第4章剛體平面運動(陸)

第四章剛體平面運動平面運動：剛體在運動過程中，其上各點都始終保持在與某一固定平面相平行的平面內(nèi)運動。平面圖形：剛體上任一個與固定平面平行的截面。曲柄連桿機構(gòu)

行星機構(gòu)

剛體作平面運動平面圖形的位置顯然，只需確定平面圖形的位置，即可確定整個剛體的運動狀態(tài).一、運動特征注意：平面圖形的形狀和尺寸并不重要，需要的話，可以擴展為整個平面。§4-1運動方程在x1o1y1平面上，要確定平面圖形的位置，只需確定任一直線的位置。故運動方程可以表示為：討論：1.φ為常數(shù)二、運動方程剛體作平動2.(xO,yO)為常數(shù)定軸轉(zhuǎn)動3.O點位置和φ均變化平面運動由此看出，平面運動可以分解為“平動”和“定軸轉(zhuǎn)動”平面圖形的位置三、運動分解平面運動=“隨基點的平動”“繞基點的轉(zhuǎn)動”+所謂基點，是在平面圖形上任意取定的那點。但是平面圖形轉(zhuǎn)過的角度與基點的選取無關(guān)！平面圖形的位置O取在剛體上的不同位置，其運動方程不同。運動方程ABCABC平面圖形轉(zhuǎn)過的角度與基點的選取無關(guān)！ABCDABCD先平移ABC再定軸轉(zhuǎn)動以D為基點以A為基點但剛體都是轉(zhuǎn)過900ABCDABCD先平移ABC再定軸轉(zhuǎn)動ABCD剛才預(yù)設(shè)了剛體先平移，然后再轉(zhuǎn)動。實際上，根本不管它是先移再轉(zhuǎn)，還是“移轉(zhuǎn)同時進行”，剛體由第一狀態(tài)到第二狀態(tài)，都是轉(zhuǎn)過900。ABCD再定軸轉(zhuǎn)動先平移平面圖形轉(zhuǎn)過的角度與基點的選取無關(guān)！φ對時間的導(dǎo)數(shù)就是剛體的轉(zhuǎn)動角速度，故而：平面運動剛體的角速度和角加速度與基點的選擇無關(guān)！平面圖形的位置圖表示？正負(fù)規(guī)定？ABClllxyo已知θ=kt，試求AB桿的平面運動方程。已知輪心速度v0=kt，輪只滾不滑。試求輪的平面運動方程。Ov0R一、速度基點法1.以基點A為原點建立動系x’Ay’,動系隨A一起運動，但兩軸的方向保持不變。這樣此動系的運動為平行移動。應(yīng)用點的合成運動方法2.以平面圖形上任意一點B為動點，它的運動就可以由合成得到。絕對運動：B點相對定系xoy的運動，速度vB待求相對運動：B點相對動系x`Ay`的圓周運動，速度vBA牽連運動：動系x`Ay`相對定系xoy的平動，速度ve=vA§4-2剛體上各點的速度OxyABωx`y`結(jié)果說明1.A點為基點，可以任意選擇，一般我們選擇速度已知的點。2.B點為剛體上任意一點，此公式給出了剛體上任意兩點間的速度關(guān)系，以后直接應(yīng)用，不必再應(yīng)用合成運動方法。3.在動系x`Ay`中，整個平面圖形繞A點定軸轉(zhuǎn)動，角速度ω。所以且垂直于A、B連線OxyABωx`y`基點法二、速度投影定理如將右式投影到A、B兩點的連線上，并注意到vAB垂直于AB連線，在連線上的投影為零，可得:平面圖形上任意兩點的速度在這兩點連線上的投影相等，這稱為速度投影定理。

問：此定理直觀的力學(xué)意義是什么？OxyABωx`y`假如在平面圖形內(nèi)或其延伸部分上能找到速度為零的一個點，并以它為基點，計算其它各點的速度就相當(dāng)簡單了。從計算效果看，整個剛體此時仿佛“繞此基點作定軸轉(zhuǎn)動”。三、速度瞬心法證明:一般情形下，剛體作平面運動時速度瞬心確實是存在的，并且唯一。這里只給出一個圖形，您不妨證明一下。AI速度瞬心d我們稱某瞬時速度為零的點為平面圖形在此瞬時的速度中心，簡稱“速度瞬心”，一般用I表示之。以I為基點，則有AIBC但請注意：I點僅僅此時刻速度為零，一般情況下，速度瞬心的加速度不等于零，下一瞬時I的速度也就不再為零了。因此，速度瞬心在圖形本身上和在固定平面上的位置都是隨時間而變的，在不同的瞬時，圖形具有不同的速度瞬心。相當(dāng)于定軸轉(zhuǎn)動的計算.四、瞬心的確定(１)已知圖形上任意兩點速度方位(２)已知圖形上Ａ、Ｂ兩點的速度平行，且垂直于兩點連線ABIABIABI(３)已知圖形上兩點的速度平行，但兩點連線與速度方位不垂直(４)平面圖形S沿某一固定面作純滾動（只滾動不滑動），如圖所示。則每一瞬時圖形與固定面相接觸的一點Ｉ的速度為零，這接觸點就是該瞬時的速度瞬心。瞬時平動速度瞬心例題4-1在下圖所示的曲柄連桿機構(gòu)中，已知曲柄OA長0.2m，連桿AB長1m，OA以勻角速ω=10rad/s繞O點轉(zhuǎn)動。求在圖示位置滑塊B的速度及AB桿的角速度。例題4-2車輪沿直線軌道滾動而不滑動，輪心O的速度等于vo，如圖所示。設(shè)車輪半徑為r，求車輪的角速度和輪邊上A、B、C諸點的速度。解：輪與軌道接觸點為速度瞬心，故有：則ABC例題4-3ωAOBMBNωAO曲柄OA=r，以勻角速度ω轉(zhuǎn)動。AB=2r，輪B半徑R，在地面作純滾動。求圖示兩種狀態(tài)下，輪緣最右端點的速度。ωAOBM解：A點速度vA=ωr，方向朝上；B點速度方向只可能水平。故AB桿的瞬心在B點，說明此時B點速度為零。而輪B作純滾動，I點速度必為零，所以此刻輪B的角速度為零ω輪＝0。IvM=0BNωAO當(dāng)運動到圖示狀態(tài)時，A點速度vA=ωr，方向水平；B點速度方向也水平。這時AB為瞬時平動。而輪B作純滾動，I點為瞬心，所以此刻輪B的角速度為：IvA=vB=ωr最后方向如圖例題4-4

如圖所示的行星系中，大齒輪Ⅰ固定，半徑為r1；行星齒輪Ⅱ沿輪Ⅰ只滾而不滑動，半徑為r2。系桿OA角速度ωO。試求輪Ⅱ的角速度ωⅡ及B、C兩點的速度。ωOⅠⅡOACBDωⅡ動畫行星輪Ⅱ作平面運動，A點的速度由于齒輪Ⅰ固定不動，接觸點D不滑動，為輪Ⅱ的瞬心解：1.求輪Ⅱ的角速度ωⅡωOⅠⅡOACBDωⅡ2.求輪Ⅱ上B點的速度方向如圖3.求輪Ⅱ上C點的速度方向如圖例題4-5設(shè)圖中剛架的支座B有一鉛直向下的微小位移△SB（沉陷），相應(yīng)地C、D、E三點都將發(fā)生微小位移。試確定三點的位移的方向以及它們的大小。4m4m4m6m10mABCDE△SB4m4m4m6m10mABCDE△SBIDE△SE△SD△SC解：分析BC分析DE§4-3平面運動剛體上各點加速度根據(jù)速度基點法的分析，由點的合成運動方法可以導(dǎo)出平面運動剛體上各點的加速度計算公式：平面圖形內(nèi)任一點的加速度，等于基點的加速度與該點隨圖形繞基點轉(zhuǎn)動的加速度的矢量和。B點隨圖形繞基點A轉(zhuǎn)動的加速度包括兩部分，一是切向加速度，一是法向加速度：αABω再次強調(diào)：1.速度瞬心的加速度一般不為零；計算加速度時，通常只用基點法。2.剛體平面運動中，轉(zhuǎn)動的角速度ω和角加速度α與基點的選取無關(guān)。解:由于桿作勻速轉(zhuǎn)動，故可求得點的加速度的大小為:以A為基點求B點的加速度例題4-6求例4-1中滑塊B的加速度和桿AB的角速度。由AB桿的角速度可有：大小:×∠∠×方位:∠∠∠∠解得:桿AB的角加速度可按下式求出:逆時針轉(zhuǎn)向?qū)⑹?a)投影到y(tǒng)，x軸上得:解矢量方程:xyO將方程投影到x，y軸上，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程求解：問：曲柄滑塊機構(gòu)如圖所示，曲柄OA長R，連桿AB長l。設(shè)曲柄以勻角速度ω沿逆鐘向繞定軸O轉(zhuǎn)動。試求當(dāng)曲柄轉(zhuǎn)角為φ時滑塊B的加速度和連桿AB的角加速度。OABφω你能否只用運動方程形式，直接解決此問題？車輪沿直線滾動，已知車輪半徑為R，中心O的速度為vO，加速度為aO。設(shè)車輪與地面接觸無相對滑動。求車輪上速度瞬心的加速度。例題4-7CO解：一、先確定輪的角加速度因為上式恒成立，對其求導(dǎo)數(shù)得nCOaO車輪作平面運動，其速度瞬心在與地面的接觸點C。車輪只滾不滑，所以其角速度aOOvOαωC二、求C點加速度取中心O為基點nCOaO式中注意：C為速度瞬心，但其加速度不為零CO向x方向投影向y方向投影例題4-8如圖所示，在外嚙行星齒輪機構(gòu)中，桿OA長l，以勻角速度ω1繞O1轉(zhuǎn)動。大齒輪Ⅱ

固定，行星輪Ⅰ

半徑r，在輪Ⅱ

上只滾不滑。設(shè)D和B是輪緣上的兩點，點D在OA的延長線上，而點B則在垂直于OA的半徑上。試求點D和B的加速度。解：I輪作平面運動，速度瞬心在C，輪心A的速度和加速度為：輪I的角速度為：由于其角速度為常數(shù)，故其角加速度為零，則：B、D點繞A點的法向角速度為：D、B點的加速度為：B點加速度的方向：例題4-9已知曲柄AB以勻角速度ω轉(zhuǎn)動，試計算圖示時刻C點的加速度。lABCD450450lωlABCD450450lω解：1.計算BC、DC桿的角速度（瞬心法）２.計算BC、DC桿的角加速度（基點法）３.C點法向、切向加速度平面運動方法IvB1.畫成一般狀態(tài)３.C坐標(biāo)運動方程（運動學(xué)最基本的東西）ABCD3llxy4.求導(dǎo)例題4-10(討論)BrOA長度2r的桿，A端在半徑為r的半圓形軌道上以勻速vA運動。試求A到達最低點時，AB桿的角速度和角加速度。圖所示為一曲柄機構(gòu)，曲柄ＯＡ可繞Ｏ軸轉(zhuǎn)動，帶動桿ＡＣ在套管Ｂ內(nèi)滑動，套管Ｂ及與其剛連的ＢＤ桿又可繞通過Ｂ鉸而與圖示平面垂直的水平軸運動。已知：OA＝BD＝300mm，OB＝400mm，當(dāng)ＯＡ轉(zhuǎn)至鉛直位置時，其角速度ω０＝２rad/s，試求Ｄ點的速度。例題4-11(討論)解(1)平面運動方法：由題可知：IvA確定AC桿平面運動的速度瞬心。套筒中AC桿上一點速度沿套筒(為什么？)D點加速度如何分析？關(guān)鍵求AC桿角加速度(=BD桿角速度)基點法，分析AC上在套筒的點(B’)：大?。骸痢稀稀练轿唬骸痢稀稀显倮煤铣蛇\動方法：動點：套筒內(nèi)AC桿上的點B’，動系：套筒。大?。骸痢稀痢戏轿唬骸痢稀稀下?lián)立求解(1)，(2)可得結(jié)果。(2)合成運動方法：動點A，動系BD絕對運動：圓周運動相對運動：直線運動牽連運動：定軸轉(zhuǎn)動例4-12、OD桿以勻角速度ω轉(zhuǎn)動，并帶動半徑為r的圓輪做定軸轉(zhuǎn)動。圖示時刻OD、AE連線均處于水平位置，試求此時圓輪的角速度和角加速度。討論題ABOErωD1.動點E，動系OD2.絕對運動：圓周運動相對運動：直線運動牽連運動：定軸轉(zhuǎn)動3.速度分析4.加速度分析如圖所示平面機構(gòu)，AB長為l，滑塊A可沿?fù)u桿OC的長槽滑動。搖桿OC以勻角速度ω繞O軸轉(zhuǎn)動，滑塊B以勻速v=ωl沿水平導(dǎo)軌滑動。圖示瞬時OC鉛直，AB與水平線OB夾角為30o。求此瞬時AB桿的角速度及角加速度。BOACωv例題8-13對作平面運動的AB桿，以B點為基點由點的合成運動理論BOACωvvBvABvevr其中AB桿作平面運動，A點又在搖桿OC內(nèi)有相對運動，這是一個應(yīng)用剛體平面運動和點的合成運動理論聯(lián)合求解的問題，而且是一種含兩個運動輸入量ω和v較復(fù)雜的機構(gòu)運動問題。相對速度vr大小未知。1.求AB桿的角速度解：動系－固連于導(dǎo)套OC桿上