線性離散控制系統(tǒng)

第七章

線性離散控制系統(tǒng)的分析

基于工程實踐的需要，作為分析與設(shè)計數(shù)字控制系統(tǒng)的基礎(chǔ)理論，離散系統(tǒng)理論的發(fā)展非常迅速。離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)相比既有本質(zhì)上的不同，又有分析研究方面的相似性。利用z變換法研究離散系統(tǒng)，可以把連續(xù)系統(tǒng)的許多概念和方法推廣用于線性離散系統(tǒng)。

7.1

離散控制系統(tǒng)的基本概念

7.2信號的采樣與保持

7.3Z變換理論

7.4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

7.5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差

7.6離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析

7.1

離散系統(tǒng)的基本概念

如果控制系統(tǒng)中的所有信號都是時間變量的連續(xù)函數(shù)，這樣的系統(tǒng)稱為連續(xù)時間系統(tǒng)，簡稱連續(xù)系統(tǒng)；如果控制系統(tǒng)中有一處或幾處信號是一串脈沖或數(shù)碼，則這樣的系統(tǒng)稱為離散時間系統(tǒng)，簡稱為離散系統(tǒng)。通常把系統(tǒng)中的離散信號是脈沖序列形式的離散系統(tǒng)，稱為采樣控制系統(tǒng)或脈沖控制系統(tǒng)；而把數(shù)字序列形式的離散系統(tǒng)，稱為數(shù)字控制系統(tǒng)或計算機控制系統(tǒng)。

1.采樣控制系統(tǒng)

一般說來，采樣系統(tǒng)是對來自傳感器的連續(xù)信號在某些規(guī)定的時間瞬時上取值，如果在有規(guī)律的間隔上系統(tǒng)取到了離散信息，則這種采樣稱為周期采樣；反之，如果信息之間的間隔是時變的或隨機的，則稱為非周期采樣，或隨機采樣。本章僅討論等周期采樣。

例7-1，圖7-1是爐溫采樣控制系統(tǒng)原理圖。工作原理如下：......由例7-1可見，在采樣系統(tǒng)中不僅有模擬部件，還有脈沖部件。為了使兩種信號在系統(tǒng)中能相互傳遞，在連續(xù)信號和脈沖序列之間要用采樣器，而在脈沖序列和連續(xù)信號之間要用保持器，以實現(xiàn)兩種信號的轉(zhuǎn)換，

(1).信號采樣和復(fù)現(xiàn)在采樣控制系統(tǒng)中，把連續(xù)信號轉(zhuǎn)變?yōu)槊}沖序列的過程稱為采樣過程，簡稱采樣。實現(xiàn)采樣的裝置稱為采樣器，或稱采樣開關(guān)。T表示采樣周期，采樣持續(xù)時間τ遠小于采樣周期T，為了簡化系統(tǒng)分析，可認為τ趨于零。

在采樣控制系統(tǒng)中，把脈沖序列轉(zhuǎn)變?yōu)檫B續(xù)信號的過程稱為信號復(fù)現(xiàn)過程，實現(xiàn)復(fù)現(xiàn)過程的裝置稱為保持器。需要在采樣保持器后面串聯(lián)信號復(fù)現(xiàn)濾波器，使脈沖信號復(fù)現(xiàn)成連續(xù)信號。最簡單的由保持器把脈沖信號復(fù)現(xiàn)為階梯信號，如圖7-3?！?/p>

(2).采樣系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖根據(jù)采樣器在系統(tǒng)中所處的位置不同，可以構(gòu)成各種采樣系統(tǒng)。在各種采樣控制系統(tǒng)中，用得最多的是誤差采樣控制的閉環(huán)采樣系統(tǒng)，其典型結(jié)構(gòu)圖如圖7-4所示。當采樣開關(guān)和系統(tǒng)其余部分的傳遞函數(shù)都具有線性特性時，這樣的系統(tǒng)就稱為線性采樣系統(tǒng)。

2.數(shù)字控制系統(tǒng)

數(shù)字控制系統(tǒng)是一種以數(shù)字計算機為控制器去控制具有連續(xù)工作狀態(tài)的被控對象的閉環(huán)控制系統(tǒng)。

例7-2，......計算機控制系統(tǒng)的典型原理圖如圖7-6所示。圖7-6的等效采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7-9所示。

3.離散控制系統(tǒng)的特點--控制靈活，高抗擾能力，...4.離散系統(tǒng)的研究方法--采用z變換法…………

為了定量研究離散系統(tǒng)，必須對信號的采樣過程和保持過程用數(shù)學(xué)的方法加以描述。

1.采樣過程把連續(xù)信號變換為脈沖序列的的裝置稱為采樣器，又叫采樣開關(guān)。采樣器的采樣過程可以用一個周期性閉合的采樣開關(guān)來表示，如圖7-10所示。

e*（t）

e（t）

幅值調(diào)制器e*（t）

e（t）

圖7-10(a)采樣開關(guān)

t

0T2T3T...7.2信號的采樣與保持將采樣信號用如下數(shù)學(xué)式子表示

(7-1)(7-2)假定當t<0時e(t)=0，因此脈沖序列從零開始。則

(7-3)

圖7-11采樣過程

e*(t)e(t)

2.采樣過程的數(shù)學(xué)描述

e*(t)信號的數(shù)學(xué)描述可分兩方面討論。

(1)采樣信號的拉氏變換對采樣信號e*（t）進行拉氏變換，可得E*(s)=?[e*(t)]=?(7-4)根據(jù)拉氏變換的位移定理，有

?[δ(t?nT)]=所以對樣信號的拉氏變換(7-5)

上式將E*(s)與采樣函數(shù)e(nT)聯(lián)系了起來，可以直接看出e*(t)的時間響應(yīng)。

例7-3，設(shè)e(t)=1(t)，有

例7-4，設(shè)e(t)=e?at，t≥0，a為常數(shù)，有

例7-5，設(shè)e(t)=e?t?e?2t，t≥0，有

2.采樣信號的頻譜

研究采樣信號的頻譜目的是找出E*(s)與E(s)之間的相互聯(lián)系。式(7-2)表明δT(t)是周期函數(shù)，可將其展開成傅氏級數(shù)形式：(7-6)

式中，ωs=2π/T，稱為采樣角頻率；cn是傅氏系數(shù)，為

δT(t)僅在t=0時有值(7-7)

上式代入式（7-6），有(7-8)則，采樣信號為(7-9)

對上式取拉氏變換，運用拉氏變換的位移定理，得到(7-10)

令s=jω代入式（7-10）得到E*(jω)--采樣信號e*(t)的頻譜，E(jω)為連續(xù)信號的頻譜(圖7-12)，|E(jω)|中的最大角頻率域(ωmax)ωh，|E*(jω)|具有以ωs為周期的無窮多個頻譜分量(圖7-13)，n=0時，E*(jω)=E(jω)/T，為主分量。理想濾波器如圖7-15所示，要想從采樣信號e*(t)中完全復(fù)現(xiàn)出采樣前的連續(xù)信號，對采樣角頻率ωs有一定要求。--E(j)00--

圖7-12

連續(xù)信號e（t）的頻譜圖7-13(b)采樣信號e*（t）的頻譜

3.香農(nóng)采樣定理系統(tǒng)中要把采樣信號恢復(fù)成原連續(xù)信號，主要決定于采樣信號是否包含原信號的全部信息。這又與采樣頻率有關(guān)，采樣頻率越高，則采樣信號就越能反映原信號的變化規(guī)律，即越多包含原信號的信息。香農(nóng)采樣定理指出采樣信號可以無失真地復(fù)現(xiàn)原連續(xù)信號的理論上最小采樣周期T。

香農(nóng)采樣定理：如果采樣器的輸入信號e(t)具有有限帶寬，并且最高次諧波角頻率為ωh，則使信號e(t)完滿地從采樣信號e*(t)中恢復(fù)的采樣周期T滿足下列條件：

(7-12)或

4.采樣周期的選取采樣定理給出采樣周期T的上限，至于T到底選擇多大，涉及許多因素。采樣周期選的越小，即采樣頻率ωs越高，對控制過程的信息獲得越多，復(fù)現(xiàn)連續(xù)系統(tǒng)的能力越強，控制效果越好；但T太小會增加計算負擔(dān)。反之T太大會帶來較大的誤差，降低動態(tài)性能，甚至不穩(wěn)定。以下是經(jīng)驗選取規(guī)則：(1)對隨動系統(tǒng)采樣頻率應(yīng)選ωs=10ωc，或采樣周期T=π/5ωc；其中，ωc為開環(huán)系統(tǒng)的截止頻率。(2)對給定的時域指標，通常選采樣周期T=ts/40或tr/10。(3)對面向結(jié)構(gòu)圖的仿真系統(tǒng)，一般可選采樣周期T=Tmin/10；其中，Tmin指所有環(huán)節(jié)中最小的那個時間常數(shù)。工業(yè)過程控制參考表7-1選擇采樣周期T。

在隨動系統(tǒng)中一般認為開環(huán)系統(tǒng)的截止頻率ωc與閉環(huán)系統(tǒng)的諧振頻率ωr相當接近，近似有ωc=ωr，工程實踐表明隨動系統(tǒng)的采樣角頻率可近似取為(7-13)由于T=2π/ωs

，所以采樣周期可按下式選?。?7-14)從時域性能指標來看，采樣周期T可通過單位接躍響應(yīng)的上升時間tr或調(diào)節(jié)時間ts按下列經(jīng)驗公式選?。?/p>

(7-15)

采樣周期T（秒）

1

5

5

20

20

控制過程

流量

壓力

液位

溫度

成分表7-1工業(yè)過程T的選擇

或者(7-16)

工程實踐表明，根據(jù)表7-1給出的參考數(shù)據(jù)選擇采樣周期T，可以取得滿意的控制效果。

5.信號保持若采樣頻率滿足采樣定理，把采樣后的信號通過理想低通濾波器濾去高頻分量，濾波器的輸出就是原來的連續(xù)信號。但具有如圖7-15所示理想濾波特性的濾波器是不存在的。工程上只能采樣具有低通濾波功能的保持器來代替。

(1)保持器的數(shù)學(xué)描述在采樣時刻上有

當0<Δt<T時，連續(xù)信號究竟有多大，通常采用如下多項式外推公式描述采樣器：(7-17)保持器具有“外推”作用，通常把按常數(shù)、線性函數(shù)和拋物線函數(shù)外推的保持器分別稱為零階(m=0)、一階(m=1)和二階保持器(m=2)。一般常用的是零階保持器。

(2)

零階保持器零階保持器是按照常值外推的一種保持器，它把采樣時刻kT的采樣值恒定不變地保持到下一時刻(n+1)T到來時。如圖7-17所示，采樣信號e*(t)變成等價的階梯信號eh(t)。

eh(t)

Gh（s）e*(t)e(t)K圖7-17零階保持器采樣開關(guān)

保持器e(t)t(a)

(b)

如果給零階保持器ZOH輸入一單位脈沖函數(shù)δ(t)，則其脈沖響應(yīng)函數(shù)gh(t)是幅值為1持續(xù)時間為T的矩形脈沖，可分解為兩個單位階躍函數(shù)的和，即上式兩邊取拉氏變換，得到零階保持器的傳遞函數(shù)為

(7-19)令s=jω，得頻率特性為

(7-20)用ωs表示，上式為(7-21)零階保持器的幅頻特性和相頻特性如圖7-18所示。由此看出，當ω=nωs=n(2π/T)時

又所以圖7-18零階保持器的頻率特性

(3)一階保持器

一階保持器以兩個采樣時刻的值為基礎(chǔ)實行外推，它的外推輸出式中Δt為nT～（n＋1）T之間的時間變量。如圖7-19所示，其外推公式為：

(7-22)0t2t3t…..圖7-19應(yīng)用一階保持器恢復(fù)信號采樣類似是方法，可得一階保持器的傳遞函數(shù)：(7-23)

一階保持器的頻率特性為：

(7-24)

下圖是按上式畫得的頻率特性曲線。虛線為零階保持器的頻率特性。(7-26)

與零階保持器相比，一階保持器復(fù)現(xiàn)原信號的準確度較高。然而，一階保持器允許通過的信號高頻分量較多，易造成紋波；一階保持器的相角滯后較大，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性更加不利，因此很少采用一階保持器，更不采用高階保持器，而普遍采用零階保持器。

7.3Z變換線性離散系統(tǒng)的性能可以用z變換的方法來獲得，z變換又稱為采樣拉氏變換，是研究線性離散系統(tǒng)的重要數(shù)學(xué)工具。

1.Z變換定義設(shè)e(t)是可拉氏變換的，則對于采樣信號

e*(t)的拉氏變換為(7-26)

上式為s的超越函數(shù)，為了便于應(yīng)用，令z=eTs

(7-27)則e*(t)的z變換定義為(7-28)記作(7-29)上式后一記號是為了書寫方便，仍指采樣信號e*(t)的z變換。應(yīng)當指出，z變換僅是采樣拉氏變換中取z=esT的變量置換。

2.Z變換方法

求離散函數(shù)的z變換有多種方法，下面只介紹兩種常用方法。

(1).級數(shù)求和法級數(shù)求和法是直接根據(jù)z變換的定義，將式(7-28)寫成展開形式：(7-30)

例7-6，求單位階躍函數(shù)1(t)的z變換

解：由于e(t)=1(t)，即則有

上式條件|z?1|<1，意味著σ=Re(s)>0。這也是單位階躍函數(shù)可拉氏變換的條件。

例7-7，試求單位脈沖序列的z變換

解：由拉氏變換知，

因此，

注意，上兩例中相同的z變換對應(yīng)于相同的采樣函數(shù)e*(t)，但是不一定對應(yīng)于相同的連續(xù)函數(shù)e(t)。

例，已知e(t)=e-at，求z變換E(z)。解：

(2).部分分式法

先求已知連續(xù)時間函數(shù)e(t)的拉氏變換E(s)，然后將有理分式函數(shù)E(s)展成部分分式之和的形式，使每一部分對應(yīng)一個簡單的時間函數(shù)，其相應(yīng)的z變換是已知，于是可求出E(z)。

例7-8，已知連續(xù)函數(shù)拉氏變換E(s)=a/s(s+a)，求E(z)。解：將E(s)展成部分分式：

取拉式反變換，可得

則得

例7-9，已知e(t)=sinωt，試求其E(z)。解：對e(t)取拉氏變換，得

上式展為部分分式

則z變換為

化簡后得

常用時間函數(shù)的z變換如表7-2所示。

3.Z變換性質(zhì)z變換有一些基本定理，其內(nèi)容在許多方面與拉式變換的基本定理有相似之處。

(1)線性定理

若E1(z)=Z[e1(t)]，E2(z)=Z[e2(t)]，a為常數(shù)，則

(2)實數(shù)位移定理

如果E(z)=Z[e(t)]，則有(7-33)以及(7-34)

(3)復(fù)數(shù)位移定理如果E(z)=Z[e(t)]，則有

例7-11，計算e(t)=te?at的z變換。解：由表7-2知

根據(jù)復(fù)數(shù)位移定理，有

(4)

終值定理

如果E(z)=Z[e(t)]，函數(shù)序列e(nT)為有限值，且極限存在，則函數(shù)序列的終值為(7-36)

例7-12，設(shè)求e(nT)的終值。解：由終值定理得，

(5)卷積定理設(shè)x(nT),y(nT)為兩個采樣函數(shù)，其離散卷積定義為(7-38)若必有(7-39)

4.z反變換所謂z反變換就是已知z變換表達式E(z)，求相應(yīng)離散序列e(nT)或者e*(t)的過程，記為

常用的z反變換法有如下三種。(1)

部分分式法(或查表法)

基本思想是將E(z)/z展開成部分分式，然后查Z變換表。設(shè)已知E(z)無重極點，先求出E(z)的極點，再將E(z)/z展開成如下部分分式之和：

其中Ai為E(z)/Z在極點zi處的留數(shù)，再寫出E(z)，然后逐項查z變換表，得到

最后寫出采樣函數(shù)

(7-41)

例7-13，已知E(z)，求其z反變換。

解：因為

所以

差z變換表，有再由式(7-41)，得（2）冪級數(shù)法（或長除法）E(z)通常可以表示為z?1的兩個多項式之比：(7-42)

對上式作綜合除法，得到z?1的冪級數(shù)展開式(7-43)

如果無窮冪級數(shù)是收斂的，則上式中的系數(shù)就是e*(t)的脈沖強度e(nT)，因此可直接寫出e*(t)的脈沖序列表達式(7-44)在實際應(yīng)用中，常常只需要計算有限的幾項就夠了。

例7-14，......（3）反演積分法(留數(shù)法)當E(z)的z反變換無法用上述兩種方法求出時，只能采用留數(shù)法，然留數(shù)法對任何的E(z)也是適應(yīng)的。E(z)表示為(7-45)上式中級數(shù)的系數(shù)e(nT)的求取，要用到柯西留數(shù)定理。用zn?1乘以式(7-45)兩端，得到(7-46)設(shè)為z平面上包圍E(z)zn?1全部極點的封閉曲線，且設(shè)沿反時針對式(7-46)兩端積分，可得

(7-47)

由復(fù)變函數(shù)論可知故式(7-47)的右端中有一項為：

其余各項均為零，由此得(7-48)

根據(jù)留數(shù)定理，上式為(7-49)

式中Res[?]表示函數(shù)的留數(shù)。e(nT)等于E(z)zn?1在其所有極點上的留數(shù)之和。若zi為E(z)zn?1的單極點，則(7-50)若E(z)zn?1有m重極點zi，則(7-51)7.4

離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

為了研究離散系統(tǒng)的性能，必須首先建立數(shù)學(xué)模型，線性離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型有差分方程，脈沖傳遞函數(shù)和離散狀態(tài)空間表達式，這里討論差分方程和脈沖傳遞函數(shù)。

1.離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)定義

將輸入序列r(n)，變換為輸出序列c(n)的一種變換關(guān)系，稱為離散系統(tǒng)，記作(7-53)如果式(7-53)所示的變換關(guān)系是線性的，則稱為線性離散系統(tǒng)；如果這種關(guān)系是非線性的，則稱非線性離散系統(tǒng)。

(1)線性離散系統(tǒng)如果離散系統(tǒng)(7-53)滿足疊加原理，則稱線性離散系統(tǒng)。

(2)線性定常離散系統(tǒng)輸入與輸出關(guān)系不隨時間改變的線性離散系統(tǒng)為線性定常離散系統(tǒng)。

2.線性常系數(shù)差分方程及其解法

連續(xù)系統(tǒng)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)模型為微分方程，而離散系統(tǒng)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)模型為差分方程。對于線性定常離散系統(tǒng)，k時刻的輸出c(k)，不僅與k時刻的輸入r(k)有關(guān)，還與k時刻以前的輸入信號r(k-1)、r(k-2)、...有關(guān)，同時還與k時刻前面的輸出信號c(k-1)、c(k-2)、...有關(guān)，這種關(guān)系可用n階后向差分方程來描述：

亦可表示為：(7-54)線性定常離散系統(tǒng)也可用n階前向差分方程來描述：

(7-55)求解線性定常差分方程常用的有迭代法和Z變換法。

(1)迭代法

若已知差分方程(7-54)或(7-55)，并且給定輸出序列的初值，可利用遞推關(guān)系，在計算機上逐步計算出解序列。

例7-16，已知差分方程c(k)=r(k)+5c(k-1)-6c(k-2)，輸入序列r(k)=1,k=2,3,...，初始條件c(0)=0,c(1)=1,試用迭代法求解輸出序列c(k)。解：根據(jù)初始條件及遞推關(guān)系，得

(2)

Z變換法對差分方程兩端取z變換，并利用實數(shù)位移定理，得到z為變量的代數(shù)方程，然后對代數(shù)方程輸出解C(z)取z反變換，求出系統(tǒng)的輸出系列c(k)。

例7-17，已知差分方程c*(t+2T)+3c*(t+T)+2c*(t)=0;或簡寫為c(k+2)+3c(k+1)+2c(k)=0。初始條件c(0)=0,c(1)=1，求解差分方程。解：對方程進行z變換，根據(jù)實數(shù)位移定理，得

代入初值，得

z反變換求出

3.

脈沖傳遞函數(shù)

(1)

脈沖傳遞函數(shù)定義對于線性離散系統(tǒng)，脈沖傳遞函數(shù)的定義與線性連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的定義類似。離散開環(huán)控制系統(tǒng)如圖7-17所示。它的輸入r(t)經(jīng)采樣開關(guān)后，變?yōu)殡x散時域r*(t)，它的輸出一般為連續(xù)信號c(t)。假設(shè)在輸出端有一虛擬采樣開關(guān)，其采樣周期與輸入開關(guān)采樣周期同步，得到離散輸出信號c*(t)。

G(s)r*(t)

r(t)

c*(t)

c(t)

圖7-22開環(huán)離散控制系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)定義為在零初始條件下，輸出c*(t)的z變換與輸入r*(t)的z變換之比。脈沖傳遞函數(shù)用G(z)表示，則(7-56)

所謂零初值是指t<0時，r(-T),r(-2T),...,c(-T),c(-2T),...均為零。這時離散時間輸出為:

然而大多數(shù)實際系統(tǒng)輸出c(t)往往是連續(xù)信號，而不是采樣信號c*(t)，c*(t)只在采樣時刻與連續(xù)輸出信號c(t)一樣。

(2)

脈沖傳遞函數(shù)意義如果輸入為單位序列r(nT)=δ(nT)，則系統(tǒng)輸出稱為單位脈沖響應(yīng)序列，記作c(nT)=K(nT)。在離散系統(tǒng)中，K(nT)和K[(n?k)T]稱為“加權(quán)序列”。系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)G(z)：(7-58)如果描述線性定常離散系統(tǒng)的差分方程為

在零初值條件下，對上式進行z變換，并應(yīng)用z變換的實數(shù)位移定理，得

將輸出信號離散化，得到

(7-59)這表明了脈沖傳遞函數(shù)與差分方程的關(guān)系。

(3)脈沖傳遞函數(shù)求法

記作(7-61)例7-19,已知開環(huán)離散控制系統(tǒng)如圖7-23，求脈沖傳遞函數(shù)。

解：將G(s)展成部分分式

查z變換表，得r*(t)

r(t)

c*(t)c(t)

圖7-23開環(huán)離散控制系統(tǒng)

4.開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)當開環(huán)離散系統(tǒng)由幾個環(huán)節(jié)串聯(lián)組成時，由于采樣開關(guān)的數(shù)目和位置不同，求出的脈沖傳遞函數(shù)也不同。

(1)采樣拉氏變換的兩個重要性質(zhì)

1）采樣函數(shù)的拉氏變換具有周期性；

2）若采樣函數(shù)的拉氏變換E*(s)與連續(xù)函數(shù)的拉氏變換G(s)相乘后再離散化，則E*(s)可從離散符號中提出。

(2)有串聯(lián)環(huán)節(jié)時的開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)

1）串聯(lián)環(huán)節(jié)間有采樣開關(guān)，如圖7-24(a)所示。根據(jù)定義，可得

r*(t)

r(t)

c*(t)c(t)

圖7-24(a)串連環(huán)節(jié)間有采樣開關(guān)G1(s)G2(s)d*(t)

因此，開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)(7-65)

2）

串連環(huán)節(jié)間無采樣開關(guān)，如圖7-24(b)所示。系統(tǒng)連續(xù)信號的拉氏變換為C(s)=G1(s)G2(s)R*(s)對C(s)離散化，有(7-66)對上式取z變換，得C(z)=G1G2(z)R(z)于是開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為(7-67)

r*(t)

r(t)

c*(t)c(t)

圖7-24(b)串連環(huán)節(jié)間無采樣開關(guān)

G1(s)G2(s)顯然，式(7-65)與式(7-67)是不等的，即

從這種意義上說，z變換無串聯(lián)性。舉例說明。

例7-20，已知G1(s)=1/s，G2(s)=a/(s+a)，r(t)=1(t)，根據(jù)式(7-65)和式(7-67)，求取脈沖傳遞函數(shù)G(z)和輸出C(z)。解：

對于輸入r(t)=1(t)，

由式(7-65)求出：

由式(7-67)求出：

顯然串聯(lián)環(huán)節(jié)間有無采樣開關(guān)時脈沖傳遞函數(shù)和輸出不相同。

(3)

有零階保持器時的開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)數(shù)字控制系統(tǒng)中的被控過程前通常應(yīng)有零階保持器，如圖7-25(a)所示。為了便于求脈沖傳遞函數(shù)，將圖7-25(a)變換為圖7-25(b)所示等效開環(huán)系統(tǒng)。脈沖傳遞函數(shù)計算過程為：(7-68)

對上式進行z變換，可得

于是，脈沖傳遞函數(shù)為(7-69)Gp(s)

r*(t)

r(t)c*(t)c(t)

圖7-25(a)帶零階保持器開環(huán)離散系統(tǒng)

5.閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)

由于采樣器可以有多種配置，閉環(huán)離散系統(tǒng)沒有惟一是結(jié)構(gòu)形式。圖7-26是一種比較常見的誤差采樣閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。圖中虛線所示采樣開關(guān)是為了便于分析而虛設(shè)的。由圖可見，輸出信號和誤差信號的拉氏變換為

誤差采樣信號e*(t)的拉氏變換為

整理得(7-70)由于(7-71)-對式(7-70)及(7-71)取z變換，得(7-72)(7-73)

由式(7-72)定義誤差脈沖傳遞函數(shù)(7-74)

由式(7-73)定義脈沖傳遞函數(shù)(7-75)

與連續(xù)系統(tǒng)相類似，閉環(huán)離散系統(tǒng)的特征方程為(7-76)式中，GH(z)為開環(huán)離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)。

例7-22,

設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)如圖7-22所示，試證其閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

證明：由圖得E*1(s)=G*1(s)E*(s)C(s)=G2(s)E*1(s)=G2(s)G*1(s)E*(s)由于E(s)=R(s)?H(s)C(s)=R(s)?H(s)G2(s)G*1(s)E*(s)對上式離散化，有E*(s)=R*(s)?H(s)G*2(s)G*1(s)E*(s)即

所以輸出信號的采樣拉氏變換為

對上式進行z變換，證得

例7-23,設(shè)閉環(huán)離散系統(tǒng)如圖7-28所示，試證其輸出采樣信號的z變換函數(shù)為

證明：由圖得C(s)=G(s)E(s)E(s)=R(s)?H(s)C*(s)所以C(s)=G(s)R(s)?G(s)H(s)C*(s)對上式離散化，得

解得

對上式取z變換，證得

從上式求不出閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，但可以求出閉環(huán)系統(tǒng)輸出采樣信號c*(t)。對于采樣器在閉環(huán)系統(tǒng)中具有各種配置的閉環(huán)離散系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖，及其輸出采樣信號的z變換函數(shù)，可參見表7-3。

6.z變換的局限性

用z變換法分析線性定常離散系統(tǒng)時，應(yīng)注意幾個問題：

1）z變換的推導(dǎo)假定，只有當采樣持續(xù)時間與系統(tǒng)的最大時間常數(shù)相比是很小的時候才能成立。

2）輸出z變換函數(shù)只確定了c(t)在采樣瞬時上的數(shù)值，不能反映c(t)在采樣間隔中的信息，因此C(z)的z反變換c(nT)職能代表c(t)在采樣瞬時t=nT時的數(shù)值。

3）用z變換法分析離散系統(tǒng)時，系統(tǒng)連續(xù)部分傳遞函數(shù)Gp(s)的極點數(shù)至少要比零點數(shù)多兩個，即G(s)的脈沖過渡函數(shù)K(t)在t=0時沒有跳躍，或者滿足(7-77)否則，用z變換法得到的c*(t)與實際的c(t)差別較大，甚至完全不符合。-7.5

離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差本章主要討論如何在z域和w域中分析離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性，同時給出計算離散系統(tǒng)在采樣瞬時穩(wěn)態(tài)誤差的方法。首先研究s平面與z平面的映射關(guān)系。

1.s域到z域的關(guān)系

在z變換定義中，z=esT給出了s域到z域的關(guān)系。s域中的任一點可表示為s=σ+jω，映射到z域則為

于是，s域到z域的基本映射關(guān)系式為(7-78)令σ=0，相當于取s平面的虛軸，但卻能夠ω從?∞變到∞時，映射到z平面以原點為圓心的單位原。左半s平面對應(yīng)z平面的單位圓內(nèi)，右半s平面對應(yīng)單位圓外。

(1)等σ線映射s平面上的等σ垂線，映射到z平面上的軌跡，是以原點為圓心，以|z|=eσT為半徑的圓，如圖7-32所示。所以左半s平面上的等σ線映射為z平面上的同心圓圓內(nèi)；右半s平面上的等σ線映射為z平面上的同心圓圓外。

(2)等ω

線映射

由式(7-78)知，s平面上的等ω水平線，映射到z平面上的軌跡是一簇從原點出發(fā)的射線，其相角z=ωT，如圖7-33所示。

(3)

等線映射s平面上的等線可用下式描述其中，為線與虛軸之間的夾角，于是則(7-79)左半s平面等線映射為z平面單位圓內(nèi)一簇收斂對數(shù)螺旋線。起點為正實軸的1處，終點為原點。

2.離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件

定義：若離散系統(tǒng)在有界序列作用下，其輸出序列也是有界的，則稱該離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的。把描述連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法推廣到離散系統(tǒng)，對于線性定常離散系統(tǒng)，時域中的數(shù)學(xué)模型是線性定常微分方程，z域中的數(shù)學(xué)模型是脈沖傳遞函數(shù)，因此線性定常離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件，可從以下兩方面進行研究。(1)時域中離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件

設(shè)線性定常差分方程為：

推出差分方程的特征方程如下：(7-80)當特征方程的根|αi|<1,時，i=1,2,...,n，必有

故系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：

當且僅當差分方程所有特征根的模|αi|<1,時，i=1,2,...,n，則相應(yīng)的線性定常離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

(2)z域中離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件設(shè)典型離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7-26所示，其特征方程

設(shè)特征方程的根或閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點，為各不相同的z1,z2,...,zn。由s域到z域的映射關(guān)系知：

當σ<0，即左半s平面對應(yīng)z平面的單位圓內(nèi)部區(qū)域，即s平面的穩(wěn)定域映射到z平面單位圓內(nèi)的區(qū)域為穩(wěn)定域；當σ>0，即右半s平面對應(yīng)z平面的單位圓外部區(qū)域，即s平面不穩(wěn)定域映射到z平面單位圓外的部分為不穩(wěn)定域；s平面上的虛軸，映射為z平面上單位圓周，對應(yīng)臨界穩(wěn)定情況。因此z域中線性定常離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：Re

Re

Im

Im

圖7-31s平面到Z平面映射

當且僅當離散特征方程的全部特征根均分布在z平面上的單位圓內(nèi)，或者所有特征根的模小于1，相應(yīng)的線性定常離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

上式穩(wěn)定條件對于有重根的情況，也是穩(wěn)定是。此外在現(xiàn)實系統(tǒng)中，臨界穩(wěn)定系統(tǒng)也屬于不穩(wěn)定范疇。[S]

[Z]

例7-25,

設(shè)一離散系統(tǒng)的差分方程描述：

試分析系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件。解：系統(tǒng)齊次方程為可求出通解：由于c(0)≠0，因此當|a|<1時才有故系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是|a|<1。

例7-26,設(shè)離散系統(tǒng)如圖7-26所示，其中G(s)=10/s(s+1)，H(s)=1，T=1，試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解：求出開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)特征方程由解出因為|z2|>1，所以該離散系統(tǒng)不穩(wěn)定。

可以看出二階連續(xù)時間系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，而引入采樣器后，控制系統(tǒng)有可能變得不穩(wěn)定。(穩(wěn)定性降低)

3.離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)

在離散系統(tǒng)中需要判斷系統(tǒng)特征方程根是否都在z平面上的單位圓內(nèi)。為了能應(yīng)用連續(xù)系統(tǒng)的勞思判據(jù)，必須引入另一種z域到w域的線性變換，使z平面上的單位圓內(nèi)區(qū)域，映射成w平面上的左半平面，這種坐標新的變換稱為雙線性變換，或稱為w變換。令(7-81)

或(7-82)其中z和w均為復(fù)變量，為將上式代入式(7-82)，有

顯然

由于上式分母為正，因此u=0等價為x2+y2=1，表明

w平面上的虛軸對應(yīng)于z平面上的單位圓；

u<0等價為x2+y2<1，

表明左半w平面對應(yīng)于z平面上單位圓內(nèi)的部分，也即穩(wěn)定域;

u>0等價為x2+y2>1,

表明右半w平面對應(yīng)于z平面上單位圓外的部分，即不穩(wěn)定域。這種對應(yīng)關(guān)系如圖7-36所示。由w變換可知，式(7-81)可將線性定常離散系統(tǒng)在z平面上的特征方程1+GH(z)=0，轉(zhuǎn)換為在w平面上的特征方程1+GH(w)=0，與在s平面上應(yīng)用勞思穩(wěn)定判據(jù)情況一樣?？芍苯討?yīng)用勞思表判斷離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性，稱為w域中的勞思穩(wěn)定判據(jù)。

例7-27，設(shè)閉環(huán)離散系統(tǒng)如圖7-37所示，其中采樣周期T=0.1s，試求系統(tǒng)穩(wěn)定時K的臨界值。解：求出G(s)的z變換Re

Re

Im

Im

圖7-36z平面與w平面的對應(yīng)關(guān)系[Z]

[W]

閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

系統(tǒng)的特征方程得到

令z=(w+1)/(w-1)代入上式，整理得到列出勞思表

由勞思表第一列系數(shù)可看出，使系統(tǒng)穩(wěn)定，故系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界增益Kc=4.33。

4.采樣周期與開環(huán)增益對穩(wěn)定性的影響

影響離散系統(tǒng)穩(wěn)定性的因素，除具有與連續(xù)系統(tǒng)相同的因素外，還有采樣周期T的數(shù)值。先看具體的例子。

例7-28，設(shè)有零階保持器的離散系統(tǒng)如圖7-38所示，試求1)當采樣周期T為1s和0.5s時，系統(tǒng)的臨界開環(huán)增益；2)當r(t)=1(t)，K=1，T分別為0.1s，1s，2s，4s時，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)c(kT)。解：系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

閉環(huán)特征方程為當T=1s時，有

令z=(w+1)/(w?1)，得

根據(jù)勞思判據(jù)易得Kc=2.4。當T=0.5s時，w域特征方程

根據(jù)勞思判據(jù)得Kc=4.37。由于閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)

且有R(z)=z/(z?1)，可求出C(z)令K=1，T分別為0.1s,1s,2s,4s，可由C(z)的反變換求出c(kT)，分別畫于圖7-39之中?？芍蓸又芷谠介L，離散系統(tǒng)穩(wěn)定性變差，甚至不穩(wěn)定。

5.離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差需要針對不同形式的離散系統(tǒng)老求取，這里介紹利用z變換的終值定理方法，求取誤差采樣的離散系統(tǒng)在采樣瞬時的穩(wěn)態(tài)誤差。

設(shè)單位反饋誤差采樣系統(tǒng)如圖7-40所示，其中G(s)為連續(xù)部分的傳遞函數(shù)，e*(t)為誤差采樣信號，其z變換函數(shù)

其中

為系統(tǒng)誤差脈沖傳遞函數(shù)。G（s）

r(t)

c(t)e*(t)

?若離散系統(tǒng)穩(wěn)定，則可用z變換的終值定理求出采樣瞬時的穩(wěn)態(tài)誤差：(7-83)上式表明線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與輸入序列有關(guān)，也與采樣周期有關(guān)。

例7-29，設(shè)離散系統(tǒng)如圖7-40，其中G(s)=1/s(0.1s+1)，T=0.1s，輸入連續(xù)信號r(t)=1(t)和t，試求相應(yīng)穩(wěn)態(tài)誤差。解：G(s)的z變換為

誤差脈沖傳遞函數(shù)由于閉環(huán)極點z1=0.368+j0.482，z2=0.368-j0.482，全部位于z平面上的單位圓內(nèi)，因此可用終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差。當r(t)=1(t)，r(nT)=1(nT)，R(z)=z/(z?1)，求得

當r(t)=t，r(nT)=nT，R(z)=Tz/(z?1)2，求得

當G(s)比較復(fù)雜時，e(∞)的計算量較大，因此希望把連續(xù)系統(tǒng)中系統(tǒng)的型別及靜態(tài)誤差系數(shù)的概念推廣到線性定常離散系統(tǒng)，以簡化穩(wěn)態(tài)誤差的計算過程。

6.離散系統(tǒng)的型別與靜態(tài)誤差系數(shù)

與連續(xù)系統(tǒng)類似(s=0)，根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G(z)在z=1的極點個數(shù)將系統(tǒng)分為0型、1型、2型……系統(tǒng)。

(1)單位階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差當r(t)=1(t)時，其z變換函數(shù)由式(7-83)知，穩(wěn)態(tài)誤差為(7-84)

式中Kp為靜態(tài)位置誤差系數(shù)。(7-85)

(2)

單位斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差當r(t)=t時，其z變換函數(shù)為

穩(wěn)態(tài)誤差為

(7-86)式中Kv為靜態(tài)速度誤差系數(shù)(7-87)

單位斜坡信號作用下無穩(wěn)態(tài)誤差的條件是開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G(z)中至少有兩個z=1的極點，即Ⅱ型以上系統(tǒng)。

(3)單位加速度輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差當r(t)=t2/2，其z變換函數(shù)

因而穩(wěn)態(tài)誤差為(7-88)

式中Ka為靜態(tài)加速度誤差系數(shù)。(7-89)

單位加速度輸入作用下無穩(wěn)態(tài)誤差的條件是開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G(z)中至少要有三個z=1的極點，即Ⅲ型及Ⅲ型以上系統(tǒng)。不同型別單位反饋系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，見表7-4。7.6

離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析本節(jié)介紹在時域中如何求取離散系統(tǒng)的時間響應(yīng)，指出采樣器和保持器對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響，以及在z平面上分析離散系統(tǒng)閉環(huán)零極點與其動態(tài)性能的關(guān)系。

1.離散系統(tǒng)的時間響應(yīng)

應(yīng)用z變換法分析系統(tǒng)動態(tài)性能時，通常假定外作用為單位階躍函數(shù)1(t)。如果求出離散系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)(z)=C(z)/R(z)，其中R(z)=z/(z?1)，則系統(tǒng)輸出的z變換函數(shù)

將上式展成冪級數(shù)，通過z反變換可以求出輸出信號脈沖序列c*(t)。離散系統(tǒng)時域指標的定義與連續(xù)吸引相同，故根據(jù)階躍響應(yīng)曲線c*(t)可以分析系統(tǒng)的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能。

例7-30，設(shè)有零階保持器的離散系統(tǒng)如圖7-38所示，其中r(t)=1(t)，T=1s，K=1，試分析系統(tǒng)的動態(tài)性能。解：開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G(z)

差z變換表，得出

閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

將R(z)代入上式，求出C(z)

通過綜合除法，將C(z)展成無窮冪級數(shù)：

由上式求得系統(tǒng)在單位階躍作用下的輸出序列c(nT)。根據(jù)c(nT)數(shù)值可以繪出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)c*(t)，如圖7-41所示。由圖可求得給定離散系統(tǒng)近似性能指標：上升時間tr=2s，峰值時間tp=4s，調(diào)節(jié)時間ts=12s，超調(diào)量40%。

2.采樣器和保持器對動態(tài)性能的影響

前面曾指出，采樣器和保持器不影響開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點，僅影響開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的零點。但對閉環(huán)系統(tǒng)而言，必然引起閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)極點的改變，因此采樣器和保持器會影響閉環(huán)離散系統(tǒng)的動態(tài)性能。舉例說明：在例7-30中，沒有采樣器和保持器則成為連續(xù)系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)

系統(tǒng)的阻尼比=0.5，自然頻率ωn=1，單位階躍響應(yīng)：

相應(yīng)的時間響應(yīng)曲線如圖7-42中曲線1所示。在例7-30中若只有采樣器，而沒有保持器時系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

相應(yīng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

代入R(z)=z/(z?1)，得系統(tǒng)輸出z變換

可求出c(t)在采樣時刻上的值c(nT)，并繪出c*(t)曲線，如圖7-42中曲線2所示。在例7-30中，既有采樣器又有保持器