2022年江蘇省南京市重點(diǎn)中學(xué)高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且在單調(diào)遞增，，則（）A． B．C． D．2．已知全集，集合，，則（）A． B． C． D．3．已知P是雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)上一點(diǎn)，，是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，，記，PO，的斜率為，k，，若，-2k，成等差數(shù)列，則此雙曲線(xiàn)的離心率為（）A． B． C． D．4．已知展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和與展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)相等，則項(xiàng)系數(shù)為（）A．10 B．32 C．40 D．805．已知集合，則元素個(gè)數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．46．已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A． B． C． D．7．《易·系辭上》有“河出圖，洛出書(shū)”之說(shuō)，河圖、洛書(shū)是中華文化，陰陽(yáng)術(shù)數(shù)之源，其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如圖，白圈為陽(yáng)數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù)，若從陰數(shù)和陽(yáng)數(shù)中各取一數(shù)，則其差的絕對(duì)值為5的概率為A． B． C． D．8．已知集合，，則為()A． B． C． D．9．已知直線(xiàn)與直線(xiàn)則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．關(guān)于圓周率π，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過(guò)許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的浦豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn)．受其啟發(fā)，我們也可以通過(guò)設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來(lái)估計(jì)的值：先請(qǐng)全校名同學(xué)每人隨機(jī)寫(xiě)下一個(gè)都小于的正實(shí)數(shù)對(duì)；再統(tǒng)計(jì)兩數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)；最后再根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)估計(jì)的值，那么可以估計(jì)的值約為（）A． B． C． D．11．已知是虛數(shù)單位，若，則（）A． B．2 C． D．1012．已知集合，則等于（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．《九章算術(shù)》中記載了“今有共買(mǎi)豕，人出一百，盈一百；人出九十，適足。問(wèn)人數(shù)、豕價(jià)各幾何？”.其意思是“若干個(gè)人合買(mǎi)一頭豬，若每人出100，則會(huì)剩下100；若每人出90，則不多也不少。問(wèn)人數(shù)、豬價(jià)各多少？”.設(shè)分別為人數(shù)、豬價(jià)，則___，___.14．若關(guān)于的不等式在時(shí)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____15．設(shè)變量，滿(mǎn)足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為_(kāi)_____．16．在正方體中，為棱的中點(diǎn)，是棱上的點(diǎn)，且，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為_(kāi)_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（為常數(shù)）（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）如圖，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，，.過(guò)頂點(diǎn)，的平面與棱，分別交于，兩點(diǎn).（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：四邊形是平行四邊形；（Ⅲ）若，試判斷二面角的大小能否為？說(shuō)明理由.19．（12分）已知x∈R，設(shè)，，記函數(shù).（1）求函數(shù)取最小值時(shí)x的取值范圍；（2）設(shè)△ABC的角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，求△ABC的面積S的最大值.20．（12分）已知，，為正數(shù)，且，證明：（1）；（2）.21．（12分）某芯片公司對(duì)今年新開(kāi)發(fā)的一批5G手機(jī)芯片進(jìn)行測(cè)評(píng)，該公司隨機(jī)調(diào)查了100顆芯片，并將所得統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分為五個(gè)小組（所調(diào)查的芯片得分均在內(nèi)），得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中．（1）求這100顆芯片評(píng)測(cè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)（同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）．（2）芯片公司另選100顆芯片交付給某手機(jī)公司進(jìn)行測(cè)試，該手機(jī)公司將每顆芯片分別裝在3個(gè)工程手機(jī)中進(jìn)行初測(cè)。若3個(gè)工程手機(jī)的評(píng)分都達(dá)到11萬(wàn)分，則認(rèn)定該芯片合格；若3個(gè)工程手機(jī)中只要有2個(gè)評(píng)分沒(méi)達(dá)到11萬(wàn)分，則認(rèn)定該芯片不合格；若3個(gè)工程手機(jī)中僅1個(gè)評(píng)分沒(méi)有達(dá)到11萬(wàn)分，則將該芯片再分別置于另外2個(gè)工程手機(jī)中進(jìn)行二測(cè)，二測(cè)時(shí)，2個(gè)工程手機(jī)的評(píng)分都達(dá)到11萬(wàn)分，則認(rèn)定該芯片合格；2個(gè)工程手機(jī)中只要有1個(gè)評(píng)分沒(méi)達(dá)到11萬(wàn)分，手機(jī)公司將認(rèn)定該芯片不合格．已知每顆芯片在各次置于工程手機(jī)中的得分相互獨(dú)立，并且芯片公司對(duì)芯片的評(píng)分方法及標(biāo)準(zhǔn)與手機(jī)公司對(duì)芯片的評(píng)分方法及標(biāo)準(zhǔn)都一致（以頻率作為概率）．每顆芯片置于一個(gè)工程手機(jī)中的測(cè)試費(fèi)用均為300元，每顆芯片若被認(rèn)定為合格或不合格，將不再進(jìn)行后續(xù)測(cè)試，現(xiàn)手機(jī)公司測(cè)試部門(mén)預(yù)算的測(cè)試經(jīng)費(fèi)為10萬(wàn)元，試問(wèn)預(yù)算經(jīng)費(fèi)是否足夠測(cè)試完這100顆芯片？請(qǐng)說(shuō)明理由．22．（10分）已知函數(shù)，.（1）若對(duì)于任意實(shí)數(shù)，恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍；（2）當(dāng)時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)，使曲線(xiàn)：在點(diǎn)處的切線(xiàn)與軸垂直？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，比較即可.【詳解】解：顯然，所以是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且在單調(diào)遞增，所以故選：C【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算及偶函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.2．B【解析】

直接利用集合的基本運(yùn)算求解即可．【詳解】解：全集，集合，，則，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．3．B【解析】

求得雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程，設(shè)出的坐標(biāo)，由題意求得，運(yùn)用直線(xiàn)的斜率公式可得，，，再由等差數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)和離心率公式，計(jì)算可得所求值．【詳解】設(shè)雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為，且，由，可得以為圓心，為半徑的圓與漸近線(xiàn)交于，可得，可取，則，設(shè)，，則，，，由，，成等差數(shù)列，可得，化為，即，可得，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的方程和性質(zhì)，主要是漸近線(xiàn)方程和離心率，考查方程思想和運(yùn)算能力，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平．4．D【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式定理通項(xiàng)公式可得常數(shù)項(xiàng)，然后二項(xiàng)式系數(shù)和，可得，最后依據(jù)，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：當(dāng)時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為又展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為由所以當(dāng)時(shí)，所以項(xiàng)系數(shù)為故選：D【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理通項(xiàng)公式，熟悉公式，細(xì)心計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.5．B【解析】

作出兩集合所表示的點(diǎn)的圖象，可得選項(xiàng).【詳解】由題意得，集合A表示以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓，集合B表示函數(shù)的圖象上的點(diǎn)，作出兩集合所表示的點(diǎn)的示意圖如下圖所示，得出兩個(gè)圖象有兩個(gè)交點(diǎn):點(diǎn)A和點(diǎn)B，所以?xún)蓚€(gè)集合有兩個(gè)公共元素，所以元素個(gè)數(shù)為2，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，關(guān)鍵在于作出集合所表示的點(diǎn)的圖象，再運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題.6．A【解析】

由已知可得，根據(jù)二倍角公式即可求解.【詳解】角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)定義、二倍角公式，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.7．A【解析】

陽(yáng)數(shù)：，陰數(shù)：，然后分析陰數(shù)和陽(yáng)數(shù)差的絕對(duì)值為5的情況數(shù)，最后計(jì)算相應(yīng)概率.【詳解】因?yàn)殛?yáng)數(shù)：，陰數(shù)：，所以從陰數(shù)和陽(yáng)數(shù)中各取一數(shù)差的絕對(duì)值有：個(gè)，滿(mǎn)足差的絕對(duì)值為5的有：共個(gè)，則.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)際背景下古典概型的計(jì)算，難度一般.古典概型的概率計(jì)算公式：.8．C【解析】

分別求解出集合的具體范圍，由集合的交集運(yùn)算即可求得答案.【詳解】因?yàn)榧?，，所以故選：C【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域求法、一元二次不等式的解法及集合的交集運(yùn)算，考查基本運(yùn)算能力.9．B【解析】

利用充分必要條件的定義可判斷兩個(gè)條件之間的關(guān)系.【詳解】若，則，故或，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)，直線(xiàn)，此時(shí)兩條直線(xiàn)平行；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)，直線(xiàn)，此時(shí)兩條直線(xiàn)平行.所以當(dāng)時(shí)，推不出，故“”是“”的不充分條件，當(dāng)時(shí)，可以推出，故“”是“”的必要條件，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系以及必要不充分條件的判斷，前者應(yīng)根據(jù)系數(shù)關(guān)系來(lái)考慮，后者依據(jù)兩個(gè)條件之間的推出關(guān)系，本題屬于中檔題.10．D【解析】

由試驗(yàn)結(jié)果知對(duì)0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)，滿(mǎn)足，面積為1，再計(jì)算構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)，滿(mǎn)足條件的面積，由幾何概型概率計(jì)算公式，得出所取的點(diǎn)在圓內(nèi)的概率是圓的面積比正方形的面積，即可估計(jì)的值．【詳解】解：根據(jù)題意知，名同學(xué)取對(duì)都小于的正實(shí)數(shù)對(duì)，即，對(duì)應(yīng)區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)為的正方形，其面積為，若兩個(gè)正實(shí)數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊，則有，其面積；則有，解得故選：．【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)性規(guī)劃可行域問(wèn)題及隨機(jī)模擬法求圓周率的幾何概型應(yīng)用問(wèn)題.線(xiàn)性規(guī)劃可行域是一個(gè)封閉的圖形，可以直接解出可行域的面積；求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事件對(duì)應(yīng)的面積，必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解.11．C【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)模的定義及復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，屬于容易題.12．C【解析】

先化簡(jiǎn)集合A，再與集合B求交集.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算以及分式不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．10900【解析】

由題意列出方程組，求解即可.【詳解】由題意可得，解得.故答案為10900【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程組的解法，用消元法來(lái)求解即可，屬于基礎(chǔ)題型.14．【解析】

利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將不等式去掉對(duì)數(shù)符號(hào)，再依據(jù)分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化成求構(gòu)造函數(shù)最值問(wèn)題，進(jìn)而求得的取值范圍。【詳解】由得，兩邊同除以，得到，，，設(shè)，，由函數(shù)在上遞減，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍是?！军c(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及恒成立問(wèn)題的常規(guī)解法——分離參數(shù)法。15．-8【解析】

通過(guò)約束條件，畫(huà)出可行域，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)在軸截距最大的問(wèn)題，通過(guò)圖像解決.【詳解】由題意可得可行域如下圖所示：令，則即為在軸截距的最大值由圖可知：當(dāng)過(guò)時(shí)，在軸截距最大本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)性規(guī)劃中的型最值的求解問(wèn)題，關(guān)鍵在于將所求最值轉(zhuǎn)化為在軸截距的問(wèn)題.16．【解析】

根據(jù)題意畫(huà)出幾何題，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)個(gè)各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，并求得.由空間向量的夾角求法即可求得異面直線(xiàn)與所成角的余弦值.【詳解】根據(jù)題意畫(huà)出幾何圖形，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則所以所以，所以異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線(xiàn)夾角的求法，利用空間向量求異面直線(xiàn)夾角，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（Ⅰ）單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；（Ⅱ）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，由題意知,為增函數(shù)等價(jià)于在區(qū)間恒成立，利用分離參數(shù)法和基本不等式求最值即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（Ⅰ）由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，令，得，或，所以，隨的變化情況如下表：遞增遞減遞增的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.（Ⅱ）由題意得在區(qū)間恒成立，即在區(qū)間恒成立.，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以，所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、利用分離參數(shù)法和基本不等式求最值求參數(shù)的取值范圍；考查運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力；利用導(dǎo)數(shù)把函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、常考題型.18．（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）不能為.【解析】

（1）由平面平面，可得平面，從而證明；（2）由平面與平面沒(méi)有交點(diǎn)，可得與不相交，又與共面，所以，同理可證，得證；（3）作交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，根據(jù)三垂線(xiàn)定理，確定二面角的平面角，若，，由大角對(duì)大邊知，兩者矛盾，故二面角的大小不能為.【詳解】（1）由平面平面，平面平面，且，所以平面，又平面，所以；（2）依題意都在平面上，因此平面，平面，又平面，平面，平面與平面平行，即兩個(gè)平面沒(méi)有交點(diǎn)，則與不相交，又與共面，所以，同理可證，所以四邊形是平行四邊形；（3）不能.如圖，作交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，由，，，所以平面，則平面，又，根據(jù)三垂線(xiàn)定理，得到，所以是二面角的平面角，若，則是等腰直角三角形，，又，所以中，由大角對(duì)大邊知，所以，這與上面相矛盾，所以二面角的大小不能為.【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中的線(xiàn)線(xiàn)平行和垂直的判定問(wèn)題，和二面角的求解問(wèn)題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，屬中檔題.19．（1）；（2）【解析】

(1)先根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，以及二倍角公式和兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)得到f（x）=，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案；（2）先求出C的大小，再根據(jù)余弦定理和基本不等式，即可求出，根據(jù)三角形的面積公式即可求出答案.【詳解】（1）.令，k∈Z，即時(shí)，，取最小值，所以，所求的取值集合是；（2）由，得，因?yàn)?，所以，所以?在中，由余弦定理，得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的面積，因此的面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算和二倍角公式，兩角和的正弦公式，余弦定理和基本不等式，三角形的面積公式，屬于中檔題.20．（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】

（1）利用均值不等式即可求證；（2）利用，結(jié)合，即可證明.【詳解】（1）∵，同理有，，∴.（2）∵，∴.同理有，.∴.【點(diǎn)睛】本題考查利用均值不等式證明不等式，涉及的妙用，屬綜合性中檔題.21．（1）（2）預(yù)算經(jīng)費(fèi)不夠測(cè)試完這100顆芯片，理由見(jiàn)解析【解析】

（1）先求出，再