初中數(shù)學(xué)突破中考?jí)狠S題幾何模型之正方形的半角模型教案有答案范文

掌握正方形的定義，弄清正方形與平行四邊形、菱形、矩形的關(guān)系。掌握正方形的性質(zhì)定理1和質(zhì)定理2。正確運(yùn)用正方形的性質(zhì)解題。通過(guò)四邊形的從屬關(guān)系滲透集合思想。通過(guò)理解四種四邊形內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生辯證觀點(diǎn)。正方形的性質(zhì)因?yàn)檎叫问翘厥獾钠叫兴倪呅?，還是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有這些圖形性質(zhì)的綜合，因此正方形有以下性質(zhì)（由學(xué)生老師一起總結(jié)）。正方形性質(zhì)定理1：正方形的四角都是直角，四條邊相等。正方形性質(zhì)定理2正方形的兩對(duì)角線相等并且互相垂直平分一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。說(shuō)明：定理2包括了平行四邊形，矩形，菱形對(duì)角線的性，一個(gè)題設(shè)同時(shí)有四個(gè)結(jié)論，這是該定理的特點(diǎn)，在應(yīng)用時(shí)需要哪個(gè)結(jié)論就用哪個(gè)結(jié)論，并非把結(jié)論寫(xiě)全。小結(jié)：正方形與矩形，菱形，平行四邊形的關(guān)系如上圖正方形的性質(zhì)：正方形對(duì)邊平行。正方形四邊相等。正方形四個(gè)角都是直角。正方形對(duì)角線相等，互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角。例1如圖疊正方形紙

ABCD

折出折痕

BD

折使

AD

邊與對(duì)角線

BD

重合折痕

DG

，使

AD

，求

．【解析】：GM垂足為M由題意可知ADG=GDM，則△ADG≌△MDG．∴DM=DA=2．AC=GM又易知：GM=BM而B(niǎo)M=BD-DM=2∴AG=BM=2（

2-2=2-1），-1）．例2如圖，P為正方形ABCD一點(diǎn)10，且P點(diǎn)到CD邊距離也等，求正方形

的面積？【解析】：

P

作

EFAB

于

F

交

于

E

．設(shè)

PF

，則

，BF

1(10)2

．由

PB

2

PFBF

2

．可得：

10

2

1x2)4

2

．故

x

．

ABCD

2

．例如，E、F分別為正方形ABCD的邊、CD上一點(diǎn)，AM，?垂足為，AMAB，有EFDF

，為什么？【解析】：說(shuō)明EF=BE+DF只需說(shuō)明BE=EM，DF=FM即可，而連AE、AF．只能說(shuō)明ABE≌△AME，△ADF≌△AMF即可理由：連結(jié)AE、AF．由AB=AM，AB⊥BC，AM⊥EF，AE用，∴△ABE≌△AME．∴BE=ME同理可得，≌△AMF．∴DF=MF∴EF=ME+MF=BE+DF．例4下圖

EF分在正方形ABCD的邊BC

上

45

明

EFDF

?！窘馕觥浚骸鰽DF旋到△ABC則△ADF△ABG∴AF=AG，∠ADF=∠BAG，DF=BG∵∠EAF=45°且四邊是正方形∴∠ADF﹢∠BAE=45°∴∠GAB﹢∠BAE=45°即∠∴△AEF≌△AEG（SAS）∴EF=EG=EB﹢BG=EB﹢DF例如圖方形

的邊上取E兩點(diǎn)

45

，AGEF

于

G

.求證

AGAB【解析】：證AG=AB，就圖直觀來(lái)看，應(yīng)證Rt△ABE與全等，但條件夠.∠EAF=45°怎么用呢？顯然∠＋∠2=45°若把它拼在一起，問(wèn)題就解決了.【證明】：FD繞A點(diǎn)旋90°至AHB.∵∠EAF=45°，∴∠1＋∠2=45°.∵∠2=∠3，∴∠1＋∠3=45°.又由旋轉(zhuǎn)所AH=AF，AE=AE.∴△AEF≌△AEH.例6.(1)如圖1,正方形中,點(diǎn)E,F分別在BC上AE,BF交于點(diǎn)O,90

.求證：

BE

.(2)圖2,在方形ABCD點(diǎn)E,H,F,G分別在

AB

,

,

,

DA

上,

EF

,

GH

交于點(diǎn)

O

,

90

,

EF

.求的長(zhǎng)1.已知點(diǎn)

E

,

H

,

F

,

G

分別在矩形

ABCD

的邊

AB

,

,

,

DA

上，EF,GH交于點(diǎn)O,FOH90

,.直接寫(xiě)下列兩題答案：

22121①如圖3,矩形ABCD由2個(gè)全等的方形組成,求GH長(zhǎng)；②如圖4,矩形

ABCD

由

個(gè)全等的正形組成,求

GH

的長(zhǎng)(

的代數(shù)式表).【解析】(1)證3明：如圖1，∵四邊形為正方，∴AB=,∠=∠BCD=90°，∴∠+∠=90°.∵∠=∠＝90°,∴∠+∠=90°∴∠EAB=∠FBC，∴△≌△，∴=CF．

4

1(2)解2,點(diǎn)A作AM如圖6

A

在線段

上形

N與

都是正方形其邊長(zhǎng)別為

cm

和

5cm

的面積為_(kāi)_______

．(6)(7)

M2．你可以依次6張方形紙片，成如圖7所示圖．如果你所拼

′得的圖形中方形①的積為1且正方⑥與正方③的面積等?那么正方形的面積為．

3.如圖，已知方形

的面積為35平方米，

E

、

F

分別為邊

AB

、

上的點(diǎn)．

AF

、

相交于，并ABF的面積為14方厘米，的面積5平方厘米，那么四邊形的面積是_______．4.如圖，、B、點(diǎn)在一條直線上

BC

。分別以AB、BC為邊作正方形ABEF和正形，接，。求證：

FNEC

。5.如圖，

是正方形．

是

上的一點(diǎn)，

于

E

，BF（1）求：

≌DAE

；（2）求：

DE

FB

．

D【縱向應(yīng)】6.在正方ABCD中，．求證：OFBE7.在正方ABCD中，．AEDF,求證：

B

FE

CG

8.如圖13點(diǎn)為正方ABCD對(duì)角上一點(diǎn)EFBC,EGCD求證：

AE

FGA

DE

GB

FC139.已知點(diǎn)E、分正方ABCD中和的點(diǎn)，連接AF和DE相交于點(diǎn)GGH一、

H于點(diǎn).求證：

AF

DE

；二、

如果

AB

,求

GH

的長(zhǎng)；

A

H

D三、求證：【練習(xí)題案】

CGCD．6cm．．36．

E

G3．4

2027

cm

2

（面積法）

B

FC4.證明FN=EC。證明：在正形ABEF和正方形BCMN中，AB=BE=EF，BC=BN，∠FEN=∠EBC=90°∵AB=2BC∴EN=BC∴△FEN≌△EBC∴FN=EC略提示：注意基本圖形的AE=AF.一.兩次應(yīng)用角平分線理和CE=CF可二.過(guò)點(diǎn)O作OG‖DE和CO=CG,CF=CE可證.3，

過(guò)點(diǎn)O作OH‖BE,OF=OH=

BE7.提示一條線段一半或2倍這兩者的置關(guān)系有哪兩種8.提示延長(zhǎng)AE交于M，DC,使CH=DG,連接HF,證四邊形對(duì)互補(bǔ),法2延長(zhǎng)FE，AE證全等三角9.（1)略（）

（3作CM⊥DG,證DM=AG=定義：有一鄰邊相等有一個(gè)角直角的平行四邊形叫做正方形。特征：邊：兩組對(duì)分別平行四條邊都等；內(nèi)角：四個(gè)都是90°對(duì)角線：對(duì)線互相垂；對(duì)角線等且互相平分；每條對(duì)角線平分一對(duì)角。（3主要識(shí)別法：：對(duì)角線相的菱形是方形：對(duì)角線互垂直的矩是正方形：四邊相等有一個(gè)角直角的四形是正方形：一組鄰邊等的平行邊形是正形5：一組鄰邊相且有一個(gè)是直角的行四邊形是正方形依次連接四邊各邊中點(diǎn)得的四邊稱為中點(diǎn)四邊形不管原四形的形狀樣改變，中點(diǎn)四邊形的形狀始終是行四邊形正方形的點(diǎn)四邊形是正方形例已知如圖，

P

是正方形

內(nèi)點(diǎn)，

．求證：PBC是三角形【證明】：下圖做△使與△全等，可得△PDG為邊△，從可得△≌△APDCGP,

A

D得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG0所以∠DCP=300，從而得出是正角形例如圖別的和BC為一邊的外側(cè)作正形ACDE和正方形，點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)．

D

BC求證：點(diǎn)P到邊的距離等

AB

的一半．

【證明過(guò)E,C,F點(diǎn)別作AB所在線的高EG。EG+FH可得PQ=。2由△EGA≌△AIC，可得，由△BFH△，得FH=BI。AI+BI從而可得PQ=，22

CAQB

F從而得證。例如圖四邊形

為正方形，

∥

，

AC

，AE與CD相交F．求證：

CF

．【證明】：時(shí)針旋轉(zhuǎn)ADE，△ABG，連接由于∠∠

+450

=135從而可得BG，D在一條直線，可得△AGB≌△。推出，可得△AGC為等邊角形?！螦GB=30

，既得∠EAC=30

，從而可得A0

。又∠∠DFA=450

+300

=750可證：。A

D

例設(shè)是方形

一邊上任一點(diǎn)，PFAP平分DCE．F

求證：

PA

．【證明】：FG⊥CD，F(xiàn)EBE可以得為方形。令A(yù)B=Y，BP=X,可得PC=Y-X。B

C

tan∠EPF=

X+Z

，可得YZ=XY-X

，即，得，得出△ABPPEF，F(xiàn)BFB得到＝，證。D

A

D例7.已：是邊長(zhǎng)為的正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，求值．【證明】：時(shí)針旋轉(zhuǎn)eq\o\ac(△,C)eq\o\ac(△,)，可△PBE為等邊三角。E既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使小要AP，在一條直線，即如下圖：得最小PA+PB+PC=AF。13(+既得AF=42423+2

的最小只

DC

(3+1)262。2

22

(+1)，可得如下：例為方形內(nèi)的點(diǎn)，并且PA，a，PC【證明】順針旋轉(zhuǎn)△ABP900

，求正方形邊長(zhǎng)．既得正方形長(zhǎng)L=

+

22)2+()22

=+2a

。A

DB

C

【雙基練】1.如圖，邊形是正方形對(duì)角線AC、相交于O，四邊是菱形若正方形的邊為6，則形的面積為_(kāi)_______．2.如圖

ABCD

是正方形，

E

為

上一點(diǎn)四邊形

AFEC

?恰是一個(gè)菱形，則=________．【縱向用】3.如圖四邊形是長(zhǎng)為的方形，點(diǎn)G，分別是，BC的中點(diǎn)，

，且交正方形角的平分線于點(diǎn)F．（1證明：（2證明：

FECAGEECF

；；（3求

AEF

的面積．【橫向展】4.如圖四邊形是正方形，是等邊角形，M

為對(duì)角線

（不含

B

點(diǎn)上意一點(diǎn)將

BM

繞點(diǎn)

B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)BN，連接、AM、CM.⑴求證

；⑵①當(dāng)M在何處時(shí)，

AMCM

的值最?。虎诋?dāng)

M

點(diǎn)在何處時(shí)

AMCM

的值最小，說(shuō)明理由⑶當(dāng)

AM

BMCM的最小值時(shí)，求方形的邊長(zhǎng).【練習(xí)答案】1．36

AD2．【解析】連BD交AC于點(diǎn)O，作EM⊥AC于點(diǎn)．

N設(shè)正方形邊為，則AC=BD=AE=

a

M又∵AC∥BF，BO⊥AC，EM⊥AC，B∴BO=EM=

12BD=．2在Rt△AEM中，AE=

a，EM=

a．∴∠CAE=30°．則∠EAB=15°．3.（1）證明：∵∠=90

，∴∠+∠=90．在eq\o\ac(△,Rt)中∠+∠BAE=90，∴∠=∠FEC；（2證明：∵，分是正方形的邊，中點(diǎn)，∴AG=GB=BE=EC且∠=180

o－45

=135

o．又∵CF是∠DCH的平分線，∠ECF=90

o+45

o

=135

o

．在△AGE和△ECF中，∴△≌△；（3解：由AGE≌△，得AE=EF．又∵∠AEF=90

o

，∴△AEF是等腰直角角形．eq\o\ac(△,S)AEF3eq\o\ac(△,S)AEF3由AB=a，BE=

a，知=a，5∴=a．84.【解】：⑴∵是等邊角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°.∵∠MBN＝60°∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－即∠BMA∠NBE.又∵M(jìn)B＝NB∴△AMB≌△ENB（SAS………………5

ADNMFBC⑵①當(dāng)M落在BD的中點(diǎn)時(shí)，AM＋CM的值最?、谌鐖D，連CE，當(dāng)M點(diǎn)位BD與CE的點(diǎn)處時(shí)，AM＋BM＋CM的值最小理由如下：