第三章 隨機向量

第三章隨機向量

二維隨機向量及其分布函數(shù)

隨機向量的數(shù)字特征大數(shù)定律與中心極限定理實際生活中，我們發(fā)現(xiàn)有些隨機現(xiàn)象僅僅用一個隨機變量很難描述清楚，因此我們引入多維隨機變量或隨即向量的概念。與一維隨機變量的研究類似，我們也把隨機向量分成離散型、連續(xù)型及混合型，主要研究離散型和連續(xù)型的隨機向量，本章討論n=2時的情形。如在研究兒童的發(fā)育時，涉及到身高和體重兩方面的問題，在研究家庭的收支時則涉及更多個方面的因素。

一、二維隨機向量及其聯(lián)合分布函數(shù)注:(1)聯(lián)合分布函數(shù)表示兩個事件同時發(fā)生的概率。3.1二維隨機向量的分布2）二維聯(lián)合分布函數(shù)的性質單調性:有界性:右連續(xù)性:非負性:注意：上述四條性質是聯(lián)合分布函數(shù)的充要條件.關于非負性的補充說明：例1設二維隨機向量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為解：由聯(lián)合分布函數(shù)的性質可以得到二、二維離散型隨機向量及聯(lián)合分布律對于二維隨機向量(X,Y),如果X和Y都是離散型隨機變量，則稱(X,Y)是二維離散型隨機向量。

聯(lián)合分布律的基本性質非負性：正則性：例2一口袋裝有3個球，分別標有數(shù)字1，2，2。從袋中任取一球，不放回袋中，再從袋中任取一球。記X、Y分別表示第一、二次取出的球上的數(shù)字.分析：與求一維分布律一樣，確定取值，計算概率.練習：一口袋裝有3個球，分別標有數(shù)字1，2，2，從袋中任取一球；放回袋中，再從袋中任取一球。記X、Y分別表示第一、二次取出的球上的數(shù)字.1、定義：如果存在二元非負函數(shù)p(x,y)，使得二維隨機向量（X,Y）的分布函數(shù)F(x,y)滿足注：在F(x,y)偏導存在的點處有：2、基本性質非負性：正則性：則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機向量,p(x,y)稱為(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)(或聯(lián)合密度或密度函數(shù))。三、二維連續(xù)型隨機向量及聯(lián)合密度即密度函數(shù)在指定平面區(qū)域G上的二重積分。3、概率計算4、舉例11G1G25、常用二維分布二維正態(tài)分布求(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)。解：區(qū)域G如圖所示，故(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為例

設二維隨機變量(X,Y)服從區(qū)域G上的均勻分布，四、邊緣分布1、由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布;但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布。2、由聯(lián)合分布還可以還可以反映X和Y的關系，這也是研究多維分布的原因所在。3、對聯(lián)合分布與邊緣分布關系的研究，同樣就離散型和連續(xù)型兩種隨機向量分別說明。補充說明2、邊緣分布律對二維離散型隨機向量(X,Y)，聯(lián)合分布律為則(X,Y)關于X的邊緣分布律為(X,Y)關于Y的邊緣分布律為注:(X,Y)的聯(lián)合分布律與邊緣分布律的關系，通常可以用下面的表格來反映。各行概率相加各列概率相加例2設（X,Y）的聯(lián)合分布律如下，求其邊緣分布律。練習：設（X,Y）的聯(lián)合分布律如下，求其邊緣分布律。（1）（2）（1）（2）注：由聯(lián)合分布律可以確定邊緣分布律，反之則不一定成立！3、邊緣密度函數(shù)一般地，練習：設隨機變量(X,Y)的概率密度是求(1)c的值；（2）兩個邊緣密度。解：(1)（2）附：條件密度函數(shù)五、隨機變量的獨立性隨機變量的相互獨立性，是事件相互獨立性的推廣，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計的實際應用中是一個重要的概念。1.獨立性的定義說明：定義中的條件是獨立性的充要條件，對各種類型的隨機變量都能成立。而對于離散和連續(xù)型的隨機變量來說，又可以分別利用分布律和密度函數(shù)來反映隨機變量的獨立性。2.離散型隨機變量的獨立性例1設(X,Y)的聯(lián)合分布律為n個連續(xù)型隨機變量相互獨立的充要條件是：簡單判別方法：3.連續(xù)型隨機變量的獨立性例2設（X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為問X、Y是否獨立？011例3從（0，1）中任取兩個數(shù)，求下列事件的概率：①兩數(shù)之和小于1.2；②兩數(shù)之積小于1/4.解：記這兩個數(shù)分別為X、Y，則X、Y獨立，且都服從（0，1）上的均勻分布。從而（X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為所求的概率，即是在指定的區(qū)域內計算聯(lián)合密度函數(shù)的二重積分。六、二維隨機向量函數(shù)的分布如果(X,Y)是二維隨機變量，且分布函數(shù)已知，Z=g(X,Y)是關于X和Y的二元函數(shù)，則Z是一個一維隨機變量，當然也存在著分布問題，而且與(X,Y)的分布有著必然的聯(lián)系。(1)和的分布——連續(xù)場合下的卷積公式2.連續(xù)型隨機向量函數(shù)的分布例3設X～U(0,1),Y～Exp(1),且X,Y相互獨立,求Z＝X+Y的密度函數(shù)。解：X和Y的密度函數(shù)分別是2、分布函數(shù)法注：分布函數(shù)法是普遍適用的一種重要方法.（萬能法）例3設X～U(0,1),Y～Exp(1),且X,Y相互獨立,求Z＝X+Y的密度函數(shù)。補充說明：分布函數(shù)法求隨機變量函數(shù)的分布具有普遍性，對任意的Z=g(X,Y)都適用，且不需要X,Y相互獨立的條件。而利用其他方法或公式求隨機變量函數(shù)的分布時，必須注意定理或公式應滿足的條件。因此，該方法是最重要的一種方法，應熟練掌握。同時也是數(shù)（三）?？嫉膬热?。補充：隨機變量的可加性3.2隨機向量的數(shù)字特征

一、二維隨機向量的數(shù)學期望和方差1x2y0

二、數(shù)字期望與方差的性質

三、二維隨機向量的協(xié)方差與相關系數(shù)——聯(lián)合分布中分量間的關系協(xié)方差也稱為相關中心矩。1、協(xié)方差協(xié)方差的常用計算公式:協(xié)方差的性質:補充說明：2、相關系數(shù)(Correlationcoefficient)在表示隨機變量的關系時，為了消除量綱的影響，引入了相關系數(shù)的概念。相關系數(shù)的性質：

完全正線性相關YX完全負線性相關YX補充說明相關系數(shù)ρ(X,Y)刻畫了隨機變量X、Y間線性相關的程度。ρ=±1時，表示X、Y幾乎處處具有線性關系；ρ=0時，表示X、Y不具有線性關系，但可以具有其他（如曲線）關系。獨立性是指兩個隨機變量不具有任何關系。對二元正態(tài)分布來說，獨立性與不相關〔ρ=0〕是等價的。與協(xié)方差相比較，相關系數(shù)是一個不帶單位的系數(shù)，消除了量綱的影響，可以更準確地反映隨機變量間的關系；同時，也方便不同類型隨機變量的比較。00.511y=x注：協(xié)方差雖然很小，但相關系數(shù)卻比較大。所以協(xié)方差反映隨機變量的相關程度不是很準確的。3.4大數(shù)定律與中心極限定理事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，即隨著試驗次數(shù)的增多，事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定于某個常數(shù)。這就充分說明事件的概率是客觀存在的。頻率的穩(wěn)定性，便是這一客觀存在的反映。人們還認識到大量測量值的算術平均值也具有穩(wěn)定性。這種穩(wěn)定性就是本節(jié)所要討論的大數(shù)定律的客觀背景。在概率論中，用來闡明大量平均結果穩(wěn)定性的一系列定理統(tǒng)稱為大數(shù)定律。由大數(shù)定律，大量隨機因素的總和，必然導致某種不依賴于個別隨機事件的結果。一、大數(shù)定律補充說明切比雪夫不等式注：對于離散型隨機變量可以類似證明。定理2（切比雪夫大數(shù)定律）定理3(貝努里大數(shù)定律)注：貝努里定理是切比雪夫定理的特例，它從理論上證明了頻率的穩(wěn)定性。只要試驗次數(shù)n足夠大，事件A出現(xiàn)的頻率與事件A的概率有較大偏差的可能性很小。即可以用事件發(fā)生的頻率來代替事件發(fā)生的概率。二、獨立同分布下的中心極限定理例1

為了測量一臺機床的質量,把它分成75個部件來稱量。假定每個部件的稱量誤差X服從(-1,1)上的均勻分布,且各個部件的稱量誤差是相互獨立的,求機床質量的誤差的絕對值不超過10kg的概率。所求概率為總的稱量誤差定理2〔棣莫弗－拉普拉斯中心極限定理〕由于每臺機器開、停與否相互獨立，且開動的概率都是相同的，故開動的機器臺數(shù)服從二項分布。例2設一個車間里有400臺同類型的機器，每臺機器需要用電為Q瓦。由于工藝關系，每臺機器不連續(xù)開動，開動的時間只占總工作時間的3/4。問應該供應多少瓦電力才