平面向量的概念【新教材】人教A版高中數(shù)學(xué)必修同步講義（Word）

第六章平面向量及其應(yīng)用平面向量的概念【課程標(biāo)準(zhǔn)】通過(guò)對(duì)力、速度、位移等物理量的分析，了解平面向量的實(shí)際背景，理解平面向量的意義和兩個(gè)向量相等的含義理解平面向量的幾何表示和基本要素【知識(shí)要點(diǎn)歸納】1．向量的概念及表示概念：既有大小又有方向的量．2.有向線段①定義：具有方向的線段．②三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度．③表示：在有向線段的終點(diǎn)處畫上箭頭表示它的方向．以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段記作．④長(zhǎng)度：線段AB的長(zhǎng)度也叫做有向線段的長(zhǎng)度，記作.注意：(1)判斷一個(gè)量是否為向量，就要看它是否具備大小和方向兩個(gè)因素．(2)用有向線段表示向量時(shí)，要注意的方向是由點(diǎn)A指向點(diǎn)B，點(diǎn)A是向量的起點(diǎn)，點(diǎn)B是向量的終點(diǎn)．3．向量的有關(guān)概念(1)向量的模(長(zhǎng)度)：向量的大小，稱為向量的長(zhǎng)度(或稱模)，記作．(2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記作0.(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量．4．兩個(gè)向量間的關(guān)系(1)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共線向量．若a，b是平行向量，記作a∥b.規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對(duì)任意向量a，都有0∥a．(2)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量，若a，b是相等向量，記作a＝b.注意：(1)平行向量也稱為共線向量，兩個(gè)概念沒有區(qū)別．(2)共線向量所在直線可以平行，與平面幾何中的共線不同．(3)平行向量可以共線，與平面幾何中的直線平行不同．5.向量的表示【經(jīng)典例題】例題1.判斷下列命題是否正確，請(qǐng)說(shuō)明理由：(1)若向量a與b同向，且|a|>|b|，則a>b；(2)若向量|a|＝|b|，則a與b的長(zhǎng)度相等且方向相同或相反；(3)對(duì)于任意向量|a|＝|b|，若a與b的方向相同，則a＝b；(4)由于0方向不確定，故0不與任意向量平行；(5)向量a與向量b平行，則向量a與b方向相同或相反．【答案】（1）不正確（2）不正確（3）正確（4）不正確（5）不正確【解析】(1)不正確．因?yàn)橄蛄坑蓛蓚€(gè)因素來(lái)確定，即大小和方向，所以兩個(gè)向量不能比較大?。?2)不正確．由|a|＝|b|只能判斷兩向量長(zhǎng)度相等，不能確定它們的方向關(guān)系．(3)正確．因?yàn)閨a|＝|b|，且a與b同向，由兩向量相等的條件，可得a＝b.(4)不正確．依據(jù)規(guī)定：0與任意向量平行．(5)不正確．因?yàn)橄蛄縜與向量b若有一個(gè)是零向量，則其方向不定．例題2：某人從A點(diǎn)出發(fā)向東走了5米到達(dá)B點(diǎn)，然后改變方向沿東北方向走了102米到達(dá)C點(diǎn)，到達(dá)C點(diǎn)后又改變方向向西走了10米到達(dá)D點(diǎn)．(1)作出向量，，；(2)求的模．【解析】(1)作出向量，，，如圖所示：(2)由題意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝102米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝52＋102＝55(米)，所以||＝55米.例題3.如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c.(1)與a的長(zhǎng)度相等、方向相反的向量有哪些？(2)與a共線的向量有哪些？(3)請(qǐng)一一列出與a，b，c相等的向量．【解析】由圖可得，牢牢把控定義【當(dāng)堂檢測(cè)】一．選擇題（共6小題）1．下列說(shuō)法正確的是A．零向量沒有方向 B．向量就是有向線段 C．只有零向量的模長(zhǎng)等于0 D．單位向量都相等2．有下列命題：①兩個(gè)相等向量，若它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；②若，則；③若，則四邊形是平行四邊形；④若，，則；⑤若，，則；⑥有向線段就是向量，向量就是有向線段．其中，假命題的個(gè)數(shù)是A．2 B．3 C．4 D．53．下列說(shuō)法正確的是A．若 B．若 C．若 D．若4．（共線向量的概念）下列命題中，正確的是A．若，則與方向相同或相反 B．若，，則 C．若兩個(gè)單位向量互相平行，則這兩個(gè)單位向量相等 D．若，，則5．在四邊形中，且，則四邊形的形狀一定是A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形6．給出下列命題：①零向量的長(zhǎng)度為零，方向是任意的：②若，都是單位向量，則；③向量與相等，則所有正確命題的序號(hào)是A．① B．③ C．①③ D．①②二．多選題（共1小題）7．下列有關(guān)向量命題，不正確的是A．若，則 B．已知，且，則 C．若，，則 D．若，則且當(dāng)堂檢測(cè)答案一．選擇題（共6小題）1．下列說(shuō)法正確的是A．零向量沒有方向 B．向量就是有向線段 C．只有零向量的模長(zhǎng)等于0 D．單位向量都相等【分析】根據(jù)零向量，單位向量、有向線段的定義即可判斷出結(jié)論．【解答】解：零向量的方向是任意的，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；有向線段只是向量的一種表示形式，兩者不等同，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；只有零向量的模長(zhǎng)等0，故選項(xiàng)正確；單位向量模長(zhǎng)相等，單位向量若方向不同，則不是相等向量，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了零向量，單位向量、有向線段的定義，考查了推理能力與概念辨析能力，屬于基礎(chǔ)題．2．有下列命題：①兩個(gè)相等向量，若它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；②若，則；③若，則四邊形是平行四邊形；④若，，則；⑤若，，則；⑥有向線段就是向量，向量就是有向線段．其中，假命題的個(gè)數(shù)是A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根據(jù)平面向量的基本概念，對(duì)選項(xiàng)中的命題判斷真假性即可．【解答】解：對(duì)于①，兩個(gè)相等向量時(shí)，它們的起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同，①正確；對(duì)于②，若，則、不一定相同，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，若，、不一定相等，四邊形不一定是平行四邊形，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，若，，則，④正確；對(duì)于⑤，若，，當(dāng)時(shí)，不一定成立，⑤錯(cuò)誤；對(duì)于⑥，有向線段不是向量，向量可以用有向線段表示，⑥錯(cuò)誤；綜上，假命題是②③⑤⑥，共4個(gè)．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的基本概念與應(yīng)用問(wèn)題，是綜合題．3．下列說(shuō)法正確的是A．若 B．若 C．若 D．若【分析】根據(jù)平面向量的基本概念，對(duì)選項(xiàng)中的命題分析、判斷正誤即可．【解答】解：對(duì)于，向量是矢量，不能比較大小，錯(cuò)誤；對(duì)于，向量相等時(shí)，模長(zhǎng)相等且方向相同，錯(cuò)誤；對(duì)于，若時(shí)，與方向相同，則、共線，正確；對(duì)于，若時(shí)，也可能與方向相同或相反，即、可能共線，錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的基本概念與應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．4．（共線向量的概念）下列命題中，正確的是A．若，則與方向相同或相反 B．若，，則 C．若兩個(gè)單位向量互相平行，則這兩個(gè)單位向量相等 D．若，，則【分析】本題考查的主要知識(shí)點(diǎn)是向量平行（共線）的定義及性質(zhì)，根據(jù)平面向量平行（共線）的定義和性質(zhì)，對(duì)四個(gè)答案逐一進(jìn)行分析，不難得到答案．【解答】解：由于零向量的方向是任意的，取，則對(duì)于任意向量，都有，知錯(cuò)；取，則對(duì)于任意向量，都有，，但得不到，知錯(cuò)；兩個(gè)單位向量互相平行，方向可能相反，知錯(cuò)；由兩向量相等的概念知正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】在判斷兩個(gè)向量的關(guān)系時(shí)，特別是在判斷兩個(gè)向量的平行（共線）關(guān)系，一定要注意兩個(gè)向量的平行（共線）的定義分為兩部分：①與任何向量都平行（共線）②如果兩個(gè)非零向量的方向相同（或相反），則兩個(gè)向量平行（共線）．故一定要考慮條件中的向量是否為零向量．5．在四邊形中，且，則四邊形的形狀一定是A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形【分析】利用向量的平行四邊形法則、菱形的定義即可判斷出結(jié)論．【解答】解：在四邊形中，，可得四邊形的形狀一定平行四邊形，又，因此平行四邊形是菱形．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的平行四邊形法則、菱形的定義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6．給出下列命題：①零向量的長(zhǎng)度為零，方向是任意的：②若，都是單位向量，則；③向量與相等，則所有正確命題的序號(hào)是A．① B．③ C．①③ D．①②【分析】根據(jù)零向量和單位向量的定義，易知①正確②錯(cuò)誤，由向量的表示方法可知③錯(cuò)誤．【解答】解：根據(jù)零向量的定義可知①正確；根據(jù)單位向量的定義，單位向量的模相等，但方向可不同，故兩個(gè)單位向量不一定相等，故②錯(cuò)誤；與向量互為相反向量，故③錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考察了向量的基本概念，熟記定義和向量間的相等與相反的含意義，是解決本題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．二．多選題（共1小題）7．下列有關(guān)向量命題，不正確的是A