第一章獨(dú)立性

1第一章隨機(jī)事件及其概率§1.4獨(dú)立性2內(nèi)容復(fù)習(xí)定義1.4兩事件發(fā)生可能性的大小并不相互影響根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義去判斷：3兩事件相互獨(dú)立兩事件互斥例如由此可見(jiàn)兩事件相互獨(dú)立，但兩事件不互斥.兩事件相互獨(dú)立與兩事件互斥有聯(lián)系嗎？4再如請(qǐng)問(wèn)：如圖的兩個(gè)事件是獨(dú)立的嗎？

即:若A、B互斥，且P(A)>0,P(B)>0,則A與B不獨(dú)立.反之，若A與B獨(dú)立，且P(A)>0,P(B)>0,

則A

、B不互斥.而P(A)≠0,P(B)≠0故A、B不獨(dú)立我們來(lái)計(jì)算：P(AB)=0P(AB)≠P(A)P(B)即5

問(wèn)題：能否在樣本空間Ω中找兩個(gè)事件,它們既相互獨(dú)立又互斥?這兩個(gè)事件就是

Ω和P(Ω)=P()P(Ω)=0

與Ω獨(dú)立且互斥事實(shí)上，與任何事件A都獨(dú)立.6推廣1三事件兩兩相互獨(dú)立的概念兩個(gè)事件相互獨(dú)立7注意三個(gè)事件相互獨(dú)立三個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立推廣2三事件相互獨(dú)立的概念8n個(gè)事件相互獨(dú)立n個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立推廣3例如9證明練習(xí)10推論例如11事件獨(dú)立性的應(yīng)用舉例1、加法公式的簡(jiǎn)化：若事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立,則

2、乘法公式的簡(jiǎn)化：若事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立,則

12例1三人獨(dú)立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為0.2，0.3，0.5，問(wèn)三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？

解：記Ai={第i個(gè)人破譯出密碼}i=1,2,3所求為P(A1∪A2∪A3)獨(dú)立性的概念在計(jì)算概率中的應(yīng)用13例2

設(shè)每一名機(jī)槍射擊手擊落飛機(jī)的概率都是0.2,若10名機(jī)槍射擊手同時(shí)向一架飛機(jī)射擊,問(wèn)擊落飛機(jī)的概率是多少?射擊問(wèn)題解事件B為“擊落飛機(jī)”,14此例意義為：“小概率事件”在大量獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中“至少有一次發(fā)生”幾乎是必然的。15例3某型號(hào)火炮的命中率為0.8，現(xiàn)有一架敵機(jī)即將入侵，如果欲以99.9%的概率擊中它，則需配備此型號(hào)火炮多少門？解:

設(shè)需配備

n

門此型號(hào)火炮設(shè)事件表示第i門火炮擊中敵機(jī)故需配備

5

門此型號(hào)火炮.16例4

甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊,三人擊中的概率分別為0.4,0.5,0.7,飛機(jī)被一人擊中而被擊落的概率為0.2,被兩人擊中而被擊落的概率為0.6,若三人都擊中飛機(jī)必定被擊落,求飛機(jī)被擊落的概率.解

A,B,C

分別表示甲、乙、丙擊中飛機(jī),D表示飛機(jī)被擊落1718因而,由全概率公式得飛機(jī)被擊落的概率為19例5

同時(shí)拋擲一對(duì)骰子,共拋兩次,求兩次所得點(diǎn)數(shù)分別為7與11的概率.解事件A為兩次所得點(diǎn)數(shù)分別為7與11.則有20獨(dú)立性在可靠理論中的應(yīng)用(1)串聯(lián)系統(tǒng)(2)并聯(lián)系統(tǒng)21

解例62223課堂練習(xí)24將試驗(yàn)E重復(fù)進(jìn)行n次,若各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響,即每次試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的概率都不依賴于其它各次試驗(yàn)的結(jié)果,則稱這n次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的,或稱為n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn).(1)重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)二.伯努利概型25(2)n重伯努利試驗(yàn)

實(shí)例1

拋一枚硬幣觀察得到正面或反面.若將硬幣拋n次,就是n重伯努利試驗(yàn).實(shí)例2

拋一顆骰子n次,觀察是否“出現(xiàn)

1點(diǎn)”,就是

n重伯努利試驗(yàn).26定理1.3

（P.23）在n重伯努利試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為，則A發(fā)生k次的概率其中q=1－p。伯努利公式正好是二項(xiàng)式公式的一般項(xiàng)：伯努利公式在第二章稱為二項(xiàng)分布。27證設(shè)B表示“n次試驗(yàn)中A發(fā)生k次”，k個(gè)A的位置有以下種可能情況：B1=B2=Bm=由試驗(yàn)的獨(dú)立性，＃28例（P.25）一條自動(dòng)生產(chǎn)線上的產(chǎn)品，次品率為4％，從中任取10件，求解以下問(wèn)題：（0）求有2件次品的概率；（1）求至少有2件次品的概率；（2）一次取1件，無(wú)放回抽取，求當(dāng)取到第二件次品時(shí)，之前已取到8件正品的概率。分析：試驗(yàn)E是“任取1件產(chǎn)品觀察是正品還是次品”。若是有放回抽取，連取10件為10次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)。由于自動(dòng)生產(chǎn)線上的產(chǎn)品多（或一批產(chǎn)品），當(dāng)抽取的件數(shù)相對(duì)較少時(shí)，無(wú)放回抽取也看成重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，且每次只有“正品”或“次品”兩種結(jié)果，每次抽到次品的概率都是0.04，因此可看成10重伯努利試驗(yàn)。多！29解設(shè)A表示“任取1件時(shí)次品”，與題中所問(wèn)一致（0）設(shè)所求概率為（1）設(shè)所求概率為P(B),則30(2)由題意，當(dāng)?shù)诙纬榈酱纹窌r(shí)共抽了10次，前9次中8“正”1“次”。次8“正”1“次”這不是10重伯努利試驗(yàn)！為什么？因第10次試驗(yàn)只有“次品”一個(gè)可能結(jié)果！設(shè)C表示“前9次抽得8件正品1件次品”，則所求概率為用伯努利公式D表示“第十次抽得次品”，31注：若將（1）換為：求任取10件中恰有2件正品的概率，則所求概率為：有些題用伯努利公式解比其它方法簡(jiǎn)單，如：32例有放回任取k(<a)件，設(shè)B={k件中恰有r件次品}，則產(chǎn)品a+b件次品

a件正品b件且取得次品的概率均為因這是k次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，每次只可能是“次品”或“正品”，故由伯努利公式可得結(jié)果。與用古典定義所得之結(jié)果相同。33例（逆問(wèn)題）P.28例4每門炮的炮彈擊中敵機(jī)的概率均為0.6。（1）欲以99％的把握擊中敵機(jī)，需配置幾門炮？（2）現(xiàn)有3門炮，欲以99％的把握擊中敵機(jī)，每門炮的命中率應(yīng)提高到多少？分析：本例是已知概率，求n和p.前面的例子中是已知求，解法是:

代入公式求出概率（含有參數(shù)），得到所求參數(shù)的不等式，再解之。34（1）設(shè)配置n門炮，A表示“高炮擊中敵機(jī)”，則P(A)=0.6,B表示“敵機(jī)被擊中”（即至少擊中1炮）,則求使下面不等式成立的n:由解得故至少配置6門炮。