第15章壓桿穩(wěn)定

建筑力學(xué)歡迎使用工程力學(xué)系多媒體教學(xué)課件系列之五第15章壓桿穩(wěn)定水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組第15章水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組壓桿穩(wěn)定15.3臨界應(yīng)力和臨界應(yīng)力總圖15.4壓桿的穩(wěn)定設(shè)計15.5提高壓桿承載能力的主要措施15.1壓桿穩(wěn)定概述15.2細長壓桿臨界力的歐拉公式第15章水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組壓桿穩(wěn)定15.3臨界應(yīng)力和臨界應(yīng)力總圖15.4壓桿的穩(wěn)定設(shè)計15.5提高壓桿承載能力的主要措施15.1壓桿穩(wěn)定概述15.2細長壓桿臨界力的歐拉公式水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組第15章壓桿穩(wěn)定15.1壓桿穩(wěn)定概述軸向拉、壓桿的強度條件為例：長為600mm的鋼板尺，橫截面尺寸為32mm1mm。鋼的屈服應(yīng)力為[]=170MPa。按強度條件計算得鋼尺所能承受的軸向壓力為[F]=A[]=5540N實際上，當(dāng)壓力不到

15N

時，鋼板尺就被壓彎。可見，鋼板尺的承載能力并不取決軸向壓縮的抗壓剛度，而是與

受壓時變彎

有關(guān)。引例max≤[]1mm32mm水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組第15章壓桿穩(wěn)定15.1壓桿穩(wěn)定概述壓桿在實際工作過程中，不可避免地存在與設(shè)計不相符的工作狀態(tài)，例如：①壓桿在制作時其軸線存在初彎曲；②外力作用線不可能毫無偏差的與桿軸線相重合；③壓桿材料的存在不均勻連續(xù)性。上述因素都不可避免地引起外加壓力的偏心作用。受偏心壓力作用的桿件，不論偏心距多么小，壓桿的次要變形——彎曲變形將隨壓力的增大而加速增長，并轉(zhuǎn)化為主要變形，從而導(dǎo)致壓桿喪失承載能力。④工作過程出現(xiàn)的其它可能因素。水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組第15章壓桿穩(wěn)定15.1壓桿穩(wěn)定概述由于影響壓桿穩(wěn)定性的因素很多，我們不可能在建立力學(xué)模型時將所有的因素都考慮進去。本章中壓桿穩(wěn)定性的研究對象不是實際壓桿，而是理想壓桿。理想壓桿：

桿的材料均勻，軸線為直線，外力的作用線與壓桿軸線重合，不存初彎曲、初應(yīng)力和初偏心。研究方法：

當(dāng)壓桿承受軸向壓力后，假想地在桿上施加一微小的橫向力，使桿發(fā)生彎曲變形，然后撤去橫向力，通過理論或?qū)嶒炗懻搲簵U的受力和變形特征，研究其承載能力。水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組第15章壓桿穩(wěn)定15.1壓桿穩(wěn)定概述壓桿的的穩(wěn)定平衡和不穩(wěn)定平衡狀態(tài)不穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組第15章壓桿穩(wěn)定15.1壓桿穩(wěn)定概述穩(wěn)定平衡狀態(tài)臨界平衡狀態(tài)不穩(wěn)定平衡狀態(tài)失穩(wěn)(a)FPFPFQ<Fcr(b)FPFPFQ=Fcr(c)FPFPFQ>Fcr水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組第15章壓桿穩(wěn)定15.1壓桿穩(wěn)定概述塔吊中的壓桿水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組第15章壓桿穩(wěn)定15.1壓桿穩(wěn)定概述腳手架中的壓桿水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組第15章壓桿穩(wěn)定15.1壓桿穩(wěn)定概述西安腳手架倒塌事故現(xiàn)場

水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組第15章壓桿穩(wěn)定15.1壓桿穩(wěn)定概述高壓輸電線路中的受壓構(gòu)件高壓架空線是無絕緣、裸露的金屬導(dǎo)體，以絕緣子串固定在鐵塔上，以空氣為絕緣。在一般情況下架設(shè)高度是人接觸不到的，是相對安全的，所以不加絕緣皮，這樣不但成本低，而且重量輕，架設(shè)也比較方便；另外，當(dāng)電壓高到幾十千伏時，就算有絕緣，高電壓也能將其擊穿，絕緣體也沒有任何作用。水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組第15章壓桿穩(wěn)定15.1壓桿穩(wěn)定概述

1907年8月29日晨，當(dāng)主跨懸臂已懸拼至接近完成時，南側(cè)一下弦桿由于綴條薄弱等原因突然壓潰，導(dǎo)致懸臂墜入河中，當(dāng)時橋上的86人中有75人身亡。

1916年9月11日第二次發(fā)生事故，造成6人遇難，原因是當(dāng)新的錨固孔及懸臂均已建成，用千斤頂提升懸掛孔（重5000噸的鋼梁）時，懸掛孔下面的支承鑄件突然破裂，導(dǎo)致懸掛孔傾斜，滑落水中。加拿大圣勞倫斯河魁北克橋(建于1904～1918年)水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組第15章壓桿穩(wěn)定15.1壓桿穩(wěn)定概述于是謠言四起，有一個流傳最廣。據(jù)說建橋時政府不顧印第安人的反對，推倒了岸邊81座印第安人的祖墳。于是印第安人的巫師對此橋下了咒語，說這橋一定要倒塌3次。沒想到1907和1916年,魁北克橋果然坍塌兩次，死亡人數(shù)正好是81人，成為加拿大橋梁史上難以磨滅的悲劇。也許是懼怕第三次的倒塌,，魁北克市在同一地點修建了第二座大橋。為了接受這個教訓(xùn)，加拿大政府把斷橋上的鐵打制成了一枚枚鐵戒指，贈送給全國每一個攻讀土木工程專業(yè)的大學(xué)生。水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組第15章壓桿穩(wěn)定15.1壓桿穩(wěn)定概述其它形式的構(gòu)件也存在穩(wěn)定性問題：第15章水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組壓桿穩(wěn)定15.3臨界應(yīng)力和臨界應(yīng)力總圖15.4壓桿的穩(wěn)定設(shè)計15.5提高壓桿承載能力的主要措施15.1壓桿穩(wěn)定概述15.2細長壓桿臨界力的歐拉公式水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組第15章壓桿穩(wěn)定15.2細長壓桿臨界力的歐拉公式對于兩端鉸支的細長理想壓桿，忽略桿的軸向變形和剪切變形的影響，研究其臨界力Fcr的計算公式。

兩端鉸支的細長壓桿的臨界力由于細長理想壓桿在臨界狀態(tài)時，可以保持直線和微彎兩種形式的平衡狀態(tài)。在線彈性范圍內(nèi)，可利用梁在小變形條件下?lián)锨€近似微分方程來研究。水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組第15章壓桿穩(wěn)定15.2細長壓桿臨界力的歐拉公式

兩端鉸支的細長壓桿的臨界力該二階常微分方程的通解為水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組第15章壓桿穩(wěn)定15.2細長壓桿臨界力的歐拉公式

兩端鉸支的細長壓桿的臨界力水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組第15章壓桿穩(wěn)定15.2細長壓桿臨界力的歐拉公式

兩端鉸支的細長壓桿的臨界力水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組第15章壓桿穩(wěn)定15.2細長壓桿臨界力的歐拉公式

兩端鉸支的細長壓桿的臨界力歐拉公式水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組第15章壓桿穩(wěn)定15.2細長壓桿臨界力的歐拉公式

不同支承約束下的細長壓桿的臨界力對于各種支承情況的理想壓桿，其臨界力的歐拉公式可寫成統(tǒng)一的形式：稱為長度系數(shù)，與桿端的約束情況有關(guān)；L稱為計算長度，代表壓桿失穩(wěn)時撓曲線上兩拐點之間的長度；EI為桿件的抗彎剛度，其中E為彈性模量，I為截面的最小的形心主慣性矩。式中：水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組第15章壓桿穩(wěn)定15.2細長壓桿臨界力的歐拉公式

不同支承約束下的細長壓桿的臨界力水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組第15章壓桿穩(wěn)定15.2細長壓桿臨界力的歐拉公式

不同支承約束下的細長壓桿的臨界力驗證：長為600mm的鋼板尺，橫截面尺寸為

32mm1mm。利用歐拉公式計算前面鋼板尺的臨界力。1mm32mm水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組第15章壓桿穩(wěn)定15.2細長壓桿臨界力的歐拉公式FFFa(a)1.3a(b)1.6a(c)2aF(d)各桿均為圓截面細長壓桿(>P)，且所用的材料和截面均相同，試比較各桿的承載力大小。各桿均為細長桿且材料和截面相同，都可用歐拉公式計算臨界力并只需比較各桿的計算長度l即可。根據(jù)歐拉公式桿a：l=2×a=2a桿b：l=1×1.3a=1.3a桿c：l=0.7×1.6a=1.12a桿d：l=0.5×2a=aFcra<Fcrb<Fcrc<Fcrd

【例15-1】【解】水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組第15章壓桿穩(wěn)定15.2細長壓桿臨界力的歐拉公式ABC0.5aFa故取已知圖示圓截面壓桿的抗彎剛度為EI，試求壓桿的臨界壓力。在這種情況下，關(guān)鍵是必須明確壓桿兩端的支承約束類型和長度系數(shù)，以便確定每段壓桿的計算長度。

【例15-2】【解】第15章水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組壓桿穩(wěn)定15.3臨界應(yīng)力和臨界應(yīng)力總圖15.4壓桿的穩(wěn)定設(shè)計15.5提高壓桿承載能力的主要措施15.1壓桿穩(wěn)定概述15.2細長壓桿臨界力的歐拉公式水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組第15章壓桿穩(wěn)定15.3臨界應(yīng)力和臨界應(yīng)力總圖細長壓桿受臨界力FPcr作用而仍在直線平衡形態(tài)下維持平衡時，橫截面上的平均壓應(yīng)力稱為壓桿的臨界應(yīng)力，通常用cr表示，即注意到為壓桿橫截面對中性軸的慣性半徑，有臨界應(yīng)力－歐拉公式水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組第15章壓桿穩(wěn)定15.3臨界應(yīng)力和臨界應(yīng)力總圖引入壓桿的長細比或柔度的概念，即臨界應(yīng)力－歐拉公式代入壓桿的臨界應(yīng)力計算公式中，得由于歐拉臨界力計算公式是根據(jù)撓曲線近似微分方程推導(dǎo)得出的，是建立在胡克定律基礎(chǔ)上的，因此只有材料在線彈性范圍內(nèi)工作時，歐拉公式才能適用。水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組第15章壓桿穩(wěn)定15.3臨界應(yīng)力和臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力－歐拉公式材料在線彈性范圍內(nèi)工作時，令所以只有歐拉公式的適用范圍可表示為其中是與材料的力學(xué)性質(zhì)有關(guān)的物理量。對于同一種材料一般可認為是一個常數(shù)，可以在相關(guān)的規(guī)范或工程手冊中查到。因此，當(dāng)p時，歐拉公式不適用。水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組第15章壓桿穩(wěn)定15.3臨界應(yīng)力和臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力－歐拉公式關(guān)于柔度（長細比）與慣性半徑

壓桿的柔度（長細比）集中地反映了壓桿的長度、桿端約束、截面尺寸和形狀對臨界應(yīng)力的影響。越大，相應(yīng)的cr越小，壓桿越容易失穩(wěn)。若壓桿在不同平面內(nèi)失穩(wěn)時的支承約束條件不同，應(yīng)分別計算在各平面內(nèi)失穩(wěn)時的柔度，并按柔度較大者計算壓桿的臨界應(yīng)力cr。水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組第15章壓桿穩(wěn)定15.3臨界應(yīng)力和臨界應(yīng)力總圖1.

大柔度桿或細長桿壓桿將發(fā)生彈性屈曲，此時壓桿橫截面上的正應(yīng)力不超過材料的比例極限。根據(jù)柔度的大小可將壓桿分為三類:臨界應(yīng)力總圖水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組第15章壓桿穩(wěn)定15.3臨界應(yīng)力和臨界應(yīng)力總圖2.

中長桿壓桿亦發(fā)生屈曲，壓桿在橫截面上的正應(yīng)力已超過材料的比例極限，截面上某些部分已進入塑性狀態(tài)，為非彈性屈曲。臨界應(yīng)力總圖水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組第15章壓桿穩(wěn)定15.3臨界應(yīng)力和臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力總圖細長桿中長桿粗短桿3.

粗短桿此時壓桿不會發(fā)生屈曲，但會發(fā)生屈服失效，是一個強度問題。臨界應(yīng)力總圖其中也與材料的力學(xué)性質(zhì)有關(guān)。水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組第15章壓桿穩(wěn)定15.3臨界應(yīng)力和臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力總圖一些常用材料的a、b、p、s值水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組第15章壓桿穩(wěn)定15.3臨界應(yīng)力和臨界應(yīng)力總圖

Q235鋼制成的矩形截面桿,兩端約束以及所承受的載荷如圖示（a為正視圖，b為俯視圖），在AB兩處為銷釘連接。若已知L=2300mm，b=40mm，h=60mm。材料的彈性模量E=205GPa。試求此桿的臨界力和臨界應(yīng)力。

【例15-3】水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組第15章壓桿穩(wěn)定15.3臨界應(yīng)力和臨界應(yīng)力總圖【解】正視圖：水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組第15章壓桿穩(wěn)定15.3臨界應(yīng)力和臨界應(yīng)力總圖【解】俯視圖：水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組第15章壓桿穩(wěn)定15.3臨界應(yīng)力和臨界應(yīng)力總圖【解】第15章水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組壓桿穩(wěn)定15.3臨界應(yīng)力和臨界應(yīng)力總圖15.4壓桿的穩(wěn)定設(shè)計15.5提高壓桿承載能力的主要措施15.1壓桿穩(wěn)定概述15.2細長壓桿臨界力的歐拉公式水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組第15章壓桿穩(wěn)定15.4壓桿的穩(wěn)定設(shè)計為了保證壓桿具有足夠的穩(wěn)定性，設(shè)計中，必須使桿件所承受的實際壓縮載荷（又稱為工作載荷）小于桿件的臨界載荷，并且具有一定的安全裕度。壓桿的穩(wěn)定性設(shè)計主要采用安全系數(shù)法與折減系數(shù)法。首先介紹安全系數(shù)法。采用安全系數(shù)法時，穩(wěn)定性安全條件一般可表示為式中nw

為工作安全系數(shù)，nst為容許安全系數(shù)，cr和Fcr分別為臨界力和臨界應(yīng)力，w

為實際工作應(yīng)力，F(xiàn)N為壓桿的實際軸力。水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組第15章壓桿穩(wěn)定15.4壓桿的穩(wěn)定設(shè)計下面介紹壓桿穩(wěn)定性設(shè)計的折減系數(shù)法(穩(wěn)定系數(shù)法)。定義穩(wěn)定容許應(yīng)力為式中nst為穩(wěn)定安全系數(shù)，通常nst隨著柔度的增大而增大。是的函數(shù)，即=()

，其值在0～1之間。定義折減系數(shù)或穩(wěn)定系數(shù)為

穩(wěn)定安全系數(shù)一般比強度安全系數(shù)要大些。例如對于一般鋼構(gòu)件，規(guī)定強度安全系數(shù)為1.4~1.7，穩(wěn)定安全系數(shù)為1.5~2.2。水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組第15章壓桿穩(wěn)定15.4壓桿的穩(wěn)定設(shè)計水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組第15章壓桿穩(wěn)定15.4壓桿的穩(wěn)定設(shè)計即或

折減系數(shù)法(穩(wěn)定系數(shù)法)

的穩(wěn)定條件可表述為壓桿的實際工作應(yīng)力不能超過穩(wěn)定許用應(yīng)力[cr]，有注意：截面的局部削弱對整個桿件的穩(wěn)定性影響不大，因此在穩(wěn)定計算中橫截面面積一般取毛面積計算。壓桿的折減系數(shù)（或柔度）受截面形狀和尺寸的影響，通常采用試算法求解。水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組第15章壓桿穩(wěn)定15.4壓桿的穩(wěn)定設(shè)計穩(wěn)定性設(shè)計（stabilitydesign）一般包括三類問題：確定容許載荷當(dāng)壓桿的材料、約束以及幾何尺寸已知時，根據(jù)三類不同壓桿的臨界應(yīng)力公式，確定壓桿的容許載荷。穩(wěn)定性安全校核當(dāng)外加載荷、桿件各部分尺寸、約束以及材料性能均為已知時，驗證壓桿是否滿足穩(wěn)定性設(shè)計準(zhǔn)則。選擇截面尺寸當(dāng)外加載荷、約束以及材料性能均為已知時，根據(jù)三類不同壓桿的臨界應(yīng)力公式，選擇壓桿的截面尺寸。水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組第15章壓桿穩(wěn)定15.4壓桿的穩(wěn)定設(shè)計

★

根據(jù)材料的彈性模量與比例極限E、P，計算或查表得到p

和s，再根據(jù)桿長l、截面的慣性矩I和面積A，以及兩端的支承條件μ，計算壓桿的實際長細比

。

★

然后比較壓桿的實際長細比值與極限值，判斷屬于哪一類壓桿，選擇合適的臨界應(yīng)力公式，確定臨界應(yīng)力。

★

最后，根據(jù)壓桿的穩(wěn)定性安全條件，進行穩(wěn)定性設(shè)計。

★

對于一個系統(tǒng)，應(yīng)用平衡方程求出壓桿所受的軸力或軸力與外力的關(guān)系。穩(wěn)定性設(shè)計一般過程：水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組第15章壓桿穩(wěn)定15.4壓桿的穩(wěn)定設(shè)計結(jié)構(gòu)如圖，二桿的直徑均為d=20mm，材料相同，材料的彈性模量E=210GPa，比例極限P=200MPa，屈服極限s=240MPa，強度安全系數(shù)n=2，規(guī)定的穩(wěn)定安全系數(shù)nst=2.5，試校核結(jié)構(gòu)是否安全。

【例15-4】FN1FN2【解】1、

求兩桿的軸力FN1=1.414F=21.21kN，F(xiàn)N2=F=15kN2、強度校核水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組第15章壓桿穩(wěn)定15.4壓桿的穩(wěn)定設(shè)計FN1FN2【解】3、

壓桿穩(wěn)定性校核結(jié)構(gòu)安全。

第15章水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組壓桿穩(wěn)定15.3臨界應(yīng)力和臨界應(yīng)力總圖15.4壓桿的穩(wěn)定設(shè)計15.5提高壓桿承載能力的主要措施15.1壓桿穩(wěn)定概述15.2細長壓桿臨界力的歐拉公式水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組第15章壓桿穩(wěn)定15.5提高壓桿承載能力的主要措施影響壓桿承載能力的因素:1.細長桿與彈性模量E，截面形狀，幾何尺寸以及約束條件等因素有關(guān)。2.中長桿主要是材料常數(shù)a和b，以及壓桿的長細比及壓桿的橫截面面積。3.粗短桿主要取決于材料的屈服極限和桿件的橫截面面積。水利土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)課程組第15章壓桿穩(wěn)定15.5提高壓桿承載能力的主要措施1.

盡量減少壓桿桿長對于細長桿，其臨界荷載與桿長平方成反比。因此，減少桿長可以顯著地提高壓桿承載能力，在某些情形下，通過改變結(jié)構(gòu)或增加支點可以達到減