chapter 02 測量誤差和測量結果處理

第2章測量誤差和測量結果處理2.1誤差2.2測量誤差的來源2.3誤差的分類2.4隨機誤差分析2.5系統(tǒng)誤差分析2.6系統(tǒng)誤差的合成2.7測量數(shù)據(jù)的處理

2.1誤差一、誤差

1．真值A0

一個物理量在一定條件下所呈現(xiàn)的客觀大小或真實數(shù)值稱作它的真值。

要想得到真值，必須利用理想的量具或測量儀器進行無誤差的測量。物理量的真值實際上是無法測得的。

例如電流的計量標準安培(教材說明）在測量過程中由于各種主觀、客觀因素的影響，做到無誤差的測量也是不可能的。2．指定值As

由于絕對真值是不可知的，所以一般由國家設立各種盡可能維持不變的實物標準(或基準)，以法令的形式指定其所體現(xiàn)的量值作為計量單位的指定值。

例如指定國家計量局保存的鉑銥合金圓柱體質量原器的質量為1kg，指定國家天文臺保存的銫鐘組所產(chǎn)生的特定條件下銫l33原子基態(tài)的兩個超精細能級之間躍遷所對應的輻射的919263l770個周期的持續(xù)時間為1s(秒)等。國際間通過互相比對保持一定程度的一致。

指定值也叫約定真值，一般就用來代替真值。3．實際值A

實際測量中，不可能都直接與國家基準相比對，所以國家通過一系列的各級實物計量標準構成量值傳遞網(wǎng)，把國家基準所體現(xiàn)的計量單位逐級比較傳遞到日常工作儀器或量具上去。

在每一級的比較中，都以上一級標準所體現(xiàn)的值當作準確無誤的值，通常稱為實際值，也叫作相對真值。比如如果更高一級測量器具的誤差為本級測量器具誤差的1／3到l／l0，就可以認為更高一級測量器具的測得值(示值)為真值。

后面敘述中，不再對實際值和真值加以區(qū)別。4.標稱值

測量器具上標定的數(shù)值稱為標稱值。

如標準砝碼、標準電阻、標準電池的電動勢、標準信號發(fā)生器度盤上標出的輸出正弦波的頻率等。由于制造和測量精度不夠以及環(huán)境等因素的影響，標稱值并不一定等于它的真值或實際值。為此，在標出測量器具的標稱值時，通常還要標出它的誤差范圍或準確度等級.5．示值

由測量器具指示的被測量量值稱為測量器具的示值，也稱測量器具的測得值或測量值，它包括數(shù)值和單位。一般地說，示值與測量儀表的讀數(shù)有區(qū)別，讀數(shù)是儀器刻度盤上直接讀到的數(shù)字。

例如以l00分度表示50mA的電流表，當指針指在刻度盤上的50處時，讀數(shù)是50，而值是25mA.

為便于核查測量結果，在記錄測量數(shù)據(jù)時，一般應記錄儀表量程、讀數(shù)和示值(當然還要記載測量方法，連接圖，測量環(huán)境，測量用儀器及編號及測量者姓名、測量日期等)。

對于數(shù)字顯示儀表，通常示值和讀數(shù)是統(tǒng)一的。6．測量誤差

測量儀器儀表的測得值與被測量真值之間的差異，稱為測量誤差。

測量誤差的存在具有必然性和普遍性，人們只能根據(jù)需要和可能，將其限制在一定范圍內(nèi)而不可能完全加以消除。研究誤差產(chǎn)生的原因，誤差的性質，減小誤差的方法以及對測量結果的處理等.7．單次測量和多次測量

單次(一次)測量是用測量儀器對待測量進行一次測量的過程。在測量精度要求不高的場合，可以只進行單次測量。單次測量不能反映測量結果的精密度，一般只能給出一個量的大致概念和規(guī)律。

多次測量是用測量儀器對同一被測量進行多次重復測量的過程。依靠多次測量可以觀察測量結果一致性的好壞即精密度。通常要求較高的精密測量都須進行多次測量，如儀表的比對校準等。8．等精度測量和非等精度測量

在保持測量條件不變的情況下對同一被測量進行的多次測量過程稱作等精度測量。這里所說的測量條件包括所有對測量結果產(chǎn)生影響的客觀和主觀因素如測量中使用的儀器、方法、測量環(huán)境，操作者的操作步驟和細心程度等。等精度測量的測量結果具有同樣的可靠性。

如果在同一被測量的多次重復測量中，不是所有測量條件都維持不變(比如，改變了測量方法，或更換了測量儀器，或改變了聯(lián)接方式，或測量環(huán)境發(fā)生了變化，或前后不是一個操作者，或同一操作者按不同的過程進行操作，或操作過程中由于疲勞等原因而影響了細心專致程度等)，這樣的測量稱為非等精度測量或不等精度測量。等精度測量和非等精度測量在測量實踐中部存在，相比較而言，等精度測量意義更為普遍，有時為了驗證某些結果或結論，研究新的測量方法、檢定不同的測量儀器時也要進行非等精度測量。小結術語符號含義說明真值A0物理量的真實值純理論值指定值AS法令的形式指定其所體現(xiàn)的量值法定計量值實際值A上一級標準所體現(xiàn)的值當作準確的值(滿足一定要求,有限次均值)相對真值(最佳值)標稱值測量器具標定的數(shù)值示值x測量器所顯示的數(shù)值二、誤差的表示方法

1．絕對誤差定義為(2.1-1)

式中△x為絕對誤差，x為測得值（示值），A0為被測量真值。由于真值A0一般無法得到，所以用實際值A代替A0，因而絕對誤差更有實際意義的定義是(2.1-2)

與絕對誤差絕對值相等但符號相反的值稱為修正值，一般用符號c表示(2.1-4)絕對誤差的特點：絕對誤差是有單位的量，其單位與測得值和實際值相同.

絕對誤差是有符號的量，其符號表示出測量值與實際值的大小關系，若測得值較實際值大，則絕對誤差為正值，反之為負值.

測得值與被測量實際值間的偏離程度和方向通過絕對誤差來體現(xiàn)。

對于信號源、穩(wěn)壓電源等供給量儀器，絕對誤差定義為

式中A為實際值，x為供給量的指示值(標稱值).

測量儀器的修正值，可通過檢定，由上一級標準給出，它可以是表格、曲線或函數(shù)表達式等形式。

利用修正值和儀器示值，可得到被測量的實際值(2.1-5)

例如由某電流表測得的電流示值為0.83mA，查該電流表檢定證書，得知該表在0.8mA及其附近的修正值都為－0.02mA，那么被測電流的實際值為

智能儀器的優(yōu)點之一就是可利用內(nèi)部的微處理器，存貯和處理修正值，直接給出經(jīng)過修正的實際值。

2．相對誤差相對誤差用來說明測量精度的高低，又可分為：

(1)實際相對誤差實際相對誤差定義為(2.1-6)

(2)示值相對誤差示值相對誤差也叫標稱相對誤差，定義為(2.1-7)如果測量誤差不大，可用示值相對誤差代替實際相對誤差，但若相差較大，兩者應加以區(qū)別。實際值測量值

(3)滿度相對誤差滿度相對誤差定義為儀器量程內(nèi)最大絕對誤差

與測量儀器滿度值(量程上限值)的百分比值(2.1-8)

滿度相對誤差也叫作滿度誤差和引用誤差。

通過滿度誤差實際上給出了儀表各量程內(nèi)絕對誤差的最大值(2.1-9)我國電工儀表的準確度等級就是按滿度誤差來分級的。依次有0.10.20.51.01.52.55.0七級。

[例]某電壓表s＝1.5，試算出它在0V～100V量程中的最大絕對誤差。

解：在0V～l00V量程內(nèi)上限值xm＝100V，測量儀器在同量程不同示值處的絕對誤差實際上未必處處相等，

在沒有修正值可資利用的情況下，只能按最壞情況處理，即認為儀器在同一量程各處的絕對誤差是個常數(shù)且等于△xm，人們把這種處理叫作誤差的整量化。

為了減小測量中的示值誤差，在進行量程選擇時應盡可能使示值能接近滿度值，一般以示值不小于滿度值的2／3為宜。

[例2]某1.0級電流表，滿度值xm＝l00uA，求測量值分別為x1＝100uA，x2＝80uA，x3

＝20uA時的絕對誤差和示值相對誤差。絕對誤差是不隨測量值改變。而測得值分別為100A、80A、20A時的示值相對誤差各不相同，分別為解：絕對誤差可見在同一量程內(nèi)，測得值越小，示值相對誤差越大。測量中所用儀表的準確度并不是測量結果的準確度，只有在示值與滿度值相同時，二者才相等(僅考慮儀器誤差)。否則測得值的準確度數(shù)值將低于儀表的準確度等級。

[例3]要測量100℃的溫度，現(xiàn)有0.5級、測量范圍為0～300℃和l.0級、測量范圍為0～l00℃的兩種溫度計，試分析各自產(chǎn)生的示值誤差。解：對0.5級溫度計，可能產(chǎn)生的最大絕對誤差因此示值相對誤差按照誤差整量化原則，認為該量程的絕對誤差為：同樣可算出用l.0級溫度計可能產(chǎn)生的絕對誤差和示值相對誤差在實際測量操作時，一般應先在大量程下，測得被測量的大致數(shù)值，而后選擇合適的量程再行測量，以盡可能減小相對誤差。

(4)分貝誤差分貝誤差是用對數(shù)形式表示的一種誤差，單位為分貝(dB).

分貝誤差廣泛用于增益(衰減)量的測量中。(2.1-10)用對數(shù)表示為(2.1-11)Gx稱為增益測得值的分貝值。

分貝誤差的表示形式設雙口網(wǎng)絡(比如放大器，或衰減器)輸入、輸出電壓的測得值分別為Ui和Uo，則電壓增益Au，的測得值為設A為電壓增益實際值，其分貝值G=20lgA，(2.1-12)(2.1-13)由此得到

(2.1-15)

(2.1-14)顯然與增益的相對誤差有關，可看成相對誤差的對數(shù)表現(xiàn)形式，稱之為分貝誤差。

(2.1-16)若令則分貝誤差可寫成若測量的是功率增益，分貝誤差定義為

(2.1-17)示值相對誤差

[例4]某電壓放大器，當輸入端電壓Ui＝1.2mV時，測得輸出電壓Uo＝6000mV，設Ui誤差可忽略，Uo的測量誤差求：放大器電壓放大倍數(shù)的絕對誤差，相對誤差及分貝誤差。解：電壓放大倍數(shù)電壓分貝增益輸出電壓絕對誤差因忽略Ui誤差，所以電壓增益絕對誤差電壓增益相對誤差電壓增益分貝誤差實際電壓分貝增益當值很小時，分貝增益定義式(2.1-16)和(2.1-17)中的可分別利用下面近似式得到：(電壓、電流類增益)(功率類增益)(2.1-18)(2.1-19)如果在測量中，使用的儀器是用分貝作單位，則分貝誤差直接按來計算。例如某衰減器標稱值為20dB，經(jīng)檢定為20.5dB，則其分貝誤差為給出值：x真值：x0測量誤差根據(jù)表示方法，可分為：小結三、容許誤差

測量儀器的誤差是產(chǎn)生測量誤差的主要因素。

容許誤差是指測量儀器在規(guī)定使用條件下可能產(chǎn)生的最大誤差范圍。容許誤差有時就稱作儀器誤差，它是恒量電子測量儀器質量的最重要的指標。電子測量儀器的精度和穩(wěn)定性等，都可用儀器的容許誤差來表征。規(guī)定用工作誤差、固有誤差、影響誤差和穩(wěn)定誤差等四項指標來描述電子測量儀器的容許誤差。儀器的容許誤差的表示方法可以用絕對誤差，也可用相對誤差.

l.工作誤差

工作誤差是在額定工作條件下儀器誤差的極限值，即來自儀器外部的各種影響量和儀器內(nèi)部的影響特性為任意可能的組合時，儀器誤差的最大極限值。

優(yōu)點：對使用者非常方便，可以利用工作誤差直接估計測量結果誤差的最大范圍。

缺點：工作誤差是在最不利的組合條件下給出的，而實際使用中構成最不利組合的可能性很小。

因此，用儀器的工作誤差來估計測量結果的誤差會偏大.

2．固有誤差

固有誤差是當儀器的各種影響量和影響特性處于基準條件時，儀器所具有的誤差。這些基準條件是比較嚴格的，所以這種誤差能夠更準確地反映儀器所固有的性能，便于在相同條件下，對同類儀器進行比較和校準.基準用來復現(xiàn)某一基本測量單位的量值，只用于鑒定各種量具的精度，不直接參加測量。

3．影響誤差

影響誤差是當一個影響量在其額定使用范圍內(nèi)(或一個影響特性在其有效范圍內(nèi))取任一值，而其它影響量和影響特性均處于基準條件時所測得的誤差。例如溫度誤差、頻率誤差等。只有當某一影響量在工作誤差中起重要作用時才給出，它是一種誤差的極限.4.穩(wěn)定誤差

穩(wěn)定誤差是儀器的標稱值在其他影響量和影響特性保持恒定的情況下，于規(guī)定時間內(nèi)產(chǎn)生的誤差極限。習慣上以相對誤差形式給出或者注明最長連續(xù)工作時間。4位半直流數(shù)字電壓表2V檔的容許誤差（工作誤差）為：其含義為：該電壓表在2V檔的最大絕對誤差為：絕對形式給出的誤差相對形式給出的誤差(2.1-20)4位半：數(shù)字顯示共5位，最高位只能是0或者1，后四位則可以在0~9任意取值。因此最大顯示19999。2V檔

[例5]用4位半數(shù)字電壓表2V檔和200V檔測量1V電壓，該電壓表各檔容許誤差均為個字，試分析用上述兩檔分別測量時的相對誤差。解：①用2V檔測量，仿照式(2.1-20)，絕對誤差為測量數(shù)值(顯示值)為0.9996到1.0004V間，有效顯示數(shù)字是四位到五位。相對誤差為②用200V檔測量，絕對誤差為可見此時±1個字誤差占了誤差的絕大部分，由于此時最末位1個字誤差或最末位為l時代表的數(shù)值是10mV或0.01V，因此此時電壓表顯示為0.99～1.01V，顯示有效數(shù)字為二到三位。相對誤差為2.2測量誤差的來源

一、儀器誤差

儀器誤差又稱設備誤差，是由于設計、制造、裝配、檢定等的不完善以及儀器使用過程中元器件老化、機械部件磨損、疲勞等因素而使測量儀器設備帶有的誤差。儀器誤差還可細分為：讀數(shù)誤差，包括出廠校準定度不準確產(chǎn)生的校準誤差、刻度誤差、讀數(shù)分辨力有限而造成的讀數(shù)誤差及數(shù)字式儀表的量化誤差(±l個字誤差)；儀器誤差使用誤差人身誤差影響誤差方法誤差

二、使用誤差

使用誤差又稱操作誤差，是由于對測量設備操作使用不當而造成的誤差。比如有些設備要求正式測量前進行預熱而未預熱；有些設備要求水平放置而傾斜或垂直放置；有的測量設備要求實際測量前須進行校準(例如：普通萬用表測電阻時應校零，用示波器觀測信號的幅度前應進行幅度校準等)而未校準，等等。

減小使用誤差的最有效途徑是提高測量操作技能，嚴格按照儀器使用說明書中規(guī)定的方法步驟進行操作。

三、人身誤差

人身誤差主要指由于測量者感官的分辨能力、視覺疲勞＼固有習慣等而對測量實驗中的現(xiàn)象與結果判斷不準確而造成的誤差。

比如指針式儀表刻度的讀取等，很容易產(chǎn)生誤差.

減小人身誤差的主要途徑有：提高測量者的操作技能和工作責任心；采用更合適的測量方法；采用數(shù)字式顯示的客觀讀數(shù)以避免指針式儀表的讀數(shù)視差等。

四、影響誤差

影響誤差是指各種環(huán)境因素與要求條件不一致而造成的誤差。

對電子測量而言，最主要的影響因素是環(huán)境溫度、電源電壓和電磁干擾等。在精密測量及計量中，需根據(jù)測量現(xiàn)場的溫度、濕度、電源電壓等影響數(shù)值求出各項影響誤差，以便根據(jù)需要做進一步的數(shù)據(jù)處理。例如:用均值檢波器測量交流電壓時，平均值檢波器輸出正比于被測正弦電壓的平均值U，而交流電壓表通常以有效值U定度，兩者間理論上應有下述關系：

五、方法誤差

方法誤差是指所使用的測量方法不當，或測量所依據(jù)的理論不嚴密，或對測量計算公式不適當簡化等原因而造成的誤差，方法誤差也稱作理論誤差。

(2.2-1)式中，稱為定度系數(shù)。由于和均為無理數(shù)，因此當用有效值定度時，只好取近似公式(2.2-2)顯然兩者相比，就產(chǎn)生了誤差，這種由于計算公式的簡化或近似造成的誤差就是一種理論誤差.

方法誤差通常以系統(tǒng)誤差(主要是恒值系統(tǒng)誤差)形式表現(xiàn)出來。因為產(chǎn)生的原因是由于方法、理論、公式不當或過于簡化等造成，因而在掌握了具體原因及有關量值后，原則上都可以通過理論分析和計算或改變測量方法來加以消除或修正。

[例1]圖中虛框代表一臺輸入電阻Rv＝10MΩ，儀器工作誤差(也稱不確定度)為“±0.005％讀數(shù)±2個字”的數(shù)字電壓表，讀數(shù)

Uo＝l0.0225V；Rs

＝10kΩ，試分析儀器誤差和方法誤差。解:即比值Rs/RV愈大，示值相對誤差也愈大，這是一種方法誤差。將RV

＝10MΩ，Rs

＝10kΩ代入式(2．2-4)，得方法誤差：電壓表本身的儀器誤差測得值Uo與實際值Us間有確定的函數(shù)關系，只要知道和，那么這里的方法誤差可以得到修正。實際上由式(2.2-3)可以得到

(2.2-5)利用式(2.2-5)修正公式和有關數(shù)據(jù)，得到2.3誤差的分類

一、系統(tǒng)誤差定義：在多次等精度測量同一量值時，誤差的絕對值和符號保持不變，或當條件改變時按某種規(guī)律變化的誤差稱為系統(tǒng)誤差，簡稱系差。如果系差的大小、符號不變而保持恒定，則稱為恒定系差，否則稱為變值系差。變值系差又可分為累進性系差、周期性系差和按復雜規(guī)律變化的系差。例如儀器的刻度誤差和零位誤差，或值隨溫度變化的誤差。根據(jù)測量誤差的性質，測量誤差可分為系統(tǒng)誤差、隨機誤差、粗大誤差三類。系統(tǒng)誤差表明了一個測量結果偏離真值或實際值的程度。系差越小，測量就越準確。系統(tǒng)誤差的定量定義是：在重復性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結果的平均值與被測量的真值之差。即0圖2.3-l描述了幾種不同系差的變化規(guī)律：直線a表示恒定系差；直線b屬變值系差中累進性系差，這里表示系差遞增的情況，也有遞減系差；曲線c表示周期性系差，在整個測量過程中，系差值成周期性變化；曲線d屬于按復雜規(guī)律變化的系差。圖2.3-1系統(tǒng)誤差的特征系統(tǒng)誤差的主要特點是，只要測量條件不變，誤差即為確切的數(shù)值，用多次測量取平均值的辦法不能改變或消除系差，而當條件改變時，誤差也隨之遵循某種確定的規(guī)律而變化，具有可重復性。例如，標準電池的電動勢隨環(huán)境溫度變化而變化，因而實際值和標稱值間產(chǎn)生一定的誤差△E，它遵循下面規(guī)律：式中E20和Et，分別為環(huán)境溫度為+20℃和t℃時標準電池的電動勢。又如，在§2．2中敘述的、用均值檢波電壓表測量正弦電壓有效值采用近似公式(2.2-2)代替理論公式(2.2-1)，因而帶來理論誤差，用提高均值檢波器的準確度或用多次測量取平均值等方法都無法加以消除，只有用修正公式的辦法來減小誤差。正是由于這類誤差的規(guī)律性，因此把理論誤差歸入系統(tǒng)誤差一類中。歸納起來，產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的主要原因有：測量儀器設計原理及制作上的缺陷。例如刻度偏差，刻度盤或指針安裝偏心，使用過程中零點漂移，安放位置不當?shù)?測量時的環(huán)境條件如溫度、濕度及電源電壓等與儀器使用要求不一致等。采用近似的測量方法或近似的計算公式等o測量人員估計讀數(shù)時習慣偏于某方向等原因所引起的誤差。

系統(tǒng)誤差體現(xiàn)了測量的正確度，系統(tǒng)誤差小，表明測量的正確度高.

二、隨機誤差隨機誤差又稱偶然誤差，是指對同一量值進行多次等精度測量時，其絕對值和符號均以不可預定的方式無規(guī)則變化的誤差。就單次測量而言，隨機誤差沒有規(guī)律，其大小和方向完全不可預定，但當測量次數(shù)足夠多時，其總體服從統(tǒng)計學規(guī)律，多數(shù)情況下接近正態(tài)分布。隨機誤差的特點：

有界性：在多次測量中誤差絕對值的波動有一定的界限。

對稱性：當測量次數(shù)足夠多時，正負誤差出現(xiàn)的機會幾乎相同。

抵償性：隨機誤差的算術平均值趨于零。

由于隨機誤差的上述特點，可以通過對多次測量取平均值的辦法，來減小隨機誤差對測量結果的影響，或者用其他數(shù)理統(tǒng)計的辦法對隨機誤差加以處理。表2.3-l對某電阻進行15次等精度測量的結果圖2.3-2電阻測量值的隨機誤差由表2.3-l和圖2.3-2可以看出以下幾點：①正誤差出現(xiàn)了7次，負誤差出現(xiàn)了6次，兩者基本相等，正負誤差出現(xiàn)的概率基本相等，反映了隨機誤差的對稱性.②誤差的絕對值介于(0，0.1)、(0.1，0.2)、(0.2，0.3)、(0.3，0.4)、(0.4，0.5)區(qū)間，大于0.5的個數(shù)分別為6、3、2、1、2和1個，反映了絕對值小的隨機誤差出現(xiàn)的概率大，絕對值大的隨機誤差出現(xiàn)的概率小.

③∑vi＝0，正負誤差之和為零，反映了隨機誤差的抵償性。④所有隨機誤差的絕對值都沒有超過某一界限，反映了隨機誤差的有界性。

產(chǎn)生隨機誤差的主要原因包括：①測量儀器元器件產(chǎn)生噪聲，零部件配合的不穩(wěn)定、摩擦、接觸不良等.②溫度及電源電壓的無規(guī)則波動，電磁干擾，地基振動等③測量人員感覺器官的無規(guī)則變化而造成的讀數(shù)不穩(wěn)定等。隨機誤差體現(xiàn)了多次測量的精密度，隨機誤差小，則精密度高。

三、粗大誤差

在一定的測量條件下，測得值明顯地偏離實際值所形成的誤差稱為粗大誤差，也稱為疏失誤差，簡稱粗差。確認含有粗差的測得值稱為壞值，應當剔除不用，因為壞值不能反映被測量的真實數(shù)值.

產(chǎn)生粗差的主要原因包括：①測量方法不當或錯誤。例如用普通萬用表電壓檔直接測量高內(nèi)阻電源的開路電壓，用普通萬用表交流電壓檔測量高頻交流信號的幅值等.②測量操作疏忽和失誤。例如未按規(guī)程操作，讀錯讀數(shù)或單位，或記錄及計算錯誤等.③測量條件的突然變化。例如電源電壓突然增高或降低，雷電干擾，機械沖擊等引起測量儀器示值的劇烈變化等。這類變化雖然也帶有隨機性，但由于它造成的示值明顯偏離實際值，因此將其列入粗差范疇。

1、對誤差按其性質進行的劃分，具有相對性，某些情況可互相轉化。

如：諧振法測量阻抗時因調諧產(chǎn)生的誤差，是一種系統(tǒng)誤差，卻表現(xiàn)出隨機性。

2、除粗差較易判斷和處理外，在任何一次測量中，系統(tǒng)誤差和隨機誤差一般都是同時存在的，需根據(jù)各自對測量結果的影響程度，作不同的具體處理。小結

2.4隨機誤差分析多次等精度測量時產(chǎn)生的隨機誤差及測量值服從統(tǒng)計學規(guī)律。本節(jié)從工程應用角度，利用概率統(tǒng)計的一些基本結論，研究隨機誤差的表征及對含有隨機誤差的測量數(shù)據(jù)的處理方法。

一、測量值的數(shù)學期望和標準差

1．數(shù)學期望設對被測量x進行n次等精度測量，得到n個測得值由于隨機誤差的存在，這些測得值也是隨機變量。

(2.4-1)式中x也稱作樣本平均值。定義n個測得值(隨機變量)的算術平均值為當測量次數(shù)時，樣本平均值的極限定義為測得值的數(shù)學期望(2.4-2)式中Ex也稱作總體平均值。假設測得值中不含系統(tǒng)誤差和粗大誤差，則第i次測量得到的測得值xi與真值間的絕對誤差就等于隨機誤差(2.4-3)式中分別表示絕對誤差和隨機誤差。隨機誤差的算術平均值：當時，上式中第一項即為測得值的數(shù)學期望Ex，所以

(2.4-4)由于隨機誤差的抵償性，當測量次數(shù)n趨于無限大時，趨于零：(2.4-5)即隨機誤差的數(shù)學期望等于零。(2.4-6)即測得值的數(shù)學期望等于被測量真值A.實際上不可能做到無限多次的測量，對于有限次測量，當測量次數(shù)足夠多時近似認為(2.4-7)(2.4-8)由上述分析我們得出，在實際測量工作中，當基本消除系統(tǒng)誤差又剔除粗大誤差后，雖然仍有隨機誤差存在，但多次測得值的算術平均值很接近被測量真值，因此就將它作為最后測量結果，并稱之為被測量的最佳估值或最可信賴值。

2．剩余誤差當進行有限次測量時，各次測得值與算術平均值之差，定義為剩余誤差或殘差：對上式兩邊分別求和，有(2.4-10)方差定義為時測量值與期望值之差的平方的統(tǒng)計平均值，即

3．方差與標準差

隨機誤差反映了實際測量的精密度即測量值的分散程度。由于隨機誤差的抵償性，因此不能用它的算術平均值來估計測量的精密度，而應使用方差進行描述。

(2.4-11)因為隨機誤差，故(2.4-12)方差是相應單位的平方，使用不甚方便。為了與隨機誤差單位一致，將上式兩邊開方，取正平方根，得

(2.4-13)式中定義為測量值的標準誤差或均方根誤差，也稱標準偏差，簡稱標準差。

標準差反映了測量的精密度。

二、隨機誤差的正態(tài)分布

1．正態(tài)分布當進行大量等精度測量時，隨機誤差服從統(tǒng)計規(guī)律。理論和測量實踐都證明，測得值與隨機誤差都按一定的概率出現(xiàn)。在大多數(shù)情況下，測得值在其期望值上出現(xiàn)的概率最大，隨著對期望值偏離的增大，出現(xiàn)的概率急劇減小。表現(xiàn)在隨機誤差上，等于零的隨機誤差出現(xiàn)的概率最大，隨著隨機誤差絕對值的加大，出現(xiàn)的概率急劇減小。

測得值和隨機誤差的這種統(tǒng)計分布規(guī)律，稱為正態(tài)分布。圖2.4-1的正態(tài)分布曲線對于正態(tài)分布的xi

，其概率密度函數(shù)為概率分布函數(shù)圖2.4-2的正態(tài)分布曲線

設測得值xi在x到x+dx

范圍內(nèi)出現(xiàn)的概率為P，它正比于dx，并與x值有關，即(2.4-15)式中定義為測量值xi的分布密度函數(shù)或概率分布函數(shù)，顯然(2.4-16)對于正態(tài)分布的xi

，其概率密度函數(shù)為(2.4-17)同樣，對于正態(tài)分布的隨機誤差，概率密度函數(shù)為：(2.4-18)①愈小，愈大，說明絕對值小的隨機誤差出現(xiàn)的概率大；相反，絕對值大的隨機誤差出現(xiàn)的概率小，隨著的加大，很快趨于零，即超過一定界限的隨機誤差實際上幾乎不出現(xiàn)(隨機誤差的有界性).②大小相等符號相反的誤差出現(xiàn)的概率相等(隨機誤差的對稱性和抵償性).③愈小，正態(tài)分布曲線愈尖銳，表明測得值愈集中，精密度高，反之。愈大，曲線愈平坦，表明測得值分散，精密度低。

正態(tài)分布又稱高斯分布，在誤差理論中占有重要的地位。由眾多相互獨立的因素的隨機微小變化所造成的隨機誤差，大多遵從正態(tài)分布，例如信號源的輸出幅度、輸出頻率等，都具有這一特性。

2．均勻分布均勻分布是僅次于正態(tài)分布的一種重要分布。特點:在誤差范圍內(nèi)，誤差出現(xiàn)的概率各處相同。圖2.4-3均勻分布的概率密度①儀表度盤刻度誤差。由于儀表分辨力決定的某一范圍內(nèi)，所有的測量值可以認為是一個值。例如用500V量程交流電壓表測得值是220V，實際上由于分辨不清，實際值可能是219V一221V之間的任何一個值，在該范圍內(nèi)可認為有相同的誤差概率。②數(shù)字顯示儀表的最低位±l(或幾個字）的誤差。例如末位顯示為5，實際值可能是4－6間任一值，也認為在此范圍內(nèi)具有相同的誤差概率。數(shù)字式電壓表或數(shù)字式頻率計中都有這種現(xiàn)象。③由于舍入引起的誤差。去掉的或進位的低位數(shù)字的概率是相同的。例如被舍掉的可能是5或4或3或2或1，被進位的可以認為是5、6、7、8、9中任何一個。

3．極限誤差

對于正態(tài)分布的隨機誤差，根據(jù)其概率密度函數(shù)可以算出隨機誤差落在區(qū)間的概率為(2.4-23)該結果的含義可理解為，在進行大量等精度測量時，隨機誤差落在區(qū)間的測得值的數(shù)目占測量總數(shù)目的68.3％，或者說，測得值落在范圍(該范圍在概率論中稱為置信區(qū)間)內(nèi)的概率(在概率論中稱為置信概率)為0.683.

同樣可以求得隨機誤差落在和范圍內(nèi)的概率為(2.4-24)(2.4-25)即當測得值xi的置信區(qū)間為和

時的置信概率分別為0.954和0.997。由式(2.4-25)可見，隨機誤差絕對值大于3σ的概率(可能性)僅為0.003或0.3％，實際上出現(xiàn)的可能極小，因此定義極限誤差為：

(2.4-26)

4.貝塞爾公式隨機誤差其中xi為第i次測得值，A為真值，為xi的數(shù)學期望，且

在這種前提下，我們用測量值數(shù)列的標準差來表征測量值的分散程度，并有實際上不可能做到的無限次測量。當n為有限值時，我們用殘差來近似或代替真正的隨機誤差，用表示有限次測量時標準誤差的最佳估計值，可以證明

(2.4-27)上式稱為貝塞爾公式。式中，若n＝l，則值不定，表明測量的數(shù)據(jù)不可靠.這是貝塞爾公式的另一種表達形式。有時簡稱標準差估計值。仍以§2.3中表2.3-1為例，可以算出

(2.4-28)標準差的最佳估計值還可以用下式求出

5．算術平均值的標準差如果在相同條件下對同一被測量分成m組，每組重復n次測量，則每組測得值都有一個平均值。由于隨機誤差的存在，這些算術平均值也不相同，而是圍繞真值有一定的分散性，即算術平均值與真值間也存在著隨機誤差。我們用來表示算術平均值的標準差，由概率論中方差運算法則可以求出

(2.4-29)同樣定義為算術平均值的極限誤差，與真值間的誤差超過這一范圍的概率極小，因此，測量結果可以表示為

z＝算術平均值±

算術平均值的極限誤差

(2.4-30)在有限次測量中，以表示算術平均值標準差的最佳估值，有因為實際測量中n只能是有限值，所以有時就將和叫作測量值的標準差和測量平均值的標準差，從而將式(2.4-27)和(2.4-31)直接寫成

(2.4-31)

(2.4-32)

(2.4-33)三、有限次測量下測量結果的表達算術平均值的標準差隨測量次數(shù)n的增大而減小，但減小速度要比n的增長慢得多，即僅靠單純增加測量次數(shù)來減小標準差收益不大，因而實際測量中n的取值并不很大，一般在10到20之間。

(2.4-32)

(2.4-33)對于精密測量，常需進行多次等精度測量，在基本消除系統(tǒng)誤差并從測量結果中剔除壞值后，測量結果的處理可按下述步驟進行：①列出測量數(shù)據(jù)表；②計算算術平均值，殘差及；③按式(2.4-32)、(2.4-33)計算和；④給出最終測量結果表達式：

[例1]用電壓表對某一電壓測量10次，設已消除系統(tǒng)誤差及粗大誤差，測得數(shù)據(jù)及有關計算值如表2.4-1，試給出最終測量結果表達式。表2.4-1解：計算得到，表示的計算正確。進一步計算得到：因此該電壓的最終測量結果為2.5系統(tǒng)誤差分析一、系統(tǒng)誤差的特性排除粗差后，測量誤差等于隨機誤差和系統(tǒng)誤差的代數(shù)和(2.5-1)假設進行n次等精度測量，并設系差為恒值系差或變化非常緩慢即，則的算術平均值為(2.5-2)當n足夠大時，由于隨機誤差的抵償性，的算術平均值趨于零，于是由式(2．5-2)得到(2.5-3)當系差與隨機誤差同時存在時，若測量次數(shù)足夠多，則各次測量絕對誤差的算術平均值等于系差.這說明測量結果的準確度不僅與隨機誤差有關，更與系統(tǒng)誤差有關。歷史上雷萊曾利用不同的來源和方法制取氮氣，測得氮氣的平均密度和標準偏差如下：化學法提?。海?.2997l＝0.00041

大氣中提取：=2.31022=0.00019

平均值之差：＝0.01051

標準偏差：二、系統(tǒng)誤差的判斷

1.理論分析法

凡屬由于測量方法或測量原理引入的系差，不難通過對測量方法的定性定量分析發(fā)現(xiàn)系差，甚至計算出系差的大小.§2.2[例1]中用內(nèi)阻不高的電壓表測量高內(nèi)阻電源電壓就是一例.

3.改變測量條件法系差常與測量條件有關，如果能改變測量條件，比如更換測量人員、測量環(huán)境、測量方法等，根據(jù)對分組測量數(shù)據(jù)的比較，有可能發(fā)現(xiàn)系差。上述2、3兩種方法都屬于實驗對比法，一般用來發(fā)現(xiàn)恒值系差.

2.校準和比對法當懷疑測量結果可能會有系差時，可用準確度更高的測量儀器進行重復測量以發(fā)現(xiàn)系差。測量儀器定期進行校準或檢定并在檢定證書中給出修正值，目的就是發(fā)現(xiàn)和減小使用被檢儀器進行測量時的系統(tǒng)誤差。也可以采用多臺同型號儀器進行比對，觀察比對結果以發(fā)現(xiàn)系差，但這種方法通常不能查覺和衡量理論誤差。圖2.5－1系統(tǒng)誤差的判斷不存在系差累進性系差周期性系差累進性+周期性系差4．剩余誤差觀察法剩余誤差觀察法是根據(jù)測量數(shù)據(jù)數(shù)列各個剩余誤差的大小、符號的變化規(guī)律，以判斷有無系差及系差類型。

5．公式判斷法通常有馬林科夫判據(jù)和阿卑—赫梅特判據(jù)，可分別用采判定有無累進性系差和周期性系差，詳細論述可參閱參考書目[1]、[3]等。三、消除系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的根源采用的測量方法和依據(jù)的原理正確，后面我們將專門討論能有效消弱系統(tǒng)誤差的測量技術與方法。選用的儀器儀表類型正確，準確度滿足測量要求，如要測量工作于高頻段的電感電容，應選用高頻參數(shù)測試儀(如LCCG—l高頻LC測量儀)，而測量工作于低頻段的電感電容就應選用低頻參數(shù)測試儀(如WQ—5電橋、QSl8A萬能電橋).

測量儀器應定期檢定、校準，測量前要正確調節(jié)零點，應按操作規(guī)程正確使用儀器。尤其對于精密測量，測量環(huán)境的影響不能忽視，必要時應采取穩(wěn)壓/恒溫、電磁屏蔽等措施。條件許可時，可盡量采用數(shù)字顯示儀器代替指針式儀器，以減小由于刻度不準及分辨力不高等因素帶來的系統(tǒng)誤差。提高測量人員的學識水平、操作技能，去除一些不良習慣，盡量消除帶來系統(tǒng)誤差的主觀原因。

四、消弱系統(tǒng)誤差的典型測量技術

1．零示法零示法是在測量中，把待測量與已知標準量相比較，當二者的效應互相抵消時，零示器示值為零，此時已知標準量的數(shù)值就是被測量的數(shù)值。圖2.5-2零示法原理圖零示器的種類有光電檢流計、電流表、電壓表、示波器、調諧指示器、耳機等，只要零示器的靈敏度足夠高，測量的準確度基本上等于標準量的準確度，而與零示器的準確度無關，從而可消除由于零示器不準所帶來的系統(tǒng)誤差。圖2.5-3電位差計原理圖電位差計是采用零示法的典型例子，圖2.5-3是電位差計的原理圖。其中Es為標準電壓源，Rs為標準電阻，Ux為待測電壓，零示器一般用檢流計。被測量Ux的數(shù)值僅與標準電壓源Es及標準電阻R2、Rl有關，只要標準量的準確度很高，被測量的測量準確度也就很高。零示法廣泛用于阻抗測量(各類電橋)、電壓測量(電位差計及數(shù)字電壓表)、頻率測量(拍頻法、差頻法)及其他參數(shù)的測量中。

2．替代法替代法又稱置換法。它是在測量條件不變的情況下，用一標準已知量去替代待測量，通過調整標準量而使儀器的示值不變，于是標準量的值即等于被測量值。由于替代前后整個測量系統(tǒng)及儀器示值均未改變，因此測量中的恒定系差對測量結果不產(chǎn)生影響，測量準確度主要取決于標準已知量的準確度及指示器靈敏度。圖2.5-4替代法測量電阻圖2.5-4是替代法在精密電阻電橋中的應用實例。首先接入未知電阻Rx，調節(jié)電橋使之平衡，此時有(2.5-5)由于都有誤差，若利用它們的標稱值來計算Rx，則Rx也帶有誤差，即

(2.5-6)進一步計算，得到

(2.5-7)為了消除上述誤差，現(xiàn)用可變標準電阻Rs代替Rx，并在保持不變的情形下通過調節(jié)Rs

，使電橋重新平衡，因而得到

(2.5-8)比較式(2.5-6)、(2.5-8)，得到可見測量誤差△Rs

，僅決定于標準電阻的誤差△Rs，而與的誤差無關。

(2.5-9)

3．補償法補償法相當于部分替代法或不完全替代法。這種方法常用在高頻阻抗、電壓、衰減量等測量中。諧振法(如Q表)測電容即采用補償法。圖2.5-5為測量原理圖，其中u為高頻信號源，L為電感，C0為分布電容，Cx為待測電容。調節(jié)信號源頻率使電路諧振(此時電壓表指示最大)，設諧振頻率為了f0，可以算出：

(2.5-10)圖2.5-5諧振法測電容補償法測電容僅接入Cs1時有接入Cx后有比較兩