簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用

第三章 不等式3.3 二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題 簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題第2課時(shí)簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．有5輛6噸的汽車(chē)，4輛4噸的汽車(chē)，要運(yùn)送最多的貨物，完成這項(xiàng)運(yùn)輸任務(wù)的線性目標(biāo)函數(shù)為 ( )A．z＝6x＋4y

B．z＝5x＋4yC．z＝x＋y

D．z＝4x＋5y解析：設(shè)需x輛6噸汽車(chē)，y輛4噸汽車(chē)．則運(yùn)輸貨物的噸數(shù)為z＝6x＋4y，即目標(biāo)函數(shù)z＝6x＋4y.答案：A2．某服裝制造商有 10m2的棉布料，10m2的羊毛料和6m2的絲綢料，做一條褲子需要 1m2的棉布料，2m2的羊毛料和1m2的絲綢料，做一條裙子需要 1m2的棉布料，1m2的羊毛料和1m2的絲綢料，做一條褲子的純收益是 20元，一條裙子的純收益是 40元，為了使收益達(dá)到最大，若生產(chǎn)褲子 x條，裙子y條，利潤(rùn)為z，則生產(chǎn)這兩種服裝所滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式與目標(biāo)函數(shù)分別為 ( )x＋y≤10，2x＋y≤10，A. z＝20x＋40yx＋y≤6，x，y∈Nx＋y≥10，2x＋y≥10，B. z＝20x＋40yx＋y≤6，x，y∈Nx＋y≤10，2x＋y≤10，z＝20x＋40yx＋y≤6，x＋y≤10，2x＋y≤10，x＋y≤6，z＝40x＋20yx，y∈N解析：由題意可知選A.答案：Ax≥1，y－1．實(shí)數(shù)，滿足y≥0，則＝()3xyzxx－y≥0，A．[－1，0]B．(－∞，0]C．[－1，＋∞)D．[－1，1)解析：作出可行域，如圖所示，y－1x的幾何意義是點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(0，1)連線l的斜率，當(dāng)直線l過(guò)B(1，0)時(shí)k1最小，最小為－1.又直線l不能與直線x－y＝0平行，所以kl<1.綜上，k∈[－1，1)．答案：D4．某農(nóng)戶計(jì)劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過(guò)50畝，投入資金不超過(guò)54萬(wàn)元，假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價(jià)如下表：品種年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價(jià)黃瓜4噸1.2萬(wàn)元0.55萬(wàn)元韭菜6噸0.9萬(wàn)元0.3萬(wàn)元為使一年的種植總利潤(rùn)(總利潤(rùn)＝總銷(xiāo)售收入－總種植成本)最大，那么黃瓜和韭菜的種植面積(單位：畝)分別為()A．50，0B．30，20C．20，30D．0，50解析：設(shè)黃瓜、韭菜的種植面積分別為 x，y畝，則總利潤(rùn)z＝40.55x＋6×0.3y－1.2x－0.9y＝x＋0.9y.此時(shí)x，y滿足條件x＋y≤50，畫(huà)出可行域如圖，得最優(yōu)解為 A(30，20)，故1.2x＋0.9y≤54，選B.答案：B5．某學(xué)校用800元購(gòu)買(mǎi)A、B兩種教學(xué)用品，A種用品每件100元，B種用品每件160元，兩種用品至少各買(mǎi)一件，要使剩下的錢(qián)最少，A、B兩種用品應(yīng)各買(mǎi)的件數(shù)為 ( )A．2，4 B．3，3C．4，2 D．不確定解析：設(shè)買(mǎi)A種用品x件，B種用品y件，剩下的錢(qián)為z元，則100x＋160y≤800，x≥1，y≥1，x，y∈N*.求z＝800－100x－160y取得最小值時(shí)的整數(shù)解(x，y)，用圖解法求得整數(shù)解為(3，3)．答案：B二、填空題6．某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3個(gè)工時(shí)．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg，乙材料90kg，則在不超過(guò)600個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和的最大值為_(kāi)_______元．解析：設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B分別為x、y件，利潤(rùn)之和為z元，那么1.5x＋0.5y≤150，x＋0.3y≤90，5x＋3y≤600， ①x≥0，y≥0目標(biāo)函數(shù)z＝2100x＋900y.二元一次不等式組①等價(jià)于3x＋y≤30010x＋3y≤900，5x＋3y≤600，②x≥0，y≥0.作出二元一次不等式組②表示的平面區(qū)域(如圖)，即可行域．z將z＝2100x＋900y變形，得y＝－3x＋900，平行直線y＝－3x，77 z當(dāng)直線y＝－3x＋900經(jīng)過(guò)點(diǎn)M時(shí)，z取得最大值．10x＋3y＝900，解方程組 得M的坐標(biāo)(60，100)．5x＋3y＝600所以當(dāng)x＝60，y＝100時(shí)，zmax＝2100×60＋900×100＝216000.故生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和的最大值為 216000元．答案：216000x－y＋1≥0，．若，滿足約束條件x－2y≤0，則＝＋y的最大值為7xyzxx＋2y－2≤0，________．解析：作出不等式組滿足的平面區(qū)域，如圖所示，由圖知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝x＋y經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1，113.2時(shí)取得最大值，即zmax＝1＋＝223答案：28．滿足|x|＋|y|≤2的點(diǎn)(x，y)中整點(diǎn)(橫縱坐標(biāo)都是整數(shù) )有________個(gè)．解析：|x|＋|y|≤2可化為x＋y≤2（x≥0，y≥0），x－y≤2（x≥，y<0），－x＋y≤2（x<0，y≥0），－x－y≤2（x<0，y<0），作出可行域，為如圖所示的正方形內(nèi)部 (包括邊界)，容易得到整點(diǎn)個(gè)數(shù)為 13個(gè)．答案：13三、解答題9．某研究所計(jì)劃利用“神十一”宇宙飛船進(jìn)行新產(chǎn)品搭載實(shí)驗(yàn)，計(jì)劃搭載新產(chǎn)品A，B，要根據(jù)該產(chǎn)品的研制成本、產(chǎn)品質(zhì)量、搭載實(shí)驗(yàn)費(fèi)用和預(yù)計(jì)產(chǎn)生收益來(lái)決定具體安排，通過(guò)調(diào)查，搭載每件產(chǎn)品有關(guān)數(shù)據(jù)如表：因素產(chǎn)品A產(chǎn)品B備注研制成本、搭載費(fèi)用之2030計(jì)劃最大投資和/萬(wàn)元金額300萬(wàn)元產(chǎn)品質(zhì)量/千克105最大搭載質(zhì)量110千克預(yù)計(jì)收益/萬(wàn)元8060——試問(wèn)：如何安排這兩種產(chǎn)品的件數(shù)進(jìn)行搭載， 才能使總預(yù)計(jì)收益達(dá)到最大，最大收益是多少？解：設(shè)“神十一”宇宙飛船搭載產(chǎn)品 A，B的件數(shù)分別為x，y，最大收益為 z，則目標(biāo)函數(shù)為 z＝80x＋60y，根據(jù)題意可知，約束條20x＋30y≤300， 2x＋3y≤30，10x＋5y≤110， 2x＋y≤22，件為 即x≥0，y≥0， x≥0，y≥0，x∈N，y∈N， x∈N，y∈N，作出可行域如圖陰影部分所示，作出直線l：80x＋60y＝0，并平移直線 l，由圖可知，當(dāng)直線過(guò)2x＋3y＝30，點(diǎn)

M

時(shí)，z取得最大值，解

得M(9，4)，2x＋y＝22，所以zmax＝80×9＋60×4＝960，即搭載A產(chǎn)品9件，B產(chǎn)品4件，可使得總預(yù)計(jì)收益最大，為 960萬(wàn)元．10．某商場(chǎng)為使銷(xiāo)售空調(diào)和冰箱獲得的總利潤(rùn)達(dá)到最大， 對(duì)即將出售的空調(diào)和冰箱相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行調(diào)查，得出下表：每臺(tái)空調(diào)或月資金供資金冰箱所需資金/元應(yīng)數(shù)量/元空調(diào)冰箱成本3000200030000工人工資500100011000每臺(tái)利潤(rùn)600800——問(wèn)：該商場(chǎng)怎樣確定空調(diào)或冰箱的月供應(yīng)量，才能使總利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？解：設(shè)空調(diào)和冰箱的月供應(yīng)量分別為 x，y臺(tái)，月總利潤(rùn)為z元，000x＋2000y≤30000，則500x＋1000y≤11000，x，y∈N*，z＝600x＋800y，作出可行域(如圖所示)．3zz，斜率為＝－3y4800800k4當(dāng)z最大時(shí)z最大，此時(shí)，直線＝－3x＋z必過(guò)四邊形區(qū)域的頂800y4800點(diǎn)．3000x＋2000y＝30000，由 得交點(diǎn)(4，9)，所以x，y分別為4，500x＋1000y＝11000，9時(shí)，z＝600x＋800y＝9600(元)．所以空調(diào)和冰箱的月供應(yīng)量分別為 4臺(tái)、9臺(tái)時(shí)，月總利潤(rùn)最大，最大值為9600元．B級(jí) 能力提升1．某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品每噸所需的煤、 電和產(chǎn)值如表所示：產(chǎn)品用煤/噸用電/千瓦產(chǎn)值/萬(wàn)元甲產(chǎn)品7208乙產(chǎn)品35012但國(guó)家每天分配給該廠的煤、電有限，每天供煤至多 56噸，供電至多

450千瓦，則該廠最大日產(chǎn)值為

(

)A．120萬(wàn)元

B．124萬(wàn)元C．130萬(wàn)元 D．135萬(wàn)元解析：設(shè)該廠每天安排生產(chǎn)甲產(chǎn)品 x噸，乙產(chǎn)品y噸，則日產(chǎn)值7x＋3y≤56，z＝8x＋12y，線性約束條件為 20x＋50y≤450，作出可行域如圖所x≥0，y≥0，示，8 z把z＝8x＋12y變形為一簇平行直線系 l：y＝－12x＋12，由圖可z知，當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn) M時(shí)，截距12最大，即z取最大值，7x＋3y＝56，解方程組 得M(5，7)，20x＋50y＝450，zmax＝8×5＋12×7＝124，所以，該廠每天安排生產(chǎn)甲產(chǎn)品 5噸，乙產(chǎn)品7噸時(shí)該廠日產(chǎn)值最大，最大日產(chǎn)值為124萬(wàn)元．答案：B2．某公司計(jì)劃在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做總時(shí)間不超過(guò) 300分鐘的廣告，廣告總費(fèi)用不超過(guò) 9萬(wàn)元，甲、乙電視臺(tái)的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為500元/分鐘和200元/分鐘，假定甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司帶來(lái)的收益分別為

0.3萬(wàn)元和

0.2萬(wàn)元．則該公司可獲得的最大收益是

________萬(wàn)元．解析：設(shè)公司在甲電視臺(tái)和乙電視臺(tái)做廣告的時(shí)間分別為 x分鐘x＋y≤300，500x＋200y≤90000，和y分鐘，總收益為 z元，由題意得x≥0，y≥0.目標(biāo)函數(shù)為z＝3000x＋2000y.x＋y≤300，5x＋2y≤900，二元一次不等式組等價(jià)于x≥0，y≥0.作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域， 即可行域，如圖所示．作直線l：3000x＋2000y＝0，即3x＋2y＝0.平移直線l，從圖中可知，當(dāng)直線 l過(guò)M點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值．x＋y＝300，聯(lián)立 解得x＝100，y＝200.5x＋2y＝900，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(100，200)．所以z最大值＝3000x＋2000y＝700000(元)．因此，該公司在甲電視臺(tái)做 100分鐘廣告，在乙電視臺(tái)做200分鐘廣告，公司的收益最大，最大收益是 70萬(wàn)元．答案：703．某玩具生產(chǎn)公司每天計(jì)劃生產(chǎn)衛(wèi)兵、騎兵、傘兵這三種玩具共100個(gè)，生產(chǎn)一個(gè)衛(wèi)兵需5min，生產(chǎn)一個(gè)騎兵需7min，生產(chǎn)一個(gè)傘兵需4min，已知總生產(chǎn)時(shí)間不超過(guò)10h．若生產(chǎn)一個(gè)衛(wèi)兵可獲利潤(rùn)5元，生產(chǎn)一個(gè)騎兵可獲利潤(rùn)6元，生產(chǎn)一個(gè)傘兵可獲利潤(rùn)3元．(1)用每天生產(chǎn)的衛(wèi)兵個(gè)數(shù)x與騎兵個(gè)數(shù)y表示每天的利潤(rùn)W(元)；(2)怎樣分配生產(chǎn)任務(wù)才能使每天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？解：(1)依題意每天生產(chǎn)的傘兵個(gè)數(shù)為 100－x－y，所以利潤(rùn)W＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.