《用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)分析兩條二次曲線相切問題》

發(fā)表于《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》2009年第7期下面所闡述的兩曲線的相切問題，在高中階段雖要求不高或不做要求，但因?yàn)槿藗儗W(xué)過(guò)直線與曲線相切，再加上在一些考試或競(jìng)賽中也從不同的角度涉及到過(guò)，所以會(huì)自然地思考這方面問題。而多數(shù)人會(huì)思維定勢(shì)地用直線與曲線相切的思想來(lái)處理兩曲線的相切問題，卻出問題了，產(chǎn)生了迷茫。因高中階段對(duì)兩二次曲線的位置關(guān)系的討論和應(yīng)用不作要求，即使有相關(guān)的問題，也是非常特殊的情況。所以一般情況下教師和學(xué)生不會(huì)去作進(jìn)一步探索或拓展，以至于絕大部分學(xué)生大學(xué)畢業(yè)回到中學(xué)當(dāng)老師后必須面對(duì)這個(gè)問題時(shí)，仍感到棘手或迷茫，不能給學(xué)生做出正確的、合理的、恰當(dāng)?shù)慕忉尅Ｏ旅娓鶕?jù)高中階段的實(shí)際情況，盡量避開繁瑣與抽象，用形象直觀的運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)對(duì)此問題作出分析，希望能對(duì)老師們、同學(xué)們有所啟迪。適合高中用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)分析兩條二次曲線相切的問題山東省桓臺(tái)第一中學(xué)蘇同安在高中的教學(xué)或?qū)W習(xí)過(guò)程中，部分教師與絕大多數(shù)學(xué)生可能是受教學(xué)或?qū)W習(xí)范圍的約束，抑或是由于認(rèn)識(shí)問題的深刻性、廣泛性不夠，對(duì)某些重要數(shù)學(xué)問題的理解或思想方法的認(rèn)識(shí)往往停留在表面上，以至于對(duì)這些問題的學(xué)習(xí)或講解也停留在表面的記憶或形式上，造成既不能形象直觀地恰當(dāng)分析，更不能深入淺出地適度拓展，從而形成不良的思維定式，導(dǎo)致對(duì)一系列問題及思想方法產(chǎn)生疑惑，感到迷茫，出現(xiàn)錯(cuò)誤。下面就一典型問題進(jìn)行分析、闡述，希望能給老師們、同學(xué)們帶來(lái)一點(diǎn)啟迪，便于連續(xù)地、廣泛地、深刻地教學(xué)或?qū)W習(xí)。更希望各位能參與進(jìn)來(lái)，展開交流、不斷完善、共同提高，促進(jìn)教科研的發(fā)展。直線Ax+By+c=0與二次曲線Ax2+By2+Dx+Ey+F二0相切，由此兩方程消元后所得的一元二次方程的根的判別式△=0,這都知道。而其中的直線與拋物線或雙曲線的關(guān)系中，有一個(gè)公共點(diǎn)不一定是相切，這是因?yàn)橹本€平行于拋物線的對(duì)稱軸或是直線平行于雙曲線的漸近線時(shí)，它們有一個(gè)公共點(diǎn)，但不是相切。此時(shí)，由它們的方程消元后所得的是一個(gè)一元一次方程，所以就談不上根的判別式了。因?yàn)橄嘟坏那闆r是相應(yīng)的根的判別式△>0。所以，人們自然會(huì)把相切的關(guān)系與厶=0等價(jià)起來(lái)（此種情形下是正確的）。因?yàn)榻^大多數(shù)人沒有進(jìn)一步從不同角度去深刻理解這三種關(guān)系的本質(zhì)。所以在遇到兩條二次曲線的位置關(guān)系（尤其是相切）時(shí)，再類比這種認(rèn)識(shí)不夠深刻的4=0的思想方法來(lái)處理相切的位置關(guān)系時(shí)，卻出問題了，不等價(jià)了，產(chǎn)生了迷茫。因高中階段對(duì)兩二次曲線的位置關(guān)系的討論和應(yīng)用不作要求，即使有相關(guān)的問題，也是非常特殊的情況。所以一般情況下教師和學(xué)生不會(huì)去作進(jìn)一步探索

或拓展，以至于絕大部分學(xué)生大學(xué)畢業(yè)回到中學(xué)當(dāng)老師后必須面對(duì)這個(gè)問題時(shí)，仍感到棘手或迷茫，不能給學(xué)生做出正確的、合理的、恰當(dāng)?shù)慕忉?。一、由具體問題說(shuō)起：?jiǎn)栴}1.圓（x+2）2+乎二4與拋物乎二4x相切于原點(diǎn)。由這兩個(gè)方程消y后得：x2+8x=0，根的判別式△二64工0。問題2.圓（x-2）2+（y-2）2=2與雙曲線（x-2）2-（y-2）2=2相切于兩點(diǎn)。由這兩個(gè)方程消y后得：X2-4x+2=0，根的判別式△=8工0；由這兩個(gè)方程消x后得：y2-4y+4=0,根的判別式4=0.問題3.（高考題）設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率e=—,3已知點(diǎn)p（0,2）到這個(gè)橢圓上點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為、刁，求這個(gè)橢圓的方程，并求橢圓上到p的距離等于叮7的點(diǎn)的坐標(biāo)。a>b>0)由已知得：x2y2a>b>0)由已知得：解：設(shè)橢圓方程為—+—=1a2b2得A2=4b2，所以橢圓方程為：X2+4Y2-4b2二0TOC\o"1-5"\h\z以點(diǎn)p（0,2）為圓心，p7為半徑的圓的方程為：x2+（y一2）2=7 ②19\o"CurrentDocument"由①、②得：3y2+3y+ —4b2=0 ③4???相切,.?.△=0 得b2二1,A2二4得橢圓方程為：〒+=1 點(diǎn)P（土七3,入）\o"CurrentDocument"4 1 2上述三個(gè)問題均是關(guān)于兩條二次曲線相切或運(yùn)用兩條二次曲線相切的問題。這說(shuō)明了兩條二次曲線相切時(shí)，所得的一元二次方程的根的判別式△不一定為零，而問題3卻用了4=0（還是一高考題，當(dāng)然還有其它解法），且沒有說(shuō)明原因，這樣做正確嗎？使許多人迷惑不解，不知怎樣去處理這樣的問題。面根據(jù)高中階段的教學(xué)和學(xué)習(xí)情況，從直線與圓錐曲線的關(guān)系開始，用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)形象直觀地剖析一下這個(gè)問題。二、用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)論述直線與圓錐曲線的位置關(guān)系首先用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)分析一下直線l與拋物線C的位置關(guān)系與方程的根的關(guān)系:l2

l2直線l與拋物線C交于兩不同的點(diǎn)M、P,設(shè)這兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x0、x2，下面讓直線1繞點(diǎn)M開始旋轉(zhuǎn)，逆時(shí)針轉(zhuǎn)到與拋物線相切于點(diǎn)M為止，此時(shí)切線為10;順時(shí)針轉(zhuǎn)到與拋物線的對(duì)稱軸平行為止，設(shè)此時(shí)直線為12.可以直觀地看到：在逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，兩交點(diǎn)在不斷接近，不相切時(shí)，兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)不同，這時(shí)對(duì)應(yīng)的一元二次方程有兩不同的實(shí)根，當(dāng)轉(zhuǎn)到相切時(shí)，兩交點(diǎn)重合，對(duì)應(yīng)方程的兩根相同，即有重根，此時(shí)的根的判別式當(dāng)然為零；而順時(shí)針向的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，兩交點(diǎn)距離越來(lái)越遠(yuǎn)，當(dāng)轉(zhuǎn)到與對(duì)稱軸平行時(shí)，另一個(gè)交點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)處消失了，只剩一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)形成唯一一個(gè)交點(diǎn)不是兩交點(diǎn)重合所致，對(duì)應(yīng)的方程只有一個(gè)根，不是兩重根，是一次方程，所以就談不上根的判別式了。下面用這種直觀的、運(yùn)動(dòng)的思想來(lái)分析一下兩條二次曲線(對(duì)稱軸平行或重合于坐標(biāo)軸)的位置關(guān)系。三、用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)論述兩二次曲線的位置關(guān)系對(duì)于下列常見二次曲線：圓： (x—x0)2+(y-y0)2=r2拋物線：(y-y0)2=2p(x-x0)或(x-x0)2=2p(y-y0)橢圓：m(x—x0)2+n(y-y0)2=1雙曲線：a(x—x0)2—b(y-y0)2=1由其中的兩個(gè)方程聯(lián)立方程組消元時(shí)，兩曲線的對(duì)稱軸至少有一條重合時(shí)，才能得到一個(gè)一元二次方程，所以，在這里分析的是此種情況下的兩條二次曲線的位置關(guān)系。首先用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)感受一下圓和拋物線的位置關(guān)系的變化及聯(lián)系，從而得到相應(yīng)的一元二次方程的根的判別式及根的情況。不妨用開口朝右的拋物線和圓心在拋物線的對(duì)稱軸上的圓(如下圖)來(lái)進(jìn)行分析，設(shè)由它們的方程消元后會(huì)得到一個(gè)關(guān)于x的二次方程為：ax2+bx+c=0 (I)它們最多有四個(gè)交點(diǎn)，現(xiàn)從四個(gè)交點(diǎn)的情況開始，通過(guò)直觀的運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生出這兩條曲線各種相切的情況及相應(yīng)的方程的根及根的判別式的變化情況：④④圖①中，兩曲線有四個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，方程(I)有兩個(gè)不同的實(shí)根，它的根的判別式△〉°?每個(gè)實(shí)根均對(duì)應(yīng)著兩個(gè)y值，所以會(huì)有四組解；圖①中的圓向左運(yùn)動(dòng)，與拋物線相切于頂點(diǎn)(圖②)，此種情況下，方程(I)仍有兩個(gè)實(shí)根，只不過(guò)其中有一個(gè)根x只對(duì)應(yīng)一個(gè)y值，所以△工0；圖②中的圓繼續(xù)向左運(yùn)動(dòng)，形成圖③中的相切情形，通過(guò)運(yùn)動(dòng)過(guò)程來(lái)看，是圖②中右邊

的公共點(diǎn)（切點(diǎn)）先分離、消失（類似于上面所分析的直線與拋物線從相交于兩點(diǎn)到直線與拋物線對(duì)稱軸平行時(shí)有一交點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)消失），因此，此時(shí)的切點(diǎn)不是原來(lái)兩不同的實(shí)根x所對(duì)應(yīng)的不同公共點(diǎn)重合而成，方程（I）仍有兩個(gè)不同實(shí)根，只不過(guò)其中有一個(gè)根x是增根，代入方程y無(wú)解，所以△工0（后面有實(shí)例說(shuō)明）；再分析另外相切的情況：圖④可看為由圖①中的圓逐漸向右運(yùn)動(dòng)或縮小得到，此時(shí)的兩切點(diǎn)是分別由圖①中的上面兩交點(diǎn)和下面兩交點(diǎn)逐步接近最后重合形成，這時(shí)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的兩實(shí)根x也重合成為方程（I）的重根，其△當(dāng)然為零了；圖④中的圓在與拋物線繼續(xù)保持這種相切的情況下，向左縮小、運(yùn)動(dòng)至切于一點(diǎn)的第一時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的相切情形（圖⑤）的厶=0，以后繼續(xù)變化（圓繼續(xù)縮小，如：圖⑥）的相切情形的4^0。下面用一實(shí)例來(lái)說(shuō)明這種情形：拋物線y2=2x，圓x2+y2-2ax=0我們看一下兩曲線相切于（0，0）點(diǎn)的情況由兩方程消去y：x2+（2-2a）x=0x=0，x二2a—212要使兩曲線切于（0,0）且只有一個(gè)公共點(diǎn)，由y2=2x三0,須x2<0,這樣，只有一根x=0，此時(shí)，aWl,也就是當(dāng)aWl且aMO時(shí)，兩曲線相切。其厶=（2—2a）2,只有a=1時(shí)厶=0。其他情況（aVl）,^M0，在這無(wú)數(shù)個(gè)圓與拋物線相切于（0,0）的情況下，只有一種情況的^=0,這就是由上面“運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)”所論述的“第一次相切”的時(shí)候，所以，在做關(guān)于兩二次曲線相切于一點(diǎn)的有關(guān)問題時(shí)，若分析不清，一般不能用4=0來(lái)解決。現(xiàn)在，再用這種思想觀點(diǎn)來(lái)透視一開始給出的高考題，能否運(yùn)用亠0來(lái)解決便沒有疑問了。而前兩個(gè)問題為什么會(huì)出現(xiàn)厶=0或厶工0也會(huì)一清二楚了。圖⑧這樣，對(duì)圓、橢圓、雙曲線、拋物線之間的位置關(guān)系（尤其是相切）與它們所形成的元二次方程的根判別式及根的關(guān)系就能一目了然了，自然會(huì)得出下面的結(jié)論。圖⑨圖⑩等等四、幾個(gè)結(jié)論對(duì)于對(duì)稱軸平行于（或重合于）坐標(biāo)軸，而且至少有一條對(duì)稱軸重合的兩條二次曲線圖⑧這樣，對(duì)圓、橢圓、雙曲線、拋物線之間的位置關(guān)系（尤其是相切）與它們所形成的元二次方程的根判別式及根的關(guān)系就能一目了然了，自然會(huì)得出下面的結(jié)論。圖⑨圖⑩等等四、幾個(gè)結(jié)論對(duì)于對(duì)稱軸平行于（或重合于）坐標(biāo)軸，而且至少有一條對(duì)稱軸重合的兩條二次曲線如果它們有兩個(gè)切點(diǎn)：（1）若兩切點(diǎn)關(guān)于兩曲線的平行于X軸（或重合于X軸）的對(duì)稱軸對(duì)稱，則由兩曲線方程得到的關(guān)于X的二次方程的根的判別式^二。。（2）若兩切點(diǎn)關(guān)于兩曲線的平行于y軸（或重合于y軸）的對(duì)稱軸對(duì)稱，則由兩曲線方程得到的關(guān)于y的二次方程的根的判別式7。本文開始所列問題3（高考題）中的兩切點(diǎn)關(guān)于兩曲線的對(duì)稱軸y軸對(duì)稱，所以，得到的關(guān)于y的二次方程的判別式ArO,而問題2中的兩切點(diǎn)關(guān)于兩曲線平行于y軸的對(duì)稱軸對(duì)稱，所得到的x的二次方程△=8工0,是正常的。而關(guān)于y的二次方程△一定為0.如果它們有一個(gè)切點(diǎn)：（1） 若此切點(diǎn)可看作兩曲線從有四個(gè)交點(diǎn)這樣運(yùn)動(dòng)形成：四個(gè)交點(diǎn)最終同時(shí)重合于一點(diǎn)、形成切點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，此時(shí)，相應(yīng)的心0；若在相切不變的情況下繼續(xù)變化（如：縮小。如圖⑦），所對(duì)應(yīng)的4^0。（2） 若此切點(diǎn)可看作兩曲線從有四個(gè)交點(diǎn)這樣運(yùn)動(dòng)形成：只是四個(gè)交點(diǎn)中有兩個(gè)點(diǎn)重合于一點(diǎn)，形成切點(diǎn)，而不是四交點(diǎn)同時(shí)重合于一切點(diǎn)（如圖②、③所展示的情形）其二次方程的20。這里只是從兩條曲線的關(guān)系中的