計(jì)算方法 易大義 陳道琦

計(jì)算方法（數(shù)值分析）教材：數(shù)值分析引論（易大義陳道琦編）主要內(nèi)容插值法數(shù)值逼近數(shù)值積分?jǐn)?shù)值微分解線性方程組非線性方程（組）數(shù)值解法矩陣特征值與特征向量的計(jì)算常微分方程數(shù)值解法基礎(chǔ)知識(shí)高等數(shù)學(xué)（一元微積分）線性代數(shù)（多項(xiàng)式、矩陣、線性方程組）§1

數(shù)值分析研究對(duì)象第一章數(shù)值計(jì)算引論實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型提供計(jì)算方法程序設(shè)計(jì)上機(jī)計(jì)算結(jié)果分析§2誤差來(lái)源及種類(lèi)模型誤差觀測(cè)誤差（測(cè)量值與真值之間的誤差）截?cái)嗾`差例如：舍入誤差數(shù)值分析主要研究截?cái)嗾`差和舍入誤差1．絕對(duì)誤差。設(shè)是準(zhǔn)確值，是近似值。稱(chēng)為的絕對(duì)誤差。為的絕對(duì)誤差限。

2．相對(duì)誤差。稱(chēng)為的相對(duì)誤差。實(shí)用中，常用表示的相對(duì)誤差。稱(chēng)為的相對(duì)誤差限?！?誤差的基本概念3．有效數(shù)字設(shè)若

則說(shuō)近似值具有n位有效數(shù)字，分別是例1設(shè)是某數(shù)經(jīng)“四舍五入”所得，則誤差不超過(guò)末位的半個(gè)單位，即：又,故該不等式又可寫(xiě)為由有效數(shù)字定義可知,有3位有效數(shù)字，分別是2,7，0。例1.2

=32.93,=32.89,

故有3位有效數(shù)字，分別是3,2，8。由于中的數(shù)字9不是有效數(shù)字，故不是有效數(shù)。

有效數(shù)位與誤差的關(guān)系1.有效數(shù)位n越多，則絕對(duì)誤差越小

2.

定理1

若近似數(shù)具有n位有效數(shù)字，則

反之，若，則至少有n位有效數(shù)字。進(jìn)一步得

(1.3)和（1.4）給出了由自變量的誤差引起的函數(shù)值的誤差的近似式（誤差傳播）。1.一元函數(shù)情形設(shè)則，由Taylor展開(kāi)公式

(1.4)（1.3）§4

求函數(shù)值的誤差估計(jì)

2.多元函數(shù)情形

設(shè)，則由多元函數(shù)的Taylor展開(kāi)公式，類(lèi)似可得例1.3：測(cè)得某桌面的長(zhǎng)a的近似值a*=120cm,寬b的近似值b*=60cm。若已知|e(a*)|≤0.2cm,

|e(b*)|≤0.1cm。試求近似面積s*=a*b*

的絕對(duì)誤差限與相對(duì)誤差限。解:面積s=ab,在公式（1.5）中,將換為s=ab,則相對(duì)誤差限為§5數(shù)值計(jì)算中應(yīng)該注意的幾個(gè)問(wèn)題1.盡量簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，減少乘除運(yùn)算的次數(shù).

秦九韶算法：計(jì)算多項(xiàng)式通常運(yùn)算的乘法次數(shù)為若采用遞推算法,

則乘法次數(shù)僅為n.2.防止大數(shù)“吃掉”小數(shù)當(dāng)|a|遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于|b|時(shí)，盡量避免a+b。例如，假設(shè)計(jì)算機(jī)只能存放10位尾數(shù)的十進(jìn)制數(shù)，則3.盡量避免相近數(shù)相減例如，當(dāng)x很大時(shí)，應(yīng)

，

當(dāng)x接近于0時(shí)，應(yīng)4.避免絕對(duì)值很小的數(shù)做分母當(dāng)|b|<<|a|時(shí)，應(yīng)盡量避免。5.選用