第四章 數(shù)據(jù)特征測(cè)度3-平均指標(biāo)_第1頁
第四章 數(shù)據(jù)特征測(cè)度3-平均指標(biāo)_第2頁
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文檔簡介

4.3平均指標(biāo)(平均數(shù)-集中程度測(cè)度)數(shù)據(jù)集中區(qū)變量x學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 集中趨勢(shì)各測(cè)度值的計(jì)算方法集中趨勢(shì)各測(cè)度值的特點(diǎn)及應(yīng)用場(chǎng)合

算術(shù)平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)數(shù)據(jù)分布的特征集中趨勢(shì)

(位置)偏態(tài)和峰態(tài)(形狀)離中趨勢(shì)

(分散程度)數(shù)據(jù)分布特征的測(cè)度數(shù)據(jù)特征的測(cè)度分布的形狀集中趨勢(shì)離散程度眾數(shù)中位數(shù)均值離散系數(shù)方差和標(biāo)準(zhǔn)差峰態(tài)四分位差異眾比率偏態(tài)集中趨勢(shì)

(Centraltendency)一組數(shù)據(jù)向其中心值靠攏的傾向和程度測(cè)度集中趨勢(shì)就是尋找數(shù)據(jù)水平的代表值或中心值不同類型的數(shù)據(jù)用不同的集中趨勢(shì)測(cè)度值低層次數(shù)據(jù)的測(cè)度值適用于高層次的測(cè)量數(shù)據(jù),但高層次數(shù)據(jù)的測(cè)度值并不適用于低層次的測(cè)量數(shù)據(jù)一、平均指標(biāo)的概念和作用(一)平均指標(biāo)的含義平均指標(biāo)是同質(zhì)總體各單位某一數(shù)量標(biāo)志值在具體時(shí)間、地點(diǎn)、條件下達(dá)到的一般水平。平均指標(biāo)具有以下特點(diǎn):(1)同構(gòu)型(2)抽象性(3)代表性(二)平均指標(biāo)的作用

1.平均指標(biāo)可以反映分配數(shù)列中各變量值分布的集中趨勢(shì)2.平均指標(biāo)可以反映現(xiàn)象總體的綜合特征3.平均指標(biāo)經(jīng)常用來進(jìn)行同類現(xiàn)象在不同空間、不同時(shí)間條件下的對(duì)比分析

二、平均指標(biāo)的類別及計(jì)算均值(Mean)

中位數(shù) (Median)眾數(shù) (Mode)算術(shù)平均數(shù)(Mean)調(diào)和平均數(shù)(Harmonicmean)幾何平均數(shù)(Geometricmean)(一)算術(shù)平均數(shù)(Mean)1.簡單算術(shù)平均數(shù)(Simplemean)簡寫為:簡寫為:分組資料時(shí),各組變量值應(yīng)用組中值M代替。2.加權(quán)算術(shù)平均數(shù)(Weightedmean)加權(quán)算術(shù)平均數(shù)

(權(quán)數(shù)對(duì)均值的影響)

甲乙兩組各有10名學(xué)生,他們的考試成績及其分布數(shù)據(jù)如下

甲組:

考試成績(x): 020100

人數(shù)分布(f):118

乙組:考試成績(x): 020100

人數(shù)分布(f):811已改至此!!某電腦公司銷售量數(shù)據(jù)分組表按銷售量分組組中值(Mi)頻數(shù)(fi)Mi

fi140~150150~160160~170170~180180~190190~200200~210210~220220~230230~24014515516517518519520521522523549162720171084558013952640472537003315205017209001175合計(jì)—12022200加權(quán)算術(shù)平均數(shù)

(例題分析)3.算術(shù)平均數(shù)的重要數(shù)學(xué)性質(zhì)(1)各變量值與算術(shù)平均數(shù)的離差總和等于0,即:未分組資料:分組資料:(2)各變量值與算術(shù)平均數(shù)的離差平方和最小。即:未分組資料:為最小。分組資料:為最小。

這兩個(gè)性質(zhì)是進(jìn)行趨勢(shì)預(yù)測(cè)、回歸預(yù)測(cè)、建立數(shù)學(xué)模型的重要數(shù)學(xué)理論依據(jù)。為最小。算術(shù)平均數(shù)(均值,mean)

小結(jié)集中趨勢(shì)的最常用測(cè)度值一組數(shù)據(jù)的均衡點(diǎn)所在(重心)體現(xiàn)了數(shù)據(jù)的必然性特征易受極端值的影響用于數(shù)值型數(shù)據(jù),不能用于分類數(shù)據(jù)和順序數(shù)據(jù)(二)調(diào)和平均數(shù)(Harmonicmean)

調(diào)和平均數(shù)是總體各單位標(biāo)志值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù),又稱為倒數(shù)平均數(shù)記作。1.簡單調(diào)和平均數(shù)

2.加權(quán)調(diào)和平均數(shù)

調(diào)和平均數(shù)

(例題分析)某日三種蔬菜的批發(fā)成交數(shù)據(jù)蔬菜名稱批發(fā)價(jià)格(元)

xi成交額(元)mi=xi

fi成交量(公斤)fi甲乙丙1.200.500.801800012500640015000250008000合計(jì)—3690048000【例】某蔬菜批發(fā)市場(chǎng)三種蔬菜的日成交數(shù)據(jù)如表,計(jì)算三種蔬菜該日的平均批發(fā)價(jià)格算術(shù)平均數(shù)與調(diào)和平均數(shù)的關(guān)系及運(yùn)用調(diào)和平均數(shù)一般作為算術(shù)平均數(shù)的變形使用,它仍然是依據(jù)算術(shù)平均數(shù)的基本公式——標(biāo)志總量除以總體單位總量來計(jì)算。若已知條件為分組資料的各組變量值及各組的標(biāo)志總和即時(shí),可采用加權(quán)調(diào)和平均法計(jì)算平均指標(biāo);若已知條件為分組資料的各組變量值及各組的次數(shù)時(shí),可直接用加權(quán)算術(shù)平均法計(jì)算平均指標(biāo)。算術(shù)平均法和調(diào)和平均法在相對(duì)指標(biāo)和平均指標(biāo)的平均數(shù)的應(yīng)用

計(jì)算相對(duì)指標(biāo)和平均指標(biāo)的平均數(shù)應(yīng)根據(jù)被研究標(biāo)志的性質(zhì)即具有的權(quán)數(shù)資料用不同的方法。舉例見書P73-74。

調(diào)和平均數(shù)(harmonicmean)

小結(jié)均值的另一種表現(xiàn)形式易受極端值的影響計(jì)算公式為原來只是計(jì)算時(shí)使用了不同的數(shù)據(jù)?。ㄈ缀纹骄鶖?shù)(Geometricmean)幾何平均數(shù)是個(gè)變量值乘積的次方根,主要用于計(jì)算比率的平均數(shù)。在實(shí)際應(yīng)用中,幾何平均數(shù)主要用于計(jì)算社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的發(fā)展速度、比率(如本利率)等變量的平均。1.簡單幾何平均數(shù)(根據(jù)未分組資料計(jì)算)

2.加權(quán)幾何平均數(shù)(根據(jù)分組資料計(jì)算)

簡單幾何平均數(shù)

(例題分析)

【例】某水泥生產(chǎn)企業(yè)1999年的水泥產(chǎn)量為100萬噸,2000年與1999年相比增長率為9%,2001年與2000年相比增長率為16%,2002年與2001年相比增長率為20%。求各年的年平均增長率。年平均增長率=114.91%-1=14.91%簡單幾何平均數(shù)

(例題分析)

【例】一位投資者購持有一種股票,在2000、2001、2002和2003年收益率分別為4.5%、2.1%、25.5%、1.9%。計(jì)算該投資者在這四年內(nèi)的平均收益率算術(shù)平均:

幾何平均:加權(quán)幾何平均數(shù)

(例題分析)【例】某人有一筆款現(xiàn)存入銀行10年,前2年的平均率為6%,第3至5年的年利率為5%,后5年的年利率為3%,如果按復(fù)利計(jì)算,這筆款項(xiàng)的平均年利率為多少?幾何平均數(shù)(geometricmean)

小結(jié)

n個(gè)變量值乘積的

n次方根適用于對(duì)比率數(shù)據(jù)的平均主要用于計(jì)算平均增長率計(jì)算公式為5.可看作是均值的一種變形(四)眾數(shù)(Mode)

眾數(shù)()是指總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)志值。由于它出現(xiàn)的次數(shù)最多,在總體各標(biāo)志值之中它的代表性較強(qiáng),能夠鮮明地反映數(shù)據(jù)分布的集中趨勢(shì)。1.由單項(xiàng)式數(shù)列確定眾數(shù)單項(xiàng)式數(shù)列確定眾數(shù),只需觀察找出次數(shù)最多的標(biāo)志值即可。2.由組距數(shù)列確定眾數(shù)(1)確定眾數(shù)所在組(2)利用公式計(jì)算眾數(shù)的近似值下限公式:上限公式:式中:—為眾數(shù);—是眾數(shù)組的下限;—是眾數(shù)組的上限;

—為眾數(shù)組的次數(shù);—為眾數(shù)組前一組的次數(shù);

—為眾數(shù)組后一組的次數(shù);—為眾數(shù)組的組距。

3.眾數(shù)的特征及作用眾數(shù)是一種位置平均數(shù),不受極端值的影響。當(dāng)總體單位數(shù)多且具有明顯集中趨勢(shì)時(shí),計(jì)算眾數(shù)既方便且意義明確。(當(dāng)然,如果總體單位數(shù)少或沒有明顯的集中趨勢(shì),則眾數(shù)就不存在。當(dāng)變量數(shù)列中有兩個(gè)或幾個(gè)變量值的次數(shù)都比較集中時(shí),就可能有兩個(gè)或幾個(gè)眾數(shù))眾數(shù)也適用于定類、定序數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的測(cè)度,尤其頗適用于定類資料集中趨勢(shì)的測(cè)度。

眾數(shù)

(不唯一性)無眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):10591268一個(gè)眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):65

9855多于一個(gè)眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):252828

364242分類數(shù)據(jù)的眾數(shù)

(例題分析)不同品牌飲料的頻數(shù)分布

飲料品牌頻數(shù)比例百分比(%)可口可樂旭日升冰茶百事可樂匯源果汁露露15119690.300.220.180.120.183022181218合計(jì)501100解:這里的變量為“飲料品牌”,這是個(gè)分類變量,不同類型的飲料就是變量值在所調(diào)查的50人中,購買可口可樂的人數(shù)最多,為15人,占總被調(diào)查人數(shù)的30%,因此眾數(shù)為“可口可樂”這一品牌,即

Mo=可口可樂順序數(shù)據(jù)的眾數(shù)

(例題分析)解:這里的數(shù)據(jù)為順序數(shù)據(jù)。變量為“回答類別”甲城市中對(duì)住房表示不滿意的戶數(shù)最多,為108戶,因此眾數(shù)為“不滿意”這一類別,即

Mo=不滿意甲城市家庭對(duì)住房狀況評(píng)價(jià)的頻數(shù)分布回答類別甲城市戶數(shù)(戶)百分比(%)

非常不滿意

不滿意

一般

滿意

非常滿意24108934530836311510合計(jì)300100.0眾數(shù)(mode)小結(jié)出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值不受極端值的影響一組數(shù)據(jù)可能沒有眾數(shù)或有幾個(gè)眾數(shù)主要用于分類數(shù)據(jù),也可用于順序數(shù)據(jù)和數(shù)值型數(shù)據(jù)(五)中位數(shù)(median)中位數(shù)()是將總體各單位的標(biāo)志值按大小順序排列,處于中間位置的那個(gè)標(biāo)志值。1.中位數(shù)的計(jì)算:確定中點(diǎn)位次;找出中點(diǎn)位次對(duì)應(yīng)的標(biāo)志值(中位數(shù))。(1)由未分組資料計(jì)算中位數(shù)先將總體各單位的標(biāo)志值按大小順序排列,再按下式確定中位數(shù)所在的位次,進(jìn)而確定中位數(shù)。未分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)

(9個(gè)數(shù)據(jù)的算例)【例】:9個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù):15007507801080850960200012501630排

序:7507808509601080

1250150016302000位置:123456789中位數(shù)1080未分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)

(10個(gè)數(shù)據(jù)的算例)【例】:10個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù)排

序:

660

75078085096010801250150016302000位置:12345

678910(2)由分組資料計(jì)算中位數(shù)

在單項(xiàng)式分組資料下:首先計(jì)算累計(jì)次數(shù),再按確定中位數(shù)的位次,找出中位數(shù)所在組,該組的變量值就是中位數(shù)。在組距式分組資料下:首先計(jì)算累計(jì)次數(shù),按確定中位數(shù)所在組,再利用公式按比例求得中位數(shù)的近似值,此公式有下限公式和上限公式兩種。式中:—為中位數(shù)所在組的下限;—為中位數(shù)所在組的次數(shù);—為中位數(shù)組前一組的累計(jì)次數(shù)(累計(jì)次數(shù)按向上累計(jì)計(jì)算);—為中位數(shù)所在組的組距?!形粩?shù)所在組的上限;——中位數(shù)組前一組的累計(jì)次數(shù)(累計(jì)次數(shù)按向下累計(jì)計(jì)算)。下限公式:

上限公式:

2.中位數(shù)的特征和作用中位數(shù)是位置平均數(shù),不受極端值的影響(當(dāng)次數(shù)分布非對(duì)稱,特別是資料中存在極端值時(shí),中位數(shù)作集中趨勢(shì)的測(cè)度量較準(zhǔn)確)。中位數(shù)適用于測(cè)度數(shù)量資料集中趨勢(shì)外,尤其適用于測(cè)度定序數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì),但不適用于定類數(shù)據(jù)。順序數(shù)據(jù)的中位數(shù)

(例題分析)解:中位數(shù)的位置為300/2=150

從累計(jì)頻數(shù)看,中位數(shù)在“一般”這一組別中。因此

Me=一般甲城市家庭對(duì)住房狀況評(píng)價(jià)的頻數(shù)分布回答類別甲城市戶數(shù)(戶)累計(jì)頻數(shù)

非常不滿意

不滿意

一般

滿意

非常滿意2410893453024132225270300合計(jì)300—中位數(shù)

(median)排序后處于中間位置上的值Me50%50%不受極端值的影響主要用于順序數(shù)據(jù),也可用數(shù)值型數(shù)據(jù),但不能用于分類數(shù)據(jù)各變量值與中位數(shù)的離差絕對(duì)值之和最小,即三、集中趨勢(shì)的其它測(cè)度量—四分位數(shù)(quartile)將資料按大小順序排列后,分割成四等分,得到三個(gè)分割點(diǎn),每個(gè)分割點(diǎn)上的數(shù)值就是四分位數(shù)。四分位數(shù)位置的確定:未分組資料分組資料順序數(shù)據(jù)的四分位數(shù)

(例題分析)解:QL位置=(300)/4=75QU位置=(3×300)/4

=225

從累計(jì)頻數(shù)看,QL在“不滿意”這一組別中;QU在“一般”這一組別中。因此

QL

=不滿意

QU

=一般甲城市家庭對(duì)住房狀況評(píng)價(jià)的頻數(shù)分布回答類別甲城市戶數(shù)(戶)累計(jì)頻數(shù)

非常不滿意

不滿意

一般

滿意

非常滿意2410893453024132225270300合計(jì)300—數(shù)值型未分組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)

(9個(gè)數(shù)據(jù)的算例)【例】:9個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù):15007507801080850960200012501630排

序:75078085096010801250150016302000位置:123456789數(shù)值型未分組數(shù)

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