學(xué)案推理與證明

學(xué)案推理與證明第一頁，共四十頁，2022年，8月28日推理與證明1.了解合情推理的含義,能進(jìn)行簡單的歸納推理和類比推理,體會(huì)并認(rèn)識合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用.2.了解演繹推理的含義,了解合情推理和演繹推理的聯(lián)系和差異;掌握演繹推理的“三段論”，能運(yùn)用“三段論”進(jìn)行一些簡單的演繹推理.3.了解直接證明的兩種基本方法——綜合法和分析法;了解綜合法和分析法的思考過程和特點(diǎn).4.了解反證法的思考過程和特點(diǎn).5.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題.第二頁，共四十頁，2022年，8月28日1.推理在高考中雖然很少刻意去考查，但實(shí)際上對推理的考查無處不在.從近幾年的高考題來看，大部分題目主要考查命題轉(zhuǎn)換、邏輯分析和推理能力，證明題是高考中?？嫉念}型之一.2.綜合法、分析法是證明不等式常用的方法,不等式的證明近年來高考雖然淡化了單純的證明題，但是以能力立意的、與證明有關(guān)的綜合題卻頻繁出現(xiàn)，常常與函數(shù)、數(shù)列、三角等綜合，考查邏輯推理能力，是高考考查的一項(xiàng)重要內(nèi)容.3.反證法在高考中雖很少單獨(dú)命題，但是有時(shí)運(yùn)用反證法的證題思路判斷、分析命題有獨(dú)到之處.4.數(shù)學(xué)歸納法作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，在高考中有可能單獨(dú)命題，更可能的是通過不同的形式來考查“歸納—猜想—證明”這一基本思想方法.第三頁，共四十頁，2022年，8月28日1.由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理（簡稱歸納）.簡言之，歸納推理是

、

.由部分到整體由個(gè)別到一般的推理第四頁，共四十頁，2022年，8月28日2.由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）.簡言之，類比推理是

.3.

和

都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理.4.從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理.簡言之，演繹推理是

.5.“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：由特殊到特殊的推理歸納推理類比推理由一般到特殊的推理第五頁，共四十頁，2022年，8月28日（1）

——已知的一般原理；（2）

——所研究的特殊情況；（3）

——根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷.6.一般地,利用已知條件和某些數(shù)學(xué)

、

、

等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法.7.一般地,從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為

為止,這種證明方法叫做分析法.大前提小前提結(jié)論定義公理定理判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）第六頁，共四十頁，2022年，8月28日8.反證法是間接證明的一種基本方法.一般地，假設(shè)

不成立(即在原命題的條件下,結(jié)論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最后得出

，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法.

原命題矛盾第七頁，共四十頁，2022年，8月28日【分析】根據(jù)已知條件和遞推關(guān)系，先求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，然后總結(jié)歸納其中的規(guī)律，寫出其通項(xiàng)考點(diǎn)1歸納推理在數(shù)列{an}中，a1=1,an+1=(n∈N+),猜想這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.第八頁，共四十頁，2022年，8月28日【解析】{an}中，a1=1,a2=a3=a4=,…,所以猜想{an}的通項(xiàng)公式an=.證明如下：因?yàn)閍1=1,an+1=,所以即所以數(shù)列是以=1為首項(xiàng),公差為的等差數(shù)列.所以.所以通項(xiàng)公式an=.第九頁，共四十頁，2022年，8月28日【評析】通過歸納推理得出的結(jié)論可能正確，也可能不正確，它的正確性需通過嚴(yán)格的證明，猜想所得結(jié)論即可用演繹推理給出證明.雖然由歸納推理所得出的結(jié)論未必是正確的，但它所具有的由特殊到一般、由具體到抽象的認(rèn)識過程，對于數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)、科學(xué)的發(fā)明是十分有用的.通過觀察實(shí)驗(yàn)，對有限的資料作歸納整理，提出帶有規(guī)律性的猜想，也是數(shù)學(xué)研究的基本方法之一，歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）.第十頁，共四十頁，2022年，8月28日第十一頁，共四十頁，2022年，8月28日第十二頁，共四十頁，2022年，8月28日在△ABC中，AB⊥AC于A,AD⊥BC于D，求證:，那么在四面體ABCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，并說明理由.【分析】首先利用綜合法證明結(jié)論正確，然后依據(jù)直角三角形與四面體之間形狀的對比猜想結(jié)論，并予以證明.考點(diǎn)2類比推理

第十三頁，共四十頁，2022年，8月28日【證明】如圖所示，由射影定理得AD2=BD·DC,AB2=BD·BC,AC2=BC·DC.∴又BC2=AB2+AC2,∴∴猜想：類比AB⊥AC,AD⊥BC猜想四面體ABCD中，AB,AC,AD兩兩垂直,第十四頁，共四十頁，2022年，8月28日AE⊥平面BCD.則如圖，連結(jié)BE交CD于F，連結(jié)AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD,∴AB⊥平面ACD，而AF面ACD,∴AB⊥AF.而Rt△ABF中，AE⊥BF,∴在Rt△ACD中，AF⊥CD,∴∴故猜想正確.第十五頁，共四十頁，2022年，8月28日【評析】根據(jù)兩類不同事物之間具有的某些類似（或一致）性，推測其中一類事物具有與另一類事物類似（或相同）的性質(zhì)，這樣的推理叫類比推理（簡稱類比）.類比推理是由特殊到特殊的一種推理形式，類比的結(jié)論可能是真的，也可能是假的，所以類比推理屬于合情推理.雖然類比推理的結(jié)論可能為真，也可能為假，但是它由特殊到特殊的認(rèn)識功能，對于發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律和事實(shí)卻十分有用.類比推理應(yīng)從具體問題出發(fā)，通過觀察、分析、聯(lián)想進(jìn)行對比、歸納、提出猜想.平面圖形中的面積與空間圖形中的體積常常是類比的兩類對象.類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性;（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）.第十六頁，共四十頁，2022年，8月28日第十七頁，共四十頁，2022年，8月28日第十八頁，共四十頁，2022年，8月28日第十九頁，共四十頁，2022年，8月28日在銳角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D,E是垂足.求證：AB的中點(diǎn)M到D,E的距離相等.考點(diǎn)3演繹推理【分析】解答本題需要利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)作為大前提.第二十頁，共四十頁，2022年，8月28日【證明】（1）因?yàn)橛幸粋€(gè)內(nèi)角是直角的三角形是直角三角形——大前提在△ABD中，AD⊥BC，即∠ADB=90°——小前提所以△ABD是直角三角形——結(jié)論（2）因?yàn)橹苯侨切涡边吷系闹芯€等于斜邊的一半——大前提而M是Rt△ABD斜邊AB的中點(diǎn)，DM是斜邊上的中線——小前提所以DM=AB.同理EM=AB.所以DM=EM.第二十一頁，共四十頁，2022年，8月28日【評析】演繹推理的主要形式就是由大前提、小前提推出結(jié)論的三段論推理.三段論推理的依據(jù)用集合論的觀點(diǎn)來講就是：若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性質(zhì)P.三段論的公式中包含三個(gè)判斷：第一個(gè)判斷稱為大前提，它提供了一個(gè)一般的原理；第二個(gè)判斷叫小前提，它指出了一個(gè)特殊情況;這兩個(gè)判斷聯(lián)合起來，揭示了一般原理和特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系,從而產(chǎn)生了第三個(gè)判斷結(jié)論.演繹推理是一種必然性推理,演繹推理的前提與結(jié)論之間有蘊(yùn)涵關(guān)系.因而，只要前提是真實(shí)的，推理的形式是正確的，那么結(jié)論必定是真實(shí)的，但錯(cuò)誤的前提可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論.第二十二頁，共四十頁，2022年，8月28日證明:根據(jù)題意,0<α<,0<β<,∴0<α+β<π,又tanα=,tanβ=,∴tan(α+β)=∵0<α+β<π,∴α+β=.如圖是三個(gè)拼在一起的正方形，求證：α+β=.第二十三頁，共四十頁，2022年，8月28日【證明】要證只要證∵a>0,故只要證考點(diǎn)4分析﹑綜合法證明已知a>0,求證:【分析】所給條件簡單,所證結(jié)論復(fù)雜,一般采用分析法.第二十四頁，共四十頁，2022年，8月28日從而只要證只要證即,而上述不等式顯然成立,故原不等式成立.即第二十五頁，共四十頁，2022年，8月28日【評析】分析法是數(shù)學(xué)中常用到的一種直接證明方法,就證明程序來講,它是一種從未知到已知(從結(jié)論到題設(shè))的邏輯推理方法.具體地說,即先假設(shè)所要證明的結(jié)論是正確的,由此逐步推出保證此結(jié)論成立的充分條件,而當(dāng)這些判斷恰恰都是已證的命題(定義、公理、定理、法則、公式等）或要證命題的已知條件時(shí)命題得證.第二十六頁，共四十頁，2022年，8月28日已知a,b,c＞0.求證：a3+b3+c3≥(a2+b2+c2)(a+b+c).第二十七頁，共四十頁，2022年，8月28日【證明】∵a2+b2≥2ab,a＞0,b＞0,∴(a2+b2)(a+b)≥2ab(a+b).∴a3+b3+a2b+ab2≥2ab(a+b)=2a2b+2ab2.∴a3+b3≥a2b+ab2.同理:b3+c3≥b2c+bc2,a3+c3≥a2c+ac2.將三式相加得:2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+bc2+b2c+a2c+ac2,∴3(a3+b3+c3)≥(a3+a2b+a2c)+(b3+b2a+b2c)+(c3+c2a+c2b)=(a+b+c)(a2+b2+c2).∴a3+b3+c3≥(a2+b2+c2)(a+b+c).第二十八頁，共四十頁，2022年，8月28日【分析】本題結(jié)論以“至少”形式出現(xiàn)，從正面思考有多種形式，不易入手，故可用反證法加以證明.考點(diǎn)5反證法若x,y都是正實(shí)數(shù)，且x+y＞2,求證：或中至少有一個(gè)成立.第二十九頁，共四十頁，2022年，8月28日【證明】假設(shè),都不成立,則有和同時(shí)成立.因?yàn)閤＞0且y＞0，所以1+x≥2y,且1+y≥2x.兩式相加，得2+x+y≥2x+2y.所以x+y≤2.這與已知條件x+y＞2矛盾.因此,中至少有一個(gè)成立.第三十頁，共四十頁，2022年，8月28日

【評析】

（1）當(dāng)一個(gè)命題的結(jié)論是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時(shí)，宜用反證法來證.反證法關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是①與已知條件矛盾，②與假設(shè)矛盾，③與定義、公理、定理矛盾，④與事實(shí)矛盾等方面.反證法常常是解決某些“疑難”問題的有力工具，是數(shù)學(xué)證明中的一件有力武器.（2）利用反證法證明問題時(shí)，要注意與之矛盾的定理不能是用本題的結(jié)論證明的定理;否則，將出現(xiàn)循環(huán)論證的錯(cuò)誤.第三十一頁，共四十頁，2022年，8月28日第三十二頁，共四十頁，2022年，8月28日第三十三頁，共四十頁，2022年，8月28日第三十四頁，共四十頁，2022年，8月28日第三十五頁，共四十頁，2022年，8月28日1.(1)合情推理主要包括歸納推理和類比推理.數(shù)學(xué)研究中,在得到一個(gè)新結(jié)論前,合情推理能幫助猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論,在證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前,合情推理常常能為證明提供思路與方向.

(2)合情推理的過程概括為:

從具體問題出發(fā)→觀察、分析、比較、聯(lián)想

→歸納、類比→提出猜想

(3)演繹推理是從一般的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況的結(jié)論的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段論.數(shù)學(xué)問題的證明主要通過演繹推理來進(jìn)行.

(4)合情推理僅是“合乎情理”的推理，它得到的結(jié)論不一定真.但合情推理常常幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律,為我們提供證明的思路和方法.而演繹推理得到的結(jié)論一定正確(前提和推理形式都正確的前提下).第三十六頁，共四十頁，2022年，8月28日(5)在數(shù)學(xué)中,證明命題的正確性都是使用演繹推理,而合情推理不能用作證明