初中數學突破中考壓軸題幾何模型之正方形的半角模型教案有答案范文

掌握正方形的定義，弄清正方形與平行四邊形、菱形、矩形的關系。掌握正方形的性質定理1和質定理2。正確運用正方形的性質解題。通過四邊形的從屬關系滲透集合思想。通過理解四種四邊形內在聯系，培養(yǎng)學生辯證觀點。正方形的性質因為正方形是特殊的平行四邊形，還是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有這些圖形性質的綜合，因此正方形有以下性質（由學生老師一起總結）。正方形性質定理1：正方形的四角都是直角，四條邊相等。正方形性質定理2正方形的兩對角線相等并且互相垂直平分一條對角線平分一組對角。說明：定理2包括了平行四邊形，矩形，菱形對角線的性，一個題設同時有四個結論，這是該定理的特點，在應用時需要哪個結論就用哪個結論，并非把結論寫全。小結：正方形與矩形，菱形，平行四邊形的關系如上圖正方形的性質：正方形對邊平行。正方形四邊相等。正方形四個角都是直角。正方形對角線相等，互相垂直平分，每條對角線平分一組對角。例1如圖疊正方形紙

ABCD

折出折痕

BD

折使

AD

邊與對角線

BD

重合折痕

DG

，使

AD

，求

．【解析】：GM垂足為M由題意可知ADG=GDM，則△ADG≌△MDG．∴DM=DA=2．AC=GM又易知：GM=BM而BM=BD-DM=2∴AG=BM=2（

2-2=2-1），-1）．例2如圖，P為正方形ABCD一點10，且P點到CD邊距離也等，求正方形

的面積？【解析】：

P

作

EFAB

于

F

交

于

E

．設

PF

，則

，BF

1(10)2

．由

PB

2

PFBF

2

．可得：

10

2

1x2)4

2

．故

x

．

ABCD

2

．例如，E、F分別為正方形ABCD的邊、CD上一點，AM，?垂足為，AMAB，有EFDF

，為什么？【解析】：說明EF=BE+DF只需說明BE=EM，DF=FM即可，而連AE、AF．只能說明ABE≌△AME，△ADF≌△AMF即可理由：連結AE、AF．由AB=AM，AB⊥BC，AM⊥EF，AE用，∴△ABE≌△AME．∴BE=ME同理可得，≌△AMF．∴DF=MF∴EF=ME+MF=BE+DF．例4下圖

EF分在正方形ABCD的邊BC

上

45

明

EFDF

?！窘馕觥浚骸鰽DF旋到△ABC則△ADF△ABG∴AF=AG，∠ADF=∠BAG，DF=BG∵∠EAF=45°且四邊是正方形∴∠ADF﹢∠BAE=45°∴∠GAB﹢∠BAE=45°即∠∴△AEF≌△AEG（SAS）∴EF=EG=EB﹢BG=EB﹢DF例如圖方形

的邊上取E兩點

45

，AGEF

于

G

.求證

AGAB【解析】：證AG=AB，就圖直觀來看，應證Rt△ABE與全等，但條件夠.∠EAF=45°怎么用呢？顯然∠＋∠2=45°若把它拼在一起，問題就解決了.【證明】：FD繞A點旋90°至AHB.∵∠EAF=45°，∴∠1＋∠2=45°.∵∠2=∠3，∴∠1＋∠3=45°.又由旋轉所AH=AF，AE=AE.∴△AEF≌△AEH.例6.(1)如圖1,正方形中,點E,F分別在BC上AE,BF交于點O,90

.求證：

BE

.(2)圖2,在方形ABCD點E,H,F,G分別在

AB

,

,

,

DA

上,

EF

,

GH

交于點

O

,

90

,

EF

.求的長1.已知點

E

,

H

,

F

,

G

分別在矩形

ABCD

的邊

AB

,

,

,

DA

上，EF,GH交于點O,FOH90

,.直接寫下列兩題答案：

22121①如圖3,矩形ABCD由2個全等的方形組成,求GH長；②如圖4,矩形

ABCD

由

個全等的正形組成,求

GH

的長(

的代數式表).【解析】(1)證3明：如圖1，∵四邊形為正方，∴AB=,∠=∠BCD=90°，∴∠+∠=90°.∵∠=∠＝90°,∴∠+∠=90°∴∠EAB=∠FBC，∴△≌△，∴=CF．

4

1(2)解2,點A作AM如圖6

A

在線段

上形

N與

都是正方形其邊長別為

cm

和

5cm

的面積為________

．(6)(7)

M2．你可以依次6張方形紙片，成如圖7所示圖．如果你所拼

′得的圖形中方形①的積為1且正方⑥與正方③的面積等?那么正方形的面積為．

3.如圖，已知方形

的面積為35平方米，

E

、

F

分別為邊

AB

、

上的點．

AF

、

相交于，并ABF的面積為14方厘米，的面積5平方厘米，那么四邊形的面積是_______．4.如圖，、B、點在一條直線上

BC

。分別以AB、BC為邊作正方形ABEF和正形，接，。求證：

FNEC

。5.如圖，

是正方形．

是

上的一點，

于

E

，BF（1）求：

≌DAE

；（2）求：

DE

FB

．

D【縱向應】6.在正方ABCD中，．求證：OFBE7.在正方ABCD中，．AEDF,求證：

B

FE

CG

8.如圖13點為正方ABCD對角上一點EFBC,EGCD求證：

AE

FGA

DE

GB

FC139.已知點E、分正方ABCD中和的點，連接AF和DE相交于點GGH一、

H于點.求證：

AF

DE

；二、

如果

AB

,求

GH

的長；

A

H

D三、求證：【練習題案】

CGCD．6cm．．36．

E

G3．4

2027

cm

2

（面積法）

B

FC4.證明FN=EC。證明：在正形ABEF和正方形BCMN中，AB=BE=EF，BC=BN，∠FEN=∠EBC=90°∵AB=2BC∴EN=BC∴△FEN≌△EBC∴FN=EC略提示：注意基本圖形的AE=AF.一.兩次應用角平分線理和CE=CF可二.過點O作OG‖DE和CO=CG,CF=CE可證.3，

過點O作OH‖BE,OF=OH=

BE7.提示一條線段一半或2倍這兩者的置關系有哪兩種8.提示延長AE交于M，DC,使CH=DG,連接HF,證四邊形對互補,法2延長FE，AE證全等三角9.（1)略（）

（3作CM⊥DG,證DM=AG=定義：有一鄰邊相等有一個角直角的平行四邊形叫做正方形。特征：邊：兩組對分別平行四條邊都等；內角：四個都是90°對角線：對線互相垂；對角線等且互相平分；每條對角線平分一對角。（3主要識別法：：對角線相的菱形是方形：對角線互垂直的矩是正方形：四邊相等有一個角直角的四形是正方形：一組鄰邊等的平行邊形是正形5：一組鄰邊相且有一個是直角的行四邊形是正方形依次連接四邊各邊中點得的四邊稱為中點四邊形不管原四形的形狀樣改變，中點四邊形的形狀始終是行四邊形正方形的點四邊形是正方形例已知如圖，

P

是正方形

內點，

．求證：PBC是三角形【證明】：下圖做△使與△全等，可得△PDG為邊△，從可得△≌△APDCGP,

A

D得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG0所以∠DCP=300，從而得出是正角形例如圖別的和BC為一邊的外側作正形ACDE和正方形，點P是EF的中點．

D

BC求證：點P到邊的距離等

AB

的一半．

【證明過E,C,F點別作AB所在線的高EG。EG+FH可得PQ=。2由△EGA≌△AIC，可得，由△BFH△，得FH=BI。AI+BI從而可得PQ=，22

CAQB

F從而得證。例如圖四邊形

為正方形，

∥

，

AC

，AE與CD相交F．求證：

CF

．【證明】：時針旋轉ADE，△ABG，連接由于∠∠

+450

=135從而可得BG，D在一條直線，可得△AGB≌△。推出，可得△AGC為等邊角形。∠AGB=30

，既得∠EAC=30

，從而可得A0

。又∠∠DFA=450

+300

=750可證：。A

D

例設是方形

一邊上任一點，PFAP平分DCE．F

求證：

PA

．【證明】：FG⊥CD，FEBE可以得為方形。令AB=Y，BP=X,可得PC=Y-X。B

C

tan∠EPF=

X+Z

，可得YZ=XY-X

，即，得，得出△ABPPEF，FBFB得到＝，證。D

A

D例7.已：是邊長為的正方形ABCD內一點，求值．【證明】：時針旋轉eq\o\ac(△,C)eq\o\ac(△,)，可△PBE為等邊三角。E既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使小要AP，在一條直線，即如下圖：得最小PA+PB+PC=AF。13(+既得AF=42423+2

的最小只

DC

(3+1)262。2

22

(+1)，可得如下：例為方形內的點，并且PA，a，PC【證明】順針旋轉△ABP900

，求正方形邊長．既得正方形長L=

+

22)2+()22

=+2a

。A

DB

C

【雙基練】1.如圖，邊形是正方形對角線AC、相交于O，四邊是菱形若正方形的邊為6，則形的面積為________．2.如圖

ABCD

是正方形，

E

為

上一點四邊形

AFEC

?恰是一個菱形，則=________．【縱向用】3.如圖四邊形是長為的方形，點G，分別是，BC的中點，

，且交正方形角的平分線于點F．（1證明：（2證明：

FECAGEECF

；；（3求

AEF

的面積．【橫向展】4.如圖四邊形是正方形，是等邊角形，M

為對角線

（不含

B

點上意一點將

BM

繞點

B逆時針旋轉BN，連接、AM、CM.⑴求證

；⑵①當M在何處時，

AMCM

的值最?。虎诋?/p>

M

點在何處時

AMCM

的值最小，說明理由⑶當

AM

BMCM的最小值時，求方形的邊長.【練習答案】1．36

AD2．【解析】連BD交AC于點O，作EM⊥AC于點．

N設正方形邊為，則AC=BD=AE=

a

M又∵AC∥BF，BO⊥AC，EM⊥AC，B∴BO=EM=

12BD=．2在Rt△AEM中，AE=

a，EM=

a．∴∠CAE=30°．則∠EAB=15°．3.（1）證明：∵∠=90

，∴∠+∠=90．在eq\o\ac(△,Rt)中∠+∠BAE=90，∴∠=∠FEC；（2證明：∵，分是正方形的邊，中點，∴AG=GB=BE=EC且∠=180

o－45

=135

o．又∵CF是∠DCH的平分線，∠ECF=90

o+45

o

=135

o

．在△AGE和△ECF中，∴△≌△；（3解：由AGE≌△，得AE=EF．又∵∠AEF=90

o

，∴△AEF是等腰直角角形．eq\o\ac(△,S)AEF3eq\o\ac(△,S)AEF3由AB=a，BE=

a，知=a，5∴=a．84.【解】：⑴∵是等邊角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°.∵∠MBN＝60°∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－即∠BMA∠NBE.又∵MB＝NB∴△AMB≌△ENB（SAS………………5

ADNMFBC⑵①當M落在BD的中點時，AM＋CM的值最?、谌鐖D，連CE，當M點位BD與CE的點處時，AM＋BM＋CM的值最小理由如下：