǎo)體；絕緣介質(zhì)

.23金屬金屬鋰8.59.1鈦82.089.0鈉4.34.6鎳6.67.35鉀6.16.9鋅5.55.95鋁2.532.72鎘6.77.25鐵8.99.9汞93.795.4銅1.561.68鎵40.843.9銀1.471.58銦8.359.1金2.062.21砷35.237.6錫10.411.3鉛19.520.724▲電導(dǎo)G和電導(dǎo)率。電導(dǎo)：電阻的倒數(shù)；電導(dǎo)率：電阻率的倒數(shù)。記作S，謂之“西門子”25表3.3一些非金屬物質(zhì)的電導(dǎo)率表3.3一些非金屬物質(zhì)的電導(dǎo)率其含義為，溫度改變或而引起的電阻率變化比.

金屬電阻率隨溫度升高而增加，且在一個相當(dāng)寬的溫度區(qū)間，函數(shù)呈現(xiàn)線性變化,引入電阻率的溫度系數(shù)，用以反映電阻率隨溫度變化的敏感程度，它定義為:26▲電阻率與溫度的關(guān)系:單位：或純金屬的電阻率溫度系數(shù)約為.汞：銀：絕緣介質(zhì)和半導(dǎo)體，其電阻率隨溫度變化的趨勢是與金屬相反的，其隨溫度上升而減少，相應(yīng)有負(fù)溫度系數(shù).特別是半導(dǎo)體，其對溫度的依賴關(guān)系十分敏感，且呈現(xiàn)非線性，其隨溫度上升而呈指數(shù)式減小.在室溫下，半導(dǎo)體材料溫度系數(shù)的數(shù)量級約為(公式3.11)27各種金屬的電阻率圖銅金鎢銀28

對導(dǎo)電介質(zhì)電阻率及其溫度系數(shù)的研究，具有十分重要的應(yīng)用價值和理論意義.

一、利用半導(dǎo)體材料電阻率的熱敏性而制成熱敏電阻，用于探溫、測溫和控溫。

二、將溫度訊號轉(zhuǎn)化為電訊號，從而實現(xiàn)某種自動控制.

為了保證電路的穩(wěn)定性和電阻的穩(wěn)定值，人們尋求到某些特殊的合金，具有甚小的溫度系數(shù)，約為，具體參見表3.4.

導(dǎo)電介質(zhì)的電阻率及其溫度系數(shù)是可觀測量，人們可以憑據(jù)實驗曲線，以審視關(guān)于介質(zhì)導(dǎo)電微觀機(jī)制及其給出的電阻率微觀公式的正確性.

注：1911年，荷蘭科學(xué)家卡莫林·昂納斯發(fā)現(xiàn)了水銀在液氦溫度4.2K時的零電阻現(xiàn)象，從而開創(chuàng)了人類對于超導(dǎo)電性研究的百年新紀(jì)元.關(guān)于物質(zhì)超導(dǎo)電性，留待本書電磁感應(yīng)一章作較全面介紹.材料電阻率還與壓強(qiáng)p有關(guān)，一般呈現(xiàn)正效應(yīng)，即隨壓強(qiáng)上升而增加，也有個別金屬呈現(xiàn)負(fù)壓強(qiáng)系數(shù).電阻率的壓強(qiáng)系數(shù)定義為：在常溫、壓強(qiáng)在區(qū)間，金屬的壓強(qiáng)系數(shù)約比如,汞：；銀：；銅：.29（公式3.11’)合金合金金-鉻0.330.001銅鎳合金0.430.2石墨8.00-0.2標(biāo)準(zhǔn)電阻合金0.450.04錳系材料0.500.02鉑-銥0.322.0碳刷40—鉑-銠0.201.7康銅0.500.03錳銅合金0.510.008錳鎳銅合金0.430.02錫鋅合金（約銅）0.1271.5鉻-鎳10120.2鋅鎳銅合金（白銅）0.300.4將其應(yīng)用于電流場中一細(xì)小電流管，如圖所示，并令，于是得到：30▲導(dǎo)體介質(zhì)中電流動力學(xué)方程:將純電阻元件的歐姆定律，顯示為一積分形式：考慮到方向，可將上式寫成歐姆定律的微分形式:或(公式3.12)31

電流動力方程鮮明地反映了是電場力推動載流子作定向運(yùn)動這一動力學(xué)機(jī)制.它具有多方面的重要意義，茲闡述如下：

（1）反映了j與E的點點對應(yīng)關(guān)系，即

，這表明某處的電流是由該處電場驅(qū)動所致.

（2）反映了j與E的時時對應(yīng)關(guān)系，即

，這表明某時刻的電流是由當(dāng)時的電場驅(qū)動所致.32（3）反映了一恒定電流場對應(yīng)著一個靜電場，即推論：在導(dǎo)電介質(zhì)中若建立起一個恒定電流場，則導(dǎo)電介質(zhì)中可能存在的體電荷密度或面電荷密度，必定與時間無關(guān)，即

（公式3.13）（4）如果在導(dǎo)電介質(zhì)中，同時存在靜電場E和非靜電場K，則在該區(qū)域中電流動力方程推廣為

（公式3.14）這里，K定義為單位正電荷所受到的非靜電力，即

（公式3.14’）

表示原子實或正離子的體電荷密度，而表示載流子或負(fù)離子的體電荷密度，兩者處處時時代數(shù)和為零，這并不排斥或的運(yùn)動，或兩者均在運(yùn)動此結(jié)果表明，這場合有體電流，卻無體電荷，似難理解.其實，這體電荷含兩項:即33▲關(guān)于導(dǎo)體介質(zhì)的體電荷密度:在恒定電流場的均勻?qū)щ娊橘|(zhì)體內(nèi)，無體電荷密度，即

處處為零.可作如下推演：(恒定電流場）(設(shè)K為零）(為常數(shù)）(應(yīng)用靜電場散度方程）于是(公式3.15)以上證明過程先后用到三個條件，即恒定電流場，均勻電導(dǎo)率，和不存在非靜電力.換言之，當(dāng)恒定電流場存在于非均勻?qū)щ娊橘|(zhì)，則其體內(nèi)可能出現(xiàn)的景象.抑或，在均勻?qū)щ娊橘|(zhì)內(nèi)，同時存在非靜電力場K(r)，其體內(nèi)也有可能出現(xiàn).茲對此考量如下.34我們大體已知，在磁場中的運(yùn)動電荷將受到一個洛侖茲力，這是一種非靜電力.而一個載流體，既會產(chǎn)生磁場，其體內(nèi)又有運(yùn)動載流子，故一載流體周圍必伴有一個洛侖茲力場K(r)，再考量其散度是否為零.這些物事將在隨后恒定磁場一章詳述，屆時將用到（3.15’）式.(公式3.15’)35▲導(dǎo)線怎樣成為電流管:在導(dǎo)線內(nèi)部的電場E，總是沿著導(dǎo)線的切線方向，電流總是沿著導(dǎo)線切線方向.載流導(dǎo)線通過其表面自由電荷的分布和調(diào)整，使自己成為引導(dǎo)的電流管，或成為引導(dǎo)的電力管.由此可見，載流導(dǎo)線或載流體的表面隨處分布著自由電荷

跨過界面的電流密度之法線分量總是連續(xù)的，如圖3.10(a)所示.這不難理解，若不連續(xù)，必將繼續(xù)累積面電荷，其后果總是使強(qiáng)者變?nèi)?，而使弱者變?qiáng)，直至（3.16）式得以滿足方可恒定.36▲恒定電流場邊值關(guān)系和圖像:

兩種導(dǎo)電介質(zhì)的交界面，一般將出現(xiàn)面電荷，從而導(dǎo)致其兩側(cè)的場發(fā)生突變，反映這種突變關(guān)系的正是邊值關(guān)系：或(公式3.16)將靜電場的環(huán)路定理應(yīng)用于跨過界面的小矩形框，遂得到另一條關(guān)于場切向分量的邊值關(guān)系:37電流法線分量的連續(xù)，必然導(dǎo)致電場法線分量的突變.茲說明如下.據(jù)得：,或(公式3.16’)或同理，電場切向分量的連續(xù)，必致電流切向分量的突變，,或(公式3.16”)(公式3.16”’)圖顯示幾種典型電導(dǎo)率時的場線和場線圖象.(a)為一般實際情況，；(b)為一種極端情況，；(c)為另一極端情況，因有限而為無限，故，即皆為零.根據(jù)邊值關(guān)系（3.16’’）得，于是，即超導(dǎo)電線四周的電流線必與其表面正交.3839▲小結(jié)——恒定電流場的基本規(guī)律（1）場的積分方程和導(dǎo)電介質(zhì)方程（2）體內(nèi)微分方程（3）界面邊值關(guān)系（4）電荷守恒律的表達(dá)式，其積分形式為（各向同性線性導(dǎo)電介質(zhì))或或在均勻?qū)щ娊橘|(zhì)體內(nèi)，其微分形式為在穩(wěn)恒條件下

夏季濕熱空氣，將使一靜電高壓導(dǎo)體球放電即漏電，如圖3.12所示，從而產(chǎn)生了一變化的電流場.設(shè)高壓球初始電壓為，半徑為R，濕熱空氣電導(dǎo)率為.試求出：（1）電流場函數(shù)式.（2）球殼總電量隨時間變化函數(shù)式.（3）球殼電量減為的時所需的時間，即放電時間常數(shù)，它滿足40▲討論——靜電高壓球漏電問題

為遷移率,其單位為.對于金屬，約為量級；電解質(zhì)溶液中，離子遷移率約為量級.而對于半導(dǎo)體材料，其遷移率因載流子類型而異，一般為(電子)>(空穴)；比如，輕度摻雜的硅材料，在室溫下的電子遷移率為，其空穴遷移率為

.對于線性導(dǎo)電介質(zhì)，其體內(nèi)載流子運(yùn)動的定向速度即漂移速度正比于電場.引入一比例系數(shù)，而將兩者之關(guān)系寫成一等式如下，.413.3金屬導(dǎo)電的微觀模型載流子的遷移率金屬導(dǎo)電經(jīng)典電子論的困難試估算金屬傳導(dǎo)電子的平均自由程焦耳定律及其微觀機(jī)制金屬導(dǎo)電的微觀模型▲載流子的遷移率(公式3.17)42由電流運(yùn)動學(xué)公式和電流動力方程以及（3.17）式：，，，可得介質(zhì)電導(dǎo)率與其遷移率之關(guān)系：(公式3.18)這表明，介質(zhì)電導(dǎo)率正比于載流子濃度與其遷移率之乘積.式（3.18）是一個具有微觀意義的公式.大凡對宏觀上可觀測量電導(dǎo)率及其變化特點的微觀解釋，均可以從載流子濃度和遷移率兩個因素入手分析之.

比如：半導(dǎo)體材料電阻率的負(fù)溫度效應(yīng)，源于其載流子濃度隨溫度上升而明顯地增加.

金屬中的電阻率的正溫度效應(yīng)，是源于其遷移率隨溫度上升而減少.

43氣體正離子負(fù)離子氮1.291.82氧1.331.8氬1.371.7氦5.16.3氫5.78.6乙烷0.710.86苯0.180.21表3.5空氣中離子遷移率換言之，該式將電導(dǎo)的非線性效應(yīng)，吸納到遷移率因子中，使其成為一個隨變化的函數(shù).于是，對于函數(shù)曲線的測量與研究，就等價于對材料的非線性導(dǎo)電性能的考量。44提兩點：（1）對導(dǎo)電介質(zhì)遷移率的測量和研究，在村料科學(xué)中具有重要價值：

一方面，是因遷移率與電導(dǎo)率有著直接的關(guān)系。

另一方面，若載流子遷移率越高，則其漂移速度越大，于是該器件完成訊號處理的時間越短.（2）對于非線性導(dǎo)電介質(zhì)，人們依然喜歡采用（3.17）形式以刻畫與

E關(guān)系，即(公式3.18’)45▲金屬導(dǎo)電的微觀模型金屬導(dǎo)電的動力方程遵從

，這表明其體內(nèi)自由電子在電場力

作用下，所形成的電流密度維持不變.？金屬體內(nèi)的原子實形成了金屬晶格，而大量傳導(dǎo)電子在晶格空間中作隨機(jī)的無規(guī)熱運(yùn)動；在電場力作用下，傳導(dǎo)電子又添加了一個定向加速運(yùn)動；同時，傳導(dǎo)電子與格點即原子實發(fā)生頻繁地碰撞，每碰撞一次，傳導(dǎo)電子便完全喪失掉此前被加速而獲得的定向速度，從零開始重新被加速，直至下一次遭遇碰撞為止.這就是金屬晶格中傳導(dǎo)電子的運(yùn)動圖象，亦即金屬導(dǎo)電的微觀模型按質(zhì)點力學(xué)之理，帶電粒子在恒力作用下其速度將隨時間而不斷增長，因而其產(chǎn)生的電流密度應(yīng)當(dāng)隨時間不斷增長才對.46金屬晶格中的傳導(dǎo)電子，其運(yùn)動的自由程度是受限的，或者說，其自由漂移的路程是受限的，電場加速的平均時間

僅限于相繼兩次碰撞之間，因而，自由電子的平均定向漂移速度

也就被限定了，而宏觀上的電流正是這平均漂移速度所貢獻(xiàn)的.對此數(shù)學(xué)描寫如下：傳導(dǎo)電子所受庫侖力獲得定向運(yùn)動加速度平均自由漂移時間獲得自由漂移末速度于是，相繼兩次碰撞間獲得平均漂移速度為:該式表明，在恒定電場作用下，傳導(dǎo)電子的平均漂移速度也是恒定的，且正比于電場強(qiáng)度，這就從微觀深度上揭示了金屬導(dǎo)電的線性規(guī)律.進(jìn)而，聯(lián)系（3.17）式和（3.18）式，遂得到兩個可觀測量即遷移率和電導(dǎo)率與微觀量的關(guān)系式:(公式3.19)(公式3.20)47在分子熱動理論中，平均自由漂移時間

應(yīng)當(dāng)?shù)扔谄骄杂沙?/p>

與其平均熱運(yùn)動速率

之比值，即(公式3.20’)自由電子氣的平均熱運(yùn)動速率

遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其漂移運(yùn)動速率

，

量級為

量級一般為

換言之，相繼兩次碰撞的自由漂移時間主要地取決于熱運(yùn)動速率.可將（3.20）式進(jìn)一步表達(dá)為(公式3.20’’)這是金屬導(dǎo)電的經(jīng)典電子論給出的兩個公式.它們有助于說明金屬遷移率或電導(dǎo)率受各種因素影響的動因.注意到，其中電子電量

e，電子質(zhì)量m

和自由電子濃度

n，這三者與溫度無關(guān)，因而值得注目的是，其中的平均自由程

和平均熱運(yùn)動速率

對溫度的依賴關(guān)系，決定了金屬遷移率或電導(dǎo)率對溫度的依賴關(guān)系.48▲金屬導(dǎo)電經(jīng)典電子論的困難當(dāng)溫度上升，自由電子氣熱運(yùn)動程度加劇，則其平均熱運(yùn)動速率

增加，據(jù)（3.20’’）式，導(dǎo)致

或

減少，亦即電阻率

隨溫度上升而增加，這就成功地解釋了金屬電阻率的正溫度效應(yīng).然而，對于金屬

在相當(dāng)寬的溫度范圍呈現(xiàn)線性變化這一實驗規(guī)律，經(jīng)典電子論卻無法給予完滿解釋.據(jù)分子熱動理論，分子熱運(yùn)動的平均平動動能為這一矛盾暴露了金屬電子論的局限和困難.在近代固體物理學(xué)中，將用量子理論處理金屬中電子-晶格相互作用，給出了金屬電阻率

的理論結(jié)果:代入（3.20”）式得:，故，即實驗上卻是：（3.21）49▲試估算金屬傳導(dǎo)電子的平均自由程根據(jù)（3.20”）式，得金屬中電子漂移運(yùn)動的平均自由程為:（略去負(fù)號）借助（3.21）式，得:代入玻爾茲曼常數(shù)溫度電子質(zhì)量kg.J/Kkg.K.得注：金屬中的傳導(dǎo)電子和原子實之間存在強(qiáng)關(guān)聯(lián)，因而影響其運(yùn)動的質(zhì)量不是其慣性質(zhì)量，而是它的有效質(zhì)量

，經(jīng)專門實驗測定，傳導(dǎo)電子的平均有效質(zhì)量

進(jìn)而，取金屬傳導(dǎo)電子的遷移率

，得50

的這一量級幾倍于金屬晶格相鄰格點之間隔d

.可以這樣來估算d

：金屬比重取，金屬元素的mol質(zhì)量取100g，即在1cm3體積中約含

個原子，得相應(yīng)的原子間隔為:cm兩者的比值:這比值表明，平均看來傳導(dǎo)電子掠過近10個原子實才遭遇到一次碰撞.？傳導(dǎo)電子在1秒時里.其漂移運(yùn)動遭遇到多少次碰撞，即其碰撞頻率f為多少

次/秒引入焦耳熱功率體密度

一量，它定義為單位體積中的焦耳熱功率，即51▲焦耳定律及其微觀機(jī)制焦耳熱功率:單位時間中產(chǎn)生的熱能正比于電阻值

和電流強(qiáng)度

的平方.焦耳定律是一個揭示了傳導(dǎo)電流將電能轉(zhuǎn)化為熱能的定量規(guī)律.J/s=W（瓦），(公式3.22)焦耳定律的微分形式于是得到：W/m3.或

這表明，介質(zhì)電流場中某處的焦耳熱功率體密度，等于當(dāng)?shù)氐碾娮杪逝c電流密度平方之乘積，或等于當(dāng)?shù)仉妼?dǎo)率與電場強(qiáng)度平方之乘積.(公式3.22’)52傳導(dǎo)電子在電場作用下的定向漂移運(yùn)動，頻繁地與金屬晶格遭遇碰撞，將先前獲得的定向動能轉(zhuǎn)化為金屬晶格的熱振動能量，而使金屬材料升溫.對此定量考察如下：其獲得定向末速度為相應(yīng)的定向動能為設(shè)傳導(dǎo)電子密度為設(shè)傳導(dǎo)電子平均漂移時間為時間里單位體積中傳導(dǎo)電子喪失掉的總定向動能為:故，金屬晶格獲得的焦耳熱功率體密度為:(公式3.22’’)比對宏觀實驗規(guī)律（3.22’）式，可見兩者定性上的一致性，均正比于

，且（3.22’’）式給出了金屬電導(dǎo)率與微觀量之關(guān)系式:533.4電源與電動勢熱電效應(yīng)電源的作用電動勢單一電路歐姆定律&內(nèi)阻的影響伽伐尼電池之一種—伏打電池電源端電壓與電動勢的關(guān)系三種熱電效應(yīng)▲電源的作用▲佩爾捷效應(yīng)，接觸電勢差▲湯姆孫效應(yīng)，

溫差電動勢

▲塞貝克效應(yīng)，

熱電偶其一、提供非靜電力.其二、形成直流回路.其三、完成恒定電流線的循環(huán).54圖3.13直流電源的工作原理圖（a），電源內(nèi)部的非靜電力K

驅(qū)動電量從B到A，造成電荷積累；圖（b），積累的電荷產(chǎn)生了一個靜電場E抗衡非靜電力K

.至(E+K=0)，電荷不再累積，電源內(nèi)部處于一種靜態(tài)平衡；圖（c），接上導(dǎo)線,導(dǎo)線中的載流子在靜電場

驅(qū)動下流動；圖（d），導(dǎo)線中的載流子在靜電場

驅(qū)動下從A到B流動，同時非靜電力將電量從

B極驅(qū)動至A

極，及時地加以補(bǔ)充，達(dá)到了一種動態(tài)平衡.恒定電流的運(yùn)動圖象：在電源內(nèi)部，存在非靜電力

K，它克服靜電力將電荷從負(fù)極驅(qū)動到正極，而在電源外部，靜電場力將電荷從正極驅(qū)動到負(fù)極，如此里應(yīng)外合，循環(huán)不止，形成了恒定電流回路55▲伽伐尼電池之一種——伏打電池凡兩種不同金屬浸于電解質(zhì)溶液，而獲得一恒定電動勢的裝置，統(tǒng)稱為伽伐尼電池.

1780年意大利的解剖學(xué)家L.伽伐尼——首先發(fā)現(xiàn)伏打由電的接觸學(xué)說發(fā)明了一種兩類導(dǎo)體的組合接觸法，

，即由一片片潮濕紙板（a

），隔開一對對鋅板（A

）和銅板（B），這使伽伐尼電動勢倍增，時稱其為伏打電堆，

伏打電堆和伏打電池成為十九世紀(jì)產(chǎn)生恒定電流的唯一手段.

恒定電流的獲得為研究電流的磁效應(yīng)，熱效應(yīng)和電化學(xué)效應(yīng)即電解，提供了可靠的實驗支持。56圖3.14(a)伏打電池；(b)電偶極層與電勢降落層伏打電池內(nèi)部機(jī)理：

圖（a）：

一、銅板和鋅板分別插入CuSO4溶液和ZnSO4溶液，中部有一多孔屏，以防兩種電解液混合，同時為離子運(yùn)動提供通道.

二、銅離子吸附銅板上，使銅板積累正電量，其接觸的溶液層便呈現(xiàn)負(fù)電量，兩者形成電偶極層.三、鋅離子進(jìn)入溶液帶正電量，鋅板帶上負(fù)電量.兩者形成電偶極層獲得端電壓.

57圖（b）：

端電壓，它等于銅板與鋅板附近兩處偶極層分別所貢獻(xiàn)的電勢差之和.注：一、在電勢降落圖(b)中，溶液中C、D兩點為等電勢，僅適用于目前靜態(tài)開路的情形.

二、一旦外部接上負(fù)載和導(dǎo)線而構(gòu)成一回路，就有電流通過溶液自

D處至

C處，而正、負(fù)離子運(yùn)動于溶液中將受到一粘滯阻力，這源于這些離子間的相互碰撞以及與水分子的碰撞.換言之，宏觀上看這一路溶液是有電阻的，稱其為電源的內(nèi)阻，三、伏打電池工作時其端電壓

將不足1.11V.段電勢會由于內(nèi)阻呈現(xiàn)線性上升，使58▲電動勢電動勢是衡量非靜電力做功能力的一個物理量，其定義為非靜電力沿閉合回路遷移單位正電荷時所做的功，即這是電動勢的一個普遍定義式，適用于不同類型的電源和不同機(jī)制的非靜電力.對于伽伐尼這類集中性電源，其

K局限于電源內(nèi)部的正、負(fù)極之間，而在電源外部無K

，于是，其電動勢表達(dá)為（伏特）公式(3.23）公式(3.23’)▲電源端電壓與電動勢的關(guān)系（1）理想電源.無內(nèi)阻的電源被稱為理想電源，表示為

，其工作時的端電壓為該結(jié)果表明，不論電路負(fù)載大小，或回路電流I值大小和方向，理想電源的端電壓恒等于電動勢值.故人們稱謂內(nèi)阻為零的電源是一恒壓源.公式(3.24）59（2）實際電源.一般情形電源含有內(nèi)阻

r，用兩個指標(biāo)

反映一個電源的性能.為考量此時的端電壓與電動勢之關(guān)系，可以將實際電源看為一理想電源串接—純電阻，如圖3.15所示，即實際電源

=理想電源+純電阻

，圖(a),當(dāng)電流I

在內(nèi)部由負(fù)極B

流向正極

A，則其端電壓圖(b),當(dāng)電流I

在內(nèi)部從正極A流向負(fù)極B

，則其端電壓此時，端電壓小于電動勢值，且在電量遷移過程中，電源力K作正功，而將電源能比如化學(xué)能轉(zhuǎn)化為電勢能.人們稱此狀態(tài)為電源放電.此時端電壓大于電動勢值，且在電量遷移過程中，電源力K

作負(fù)功，亦即電場力

E克服K

而作正功，將電勢能轉(zhuǎn)化為電源能比如化學(xué)能.人們稱此工作狀態(tài)為電源充電，公式(3.24’)公式(3.24’’)60▲單一電路歐姆電阻內(nèi)阻的影響圖(a)所示為單一電源的簡單電路，其中一負(fù)載電阻為R

，一電源為.連接導(dǎo)線為高電導(dǎo)材質(zhì)，可忽略其電阻，采取以下近似：則電源端電壓為：又故最后得全電路歐姆定律：或（歐姆定律）（據(jù)（2.24’）式）公式(3.25)由此可見，當(dāng)負(fù)載R

有變化，將導(dǎo)致端電壓的變化，雖然電源

是不變的.此謂端電壓的不穩(wěn)定性，這源于電源含內(nèi)阻

r.若內(nèi)阻為零，則端電壓恒為電動勢

值，此時當(dāng)負(fù)載

R變化，電流I

也隨之變化，而兩者仍滿足簡單的比例關(guān)系，即

61電源內(nèi)阻帶來的又一影響表現(xiàn)在電功率方面.電源消耗的功率為:電源輸出功率或有用功率，就是負(fù)載上的電功率:此式表明，

與R關(guān)系為非線性，如圖所示:開路:短路:當(dāng)

時，

值達(dá)到極大:此時，電源能量轉(zhuǎn)化效率

值卻僅為.62▲三種熱電效應(yīng)（1）佩爾捷效應(yīng)&接觸電勢差.圖3.17(a)佩爾捷電動勢

；(b)第三者插入其間不會改變接觸電勢差

一、兩種不同金屬A與B相密接.二、兩者自由電子濃度的差別或兩者表面功函數(shù)的差別，導(dǎo)致自由電子彼此交換數(shù)量的不對等.三、在接觸處出現(xiàn)了一電偶極層.造成了一恒定電勢差

，稱其為接觸電勢差。相應(yīng)的等效電源如圖所示，其電動勢

稱為佩爾捷電動勢.電動勢

與電勢差

兩者互為表里.63佩爾捷電動勢

之?dāng)?shù)值與兩種金屬材質(zhì)有關(guān)，也與溫度有關(guān)，通常在

當(dāng)接上外電源而有電流通過時，接觸面（或接頭處）將發(fā)生吸熱或放熱現(xiàn)象.單位時間中接觸處單位面積吸收或釋放的熱量

正比于電流密度

j，即(公式3.26)

比例系數(shù)

P稱為佩爾捷系數(shù)，其單位相同于電壓單位

，其值與金屬種類以及溫度有關(guān)，即

，佩爾捷效應(yīng)是法國物理學(xué)家J.C.A佩爾捷于1834年發(fā)現(xiàn)的，當(dāng)時他在銅絲兩頭各接一根鉍絲，并將兩根鉍絲分別接到一直流電源的正、負(fù)極，通電后他發(fā)現(xiàn)一個接頭變熱，而另一接頭變冷.64若在金屬A,B接觸處插入第三者金屬C，這不會改變A,B兩端的電勢差.對此證明如下，參見圖3.17(b).設(shè)接觸電勢差正比于兩者的自由電子濃度差，即

當(dāng)?shù)谌逤

插入其間后，有故，此時

的電勢差應(yīng)為:這里已用到等溫條件，即

A,B,C三者處于同一溫度，從而保證了比例系數(shù)

為同一數(shù)值.65（2）湯姆孫效應(yīng)&溫差電動勢.湯姆孫電動勢：

如圖(a),金屬棒其一端處于高溫

，其另一端處于低溫

，于是，金屬中的自由電子象氣體分子一樣，由高溫端向低溫端擴(kuò)散.從宏觀效果上看，這等效于存在一非靜電力K

，驅(qū)使自由電子遷移，造成電荷積累，而出現(xiàn)一個自建場

E，以反抗K；直至

E,K平衡，最終獲得一恒定電壓.其等效電源圖如圖(b),其中為湯姆孫電動勢。(a)溫度差導(dǎo)致自由電子熱擴(kuò)散(b)湯姆孫電動勢

(c)此電流過程中導(dǎo)體吸熱(d)此電流過程中導(dǎo)體放熱其中比例系數(shù)

為湯姆孫系數(shù)，其單位.值與金屬材質(zhì)，溫度有關(guān)，其量級約在

.比如，設(shè)溫差

為

，則可獲得湯姆孫電動勢或端電壓為

66

非靜電力K

正比于當(dāng)?shù)氐臏囟忍荻?，即?公式3.27)憑借（3.27）式可以表達(dá)湯姆孫電動勢為：(公式3.27’)湯姆孫效應(yīng):有溫度梯度之導(dǎo)體內(nèi)的熱電轉(zhuǎn)化效應(yīng),導(dǎo)體中除了產(chǎn)生了不可逆的焦耳熱外，還要吸收或放出一定的熱量.

在單位時間單位體積中吸收或放出的熱量

，正比于電流密度

和溫度梯度

，即(公式3.27’’)67（3）賽貝克效應(yīng)&熱電偶.將佩爾捷效應(yīng)和湯姆孫效應(yīng)結(jié)合起來，構(gòu)成一個循環(huán)，就將產(chǎn)生一回路電流，而無需外加一直流電源.如圖3.19(a)所示，此現(xiàn)象是T.J.塞貝克于1821年發(fā)現(xiàn)的.它等效于四個熱電動勢的串接，含兩個極性相同的佩爾捷電動勢

和

，兩個湯姆孫電動勢

和

，如圖3.19(b)所示。(a)考量回路熱電動勢

(b)等效電路68回路最終是否出現(xiàn)電流，取決于回路電動勢是否為非零.對此考量如下.試選一閉合回路

，其電動勢最后求得塞貝克回路熱電動勢為：(公式3.28)式（3.28）表明：a.若

，即使

，其，回路無電流.b.若

，即使

，其

，回路無電流.c.惟有

，且

，才有可能

d.為了加強(qiáng)這熱電動勢，應(yīng)尋求（3.28）式中兩項為同一正號或同一負(fù)號.注意到總是

，故選擇

，且

是合宜的，或選擇

，且

亦合宜.69熱電偶溫度范圍銅-康銅鐵-康銅鎳鉻-鎳鉑銠-鉑合金成份康銅鎳鉻黃銅錳銅表3.6常用熱電偶及其合金成分圖3.20（a）常用熱電偶的溫差電動勢曲線，（b）熱電偶測溫工作原理佩爾捷效應(yīng)和湯姆孫效應(yīng)，以及兩者結(jié)合的塞貝克效應(yīng)，均系熱電轉(zhuǎn)換效應(yīng)，它們提供了一種熱能與電能彼此可逆轉(zhuǎn)化的機(jī)制.利用熱電效應(yīng)可使塞貝克回路在高溫處放熱，在低溫處吸熱，從而實現(xiàn)制冷，稱其為溫差制冷.熱電偶可用于測溫，具有反應(yīng)快、精度高、測溫范圍寬和測量對象廣泛等諸多優(yōu)點.熱電偶測溫的工作原理，如圖3.20(b)所示，它由兩種不同材質(zhì)的金屬絲組成，兩種絲材

和

的一端焊接在一起作為工作端，置于被測溫度

處，另兩個端點作為自由端分別置于同一參考溫度

處，比如冰水共存的杯中

，再用兩根導(dǎo)線

將這兩端引向一測量儀表名為電勢差計.電勢差計精測出電勢差

，其數(shù)值就等于當(dāng)

閉合為一回路時的塞貝克電動勢

，這是因為第三者

的插入不會改變原有的熱電動勢.再由事先已經(jīng)獲得的這一對熱電偶的

曲線，查出與

值對應(yīng)的溫差值

，最終測得.在半導(dǎo)體中同樣存在上述三種熱電效應(yīng)，且比金屬中的更顯著.金屬中的熱電動勢率約為

，而半導(dǎo)體中一般為

，有的甚至達(dá).故金屬中的塞貝克效應(yīng)主要用于制成熱電偶以測溫，而半導(dǎo)體的熱電動勢可用于溫差發(fā)電.70713.5直流電路概述

串聯(lián)電路中高阻起主要作用并聯(lián)電路中低阻起主要作用

直流電橋補(bǔ)償電路&電熱差計

基爾霍夫方程組例題——非平衡橋路電流及其靈敏度電壓源&電流源及其變換

討論——含電容的電路之電壓分配問題▲概述基本內(nèi)容：建立其電壓分配和電流分配的規(guī)律；研究電功率和發(fā)生于電路元件中的能量轉(zhuǎn)化；尋求解決某些特殊電路的特定有效方法；討論電路的穩(wěn)定性、靈敏度和平衡條件.決定直流電路電壓分配和電流分配規(guī)律的兩條基本規(guī)律：(公式3.29)電阻&電源與

關(guān)系式

放電

充電

72▲串聯(lián)電路中高阻起主要作用圖3.22（a）電阻串聯(lián)（b）串聯(lián)電路中高阻起主要作用一例如圖(a)，若干電阻元件首尾相接而處于一條支路，稱此種聯(lián)接方式為串聯(lián)；串聯(lián)電路中，流經(jīng)各個元件的電流

是相等的.再結(jié)合歐姆定律和電壓線性疊加關(guān)系，便可得到串聯(lián)電路中關(guān)于電壓、電流的全部公式如下：(公式3.30)73在串聯(lián)電路中，高阻起主要作用.如圖(b)，設(shè)

，可調(diào)低阻

，電源

，忽略其內(nèi)阻.則電流，：于是，當(dāng)

，

；當(dāng)

，

；當(dāng)

，.即，低阻兩端電壓

與低阻

值近似成正比，這意味著此電路成為一準(zhǔn)恒流電路，其電流

值主要由高阻

決定，低阻負(fù)載

的變化幾乎不影響這路電流.這種近似的快速估算方法，在實驗工作中很有實用價值.對于本題這估算的誤差約為2%.74▲并聯(lián)電路中低阻起主要作用圖3.23（a）電阻并聯(lián)（b）并聯(lián)電路中低阻起主要作用一例如圖(a)，若干電阻各自的一端聯(lián)結(jié)，各自的另一端也聯(lián)結(jié)，稱此種聯(lián)結(jié)方式為電阻的并聯(lián)；在并聯(lián)電路中，跨于各電阻兩端的電壓是相等的.結(jié)合歐姆定律和電流線性疊加關(guān)系，便可得到并聯(lián)電路中關(guān)于電壓、電流的全部公式如下：(公式3.31)75在并聯(lián)電路中，低阻起主要作用.如圖(b)，設(shè)

，可調(diào)高阻

，兩者并聯(lián)且與

串聯(lián)，電源.則分配于并聯(lián)電阻兩端的電壓為：于是，當(dāng)

，；當(dāng)，；當(dāng)

，即，高阻一路電流

與高阻

值近似成反比，這意味著此電路

間成為一準(zhǔn)恒壓電路，其分配到的電壓

值主要由低阻

值決定，高阻負(fù)載

的變化幾乎不影響這段電壓.這種近似的快速估算方法在實驗工作現(xiàn)場很有實用價值.對于本題這估算的誤差約為2%.串聯(lián)電路和并聯(lián)電路及其組合電路，都?xì)w結(jié)為一類簡單電路，它們是常見的且應(yīng)用十分廣泛的電路，串聯(lián)、并聯(lián)電路中電壓電流分配規(guī)律的典型應(yīng)用：可調(diào)分壓電路、可調(diào)制流電路、利用串聯(lián)分壓以擴(kuò)大電流計的電壓量程而成為伏特表、利用并聯(lián)分流以擴(kuò)大電流計的電流量程而成為安培表、伏安法測電阻及外接或內(nèi)接的選擇.7677▲直流電橋圖3.24直流電橋及其平衡條件直流電橋有四臂，其電阻分別為

和；在兩個支路的中點之間，跨接一個靈敏電流計作為示零器，這一段稱為橋路，如圖3.22所示.一般情況下，橋路電流

不為零，此時全電橋就不是一個簡單電路，不能將它看作串聯(lián)或并聯(lián)及其組合，稱此時該電橋處于非平衡狀態(tài).當(dāng)橋路電流

為零，電橋達(dá)到平衡.為求出電橋平衡條件，不妨先斷開橋路，讓

兩點脫接，試看其電壓

在何條件下等于零；如是，再讓

聯(lián)接上，此時橋路電流

必定為零.78采用一種謂之“順序數(shù)落電壓”的方法，表達(dá)電壓：

令，得：即或公式(3.32)（3.32）式為電橋平衡條件——對應(yīng)臂電阻之比值相等.

基于此平衡條件，直流電橋可用于精測電阻.比如，電阻

為一待測電阻

；當(dāng)電橋工作時，一般

不為零，爾后調(diào)節(jié)另一臂電阻

，直至靈敏電流計示零.于是，得公式(3.32’)直流電橋是一種基本的電磁測量儀表，它可以精測電阻以及其它影響電阻的物理效應(yīng).79▲補(bǔ)償電路電勢差計基于補(bǔ)償電路的電勢差計原理圖，如圖所示：

一、上半部分由工作電源

、可調(diào)電阻

和一長段

電阻構(gòu)成閉合回路，提供一工作電流

，沿

段其電勢逐點降落；

二、下半部分，通過雙向開關(guān)

串接待測電源

或標(biāo)準(zhǔn)電池

，再接上靈敏電流計作為示零器，以檢測下支路電流

是否為零.設(shè)計思想：如果下支路電源

被導(dǎo)線取代，則在

電勢差驅(qū)動下，有下支路電流

自

；如果上半部分電源被導(dǎo)線取代，則在

作用下，有反向電流

自

；那么，在

,

共同作用下，在這下支路就有兩股電流對沖，也就有可能導(dǎo)致

為零.此乃補(bǔ)償電路之由來.補(bǔ)償電路是對沖電路，惟有,的正極或負(fù)極如此對應(yīng)安排（同極相對），才可能出現(xiàn)對沖效果.圖3.24電勢差計原理圖80當(dāng)

，補(bǔ)償電路達(dá)到平衡.求平衡條件，斷開下支路，讓