結(jié)構(gòu)力學(xué)平面結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算

第六章靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算§6-1

概述§6-3

支座移動(dòng)和溫度變化時(shí)的位移計(jì)算§6-4

靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算§6-5

圖乘法§6-6

互等定理§6-7

結(jié)構(gòu)位移計(jì)算公式的另一種推導(dǎo)§6-2

變形體虛功原理及位移計(jì)算一般公式1§6-1

概述一.

靜定結(jié)構(gòu)的位移：

靜定結(jié)構(gòu)在荷載，溫度變化，支座移動(dòng)以及制造誤差等外干擾因素的作用下，結(jié)構(gòu)的某個(gè)截面或結(jié)點(diǎn)通常會(huì)產(chǎn)生水平線位移，豎向線位移以及轉(zhuǎn)角位移。1.

截面和結(jié)點(diǎn)的位移：桁架受荷載作用剛架受荷載作用ABCABC22.

廣義位移：

通常把兩個(gè)截面的相對(duì)水平線位移，相對(duì)豎向線位移以及相對(duì)轉(zhuǎn)角位移叫做廣義位移。

A，B截面的豎向線位移之和

A，B截面的相對(duì)豎向線位移ABa)支座B下沉溫度變化ABCABC3ABb)c)

A，B截面的相對(duì)豎向線位移

A，B截面的相對(duì)水平線位移ABq4e)d)桿件AB的轉(zhuǎn)角位移A

鉸結(jié)點(diǎn)A左、右截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角位移AlB5結(jié)構(gòu)的次梁跨中撓度:結(jié)構(gòu)的主梁跨中撓度:結(jié)構(gòu)的樓蓋跨中撓度:機(jī)械的吊車梁跨中撓度:二.

位移計(jì)算的目的：1）驗(yàn)算結(jié)構(gòu)的剛度：結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)規(guī)范中要求:62）為求解超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和位移計(jì)算作準(zhǔn)備

在求解超靜定結(jié)構(gòu)時(shí)，只利用平衡條件不能求得內(nèi)力或位移的唯一解答，必須補(bǔ)充位移連續(xù)條件。12kN7.5kN.m9kN.m2m2mAB

如右圖示超靜定單跨梁，若只滿足平衡條件，內(nèi)力可以由無窮多組解答，例如：可以取任意值。7三.實(shí)功和虛功的概念：1.

實(shí)功：

力在由該力引起的位移上所作的功稱為實(shí)功。即：

右圖中，外力是從零開始線性增大至，位移也從零線性增大至。也稱為靜力實(shí)功。

FP1Δ182.虛功：右圖簡(jiǎn)支梁，先加上，則兩截面1，2之位移分別為，。然后加，則1，2截面產(chǎn)生新的位移FP1FP212

力在由非該力引起的位移Δ上所作的功，叫作虛功。9實(shí)功：虛功：

虛功強(qiáng)調(diào)作功的力與位移無關(guān)，即它們之間沒有因果關(guān)系。FP1FP21210§6-2

變形體虛功原理

及位移計(jì)算的一般公式一.

變形體的虛功原理

定義：設(shè)變形體在力系作用下處于平衡狀態(tài)，又設(shè)該變形體由于其它原因產(chǎn)生符合約束條件的微小連續(xù)變形，則外力在位移上所做的外力虛功W恒等于各個(gè)微段內(nèi)應(yīng)力的合力在變形上所作的內(nèi)力虛功Wi

，即:

W=Wi

。11下面討論W及Wi

的具體表達(dá)式：條件：1）存在兩種狀態(tài)：

第一狀態(tài)為作用有平衡力系；

第二狀態(tài)為給定的位移及變形。以上兩種狀態(tài)彼此無關(guān)。

2）力系是平衡的，給定的位移及變形是符合約束條件的微小連續(xù)變形。

3）上述虛功原理適用于彈性體和非彈性體。

12第二狀態(tài)（給定位移和變形）q(s)q(s)dsds第一狀態(tài)（給定平衡力系）沒有因果關(guān)系13外力虛功：微段ds的內(nèi)力虛功dWi：整根桿件的內(nèi)虛功為：14根據(jù)虛功方程W=Wi，所以有：實(shí)際結(jié)構(gòu)通常有若干根桿件，則對(duì)全部桿件求總和得：15小結(jié)：

只要求兩個(gè)條件：力系是平衡的，給定的位移和變形是符合約束條件的微小連續(xù)變形。上述虛功原理適用于各類結(jié)構(gòu)（靜定，超靜定，桿系及非桿系結(jié)構(gòu)），適用于彈性或非彈性體。

考慮了桿件的彎曲，剪切及軸向變形。1)2)3)16

變形體虛功原理有兩種應(yīng)用形式，即虛力原理和虛位移原理。虛力原理：虛設(shè)平衡力系求位移;虛位移原理：虛設(shè)位移求未知力。

二.

位移計(jì)算的一般公式所以:

在變形體虛功方程中，若外力只是一個(gè)單位荷載，則虛功方程為：

用變形體虛力原理求靜定結(jié)構(gòu)的位移，是將求位移這一幾何問題轉(zhuǎn)化為靜力平衡問題。17

下面以圖示剛架為例對(duì)位移計(jì)算的一般公式加以具體說明。給定位移，變形虛設(shè)平衡力系A(chǔ)BC1.欲求

，則在C截面加上豎向單位載荷則該靜定剛架就產(chǎn)生了一組平衡力系。ABC182.位移計(jì)算一般公式------單位荷載法

外力虛功：

內(nèi)力虛功：

所求位移：——給定的位移和變形。力和位移無關(guān)。3.小結(jié)1）——單位載荷在結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生的內(nèi)力和支座反力，、、、19，則與同向；若求得的，3）外力虛功這一項(xiàng)前取正號(hào)。若求得的則與反向。2）正負(fù)號(hào)規(guī)則：

若及使桿件同側(cè)纖維伸長，則乘積為正，反之為負(fù)；乘積及的正負(fù)號(hào)分別由力與應(yīng)變的正負(fù)號(hào)確定。使隔離體產(chǎn)生順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為負(fù)，以順時(shí)針方向?yàn)檎?，反之為?fù)；以拉力為正，壓力為負(fù)，

以拉應(yīng)變?yōu)檎?，壓?yīng)變?yōu)樨?fù)；若與同向，則乘積為正，反之為負(fù)。204）根據(jù)所求位移的性質(zhì)虛設(shè)相應(yīng)的單位載荷。圖示虛擬單位荷載分別用于求位移ABC①沿?cái)M求位移方向虛設(shè)性質(zhì)相應(yīng)的單位載荷；②求結(jié)構(gòu)在單位載荷作用下的內(nèi)力和支座反力；③利用位移計(jì)算一般公式求位移。

5）求位移的基本步驟如下：21例6-2-1

已知桿AB和BC在B處有折角(見圖a)，求B截面下垂距離。給定位移b)a)1）將制造誤差明確為剛體位移，即在B截面加鉸，見圖b)。解：ABCl/32l/3ABCl/32l/3222）虛設(shè)平衡力系如圖c)所示。運(yùn)用虛功方程W=0得：給定位移b)虛設(shè)平衡力系c)1/3ABCl/32l/32/312l/9ABCl/32l/323例6-2-2

已知桿AB在B左、右截面有豎向相對(duì)錯(cuò)動(dòng)(見圖a)，求。ABCl/32l/3a)BABCl/32l/3b)給定位移1）將制造誤差明確為剛體位移，將截面B變?yōu)榛瑒?dòng)聯(lián)結(jié)，見圖b)。解：242）虛設(shè)平衡力系如圖c）所示。運(yùn)用虛功方程W=0得：c)虛設(shè)平衡力系1/lABCl/32l/311/l1/l1/lb)給定位移BABCl/32l/325例6-2-3

已知一直桿彎曲成圓弧狀，求桿中撓度。虛設(shè)平衡力系如圖所示，運(yùn)用變形體虛功方程

，得：給定位移虛設(shè)平衡力系A(chǔ)BCl/2l/2l/41/21/21CABRl/2l/2解：26三.廣義位移的計(jì)算:求圖a）結(jié)構(gòu)A，B截面相對(duì)水平位移。+a)給定位移c)

虛設(shè)單位荷載

1AB1b)AB11d)

虛設(shè)單位荷載

2AB1=qABΔAHΔBH27虛設(shè)單位載荷如上頁圖c)，d)所示，則有：由上圖b)，可得：所以，得：28

所以，為了求兩個(gè)截面的相對(duì)位移，只需要在該兩個(gè)截面同時(shí)加一對(duì)大小相等，方向相反，性質(zhì)與所求位移相應(yīng)的單位荷載即可。下面給出幾種情況的廣義單位荷載：1)q求ABC11單位荷載ACB29AB1/l1/l單位荷載ABlΔAVΔBV求+)/l=(ΔAVΔBV2)ABFP1AB求ΔAV-ΔBV1AB11求ΔAV+ΔBVΔAVΔBV(A，B截面豎向位移之和）(A，B截面相對(duì)豎向位移）原結(jié)構(gòu)3)30例6-2-4

因溫度變化底板AB彎曲成半徑R=10m之圓弧狀，求截面C、D的相對(duì)水平位移。給定位移虛設(shè)平衡力系CR=10mD0.7mAB2mCD0.7AB110.7

在截面C、D上加一對(duì)大小相等，方向相反，沿水平方向的單位荷載，如圖所示。解：31注意：AC、BD桿無彎曲變形。32§6-3

支座移動(dòng)和溫度變化所引起

位移的計(jì)算一.

支座移動(dòng)所引起位移的計(jì)算說明：1）等號(hào)右邊的負(fù)號(hào)是公式推導(dǎo)而得出，不能去掉。2）若

與方向相同，則乘積為正，反之為負(fù)。

若靜定結(jié)構(gòu)只有支座移動(dòng)而無其他因素作用，則結(jié)構(gòu)只產(chǎn)生剛體位移而無變形，故對(duì)于桿件的任意微段，應(yīng)變均為零。所以支座移動(dòng)時(shí)的位移計(jì)算公式為：33例6-3-1

已知?jiǎng)偧苤ё鵅向右移動(dòng)a,求

解：1）求：CABhd/2d/2aDCAB1d/4hd/4h0.50.5求D在C點(diǎn)加一個(gè)豎向單位力，做虛擬的單位力狀態(tài)：34CADB10.50.5h/dh/d求ΔDHd/2d/22）求：CADB1/h1/h00求ΔφCd/2d/2113）求：CABhd/2d/2aD35二.

溫度變化所引起位移的計(jì)算

靜定結(jié)構(gòu)在溫度變化作用下各桿件能夠自由變形，所以在結(jié)構(gòu)的支座中不會(huì)產(chǎn)生支座反力，因而也不會(huì)產(chǎn)生內(nèi)力。1.是溫度改變值，而非某時(shí)刻的溫度。某時(shí)刻溫度另一時(shí)刻溫度t1,t2是溫度改變值36

2.溫度沿桿件截面厚度方向成線性變化。截面上、下邊緣溫差：對(duì)于矩形截面桿件，，。hb桿軸線處溫度改變值：h1h2ht1t2dsh1h2ht1t2t2-

t1dt37拉應(yīng)變：彎曲應(yīng)變：剪應(yīng)變：4.溫度改變所引起的位移的計(jì)算公式：3.微段的應(yīng)變：38小結(jié)：以溫度升高為正，降低為負(fù)，以拉力為正，壓力為負(fù)。2）1）正負(fù)號(hào)規(guī)則：及溫度變化使桿件同一側(cè)纖維伸長（彎曲方向相同），則乘積為正，反之為負(fù)。39例6-3-2求圖示剛架C截面水平位移。已知桿件的線膨脹系數(shù)為，桿件矩形橫截面高為h。解：CABdd1CABdd圖11CAB圖111.作虛擬狀態(tài)的內(nèi)力圖，如上圖

b）,c）所示。圖a）圖b）圖c）402.

應(yīng)用位移計(jì)算一般公式,計(jì)算所求位移:41§6-4

靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的

位移計(jì)算一.

基本公式虛設(shè)平衡力系CABDFP=1給定位移和變形

求下圖示結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移。FPCABqDD42

若結(jié)構(gòu)只有荷載作用，則位移計(jì)算一般公式為：

上式適用條件：小變形，材料服從虎克定律，即體系是線性彈性體。

在荷載作用下，應(yīng)變與內(nèi)力的關(guān)系式如下：（式中k為剪應(yīng)力不均勻系數(shù)）43正負(fù)號(hào)規(guī)則：正正負(fù)負(fù)1）不規(guī)定和的正負(fù)號(hào)，只規(guī)定乘的正負(fù)號(hào)。若和使桿件同一側(cè)纖維受拉伸長，則乘積為正，反之為負(fù)；

44

若結(jié)構(gòu)除荷載外，還有支座移動(dòng)和溫度變化的影響，則位移計(jì)算公式為：2）和以拉力為正，壓力為負(fù)；3）和的正負(fù)號(hào)見下圖。45二.

各類結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算公式1.梁和剛架：

在梁和剛架中，由于軸向變形及剪切變形產(chǎn)生的位移可以忽略，故位移計(jì)算公式簡(jiǎn)化為：

在高層建筑中，柱的軸力很大，故軸向變形對(duì)位移的影響不容忽略。

對(duì)于深梁，即h/l

較大的梁，剪切變形的影響不容忽略。462.桁架：

桁架各桿只有軸力，所以位移計(jì)算公式為：3.拱：拱軸截面軸向變形的影響，通常不能忽略：4.組合結(jié)構(gòu)：用于梁式桿用于二力桿區(qū)分桿件47例6-4-1求簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)豎向位移，并討論剪切變形對(duì)位移的影響。qxAMPFSPql/2ABqCl/2l/2ABCl/2l/2xA0.5xx48解：49

若桿件的截面為矩形，則k=1.2；又μ=1/3，則E/G=2(1+μ)=8/3，I/A=h2/12。若h/l=1/10，則

h/l=1/2，則可見，剪切變形的影響不能忽略。50§6-5

圖乘法

圖乘法是一種求積分的簡(jiǎn)化計(jì)算方法，它把求積分的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為求幾何圖形的面積與其形心對(duì)應(yīng)豎標(biāo)的乘積的運(yùn)算。一.

圖乘法的基本公式

為方便討論起見，我們將把積分改寫成。51Mi圖yxMk圖dω=MkdxMk(x)xdxAByxMi(x)=xtgxAB52說明：3）若與在桿軸或基線的同一側(cè)，則乘積

取正號(hào)；若與不在桿軸或基線的同一側(cè)，則乘積取負(fù)號(hào)。2）

與的取值：一定取自直線圖形，則取自另一個(gè)圖形，且取的圖形的形心位置是已知的，不必另行求解。1）適用條件：桿為等截面直桿，即等于常數(shù)；

與圖形中至少有一個(gè)是直線圖形。53二.常見圖形的幾何性質(zhì)l/2l/2二次拋物線hω5l/83l/8二次拋物線hω二次拋物線3l/4l/4hω二次拋物線hω?54三.運(yùn)用圖乘法計(jì)算結(jié)構(gòu)的位移舉例

運(yùn)用圖乘法進(jìn)行計(jì)算時(shí),關(guān)鍵是對(duì)彎矩圖進(jìn)行分段和分塊,尤其是正確的進(jìn)行分塊。M2M12l/3l/3M1M22l/3l/355分段：圖均應(yīng)按直線圖形的斜率變化情況分為相應(yīng)的若干區(qū)段，然后進(jìn)行計(jì)算。ABCD圖ABCD圖56分塊：只對(duì)或中的一個(gè)圖形進(jìn)行分塊，另一個(gè)圖形不分塊。ABAB57例6-5-1求圖示懸臂梁端部A點(diǎn)的豎直位移。解：作和，如上圖所示。圖MP圖分段：，，分為AC、CB兩段。分塊：圖的CB段分為兩塊。MP圖圖采用圖乘法計(jì)算：FPCBy1y2y3EI1EI2AMP圖ACBEI1EI2ω1ω2ω31圖58

此題還可以這樣處理：先認(rèn)為整個(gè)AB桿的剛度是，再加上剛度為的AC段，再減去剛度為的AC段即可。CBACACAω1ω2ω2MPEI2EI2EI1EI2+-FPACBACACEI2EI2EI1EI2y2y2+-y1159例6-5-2求懸臂梁中點(diǎn)C的豎向位移,EI等于常數(shù)。解：作圖圖，如右圖所示。MPA1CB2ω2y1圖分段：，分為AC、CB兩段。分塊：圖的AC段分為兩塊。MPMP采用圖乘法計(jì)算：16A4CBω1MP圖y2ACB2m2m2kN/m60

如果將AC段的圖如下圖那樣分塊，就比較麻煩。

16A4C84圖例6-5-3

求簡(jiǎn)支梁端B截面的轉(zhuǎn)角位移,EI等于常數(shù)。4kN5kN2kN/m12kN.m4kN.m7kN4m4mACB解：4kNm4kN2kN/m2mAC作圖圖，如下頁圖所示。611/21y1ω2y3圖1BAC81244MP圖ω1ω3y2ACB（kN.m)采用圖乘法計(jì)算：62例6-5-4求簡(jiǎn)支梁中B截面的轉(zhuǎn)角位移,EI等于常數(shù)。解：

作圖及圖，如右所示。6kN/m7kN6kN.m17kN2m4mABC1/61/62/31/31ω2y3y1圖圖1412ω1ω3（kN.m)6分段：，分為AB、BC兩段。分塊：圖的BC段分為兩塊。采用圖乘法計(jì)算：631/61/62/31/31ω2y3y1圖6圖1412ω1ω3（kN.m)64解：ABC2kN/mEIEI2kN/m4m2m例6-5-5

求懸臂剛架C點(diǎn)的水平位移，EI等于常數(shù)。分塊：圖的AB段分為兩塊。作圖和圖見下頁圖。654ω2y3=412ω1MP圖(kN.m)2m2y22y1圖1ω3ABC4采用圖乘法計(jì)算：66§6-6

互等定理

互等定理適用于線性變形體系，即體系產(chǎn)生的是小變形，且桿件材料服從虎克定律。一.功的互等定理功的互等本質(zhì)上是虛功互等。下圖給出狀態(tài)I和狀態(tài)II

。AB12ab狀態(tài)I狀態(tài)IIAB12ab67

令狀態(tài)I的平衡力系在狀態(tài)II的位移上做虛功，得到：AB12ab狀態(tài)I狀態(tài)IIAB12ab68

同樣，令狀態(tài)II的平衡力系在狀態(tài)I的位移上做虛功，得到：所以即69在任一線性變形體系中，第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)的位移上所做的虛功W12等于第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)的位移上所做的虛功W21。二.位移互等定理

在任一線性變形體系中，由荷載FP1引起的與荷載FP2相應(yīng)的位移影響系數(shù)δ21等于由荷載FP2引起的與荷載FP1相應(yīng)的位移影響系數(shù)δ12。即即功的互等定理位移互等定理70由功的互等定理可得：

在線性變形體系中，位移Δij與力FPj的比值是一個(gè)常數(shù)，記作δij，即：或于是所以狀態(tài)II12狀態(tài)I1271說明：1）

δij也稱為柔度系數(shù)，即單位力產(chǎn)生的位移。

i

產(chǎn)生位移的方位；

j

產(chǎn)生位移的原因。2）

FP1和FP2可以是集中力也可以是集中力偶，則相應(yīng)的δ12和δ21就是線位移影響系數(shù)或角位移影響系數(shù)。即荷載可以是廣義荷載，而位移則是廣義位移。兩個(gè)廣義位移的量綱可能不等，但它們的影響系數(shù)在數(shù)值和量綱

上仍然保持相等。狀態(tài)II12狀態(tài)I1272例6-6-1

試驗(yàn)證位移互等定理。解：FP1=Fa/2a/21EIΔ2121FFa/41/2a/2a/21EIFP2=MΔ122M1a/4M/273所以例6-6-2

試驗(yàn)證位移互等定理。4m1m1EIFP1=5kNmΔ2124m1m1EIFP2=3kN2Δ1274解：所以11113FP2=3kN5FP1=5kNm75三.反力互等定理

反力互等定理只適用于超靜定結(jié)構(gòu)，因?yàn)殪o定結(jié)構(gòu)在支座移動(dòng)時(shí)只產(chǎn)生剛體位移，其內(nèi)力和支座反力均等于零。根據(jù)功的互等定理有：即:12FR22FR12狀態(tài)II12FR21FR11狀態(tài)I76

在線性變形體系中，反力FRij與cj的比值為一常數(shù)，記作rij，即或所以得說明：

rij也稱為剛度系數(shù)，即結(jié)構(gòu)產(chǎn)生單位位移所需施加的力。其量綱為。

i

產(chǎn)生支座反力的方位；

j

產(chǎn)生支座移動(dòng)的支座。77例6-6-3

試驗(yàn)證反力互等定理。在任一線性變形體系中，由位移c1引起的與位移c2相應(yīng)的反力影響系數(shù)r21等于由位移c2引起的與位移c1相應(yīng)的反力影響系數(shù)r12。12EI

,

lr12可見：r21=3EI/l23EI/l12r21EI

,

l3EI/l3r12=3EI/l2反力互等定理78四.位移反力互等定理根據(jù)功的互等定理有：令

上述支座可以是其它種類的支座，則支座位移,支座反力應(yīng)與支座種類相應(yīng)。狀態(tài)I12FR21狀態(tài)II1Δ12279所以由此得到即

上式中的力可以是廣義力，位移可以是廣義位移。符號(hào)相反表明：虛功方程中必有一項(xiàng)，其力和位移方向相反。系數(shù)，的量綱都是。在任一線性變形體系中，由