高中數(shù)學(xué)完整講義-排列與組合5.排列組合問題的常見模型1

1．基本計數(shù)原理⑴加法原理

m

m

m

N

m

m

m

⑴乘法原理

m

m

m

N

m

m

m

⑴加法原理與乘法原理的綜合運用算完成這件事的方法數(shù)時，使用分步計數(shù)原理．分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理是推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)公式的理論基礎(chǔ)，也是求解排列、組合問題的基本思想方法，這兩個原理十分重要必須認(rèn)真學(xué)好，并正確地靈活加以應(yīng)用．2．

排列與組合⑴排列：一般地，從

個不同的元素中任取m(m≤)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出m

個不同的元素中取出m(m≤)個不同元素中取出m

個元素的排列數(shù)，用符號Am

表示．排列數(shù)公式：Am

nn

n

nm

，m

，并且mn． 全排列：一般地，個不同元素全部取出的一個排列，叫做個不同元素的一個全排列．的階乘：正整數(shù)由到的連乘積，叫作的階乘，用n!表示．規(guī)定：

．思維的發(fā)掘 能力的飛躍 ⑴個不同元素中，任意取出m

(m≤)個元素并成一組，叫做從個元素中任取m

個元素的一個組合．組合數(shù)：從個不同元素中，任意取出

m

(m≤)個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從

個不同元素中，任意取出m

個元素的組合數(shù)，用符號m

表示．組合數(shù)公式：組合數(shù)公式：m

nn

n

nm

m!

m!(nm)!

n!

，m,

，并且mn．組合數(shù)的兩個性質(zhì)：性質(zhì)1：m

m；性質(zhì)

2：m

m

m．（規(guī)定

） ⑴排列組合綜合問題列還是組合，同時要掌握一些常見類型的排列組合問題的解法：．特殊元素、特殊位置優(yōu)先法元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置；層次清楚，不重不漏．．排除法，從總體中排除不符合條件的方法數(shù)，這是一種間接解題的方法．“捆成一個”然后再給那“一捆元素”內(nèi)部排列．．插空法：某些元素不相鄰的排列，可以先排其它元素，再讓不相鄰的元素插空．m(m≤)——把個元素排成一排，從n

個空中選m個空，各插一個隔板，有

m．．分組、分配法：分組問題（分成幾堆，無序）．有等分、不等分、部分等分之別．一般地平均分成堆（組），必須除以！，如果有m

堆（組）元素個數(shù)相等，必須除以m

?。e位法：編號為

至的個小球放入編號為

到的個盒子里，每個盒子放一個小球，要求小球與盒子的編號都不同，這種排列稱為錯位排列，特別當(dāng)n，，，

時的錯位數(shù)各為，，，．關(guān)于、、

個元素的錯位排列的計算，可以用剔除法轉(zhuǎn)化為

個、

個、

個元素的錯位排列的問題．1．排列與組合應(yīng)用題，主要考查有附加條件的應(yīng)用問題，解決此類問題通常有三種途徑：⑴元素分析法：以元素為主，應(yīng)先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；⑴位置分析法：以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；⑴間接法：先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)或組合數(shù)． 思維的發(fā)掘 能力的飛躍還是分步計數(shù)原理；然后分析題目條件，避免“選取”時重復(fù)和遺漏；最后列出式子計算作答．2．具體的解題策略有：⑴對特殊元素進行優(yōu)先安排；⑴理解題意后進行合理和準(zhǔn)確分類，分類后要驗證是否不重不漏；⑴對于抽出部分元素進行排列的問題一般是先選后排，以防出現(xiàn)重復(fù)；⑴對于元素相鄰的條件，采取捆綁法；對于元素間隔排列的問題，采取插空法或隔板法；⑴順序固定的問題用除法處理；分幾排的問題可以轉(zhuǎn)化為直排問題處理；⑴對于正面考慮太復(fù)雜的問題，可以考慮反面．⑴對于一些排列數(shù)與組合數(shù)的問題，需要構(gòu)造模型．排隊問題

⑴⑴⑴⑴思維的發(fā)掘 能力的飛躍

⑴共有多少種不同的排法？⑴若甲必須站在排頭，有多少種不同的排法？⑶若甲不能站排頭，也不能站排尾，問有多少種不同的排法？

五個字母排成一排，若的位置關(guān)系必須按

A

居中、C

在后的原則，

思維的發(fā)掘 能力的飛躍

記者要為名志愿者和他們幫助的位老人拍照，要求排成一排，位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有（ ）A．

種 B．

種 C．

種 D．種

名同學(xué)合影，站成前排人后排人，現(xiàn)攝影師要從后排人中抽人調(diào)整到前排，若其他人的相對順序不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)是（ ）A．A

B．A

C．A

D．A

，

，

思維的發(fā)掘 能力的飛躍

位男生和

位女生共

位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是（ ）A． B． C． D．

在

，

，，

，

式共有（ ）種．A． B． C． D． 思維的發(fā)掘 能力的飛躍

從集合

與

字均不能重復(fù)）．每排中字母

和數(shù)字

至多只能出現(xiàn)一個的不同排法種數(shù)是_________P

從集合

{，

，

，

，}與

{0，P

數(shù)字均不能重復(fù)）．每排中字母

，

和數(shù)字

至多只能出現(xiàn)一個的不同排法種數(shù)是_________個人坐在一排個座位上，問⑴

空位不相鄰的坐法有多少種?⑵

個空位只有

個相鄰的坐法有多少種?⑶

個空位至多有個相鄰的坐法有多少種?

位男生和

位女生共

位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是（ ）A． B． C． D．思維的發(fā)掘 能力的飛躍 12

4

人后排

8

8

人中抽

2

人調(diào)整到前排，其他人的相對順序不變，則不同調(diào)整的方法的總數(shù)有（ ）A．A

B．A

C．A

D．A

兩部不同的長篇小說各由第一、二、三、四卷組成，每卷

本，共本．將它們?nèi)我獾嘏懦梢慌?，左邊本恰好都屬于同一部小說的概率是_______．

年

月中旬，我國南方一些地區(qū)遭遇歷史罕見的雪災(zāi)，電煤庫存吃緊．為了支援南方地區(qū)抗災(zāi)救災(zāi)，國家統(tǒng)一部署，加緊從北方采煤區(qū)調(diào)運電煤．某鐵路貨運站對列電煤貨運列車進行編組調(diào)度，決定將這列列車編成兩組，每組

列，且甲與乙兩列列車不在

）A．

種 B．種 C．種 D．種數(shù)字問題給定數(shù)字、

、、

、、，每個數(shù)字最多用一次，⑴可能組成多少個四位數(shù)？⑴可能組成多少個四位奇數(shù)？⑴可能組成多少個四位偶數(shù)？⑴可能組成多少個自然數(shù)？

思維的發(fā)掘 能力的飛躍在

，，，，

中任取

個數(shù)字，在，，，，

中任取兩個數(shù)字，可組成多少個不同的五位偶數(shù)．

，

，，

，

L

，，

L

用數(shù)字

，

，

，

，

，

，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中個位、十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的四位數(shù)共有______

，

，，

思維的發(fā)掘 能力的飛躍

，

，，

，

，

，

，

，

思維的發(fā)掘 能力的飛躍求無重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)中，能被

整除的數(shù)有______個．用數(shù)字

，

，

，

，

，

，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中個位、十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的四位數(shù)共有

從

，，

個數(shù)為（ ）A． B． C． D．

從

，，

個數(shù)為（ ）A． B． C． D．從

到的九個數(shù)字中取三個偶數(shù)四個奇數(shù)，試問：⑴能組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)？其中任意兩偶數(shù)都不相鄰的七位數(shù)有幾個？⑴上述七位數(shù)中三個偶數(shù)排在一起的有幾個？⑴⑴中的七位數(shù)中，偶數(shù)排在一起、奇數(shù)也排在一起的有幾個？思維的發(fā)掘 能力的飛躍 ⑷⑴其中任意兩偶數(shù)都不相鄰的七位數(shù)有幾個？用到這九個數(shù)字．可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？

，

，，

在由數(shù)字

，

，，

，

組成的所有沒有重復(fù)數(shù)字的位數(shù)中，大于

共有（ ）個A．個 B．個 C．個 D．個由

0，1，2，3，4

這五個數(shù)字組成的