第一講 無(wú)簡(jiǎn)并定態(tài)微擾論

第一講、無(wú)簡(jiǎn)并定態(tài)微擾論實(shí)際的物理系統(tǒng)大多屬于無(wú)法嚴(yán)格求解的問(wèn)題。為了研究這些數(shù)學(xué)上無(wú)法嚴(yán)格求解的問(wèn)題，我們可以使用各種近似方法、計(jì)算機(jī)模擬或數(shù)值計(jì)算等進(jìn)行處理簡(jiǎn)介對(duì)于量子力學(xué)來(lái)說(shuō)，絕大多數(shù)的問(wèn)題，并不能求得E和ψ的精確解。因?yàn)楣茴D算符中，不僅應(yīng)包括所研究微觀體系內(nèi)所有粒子（比如氦原子中的兩個(gè)電子，硅原子中的14個(gè)電子等等）的動(dòng)能，還應(yīng)包括體系內(nèi)粒子間各種性質(zhì)的一切相互作用的勢(shì)能之和U（r），這就使得哈密頓算符非常復(fù)雜。量子力學(xué)發(fā)展了很多求近似解的方法，如微擾論、變分法、平均場(chǎng)方法、重整化群方法、格林函數(shù)方法等；。本課程只介紹用的最多的微擾論。定態(tài)微擾論的含義定態(tài)微擾論是不顯含時(shí)間t的情況下的微擾論（顯含時(shí)間t的情況屬于含時(shí)微擾論，將在第八章介紹）。用定態(tài)微擾論近似求解的本征方程時(shí)，對(duì)算符有兩點(diǎn)要求：(1)可以分解成兩部分：因此，哈密頓算符的本征方程變?yōu)椋旱谋菊鞣匠虨椋何_論的要求條件的本征方程必須能夠精確求解，或者的本征值和本征函數(shù)為已知。稱為微擾算符。（2）很小的具體條件是：其中：這個(gè)條件以后還會(huì)介紹。通常我們也可以用作粗略的判斷。如果成立，則可以把微小能量看成對(duì)能量的微擾。一、無(wú)簡(jiǎn)并定態(tài)微擾論無(wú)簡(jiǎn)并是指的本征值譜中，所要研究的那個(gè)本征值無(wú)簡(jiǎn)并，即無(wú)微擾時(shí)，體系的對(duì)應(yīng)的只有一個(gè)波函數(shù)滿足定態(tài)本征方程：定態(tài)微擾論相當(dāng)于：狀態(tài)本征算符本征態(tài)本征能量系統(tǒng)無(wú)微擾：系統(tǒng)受到微擾：具體的求解步驟1，建立級(jí)數(shù)修正項(xiàng)方程：對(duì)E、ψ實(shí)際解作級(jí)數(shù)展開(kāi)如下：零級(jí)近似一級(jí)修正（一級(jí)小量）二級(jí)修正（二級(jí)小量）把上兩式代入的本征方程，再把同級(jí)小量分別加在一起，得到方程（見(jiàn)下頁(yè)）要恒等式成立，等式兩邊同級(jí)小量之和必須對(duì)應(yīng)相等，于是得到一系列求各級(jí)修正項(xiàng)的方程：可精確求解把已知的帶入到方程：可得，再帶入到級(jí)數(shù)表達(dá)式，可以得到的一級(jí)近似解：把已得到的帶入方程：得到二級(jí)近似解：還可以類似的求得更高一級(jí)的三級(jí)小量等等。直到修正后的結(jié)果達(dá)到滿意的精確度為止（是指能夠說(shuō)明實(shí)際問(wèn)題所要求的精確度）。由此可見(jiàn)，微擾法實(shí)際是一種逐步逼近法。2，一級(jí)修正的表達(dá)式首先根據(jù)本征函數(shù)的完全性，可以表示為：將其帶入方程：得到：利用：改寫方程為：用左乘上式兩邊，再對(duì)整個(gè)空間積分，利用本征函數(shù)的正交歸一性簡(jiǎn)化，得到：其中稱之為微擾矩陣元當(dāng)即取，則于是可以得到E的一級(jí)修正：由此可見(jiàn)，體系能量的一級(jí)修正等于在體系未受微擾時(shí)所處狀態(tài)中的平均值。這樣從已知的求得。當(dāng)，則，可以得到疊加系數(shù)還有沒(méi)有求出，這可由歸一化條件求得：如果只是求到一級(jí)近似，則于是的歸一化條件為：因?yàn)橐褮w一化，所以第三項(xiàng)很小可以略去，于是必須：再將帶入上式，得到結(jié)果：上式當(dāng)或?yàn)榧兲摂?shù)時(shí)成立。如果為純虛數(shù)，只是令波函數(shù)增加一個(gè)相因子（為實(shí)數(shù)），不改變，所以得到：至此我們已經(jīng)求出了的全部疊加系數(shù)。將這些系數(shù)全部帶入到一級(jí)修正的表達(dá)式中，得到：其中：

的撇號(hào)表示求和不包括n=k這一項(xiàng)，因?yàn)檫@一項(xiàng)的系數(shù)我們已經(jīng)求得為零。這樣，就在已知無(wú)微擾本征值譜和本征函數(shù)系的基礎(chǔ)上，求得有微擾時(shí)波函數(shù)的一級(jí)修正。下面，我們?cè)賮?lái)看看二級(jí)修正的表達(dá)式。3，的表達(dá)式如果一級(jí)近似還不能滿足精確度要求，還可以進(jìn)一步求E的二級(jí)修正。二級(jí)修正的方程為：同樣用零級(jí)的完全本征函數(shù)系展開(kāi)二級(jí)修正波函數(shù)帶入上式，然后在方程的兩邊左乘再對(duì)整個(gè)空間積分，并利用正交歸一化條件簡(jiǎn)化，得到：如果m=k，即取得到：已知由上式可以得到二級(jí)修正：上式中利用了的厄米性：因?yàn)椋耗芰縀的二級(jí)近似為：說(shuō)明：通常，用微擾法對(duì)E最多計(jì)算到二級(jí)近似，對(duì)波函數(shù)則只計(jì)算到一級(jí)近似。如果還不夠精確，則說(shuō)明微擾法對(duì)該問(wèn)題不大適用，說(shuō)明能量和波函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)收斂太慢，如果還要結(jié)果精確，還需要計(jì)算很多級(jí)修正，那就太復(fù)雜了。4，關(guān)于微擾法的適用條件我們前面提到，微擾法成立的條件是：這是因?yàn)檫@個(gè)條件可以保證很小，也很小。那么在這兩項(xiàng)分解的級(jí)數(shù)以后的項(xiàng)都會(huì)比這兩項(xiàng)小很多。這樣，我們就可以認(rèn)為所求的足夠精確，這就是“”很小的確切含義。二、氦原子的基態(tài)能量這一節(jié)的內(nèi)容是作為一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明如何利用無(wú)簡(jiǎn)并定態(tài)微擾論來(lái)計(jì)算氦原子基態(tài)能量。氦原子有兩個(gè)電子，把坐標(biāo)原點(diǎn)取在氦原子核上（見(jiàn)書中P128圖5－1），相當(dāng)于氦核不動(dòng)。具體求解步驟如下：1，寫出表達(dá)式氦原子體系的能量算符為：式中第一項(xiàng)、二項(xiàng)分別為電子1，2的動(dòng)能算符，第三、四項(xiàng)分別是電子1，2與氦核電庫(kù)侖相互作用勢(shì)能，第五項(xiàng)是兩個(gè)電子之間的庫(kù)侖相互作用勢(shì)能。2，選擇解的本征方程：才能得到的能級(jí)和波函數(shù)。但是由于交叉項(xiàng)1/r12的存在，使得方程不可能有精確解。因此，采用無(wú)簡(jiǎn)并定態(tài)微擾法近似求解。先把哈密頓算符分成兩項(xiàng)：第五項(xiàng)作為微擾項(xiàng)，因?yàn)椋?）的本征方程可以精確求解，（2）相對(duì)于前四項(xiàng)之和，第五項(xiàng)較小。3，解的本征方程的本征方程可用分離變量法求得精確解。因?yàn)槲覀円?jì)算的只是氦原子的基態(tài)能量。即求的基態(tài)能量，以及受到微擾之后的的基態(tài)能量。設(shè)的基態(tài)本征函數(shù)為，則有：這相當(dāng)于氫原子的電子獨(dú)自在氫核電庫(kù)侖場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，因此可以把分成兩項(xiàng)（見(jiàn)下頁(yè)）。從上頁(yè)的方程中，我們可以看出，這屬于類氫離子的情況。而為已知。對(duì)于類氫離子基態(tài)有n＝1，l＝0，m＝0，因此有：上頁(yè)式中為氫原子基態(tài)能量的數(shù)值。所以，的基態(tài)本征能量和本征函數(shù)分別為：以上為的本征方程度精確解，滿足微擾法適用的第一個(gè)條件。的基態(tài)能量無(wú)簡(jiǎn)并，因此都分別只有一個(gè)。下面，我們用無(wú)簡(jiǎn)并微擾法，由的已知本征值和屬于的本征態(tài)，求得。4，用微擾法求近似解按無(wú)簡(jiǎn)并微擾論，有微擾時(shí)，能量的一級(jí)修正等于微擾