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文檔簡介

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.陀螺是中國民間最早的娛樂工具,也稱陀羅.如圖,網格紙上小正方形的邊長為,粗線畫出的是某個陀螺的三視圖,則該陀螺的表面積為()A. B.C. D.2.已知函數(shù),其中,若恒成立,則函數(shù)的單調遞增區(qū)間為()A. B.C. D.3.已知將函數(shù)(,)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象,若和的圖象都關于對稱,則的值為()A.2 B.3 C.4 D.4.若(1+2ai)i=1-bi,其中a,b∈R,則|a+bi|=().A. B. C. D.55.已知角的終邊經過點P(),則sin()=A. B. C. D.6.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.7.如圖所示,已知雙曲線的右焦點為,雙曲線的右支上一點,它關于原點的對稱點為,滿足,且,則雙曲線的離心率是().A. B. C. D.8.方程在區(qū)間內的所有解之和等于()A.4 B.6 C.8 D.109.已知點是拋物線:的焦點,點為拋物線的對稱軸與其準線的交點,過作拋物線的切線,切點為,若點恰好在以,為焦點的雙曲線上,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.10.已知雙曲線C:()的左、右焦點分別為,過的直線l與雙曲線C的左支交于A、B兩點.若,則雙曲線C的漸近線方程為()A. B. C. D.11.設P={y|y=-x2+1,x∈R},Q={y|y=2x,x∈R},則A.PQ B.QPC.Q D.Q12.已知雙曲線的焦距為,若的漸近線上存在點,使得經過點所作的圓的兩條切線互相垂直,則雙曲線的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知“在中,”,類比以上正弦定理,“在三棱錐中,側棱與平面所成的角為、與平面所成的角為,則________.14.過且斜率為的直線交拋物線于兩點,為的焦點若的面積等于的面積的2倍,則的值為___________.15.假設10公里長跑,甲跑出優(yōu)秀的概率為,乙跑出優(yōu)秀的概率為,丙跑出優(yōu)秀的概率為,則甲、乙、丙三人同時參加10公里長跑,剛好有2人跑出優(yōu)秀的概率為________.16.函數(shù)的最小正周期為________;若函數(shù)在區(qū)間上單調遞增,則的最大值為________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)(為常數(shù))(Ⅰ)當時,求的單調區(qū)間;(Ⅱ)若為增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.18.(12分)如圖,在直棱柱中,底面為菱形,,,與相交于點,與相交于點.(1)求證:平面;(2)求直線與平面所成的角的正弦值.19.(12分)已知函數(shù)(1)解不等式;(2)若均為正實數(shù),且滿足,為的最小值,求證:.20.(12分)已知直線的參數(shù)方程:(為參數(shù))和圓的極坐標方程:(1)將直線的參數(shù)方程化為普通方程,圓的極坐標方程化為直角坐標方程;(2)已知點,直線與圓相交于、兩點,求的值.21.(12分)在底面為菱形的四棱柱中,平面.(1)證明:平面;(2)求二面角的正弦值.22.(10分)如圖,在四棱錐中,四邊形為正方形,平面,點是棱的中點,,.(1)若,證明:平面平面;(2)若三棱錐的體積為,求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】

畫出幾何體的直觀圖,利用三視圖的數(shù)據求解幾何體的表面積即可,【詳解】由題意可知幾何體的直觀圖如圖:上部是底面半徑為1,高為3的圓柱,下部是底面半徑為2,高為2的圓錐,幾何體的表面積為:,故選:C【點睛】本題考查三視圖求解幾何體的表面積,判斷幾何體的形狀是解題的關鍵.2.A【解析】

,從而可得,,再解不等式即可.【詳解】由已知,,所以,,由,解得,.故選:A.【點睛】本題考查求正弦型函數(shù)的單調區(qū)間,涉及到恒成立問題,考查學生轉化與化歸的思想,是一道中檔題.3.B【解析】

因為將函數(shù)(,)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象,可得,結合已知,即可求得答案.【詳解】將函數(shù)(,)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象,又和的圖象都關于對稱,由,得,,即,又,.故選:B.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)圖象平移和根據圖象對稱求參數(shù),解題關鍵是掌握三角函數(shù)圖象平移的解法和正弦函數(shù)圖象的特征,考查了分析能力和計算能力,屬于基礎題.4.C【解析】試題分析:由已知,-2a+i=1-bi,根據復數(shù)相等的充要條件,有a=-,b=-1所以|a+bi|=,選C考點:復數(shù)的代數(shù)運算,復數(shù)相等的充要條件,復數(shù)的模5.A【解析】

由題意可得三角函數(shù)的定義可知:,,則:本題選擇A選項.6.D【解析】

結合三視圖可知,該幾何體的上半部分是半個圓錐,下半部分是一個底面邊長為4,高為4的正三棱柱,分別求出體積即可.【詳解】由三視圖可知該幾何體的上半部分是半個圓錐,下半部分是一個底面邊長為4,高為4的正三棱柱,則上半部分的半個圓錐的體積,下半部分的正三棱柱的體積,故該幾何體的體積.故選:D.【點睛】本題考查三視圖,考查空間幾何體的體積,考查空間想象能力與運算求解能力,屬于中檔題.7.C【解析】

易得,,又,平方計算即可得到答案.【詳解】設雙曲線C的左焦點為E,易得為平行四邊形,所以,又,故,,,所以,即,故離心率為.故選:C.【點睛】本題考查求雙曲線離心率的問題,關鍵是建立的方程或不等關系,是一道中檔題.8.C【解析】

畫出函數(shù)和的圖像,和均關于點中心對稱,計算得到答案.【詳解】,驗證知不成立,故,畫出函數(shù)和的圖像,易知:和均關于點中心對稱,圖像共有8個交點,故所有解之和等于.故選:.【點睛】本題考查了方程解的問題,意在考查學生的計算能力和應用能力,確定函數(shù)關于點中心對稱是解題的關鍵.9.D【解析】

根據拋物線的性質,設出直線方程,代入拋物線方程,求得k的值,設出雙曲線方程,求得2a=丨AF2丨﹣丨AF1丨=(1)p,利用雙曲線的離心率公式求得e.【詳解】直線F2A的直線方程為:y=kx,F(xiàn)1(0,),F(xiàn)2(0,),代入拋物線C:x2=2py方程,整理得:x2﹣2pkx+p2=0,∴△=4k2p2﹣4p2=0,解得:k=±1,∴A(p,),設雙曲線方程為:1,丨AF1丨=p,丨AF2丨p,2a=丨AF2丨﹣丨AF1丨=(1)p,2c=p,∴離心率e1,故選:D.【點睛】本題考查拋物線及雙曲線的方程及簡單性質,考查轉化思想,考查計算能力,屬于中檔題.10.D【解析】

設,利用余弦定理,結合雙曲線的定義進行求解即可.【詳解】設,由雙曲線的定義可知:因此再由雙曲線的定義可知:,在三角形中,由余弦定理可知:,因此雙曲線的漸近線方程為:.故選:D【點睛】本題考查了雙曲線的定義的應用,考查了余弦定理的應用,考查了雙曲線的漸近線方程,考查了數(shù)學運算能力.11.C【解析】

解:因為P={y|y=-x2+1,x∈R}={y|y1},Q={y|y=2x,x∈R}={y|y>0},因此選C12.B【解析】

由可得;由過點所作的圓的兩條切線互相垂直可得,又焦點到雙曲線漸近線的距離為,則,進而求解.【詳解】,所以離心率,又圓是以為圓心,半徑的圓,要使得經過點所作的圓的兩條切線互相垂直,必有,而焦點到雙曲線漸近線的距離為,所以,即,所以,所以雙曲線的離心率的取值范圍是.故選:B【點睛】本題考查雙曲線的離心率的范圍,考查雙曲線的性質的應用.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

類比,三角形邊長類比三棱錐各面的面積,三角形內角類比三棱錐中側棱與面所成角.【詳解】,故,【點睛】本題考查類比推理.類比正弦定理可得,類比時有結構類比,方法類比等.14.2【解析】

聯(lián)立直線與拋物線的方程,根據一元二次方程的根與系數(shù)的關系以及面積關系求解即可.【詳解】如圖,設,由,則,由可得,由,則,所以,得.故答案為:2【點睛】此題考查了拋物線的性質,屬于中檔題.15.【解析】

分跑出優(yōu)秀的人為:甲、乙和甲、丙和乙、丙三種情況分別計算再求和即可.【詳解】剛好有2人跑出優(yōu)秀有三種情況:其一是只有甲、乙兩人跑出優(yōu)秀的概率為;其二是只有甲、丙兩人跑出優(yōu)秀的概率為;其三是只有乙、丙兩人跑出優(yōu)秀的概率為,三種情況相加得.即剛好有2人跑出優(yōu)秀的概率為.故答案為:【點睛】本題主要考查了分類方法求解事件概率的問題,屬于基礎題.16.【解析】

直接計算得到答案,根據題意得到,,解得答案.【詳解】,故,當時,,故,解得.故答案為:;.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的周期和單調性,意在考查學生對于三角函數(shù)知識的綜合應用.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(Ⅰ)單調遞增區(qū)間為,;單調遞減區(qū)間為;(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)對函數(shù)進行求導,利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性即可;(Ⅱ)對函數(shù)進行求導,由題意知,為增函數(shù)等價于在區(qū)間恒成立,利用分離參數(shù)法和基本不等式求最值即可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】(Ⅰ)由題意知,函數(shù)的定義域為,當時,,令,得,或,所以,隨的變化情況如下表:遞增遞減遞增的單調遞增區(qū)間為,,單調遞減區(qū)間為.(Ⅱ)由題意得在區(qū)間恒成立,即在區(qū)間恒成立.,當且僅當,即時等號成立.所以,所以的取值范圍是.【點睛】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間、利用分離參數(shù)法和基本不等式求最值求參數(shù)的取值范圍;考查運算求解能力和邏輯推理能力;利用導數(shù)把函數(shù)單調性問題轉化為不等式恒成立問題是求解本題的關鍵;屬于中檔題、??碱}型.18.(1)證明見解析(2)【解析】

(1)要證明平面,只需證明,即可:(2)取中點,連,以為原點,分別為軸建立空間直角坐標系,分別求出與平面的法向量,再利用計算即可.【詳解】(1)∵底面為菱形,∵直棱柱平面.∵平面..平面;(2)如圖,取中點,連,以為原點,分別為軸建立如圖所示空間直角坐標系:,點,設平面的法向量為,,有,令,得又,設直線與平面所成的角為,所以故直線與平面所成的角的正弦值為.【點睛】本題考查線面垂直的證明以及向量法求線面角的正弦值,考查學生的運算求解能力,本題解題關鍵是正確寫出點的坐標.19.(1)或(2)證明見解析【解析】

(1)將寫成分段函數(shù)的形式,由此求得不等式的解集.(2)由(1)求得最小值,由此利用基本不等式,證得不等式成立.【詳解】(1)當時,恒成立,解得;當時,由,解得;當時,由解得所以的解集為或(2)由(1)可求得最小值為,即因為均為正實數(shù),且(當且僅當時,取“”)所以,即.【點睛】本小題主要考查絕對值不等式的求法,考查利用基本不等式證明不等式,屬于中檔題.20.(1):,:;(2)【解析】

(1)消去參數(shù)求得直線的普通方程,將兩邊同乘以,化簡求得圓的直角坐標方程.(2)求得直線的標準參數(shù)方程,代入圓的直角坐標方程,化簡后寫出韋達定理,根據直線參數(shù)的幾何意義,求得的值.【詳解】(1)消去參數(shù),得直線的普通方程為,將兩邊同乘以得,,∴圓的直角坐標方程為;(2)經檢驗點在直線上,可轉化為①,將①式代入圓的直角坐標方程為得,化簡得,設是方程的兩根,則,,∵,∴與同號,由的幾何意義得.【點睛】本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程、極坐標方程化為直角坐標方程,考查利用直線參數(shù)的幾何意義求解距離問題,屬于中檔題.21.(1)證明見解析;(2)【解析】

(1)由已知可證,即可證明結論;(2)根據已知可證平面,建立空間直角坐標系,求出坐標,進而求出平面和平面的法向量坐標,由空間向量的二面角公式,即可求解.【詳解】方法一:(1)依題意,且∴,∴四邊形是平行四邊形,∴,∵平面,平面,∴平面.(2)∵平面,∴,∵且為的中點,∴,∵平面且,∴平面,以為原點,分別以為軸、軸、軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系,則,,,,∴設平面的法向量為,則,∴,取,則.設平面的法向量為,則,∴,取,則.∴,設二面角的平面角為,則,∴二面角的正弦值為.方法二:(1)證明:連接交于點,因為四邊形為平行四邊形,所以為中點,又因為四邊形為菱形,所以為中點,∴在中,且,∵平面,平面,∴平面(2)略,同方法一.【點睛】本題主要考查線面平行的證明,考查空間向量法求面面角,意在考查直觀想象、邏輯推理與數(shù)學運算的數(shù)學核心素養(yǎng),屬于中檔題.22.(1)見解析(2)【解析】

(1)由已知可證得平面,則有,在中,由已知可得,即可證得平面,進而證得結論.(2)過作交

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