平面向量的概念【新教材】人教A版高中數(shù)學必修同步講義（Word）

第六章平面向量及其應用平面向量的概念【課程標準】通過對力、速度、位移等物理量的分析，了解平面向量的實際背景，理解平面向量的意義和兩個向量相等的含義理解平面向量的幾何表示和基本要素【知識要點歸納】1．向量的概念及表示概念：既有大小又有方向的量．2.有向線段①定義：具有方向的線段．②三個要素：起點、方向、長度．③表示：在有向線段的終點處畫上箭頭表示它的方向．以A為起點、B為終點的有向線段記作．④長度：線段AB的長度也叫做有向線段的長度，記作.注意：(1)判斷一個量是否為向量，就要看它是否具備大小和方向兩個因素．(2)用有向線段表示向量時，要注意的方向是由點A指向點B，點A是向量的起點，點B是向量的終點．3．向量的有關概念(1)向量的模(長度)：向量的大小，稱為向量的長度(或稱模)，記作．(2)零向量：長度為0的向量，記作0.(3)單位向量：長度等于1個單位長度的向量．4．兩個向量間的關系(1)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共線向量．若a，b是平行向量，記作a∥b.規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對任意向量a，都有0∥a．(2)相等向量：長度相等且方向相同的向量，若a，b是相等向量，記作a＝b.注意：(1)平行向量也稱為共線向量，兩個概念沒有區(qū)別．(2)共線向量所在直線可以平行，與平面幾何中的共線不同．(3)平行向量可以共線，與平面幾何中的直線平行不同．5.向量的表示【經(jīng)典例題】例題1.判斷下列命題是否正確，請說明理由：(1)若向量a與b同向，且|a|>|b|，則a>b；(2)若向量|a|＝|b|，則a與b的長度相等且方向相同或相反；(3)對于任意向量|a|＝|b|，若a與b的方向相同，則a＝b；(4)由于0方向不確定，故0不與任意向量平行；(5)向量a與向量b平行，則向量a與b方向相同或相反．【答案】（1）不正確（2）不正確（3）正確（4）不正確（5）不正確【解析】(1)不正確．因為向量由兩個因素來確定，即大小和方向，所以兩個向量不能比較大?。?2)不正確．由|a|＝|b|只能判斷兩向量長度相等，不能確定它們的方向關系．(3)正確．因為|a|＝|b|，且a與b同向，由兩向量相等的條件，可得a＝b.(4)不正確．依據(jù)規(guī)定：0與任意向量平行．(5)不正確．因為向量a與向量b若有一個是零向量，則其方向不定．例題2：某人從A點出發(fā)向東走了5米到達B點，然后改變方向沿東北方向走了102米到達C點，到達C點后又改變方向向西走了10米到達D點．(1)作出向量，，；(2)求的模．【解析】(1)作出向量，，，如圖所示：(2)由題意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝102米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝52＋102＝55(米)，所以||＝55米.例題3.如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c.(1)與a的長度相等、方向相反的向量有哪些？(2)與a共線的向量有哪些？(3)請一一列出與a，b，c相等的向量．【解析】由圖可得，牢牢把控定義【當堂檢測】一．選擇題（共6小題）1．下列說法正確的是A．零向量沒有方向 B．向量就是有向線段 C．只有零向量的模長等于0 D．單位向量都相等2．有下列命題：①兩個相等向量，若它們的起點相同，終點也相同；②若，則；③若，則四邊形是平行四邊形；④若，，則；⑤若，，則；⑥有向線段就是向量，向量就是有向線段．其中，假命題的個數(shù)是A．2 B．3 C．4 D．53．下列說法正確的是A．若 B．若 C．若 D．若4．（共線向量的概念）下列命題中，正確的是A．若，則與方向相同或相反 B．若，，則 C．若兩個單位向量互相平行，則這兩個單位向量相等 D．若，，則5．在四邊形中，且，則四邊形的形狀一定是A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形6．給出下列命題：①零向量的長度為零，方向是任意的：②若，都是單位向量，則；③向量與相等，則所有正確命題的序號是A．① B．③ C．①③ D．①②二．多選題（共1小題）7．下列有關向量命題，不正確的是A．若，則 B．已知，且，則 C．若，，則 D．若，則且當堂檢測答案一．選擇題（共6小題）1．下列說法正確的是A．零向量沒有方向 B．向量就是有向線段 C．只有零向量的模長等于0 D．單位向量都相等【分析】根據(jù)零向量，單位向量、有向線段的定義即可判斷出結論．【解答】解：零向量的方向是任意的，故選項錯誤；有向線段只是向量的一種表示形式，兩者不等同，故選項錯誤；只有零向量的模長等0，故選項正確；單位向量模長相等，單位向量若方向不同，則不是相等向量，故選項錯誤．故選：．【點評】本題考查了零向量，單位向量、有向線段的定義，考查了推理能力與概念辨析能力，屬于基礎題．2．有下列命題：①兩個相等向量，若它們的起點相同，終點也相同；②若，則；③若，則四邊形是平行四邊形；④若，，則；⑤若，，則；⑥有向線段就是向量，向量就是有向線段．其中，假命題的個數(shù)是A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根據(jù)平面向量的基本概念，對選項中的命題判斷真假性即可．【解答】解：對于①，兩個相等向量時，它們的起點相同，則終點也相同，①正確；對于②，若，則、不一定相同，②錯誤；對于③，若，、不一定相等，四邊形不一定是平行四邊形，③錯誤；對于④，若，，則，④正確；對于⑤，若，，當時，不一定成立，⑤錯誤；對于⑥，有向線段不是向量，向量可以用有向線段表示，⑥錯誤；綜上，假命題是②③⑤⑥，共4個．故選：．【點評】本題考查了平面向量的基本概念與應用問題，是綜合題．3．下列說法正確的是A．若 B．若 C．若 D．若【分析】根據(jù)平面向量的基本概念，對選項中的命題分析、判斷正誤即可．【解答】解：對于，向量是矢量，不能比較大小，錯誤；對于，向量相等時，模長相等且方向相同，錯誤；對于，若時，與方向相同，則、共線，正確；對于，若時，也可能與方向相同或相反，即、可能共線，錯誤．故選：．【點評】本題考查了平面向量的基本概念與應用問題，是基礎題．4．（共線向量的概念）下列命題中，正確的是A．若，則與方向相同或相反 B．若，，則 C．若兩個單位向量互相平行，則這兩個單位向量相等 D．若，，則【分析】本題考查的主要知識點是向量平行（共線）的定義及性質(zhì)，根據(jù)平面向量平行（共線）的定義和性質(zhì)，對四個答案逐一進行分析，不難得到答案．【解答】解：由于零向量的方向是任意的，取，則對于任意向量，都有，知錯；取，則對于任意向量，都有，，但得不到，知錯；兩個單位向量互相平行，方向可能相反，知錯；由兩向量相等的概念知正確．故選：．【點評】在判斷兩個向量的關系時，特別是在判斷兩個向量的平行（共線）關系，一定要注意兩個向量的平行（共線）的定義分為兩部分：①與任何向量都平行（共線）②如果兩個非零向量的方向相同（或相反），則兩個向量平行（共線）．故一定要考慮條件中的向量是否為零向量．5．在四邊形中，且，則四邊形的形狀一定是A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形【分析】利用向量的平行四邊形法則、菱形的定義即可判斷出結論．【解答】解：在四邊形中，，可得四邊形的形狀一定平行四邊形，又，因此平行四邊形是菱形．故選：．【點評】本題考查了向量的平行四邊形法則、菱形的定義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．6．給出下列命題：①零向量的長度為零，方向是任意的：②若，都是單位向量，則；③向量與相等，則所有正確命題的序號是A．① B．③ C．①③ D．①②【分析】根據(jù)零向量和單位向量的定義，易知①正確②錯誤，由向量的表示方法可知③錯誤．【解答】解：根據(jù)零向量的定義可知①正確；根據(jù)單位向量的定義，單位向量的模相等，但方向可不同，故兩個單位向量不一定相等，故②錯誤；與向量互為相反向量，故③錯誤．故選：．【點評】本題考察了向量的基本概念，熟記定義和向量間的相等與相反的含意義，是解決本題的關鍵，屬基礎題．二．多選題（共1小題）7．下列有關向量命題，不正確的是A