《用運動的觀點分析兩條二次曲線相切問題》

發(fā)表于《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》2009年第7期下面所闡述的兩曲線的相切問題，在高中階段雖要求不高或不做要求，但因為人們學(xué)過直線與曲線相切，再加上在一些考試或競賽中也從不同的角度涉及到過，所以會自然地思考這方面問題。而多數(shù)人會思維定勢地用直線與曲線相切的思想來處理兩曲線的相切問題，卻出問題了，產(chǎn)生了迷茫。因高中階段對兩二次曲線的位置關(guān)系的討論和應(yīng)用不作要求，即使有相關(guān)的問題，也是非常特殊的情況。所以一般情況下教師和學(xué)生不會去作進一步探索或拓展，以至于絕大部分學(xué)生大學(xué)畢業(yè)回到中學(xué)當(dāng)老師后必須面對這個問題時，仍感到棘手或迷茫，不能給學(xué)生做出正確的、合理的、恰當(dāng)?shù)慕忉?。下面根?jù)高中階段的實際情況，盡量避開繁瑣與抽象，用形象直觀的運動觀點對此問題作出分析，希望能對老師們、同學(xué)們有所啟迪。適合高中用運動的觀點分析兩條二次曲線相切的問題山東省桓臺第一中學(xué)蘇同安在高中的教學(xué)或?qū)W習(xí)過程中，部分教師與絕大多數(shù)學(xué)生可能是受教學(xué)或?qū)W習(xí)范圍的約束，抑或是由于認識問題的深刻性、廣泛性不夠，對某些重要數(shù)學(xué)問題的理解或思想方法的認識往往停留在表面上，以至于對這些問題的學(xué)習(xí)或講解也停留在表面的記憶或形式上，造成既不能形象直觀地恰當(dāng)分析，更不能深入淺出地適度拓展，從而形成不良的思維定式，導(dǎo)致對一系列問題及思想方法產(chǎn)生疑惑，感到迷茫，出現(xiàn)錯誤。下面就一典型問題進行分析、闡述，希望能給老師們、同學(xué)們帶來一點啟迪，便于連續(xù)地、廣泛地、深刻地教學(xué)或?qū)W習(xí)。更希望各位能參與進來，展開交流、不斷完善、共同提高，促進教科研的發(fā)展。直線Ax+By+c=0與二次曲線Ax2+By2+Dx+Ey+F二0相切，由此兩方程消元后所得的一元二次方程的根的判別式△=0,這都知道。而其中的直線與拋物線或雙曲線的關(guān)系中，有一個公共點不一定是相切，這是因為直線平行于拋物線的對稱軸或是直線平行于雙曲線的漸近線時，它們有一個公共點，但不是相切。此時，由它們的方程消元后所得的是一個一元一次方程，所以就談不上根的判別式了。因為相交的情況是相應(yīng)的根的判別式△>0。所以，人們自然會把相切的關(guān)系與厶=0等價起來（此種情形下是正確的）。因為絕大多數(shù)人沒有進一步從不同角度去深刻理解這三種關(guān)系的本質(zhì)。所以在遇到兩條二次曲線的位置關(guān)系（尤其是相切）時，再類比這種認識不夠深刻的4=0的思想方法來處理相切的位置關(guān)系時，卻出問題了，不等價了，產(chǎn)生了迷茫。因高中階段對兩二次曲線的位置關(guān)系的討論和應(yīng)用不作要求，即使有相關(guān)的問題，也是非常特殊的情況。所以一般情況下教師和學(xué)生不會去作進一步探索

或拓展，以至于絕大部分學(xué)生大學(xué)畢業(yè)回到中學(xué)當(dāng)老師后必須面對這個問題時，仍感到棘手或迷茫，不能給學(xué)生做出正確的、合理的、恰當(dāng)?shù)慕忉?。一、由具體問題說起：問題1.圓（x+2）2+乎二4與拋物乎二4x相切于原點。由這兩個方程消y后得：x2+8x=0，根的判別式△二64工0。問題2.圓（x-2）2+（y-2）2=2與雙曲線（x-2）2-（y-2）2=2相切于兩點。由這兩個方程消y后得：X2-4x+2=0，根的判別式△=8工0；由這兩個方程消x后得：y2-4y+4=0,根的判別式4=0.問題3.（高考題）設(shè)橢圓的中心是坐標原點，長軸在x軸上，離心率e=—,3已知點p（0,2）到這個橢圓上點的最遠距離為、刁，求這個橢圓的方程，并求橢圓上到p的距離等于叮7的點的坐標。a>b>0)由已知得：x2y2a>b>0)由已知得：解：設(shè)橢圓方程為—+—=1a2b2得A2=4b2，所以橢圓方程為：X2+4Y2-4b2二0TOC\o"1-5"\h\z以點p（0,2）為圓心，p7為半徑的圓的方程為：x2+（y一2）2=7 ②19\o"CurrentDocument"由①、②得：3y2+3y+ —4b2=0 ③4???相切,.?.△=0 得b2二1,A2二4得橢圓方程為：〒+=1 點P（土七3,入）\o"CurrentDocument"4 1 2上述三個問題均是關(guān)于兩條二次曲線相切或運用兩條二次曲線相切的問題。這說明了兩條二次曲線相切時，所得的一元二次方程的根的判別式△不一定為零，而問題3卻用了4=0（還是一高考題，當(dāng)然還有其它解法），且沒有說明原因，這樣做正確嗎？使許多人迷惑不解，不知怎樣去處理這樣的問題。面根據(jù)高中階段的教學(xué)和學(xué)習(xí)情況，從直線與圓錐曲線的關(guān)系開始，用運動的觀點形象直觀地剖析一下這個問題。二、用運動的觀點論述直線與圓錐曲線的位置關(guān)系首先用運動的觀點來分析一下直線l與拋物線C的位置關(guān)系與方程的根的關(guān)系:l2

l2直線l與拋物線C交于兩不同的點M、P,設(shè)這兩點的橫坐標分別為x0、x2，下面讓直線1繞點M開始旋轉(zhuǎn)，逆時針轉(zhuǎn)到與拋物線相切于點M為止，此時切線為10;順時針轉(zhuǎn)到與拋物線的對稱軸平行為止，設(shè)此時直線為12.可以直觀地看到：在逆時針旋轉(zhuǎn)過程中，兩交點在不斷接近，不相切時，兩交點的橫坐標不同，這時對應(yīng)的一元二次方程有兩不同的實根，當(dāng)轉(zhuǎn)到相切時，兩交點重合，對應(yīng)方程的兩根相同，即有重根，此時的根的判別式當(dāng)然為零；而順時針向的旋轉(zhuǎn)過程中，兩交點距離越來越遠，當(dāng)轉(zhuǎn)到與對稱軸平行時，另一個交點在無窮遠處消失了，只剩一個交點，此時形成唯一一個交點不是兩交點重合所致，對應(yīng)的方程只有一個根，不是兩重根，是一次方程，所以就談不上根的判別式了。下面用這種直觀的、運動的思想來分析一下兩條二次曲線(對稱軸平行或重合于坐標軸)的位置關(guān)系。三、用運動的觀點論述兩二次曲線的位置關(guān)系對于下列常見二次曲線：圓： (x—x0)2+(y-y0)2=r2拋物線：(y-y0)2=2p(x-x0)或(x-x0)2=2p(y-y0)橢圓：m(x—x0)2+n(y-y0)2=1雙曲線：a(x—x0)2—b(y-y0)2=1由其中的兩個方程聯(lián)立方程組消元時，兩曲線的對稱軸至少有一條重合時，才能得到一個一元二次方程，所以，在這里分析的是此種情況下的兩條二次曲線的位置關(guān)系。首先用運動的觀點來感受一下圓和拋物線的位置關(guān)系的變化及聯(lián)系，從而得到相應(yīng)的一元二次方程的根的判別式及根的情況。不妨用開口朝右的拋物線和圓心在拋物線的對稱軸上的圓(如下圖)來進行分析，設(shè)由它們的方程消元后會得到一個關(guān)于x的二次方程為：ax2+bx+c=0 (I)它們最多有四個交點，現(xiàn)從四個交點的情況開始，通過直觀的運動，產(chǎn)生出這兩條曲線各種相切的情況及相應(yīng)的方程的根及根的判別式的變化情況：④④圖①中，兩曲線有四個交點，此時，方程(I)有兩個不同的實根，它的根的判別式△〉°?每個實根均對應(yīng)著兩個y值，所以會有四組解；圖①中的圓向左運動，與拋物線相切于頂點(圖②)，此種情況下，方程(I)仍有兩個實根，只不過其中有一個根x只對應(yīng)一個y值，所以△工0；圖②中的圓繼續(xù)向左運動，形成圖③中的相切情形，通過運動過程來看，是圖②中右邊

的公共點（切點）先分離、消失（類似于上面所分析的直線與拋物線從相交于兩點到直線與拋物線對稱軸平行時有一交點在無窮遠消失），因此，此時的切點不是原來兩不同的實根x所對應(yīng)的不同公共點重合而成，方程（I）仍有兩個不同實根，只不過其中有一個根x是增根，代入方程y無解，所以△工0（后面有實例說明）；再分析另外相切的情況：圖④可看為由圖①中的圓逐漸向右運動或縮小得到，此時的兩切點是分別由圖①中的上面兩交點和下面兩交點逐步接近最后重合形成，這時，點對應(yīng)的兩實根x也重合成為方程（I）的重根，其△當(dāng)然為零了；圖④中的圓在與拋物線繼續(xù)保持這種相切的情況下，向左縮小、運動至切于一點的第一時刻所對應(yīng)的相切情形（圖⑤）的厶=0，以后繼續(xù)變化（圓繼續(xù)縮小，如：圖⑥）的相切情形的4^0。下面用一實例來說明這種情形：拋物線y2=2x，圓x2+y2-2ax=0我們看一下兩曲線相切于（0，0）點的情況由兩方程消去y：x2+（2-2a）x=0x=0，x二2a—212要使兩曲線切于（0,0）且只有一個公共點，由y2=2x三0,須x2<0,這樣，只有一根x=0，此時，aWl,也就是當(dāng)aWl且aMO時，兩曲線相切。其厶=（2—2a）2,只有a=1時厶=0。其他情況（aVl）,^M0，在這無數(shù)個圓與拋物線相切于（0,0）的情況下，只有一種情況的^=0,這就是由上面“運動觀點”所論述的“第一次相切”的時候，所以，在做關(guān)于兩二次曲線相切于一點的有關(guān)問題時，若分析不清，一般不能用4=0來解決。現(xiàn)在，再用這種思想觀點來透視一開始給出的高考題，能否運用亠0來解決便沒有疑問了。而前兩個問題為什么會出現(xiàn)厶=0或厶工0也會一清二楚了。圖⑧這樣，對圓、橢圓、雙曲線、拋物線之間的位置關(guān)系（尤其是相切）與它們所形成的元二次方程的根判別式及根的關(guān)系就能一目了然了，自然會得出下面的結(jié)論。圖⑨圖⑩等等四、幾個結(jié)論對于對稱軸平行于（或重合于）坐標軸，而且至少有一條對稱軸重合的兩條二次曲線圖⑧這樣，對圓、橢圓、雙曲線、拋物線之間的位置關(guān)系（尤其是相切）與它們所形成的元二次方程的根判別式及根的關(guān)系就能一目了然了，自然會得出下面的結(jié)論。圖⑨圖⑩等等四、幾個結(jié)論對于對稱軸平行于（或重合于）坐標軸，而且至少有一條對稱軸重合的兩條二次曲線如果它們有兩個切點：（1）若兩切點關(guān)于兩曲線的平行于X軸（或重合于X軸）的對稱軸對稱，則由兩曲線方程得到的關(guān)于X的二次方程的根的判別式^二。。（2）若兩切點關(guān)于兩曲線的平行于y軸（或重合于y軸）的對稱軸對稱，則由兩曲線方程得到的關(guān)于y的二次方程的根的判別式7。本文開始所列問題3（高考題）中的兩切點關(guān)于兩曲線的對稱軸y軸對稱，所以，得到的關(guān)于y的二次方程的判別式ArO,而問題2中的兩切點關(guān)于兩曲線平行于y軸的對稱軸對稱，所得到的x的二次方程△=8工0,是正常的。而關(guān)于y的二次方程△一定為0.如果它們有一個切點：（1） 若此切點可看作兩曲線從有四個交點這樣運動形成：四個交點最終同時重合于一點、形成切點停止運動，此時，相應(yīng)的心0；若在相切不變的情況下繼續(xù)變化（如：縮小。如圖⑦），所對應(yīng)的4^0。（2） 若此切點可看作兩曲線從有四個交點這樣運動形成：只是四個交點中有兩個點重合于一點，形成切點，而不是四交點同時重合于一切點（如圖②、③所展示的情形）其二次方程的20。這里只是從兩條曲線的關(guān)系中的