分式和分式方程題型分類講義

分式方程及其應用一、基本概念.分式方程:分母中含有 的方程叫分式方程..解分式方程的一般步驟：(1)去分母，在方程的兩邊都乘以，約去分母，化成整式方程；(2)解這個整式方程；(3)驗根，把整式方程的根代入，看結果是不是零，使最簡公分母為零的根是原方程的增根，必須舍去..用換元法解分式方程的一般步驟：①設輔助未知數，并用含輔助未知數的代數式去表示方程中另外的代數式；②解所得到的關于輔助未知數的新方程，求出輔助未知數的值；③把輔助未知數的值代入原設中，求出原未知數的值；④檢驗作答..分式方程的應用：分式方程的應用題與一元一次方程應用題類似，不同的是要注意檢驗：(1)檢驗所求的解是否是所列;(2)檢驗所求的解是否 .二、題型分類考點一：分式方程題型(一)分式方程去分母2x+201、解分式方程-7+--二3時，去分母后變形為（）。x-11-xA.2+（x+2）=3（x-1） b.2-x+2=3（x-1） C.2~（x+2）=3（1-x） d.2~（x+2）=3（x-1）2、下列方程是分式方程的是（ ）A.x2-2x-3=0 B.x=x-1 C.—=x D.X_2=13 x 兀1/17

題型（二）解分式方程用常規(guī)方法解下列分式方程：（1心+—=1；（2）—匚+—=1；%%—3 2%—55—2%題型（三）分式方程的解1.已知方程a%2A.3=1的解與方程6=3的解相同，則a等于（xB.一3C.2D.一266%+22.方程%2+3%+22%2+6%+43%+1 -5=0的解是(A.無解C.-3D.0,±33.如果%—1 %+2 (%—1)(%+2)那么A-B的值是（4A.一35B.一3C.D.24（C）關于%的方程%+=c+的兩個解是%2一,則關于%的方程%c22+ =a+ %—1a—1的兩個D.D.B.a-1,—

a—1題型（四）用換元法解分式方程一”，乙，?_%2—510%—101用換元法解分式方程J+K=7時,如果設二1二y，那么原方程可化為（2/17101A.y+—二7B.y+ /yy2.解方程（1）（-—)2-5(—)+6=0；x—2x—2C.10y+1=7

yD.y+10y2=7(2)解方程2x2+3x—4= 52x2+3x題型（五）解分式方程組1_1_1x—y-31.解方程組：'/c1,二xy9題型（六）增根xm+1x+1.若解分式方程e-e=—產生增根，則m的值是（ ）A.-1或-2 B.-1或2 C.1或2 D.1或-2.若方程-2=一工會產生增根，試求k的值x-3x一33/17題型（七）求待定常數的值或取值范圍.關于X的分式方程m-+「一二1的解為正數，求m的取值范圍;x-11一X2k-a..若關于x的分式方程 的解為非負數，則a的取值范圍是（ ）A.a>1 B.a>1 C.a>1且a，4 D.a>1且a，4.若分式方程式二望無解,求m的值。4/17

TOC\o"1-5"\h\z.設a、b、c是三個互不相同的正數，如果［c=-cT=-，那么（ ）.ba+baA. 3b=2c B. 3a=2b C. 2b =c D. 2a =b.一 1 4 3 23,變式1：已知———= =-一；，則—（y—x）的值是 .x+2yy—x2x+1 3d￡-的值是- 7 7 b 4d—7b+1 7（d-1） d￡-的值是變式2：已知a、b、c、d為正整數，且一= ,——二=——-，則一的值是acaca對應練習：一、選擇題. . 2x+a.一…,一一】、關于x的方程丁丁二1的解是正數,則a的取值范圍是（）A.a>—1 B.a>—1且a，0 C.a<—1 D.a<—1且a*—22x m+1x+12.若解分式方程 -o=產生增根，則m的值是（ ）x+1x2+xxA.-1或-2B.-1或2 C.1或2D.1或-2TOC\o"1-5"\h\z1 5 b a l3、已知一+—= ,則U+—的值是（ ）a b a+b a bD、A、5 B、7 C、D、4、若x取整數，則使分式6x^的值為整數的x值有（ ）2x-1B4個 C6個 D8個5/17

x—3 AB5、已知不一二 +一，其中A、B為常數，那么A+B的值為（ ）X2—XX一1XA、一2 B、2 C、一4 D、4二、填空題4x_m AB 2x+31、若分式方程---5=-一無解，那么m的值應為 ，若已知--+--= （其中A、x-2 2-X x+1x-1X2-1B為常數），則A=,B=；1 1c 2x+3xy—2y a一2bb一2cc一2a2、已知x—y=3，則分式丁與石丁的值等于 若k===，且a+b+c于0則Uk的值為.3、方程+2=42的解是 已知關于x的方程4-里一一一汽e只有整數解，則整數a的值為TOC\o"1-5"\h\z, ，,…b4d一7b+17（d一1） c, d,4、已知a、b、c、d為正整數，且—— , - ，貝U—的值是 ；7的值是acac a b5、設m>n>0，m2+n2=4mn，則竺*的值為 若^~~與1（x+4）互為倒數，則x= mn 2x-1 3三、解答題1、解下列分式方程1 3 2 1(1)——3；(2)—--1—0；

x一1x x一3x2、解下列方程(1)(1)(2)x+7x+9x+10x+6 + - + x+6x+8x+9x+56/173、若關于"的分式方程三二1-言有增根,求m的值.4、若分式方程=-1的解是正數,求。的取值范圍.5、解關于x的方程"——=—（c+d中0）提示：（1）a,b,c,d是已知數；（2）c+d豐0.b-xd6、若分式方程;2=2mx無解，求利的值。7、若關于x的方程"+k2=x不會產生增根，求k的值。x—1x2—1X+18、若關于x分式方程上十號=總有增根,求k的值。9、若關于x的方程+-k^5=a有增根x=1，求k的值。x1—xx2+xx2—17/17

2mx310、m為何值時,關于x的方程不2+目二E會產生增根？當a為何值時，x一1x-2 2x+a的解是負數?的解是負數?x-2x+1(x-2)(x+1)考點二：分式方程的實際應用題型（一）行程問題（1）一般行程問題.某次列車平均提速20km/h,用相同的時間，列車提速前行駛400km,提速后比提速前多行駛100km,設提速前列車的平均速度為xkm/h,下列方程正確的是（ ）4QQ+1Q0 4QQ400~100，+B工x-20皿也 D,些=如”1?！鉱-20 工x+20.從甲地到乙地有兩條公路：一條是全長600Km的普通公路，另一條是全長480Km的告訴公路。某客車在高速公路上行駛的平均速度比在普通公路上快45Km,由高速公路從甲地到乙地所需的時間是由普通公路從甲地到乙地所需時間的一半，求該客車由高速公路從甲地到乙地所需要的時間。（2）水流問題1、輪船順水航行80千米所需要的時間和逆水航行60千米所用的時間相同。已知水流的速度是3千米/時，求輪船在靜水中的速度。8/17

2、一船自甲地順流航行至乙地，用2.5小時，再由乙地返航至距甲地尚差2千米處，已用了3小時，若水流速度每小時2千米，求船在靜水中的速度.題型（二）工程問題1.施工隊要鋪設一段全長2000米的管道，因在中考期間需停工兩天，實際每天施工需比原計劃多50米，才能按時完成任務，求原計劃每天施工多少米.設原計劃每天施工x米，則根據題意所列方程正確的是（）=2:2辿:2=2:2”22、某市為治理污水，需要鋪設一段全長3000米的污水輸送管道，為了盡量減少施工對城市交通造成的影響，實際施工時每天的工效比原計劃增加25%,結果提前30天完成了任務，實際每天鋪設多長管道？3、某車間加工1200個零件，采用新工藝，工效是原來的1.5倍，這樣加工同樣多的零件就少用10小時，采用新工藝前后每時分別加工多少個零件？題型（三）利潤（成本、產量、價格、合格）問題例1、一個批發(fā)兼零售的文具店規(guī)定：凡一次購買鉛筆300枝以上，（不包括300枝），可以按批發(fā)價付款，購買300枝以下，（包括300枝）只能按零售價付款。小明來該店購買鉛筆，如果給八年級學生每人購買1枝，那么只能按零售價付款，需用120元，如果購買60枝，那么可以按批發(fā)價付款，同樣需要120元，（1）這個八年級的學生總數在什么范圍內？（2）若按批發(fā)價購買6枝與按零售價購買5枝的款相同，那么這個學校八年級學生有多少人9/17這個八年級的學生總數在什么范圍內？若按批發(fā)價購買6枝與按零售價購買5枝的款相同，那么這個學校八年級學生有多少人?.某校為了進一步開展“陽光體育〃活動，購買了一批乒乓球拍和羽毛球拍.已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍貴20元，購買羽毛球拍的費用比購買乒乓球拍的2000元要多，多出的部分能購買25副乒乓球拍.(1)若每副乒乓球拍的價格為x元，請你用含x的代數式表示該校購買這批乒乓球拍和羽毛球拍的總費用；(2)若購買的兩種球拍數一樣，求x2.某煤礦現在平均每天比原計劃多采330噸，已知現在采煤33000噸煤所需的時間和原計劃采23100噸煤的時間相同，問現在平均每天采煤多少噸。.某商品的標價比成本高p%,當該商品降價出售，為了不虧本，降價幅度不得超過d%,請用p表示d。10/17.一個批發(fā)兼零售的文具店規(guī)定：凡一次購買鉛筆300枝以上，（不包括300枝），可以按批發(fā)價付款，購買300枝以下，（包括300枝）只能按零售價付款。小明來該店購買鉛筆，如果給八年級學生每人購買1枝，那么只能按零售價付款，需用120元，如果購買60枝，那么可以按批發(fā)價付款，同樣需要120元，（1）這個八年級的學生總數在什么范圍內？（2）若按批發(fā)價購買6枝與按零售價購買5枝的款相同，那么這個學校八年級學生有多少人？題型四：其他類型1、為了幫助遭受自然災害的地區(qū)重建家園，某學校號召同學們自愿捐款。已知第一次捐款總額為4800元，第二次捐款為5000元，第二次捐款人數比第一次多20人，而且兩次人均捐款額相等，如果設第一次捐款人數X人，那么X應滿足怎樣的方程？2、某質檢部門抽取甲、乙兩廠相同數量的產品進行質量檢查，結果甲廠有48件合格產品，乙廠有45件合格產品，甲廠的合格率乙廠高5%，求甲廠的合格率？3、對甲乙兩班學生進行體育達標檢查，結果甲班有48人合格，乙班有45人合格，甲班的合格率比乙班高5%，求甲班的合格率？4、重量相同的兩種商品，分別價值900元和1500元,已知第一種商品每千克的價值比第二種少300元,分別求這兩種商品每千克的價值。11/175、某甲有25元，這些錢是甲、乙兩人總數的20%。乙有多少錢?對應練習：1、走完全長3000米的道路，如果速度增加25%，可提前30分到達，那么速度應達到多少？12/172、從甲地到乙地有兩條公路：一條是全長600Km的普通公路，另一條是全長480Km的告訴公路。某客車在高速公路上行駛的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路從甲地到乙地所需的時間是由普通公路從甲地到乙地所需時間的一半，求該客車由高速公路從甲地到乙地所需要的時間。3、從甲地到乙地的路程是15千米，A騎自行車從甲地到乙地先走，40分鐘后，B騎自行車從甲地出發(fā)，結果同時到達。已知B的速度是A的速度的3倍，求兩車的速度。4、假日工人到離廠25千米的瀏覽區(qū)去旅游；一部分人騎自行車，出發(fā)1小時20分鐘后，其余的人乘汽車出發(fā)，結果兩部分人同時到達，已知汽車速度是自行車的3倍，求汽車和自行車速度5、我部隊到某橋頭阻擊敵人，出發(fā)時敵人離橋頭24千米，我部隊離橋頭30千米，我部隊急行軍速度是敵人的1.5倍，結果比敵人提前48分鐘到達，求我部隊的速度。6、甲乙兩地相距360千米，新修的高叔公路開通后，在甲乙兩地間行駛的長途客運車平均車速提高了50%，而從甲到乙的時間縮短了2小時，求原來的平均速度13/177、一船自甲地順流航行至乙地，用2.5小時，再由乙地返航至距甲地尚差2千米處，已用了3小時，若水流速度每小時2千米，求船在靜水中的速度.8、一個兩位數，個位上的數比十位上的數大4,用個位上的數去除這個兩位數商是3,求這個兩位數.9、大小兩部抽水機給一塊地澆水，兩部合澆2小時后，由小抽水機繼續(xù)工作1小時完成.已知小抽水機獨澆這,1塊地所需時間等于大抽水機獨澆這塊地所需時間的1$倍，求單獨澆這塊地各需多少時間？乙10、某水泵廠在一定天數內生產4000臺水泵，工人為支援建設，每天比原計劃增產25%，可提前10天完成任務，問原計劃日產多少臺？11、現要裝配30臺機器，在裝配好6臺后，采用了新的技術，每天的工作效率提高了一倍，結果共用了3天完成任務。求原來每天裝配的機器數.14/1712、某車間需加工1500個螺絲，改進操作方法后工作效率是原計劃的21倍，所以加工完比原計劃少用9小乙時，求原計劃和改進操作方法后每小時各加工多少個螺絲？13、打字員甲的工作效率比乙高25%，甲打2000字所用時間比乙打1800字的時間少5分鐘，求甲乙二人每分鐘各打多少字？14、塊面積相同的小麥試驗田，第一塊使用原品種，第二塊使用新品種，分別收獲小麥9000Kg和15000陋,已知第一塊試驗田的每公頃的產量比第二塊少3000Kg,分別求這塊試驗田每公頃的產量。15、某農場原有水田400公頃，旱田1