哥德巴赫猜想

應(yīng)用數(shù)學(xué)系1002韓怡茹指導(dǎo)老師：辛京奇哥德巴赫猜想的歷史與發(fā)展哥德巴赫猜想，費(fèi)馬猜想與四色猜想是世界三大猜想。哥德巴赫猜想是與質(zhì)數(shù)有關(guān)的著名猜想。自猜想提出來到現(xiàn)在還沒有完全被證明。但在證明的過程中無數(shù)數(shù)學(xué)家為之做出貢獻(xiàn)，特別是我國數(shù)學(xué)家華羅庚，王元，潘承洞，陳景潤等為猜想做出了全世界為之欽佩的貢獻(xiàn)。在這個(gè)想的證明上我國走在前列。值得我們了解這個(gè)猜想和這些數(shù)學(xué)家。引言目錄一、哥德巴赫猜想的簡介二、哥德巴赫猜想的證明歷程三、哥德巴赫猜想的研究方法四、哥德巴赫猜想的研究過程中的一些奇聞異事五、哥德巴赫猜想的現(xiàn)狀與困難一、哥德巴赫猜想的簡介哥德巴赫

哥德巴赫（GoldbachC.),出生于1690.3.18出生于德國，后定居于俄國.曾在英國牛津大學(xué)學(xué)習(xí)；原學(xué)法學(xué)，由于在歐洲各國訪問期間結(jié)識了伯努利家族，所以對數(shù)學(xué)研究產(chǎn)生了興趣；哥德巴赫(C.Goldbach)并不是職業(yè)數(shù)學(xué)家，而是一個(gè)喜歡研究數(shù)學(xué)的富家子弟.從小受過很好的教育.哥德巴赫喜歡到處旅游，結(jié)交數(shù)學(xué)家，然后跟他們通訊.1742年，他在給好友歐拉的一封信里陳述了他著名的猜想——歌德巴赫.成為關(guān)于數(shù)學(xué)的一場革命.一、哥德巴赫猜想的簡介哥德巴赫猜想

1729年~1764年，哥德巴赫與歐拉保持了長達(dá)三十五年的書信往來。在1742年6月7日給歐拉的信中，哥德巴赫提出了以下的猜想:(a)任何一個(gè)≥6的偶數(shù)，都可以表示成兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。(b)任何一個(gè)≥9的奇數(shù)，都可以表示成三個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。

這就是所謂的哥德巴赫猜想。

我們把猜想（A）稱為“關(guān)于偶數(shù)的哥德巴赫猜想”，亦稱為

“強(qiáng)哥德巴赫猜想”，把猜想（B）稱為“關(guān)于奇數(shù)的哥德巴赫猜想”，亦稱為“弱哥德巴赫猜想”.由于2n+1=2(n+1)+3,所以，從猜想（A）的正確性就立即推出猜想（B）亦是正確的.二、哥德巴赫猜想的證明歷程1、弱哥德巴赫猜想的研究

所謂弱哥德巴赫猜想問題是指：每一個(gè)充分大的自然數(shù)，都可以表示成不超過k個(gè)素?cái)?shù)之和，后來有人明確估計(jì)出k≤80萬，這方面取得的成就可見下表：二、哥德巴赫猜想的歷史進(jìn)程二、哥德巴赫猜想的歷史進(jìn)程2、殆素?cái)?shù)的步步攻破

殆素?cái)?shù)就是素因子個(gè)數(shù)不多的正整數(shù)?，F(xiàn)設(shè)N是偶數(shù)，雖然現(xiàn)在不能證明N是兩個(gè)素?cái)?shù)之和，但是可以證明它能夠?qū)懗蓛蓚€(gè)殆素?cái)?shù)的和，即N=A+B，其中A和B的素因子個(gè)數(shù)都不太多，譬如說素因子個(gè)數(shù)不超過10?，F(xiàn)在用“a+b”來表示如下命題：每個(gè)大偶數(shù)N都可表為A+B，其中A和B的素因子個(gè)數(shù)分別不超過a和b。顯然，哥德巴赫猜想就可以寫成“1+1”。在這一方向上的進(jìn)展都是用所謂的篩法得到的。二、哥德巴赫猜想的歷史進(jìn)程a+b問題的推進(jìn)1920年，挪威的布朗證明了“9+9”。1924年，德國的拉特馬赫證明了“7+7”。1932年，英國的埃斯特曼證明了“6+6”。1937年，意大利的蕾西先后證明了“5+7”,“4+9”,“3+15”和“2+366”。1938年，蘇聯(lián)的布赫夕太勃證明了“5+5”。1940年，蘇聯(lián)的布赫夕太勃證明了“4+4”。1956年，中國的王元證明了“3+4”。稍后證明了“3+3”和“2+3”。二、哥德巴赫猜想的歷史進(jìn)程1948年，匈牙利的瑞尼證明了“1+c”，其中c是一很大的自然數(shù)。1962年，中國的潘承洞和蘇聯(lián)的巴爾巴恩證明了“1+5”，中國的王元證明了“1+4”。1965年，蘇聯(lián)的布赫夕太勃和小維諾格拉多夫，及意大利的朋比利證明了“1+3”。1966年，中國的陳景潤證明了“1+2”。陳景潤及其家人二、哥德巴赫猜想的歷史進(jìn)程王元（1930—

），是我國著名數(shù)學(xué)家，華羅庚數(shù)學(xué)獎(jiǎng)得主.他是中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所的研究員.生于浙江蘭溪一個(gè)知識分子的家庭，很早就受到啟蒙教育

.1948年，王元高中畢業(yè)考入浙江英士大學(xué)數(shù)學(xué)系.浙大的教學(xué)環(huán)境激發(fā)了王元對數(shù)學(xué)真正的興趣.大學(xué)四年級時(shí)他在讀書討論班上報(bào)告了A·E·英哈姆的《素?cái)?shù)分布論》.1952年，王元從浙江大學(xué)畢業(yè)，因成績名列前茅，被推薦到中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所，一年后又被分配到該所數(shù)論組師從華羅庚先生.從此，他與華先生結(jié)下了不解之緣，風(fēng)風(fēng)雨雨30多年，他自己也成長為一代著名數(shù)學(xué)家.五十年代至六十年代初，他首先將解析數(shù)論中的篩法用于哥德巴赫猜想的研究，并證明了命題3＋4.1957年又證明了2＋3.王元證明的2+3表示的是：每個(gè)充分大的偶數(shù)都可以表示成至多兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積再加上至多3個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積.其缺點(diǎn)在于兩個(gè)相加的數(shù)中，還沒有一個(gè)肯定為質(zhì)數(shù)的，這個(gè)“2”與“3”都是指“殆素?cái)?shù)”意思是很像素?cái)?shù).這是中國學(xué)者首次在這一研究領(lǐng)域躍居世界領(lǐng)先的地位.其成果為國內(nèi)外有關(guān)文獻(xiàn)頻繁引用.此時(shí)的王元只有27歲.潘承洞，我國數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)教育家.在解析數(shù)論研究方面有突出的貢獻(xiàn).主要成就涉及算數(shù)數(shù)列中的最小素?cái)?shù)、哥德巴赫猜想研究等領(lǐng)域.學(xué)術(shù)造詣深厚，專長于節(jié)系數(shù)輪的研究，尤以哥德巴赫猜想的卓越研究成就為中外數(shù)學(xué)家所贊譽(yù)，與當(dāng)代著名數(shù)學(xué)家華羅庚、王元、陳景潤一起被國際數(shù)學(xué)界稱之為中國數(shù)論派洞的代表.196l～1965年，主要從事被譽(yù)為數(shù)學(xué)王冠上的明珠的哥德巴赫猜想的研究。1961年證明了(1十5)，發(fā)表論文《表大偶數(shù)為素?cái)?shù)及一個(gè)素?cái)?shù)因子不超過5個(gè)的數(shù)之和》；1963年又證明了(1十4)，發(fā)表論文《表大偶數(shù)為素?cái)?shù)與一個(gè)不超過4個(gè)素?cái)?shù)乘積之和》。這些成果使中國在哥德巴赫猜想的研究中處于世界領(lǐng)先地位，被國際數(shù)學(xué)界公認(rèn)為實(shí)現(xiàn)了哥德巴赫猜想研究的關(guān)鍵性突破。陳景潤是我國福建人，1933年出生于福州市郊的一個(gè)郵政局職員家里.由于刻苦努力，他在1949年高中未畢業(yè)就以同等學(xué)歷考入了廈門大學(xué).1953年畢業(yè)，去北京當(dāng)中學(xué)教師.1954年廈門大學(xué)校長王亞南將陳景潤調(diào)回廈門大學(xué)數(shù)學(xué)系資料室當(dāng)資料員，為他致力數(shù)學(xué)研究提供了方便.陳景潤認(rèn)真鉆研華羅庚教授的《堆壘素?cái)?shù)論》和《數(shù)論導(dǎo)引》，他的第一篇論文是關(guān)于華林問題，深得華羅庚教授的贊賞，于1597年他被再次調(diào)到北京，在中國科學(xué)院數(shù)學(xué)所工作，1981年當(dāng)選為中國科學(xué)院學(xué)部委員.華羅庚，1910年出生于江蘇省金壇縣，這位中國最杰出的數(shù)學(xué)家，一生充滿了傳奇.他是蜚聲海外的數(shù)學(xué)家，他的研究成果被翻譯成多種文字而聞名于世，但他的學(xué)歷竟然只是初中畢業(yè)，而且在初中一年級時(shí)數(shù)學(xué)成績不及格；他是個(gè)殘疾人，早年因傷寒而左腿殘疾，并在特殊年代受過沖擊，但他硬是靠堅(jiān)韌的意志，將他的應(yīng)用科學(xué)搞得有生命有色彩；抗戰(zhàn)時(shí)期，他在艱苦的環(huán)境下，靠著小油燈微弱的光線，研究出世界上最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)成果；而在新中國成立初期，他又毅然放棄國外優(yōu)厚的待遇，滿腔熱情地回國效力；他不僅自己成果不斷，而且發(fā)現(xiàn)和培養(yǎng)了中國幾位接觸的數(shù)學(xué)家，如陳景潤、楊樂、張廣厚……

華羅庚是我國最早從事哥德巴赫猜想的數(shù)學(xué)家.1936～1938年，他赴英國劍橋大學(xué)留學(xué)，在哈代的指導(dǎo)下從事數(shù)論研究，并開始研究哥德巴赫猜想，取得了很好的成果，證明了對于“幾乎所有”的偶數(shù)，猜想（B）都是正確的.1950年，華羅庚從美國回國，在中科院數(shù)學(xué)研究所組織數(shù)論研究討論班，選擇哥德巴赫猜想作為討論的主題，倡議并指導(dǎo)他的一些學(xué)生研究這一問題.參加這個(gè)數(shù)論討論班的學(xué)生有王元、潘承洞和陳景潤等.華羅庚與他的學(xué)生們?nèi)⒏绲掳秃詹孪胙芯康姆椒?、圓法

對于“哥德巴赫猜想”，圓法是將它轉(zhuǎn)化為求方程N(yùn)=P+Q（P,Q≥3）的素?cái)?shù)解問題.雖然哈代和李特伍德沒有能夠證明任何無條件的結(jié)果，但是他們創(chuàng)造的圓法及其初步探索，是對哥德巴赫猜想和解析數(shù)論的極為重要的貢獻(xiàn)，指出了一個(gè)很有成功希望的研究方向.三、哥德巴赫猜想研究的方法2、篩法

篩法是以一種用為尋求素?cái)?shù)的十分古老的方法，它是由兩千多年前的希臘學(xué)家厄拉多塞所創(chuàng)造的，稱為厄拉多塞篩法.直到1920年前后，才有布隆首先對厄拉多塞篩法做了具有價(jià)值的改進(jìn)，并利用他的方法證明了命題9+9這一驚人的結(jié)果，從此開辟了利用篩法研究猜想（A）及其他許多數(shù)論的極為廣泛且成果的新途徑.布朗對數(shù)論的發(fā)展做出了巨大的貢獻(xiàn).人們稱他的方法為布朗篩法.三、哥德巴赫猜想的研究方法3、密率

密率是史尼雷爾曼在1930年首先提出的關(guān)于自然數(shù)集合的一個(gè)十分重要的基本概念.密率理論有著非常廣泛的應(yīng)用.1933年史尼雷爾曼就利用他的密率理論和布朗篩法證明了猜想（c）,但他沒有確定其中的常數(shù)k.如果我們用s表示最小的整數(shù)，使每一個(gè)充分大的整數(shù)都可以表示為不超過s個(gè)素?cái)?shù)之和（s通常被稱為史尼雷爾曼常數(shù)），那么用史尼雷爾曼的方法可以證明s≤800000，后來這一結(jié)果得到了不斷的改進(jìn).四、哥德巴赫猜想研究過程中的奇聞異事1、維諾格拉多夫與華羅庚

從20世紀(jì)30年代起，華羅庚在數(shù)論領(lǐng)域的研究工作受到了維諾格拉多夫的深刻影響.I.M.維諾格拉多夫是前蘇聯(lián)科學(xué)院院士，20世紀(jì)杰出的數(shù)論大師之一，維氏曾幫助年輕的華羅庚出版了數(shù)論專著《堆壘素?cái)?shù)論》，并于1946年邀請華羅庚訪問了蘇聯(lián)，對華羅庚的數(shù)學(xué)工作與才能極為賞識。華羅庚對維諾格拉多夫也抱著尊敬、感激之情。維諾格拉多夫比華羅庚大約20歲，他們結(jié)成了忘年之交，這種學(xué)術(shù)友誼，已成為中俄數(shù)學(xué)交流史上不可磨滅的一頁。

華羅庚與維諾格拉多夫長期保持著通信聯(lián)系.1946年3月至5月，華羅庚應(yīng)維諾格拉多夫的邀請，由蘇聯(lián)對外文化協(xié)會(huì)安排訪問了蘇聯(lián).訪蘇期間，華羅庚與維諾格拉多夫進(jìn)行了深入的學(xué)術(shù)切磋，并廣泛接觸了蘇聯(lián)文化、知識界.華羅庚的研究工作受到蘇聯(lián)同行的高度評價(jià)，他被譽(yù)為“一位最年輕的對數(shù)學(xué)極有貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家.我們由此可以看到這個(gè)古老的國家，其前途充滿著朝氣和光明.”在訪問結(jié)束離蘇前夕，華羅庚給維諾格拉多夫?qū)懥艘环鈺娴乐x信：華羅庚于1946年5月25日從蘇聯(lián)經(jīng)伊朗、印度回到昆明，同年7月又從上海乘船飄洋，赴美國訪問。在離開中國前夕，華羅庚給維諾格拉多夫?qū)懥艘环庑牛喝A羅庚赴美后，先在普林斯頓高等研究院做研究，同時(shí)在普林斯頓大學(xué)兼教。他抵達(dá)普林斯頓不久，即致維諾格拉多夫一函：自1946年訪蘇以后，華羅庚每遷一地，似乎都習(xí)慣于給維諾格拉多夫?qū)懛庑?。甚?948年6月間他到英國作短期訪問時(shí)，也從劍橋給維諾格拉多夫寄去了一張問候明信片：1950年2月，華羅庚放棄了他在美國伊利諾大學(xué)的終身教授職位，毅然回到中國，并在返國途中發(fā)表了著名的《致中國全體留美學(xué)生的公開信》?；貒蟛痪?，他即于4月12日給維諾格拉多夫?qū)懥艘环庖鈿鈯^發(fā)的長信：四、哥德巴赫猜想研究過程中的奇聞異事2、華羅庚慧眼識陳景潤

華羅庚是我國最早研究哥德巴赫猜想的數(shù)學(xué)家。他于1950年剛回國時(shí)，在數(shù)學(xué)所內(nèi)開辦了幾個(gè)討論班，以哥德巴赫猜想為主攻方向，陳景潤最初并不在這個(gè)討論班里，甚至不在數(shù)學(xué)所里，他于1950年至1953年間在廈門大學(xué)數(shù)學(xué)系上學(xué)時(shí)，一位法國教授看他對數(shù)論有興趣，就介紹他念華羅庚的專著《堆壘素?cái)?shù)論》。陳景潤并不是常人眼中的那種天才，然而卻有著無比的勤奮和頑強(qiáng)的毅力，他把《堆壘素?cái)?shù)論》拆開成一頁一頁的，把每一頁都念得滾瓜爛熟，了然于心，融會(huì)貫通。這正合了華羅庚所說的“勤能補(bǔ)拙是良才，一份辛苦一分才”。

經(jīng)過一遍一遍的硬摳，陳景潤終于在《堆壘素?cái)?shù)論》的字里行間發(fā)現(xiàn)了可以改進(jìn)的地方，他把自己鉆研的心得寫信告訴華羅庚，華羅庚仔細(xì)琢磨陳景潤的信后，十分贊嘆.1957年，華羅庚把陳景潤調(diào)到數(shù)學(xué)所，使得陳景潤在自己的栽培下茁壯成長，30年代初，清華大學(xué)的熊慶來、楊武之等教授慧眼識華羅庚，50年代華羅庚又慧眼識陳景潤，中國現(xiàn)代科學(xué)史上的這兩段佳話何其相似，又跟中國數(shù)論學(xué)派的出現(xiàn)與貢獻(xiàn)緊密相連.3、哥德巴赫猜想研究的熱潮1978年《人民文學(xué)》在第一期上發(fā)表了著名作家徐遲的報(bào)告文學(xué)《哥德巴赫猜想》.使徐遲、陳景潤等人始料不及的是，《哥德巴赫猜想》一文發(fā)表后，難以數(shù)計(jì)的中國人加入了證明這一猜想的行列.他們都想摘取這顆數(shù)學(xué)皇冠上的明珠.王元先生說，《哥德巴赫猜想》發(fā)表后，他和陳景潤不知收到了多少封討論哥德巴赫猜想的來信，也不知有多少人宣稱已經(jīng)解決了這個(gè)問題.時(shí)至今日，中國科學(xué)院數(shù)學(xué)所幾乎每天還能收到這樣的來信.在數(shù)學(xué)所業(yè)務(wù)處，記者看到好幾大紙箱的討論猜想的來信.王元先生說，有許多人來信與他討論哥德巴赫猜想，有的人不分晝夜還往他家里打電話討論，更有甚者，有人不知怎么知道了王元家的地址，上門非要與王元討論哥德巴赫猜想，弄得王元哭笑不得.面對紛至沓來的“哥德巴赫猜想論文”，中科院數(shù)學(xué)研究所楊樂院士等大數(shù)學(xué)家不得不通過媒體，語重心長的告誡對哥德巴赫從猜想著了魔，廢寢忘食，晝夜不舍的盲目亂猜的人，說他們的研究沒有任何結(jié)果，也影響了自己的本職工作，勸他們別做無用功了。五、哥德巴赫猜想的困難和現(xiàn)狀1、哥德巴赫猜想的現(xiàn)狀“近20年來，哥德巴赫猜想的證明沒有本質(zhì)進(jìn)展.”陳景潤在這項(xiàng)工作上取得的進(jìn)展是迄今為止最好的求證結(jié)果，目前還沒有更大的突破.2、哥德巴赫猜想的困難數(shù)學(xué)家自1920年應(yīng)用布朗篩法獲得了一些成就。但這些結(jié)果都不是猜想原題所要證明的，他們也只是向猜想原題證明的靠近.而對猜想原題的證明至今數(shù)學(xué)界還很少有人涉足。以華羅庚為首的數(shù)學(xué)家表示“顯然，利用陳景潤的加權(quán)篩法不可能證明（1,1）”篩法證明的不是哥德巴赫猜想原題，而是挪威數(shù)學(xué)家布朗改進(jìn)的命題，兩者題意有著本質(zhì)的不同.3、我國數(shù)學(xué)家對哥德巴赫猜想的貢獻(xiàn)著名數(shù)學(xué)家華羅庚作為我國最早研究