【優(yōu)化方案】高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3章3.1任意角與弧度制、任意角的三角函數(shù)課件 文 北師大

§3.1任意角與弧度制、任意角的三角函數(shù)

考點(diǎn)探究?挑戰(zhàn)高考考向瞭望?把脈高考§3.1任意角與弧度制、任意角的三角函數(shù)雙基研習(xí)?面對(duì)高考雙基研習(xí)?面對(duì)高考基礎(chǔ)梳理1．角的概念(1)角的分類角按旋轉(zhuǎn)方向不同可分為_______、______、______．(2)終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合__________________________．正角負(fù)角零角{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}2．象限角及終邊落在坐標(biāo)軸上的角終邊位置集合表示第一象限第二象限______________________________________________第三象限第四象限_______________________________________________終邊位置集合表示x軸正半軸{α|α＝2kπ，k∈Z}負(fù)半軸_________________y軸正半軸負(fù)半軸________________________________________坐標(biāo)軸{α|α＝2kπ＋π，k∈Z}思考感悟1．如何表示終邊在x軸上、y軸上的角的集合？3．角度制與弧度制的互化360°＝____，180°＝___，1°＝_____rad，1rad＝()°≈57.3°＝57°18′.4．弧長(zhǎng)及扇形面積公式弧長(zhǎng)公式：l＝|α|·r，扇形面積公式：S＝_____________，其中l(wèi)為扇形弧長(zhǎng)，α為圓心角的弧度數(shù)，r為扇形半徑．2ππ5．任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)定義在直角坐標(biāo)系中，給定單位圓，對(duì)于任意角α，使角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸正半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)____叫作α的正弦函數(shù)，記作sinα_____叫作α的余弦函數(shù)，記作cosα______叫作α的正切函數(shù)，記作tanα(α≠＋kπ，k∈Z)三角函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)各象限符號(hào)Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－口訣一全正，二正弦，三正切，四余弦都為正值終邊相同角的三角函數(shù)值(k∈Z)sin(α＋2kπ)＝_____cos(α＋k·2π)＝cosαtan(α＋2kπ)＝_____sinαtanα思考感悟2．根據(jù)三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)在各象限的符號(hào)與此象限點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)有怎樣的關(guān)系？提示：根據(jù)三角函數(shù)的定義，y＝sinx在各象限的符號(hào)與此象限點(diǎn)的縱坐標(biāo)符號(hào)相同，y＝cosx在各象限的符號(hào)與此象限點(diǎn)的橫坐標(biāo)符號(hào)相同，y＝tanx在各象限的符號(hào)與此象限點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)商的符號(hào)相同．6．三角函數(shù)數(shù)線圖中有向線線段MP、OM、AT分別表示_______、________、_______．正弦線余弦線正切線1．(2011年蚌埠質(zhì)檢檢)若α＝k·180°°＋45°(k∈Z)，則α是()A．第一或第第三象限角角B．第一或第第二象限角角C．第二或第第四象限角角D．第三或第第四象限角角答案：A課前熱身答案：D3．若sinα<0且tanα>0，則α是()A．第一象限限角B．第二象限限角C．第三象限限角D．第四象限限角答案：C答案：第二二象限考點(diǎn)探究?挑戰(zhàn)高考考點(diǎn)突破考點(diǎn)一角的集合表示1．相等的角角終邊一定定相同，但但終邊相同同的角卻不不一定相等等，終邊相相同的角有有無數(shù)個(gè)，，它們之間間相差360°的整數(shù)倍．．α第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角第一或第三象限角第一或第三象限角第二或第四象限角第二或第四象限角(2011年亳州質(zhì)檢檢)如圖所示，，點(diǎn)A在半徑為1且圓心在原原點(diǎn)的圓上上，且∠AOx＝45°.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，依逆逆時(shí)針方向向等速地沿沿單位圓周周旋轉(zhuǎn)．已已知P在1秒鐘內(nèi)轉(zhuǎn)過過的角度為為θ(0°<θ<180°°)，經(jīng)過2秒鐘到達(dá)第第三象限，，經(jīng)過14秒鐘后又回回到出發(fā)點(diǎn)點(diǎn)A，求θ.例1【思路點(diǎn)撥】先把實(shí)際語語言轉(zhuǎn)化為為數(shù)學(xué)語言言，即14秒鐘后P在角14θ＋45°的終邊上，，由此可得得到等量關(guān)關(guān)系，再注注意到θ角的范圍便便可確定θ的值．【名師點(diǎn)評(píng)】解答這類問問題，關(guān)鍵鍵在于抓住住終邊相同同的角的一一般表示，，即與角α終邊相同的的角的一般般形式為β＝α＋k·360°°(k∈Z)．另外，對(duì)對(duì)于角的概概念，還要要注意區(qū)分分幾個(gè)易混混淆的概念念：(1)正角、負(fù)角角是以射線線繞端點(diǎn)的的旋轉(zhuǎn)方向向定義的，，零角是射射線沒有做做任何旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)；其頂點(diǎn)點(diǎn)都在原點(diǎn)點(diǎn)，始邊為為x軸的正半軸軸，所不同同的是終邊邊的旋轉(zhuǎn)方方向不同．．一個(gè)角是是第幾象限限角，關(guān)鍵鍵是看這個(gè)個(gè)角的終邊邊落在第幾幾象限；(2)“小于90°的角”“銳角”“第一象限角角”的根本區(qū)別別在于其范范圍的不同同，它們的的范圍分別別是：“α<90°””“0°<α<90°””“k·360°°<α<k·360°°＋90°(k∈Z)”．任意角三角角函數(shù)的定定義是銳角角三角函數(shù)數(shù)定義的推推廣，利用用任意角三三角函數(shù)的的定義可以以解決與30°，45°，60°等特殊角相相關(guān)的三角角函數(shù)求值值問題，如如計(jì)算sin150°，cos135°，tan120°等．已知角角α終邊上一點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)，，也可計(jì)算算角α的三角函數(shù)數(shù)值等．考點(diǎn)二三角函數(shù)的定義【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)三角角函數(shù)的定定義求出x的值，再求求sinα，tanα的值．例2【名師點(diǎn)評(píng)】(1)在利用三角角函數(shù)的定定義求角α的三角函數(shù)數(shù)值時(shí)，若若角α的終邊上點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)是是以參數(shù)的的形式給出出的，則要要根據(jù)問題題的實(shí)際及及解題的需需要對(duì)參數(shù)數(shù)進(jìn)行分類類討論．(2)任意角的三三角函數(shù)值值僅與角α的終邊位置置有關(guān)，而而與角α終邊上點(diǎn)P的位置無關(guān)關(guān)．若角α已經(jīng)給出，，則無論點(diǎn)點(diǎn)P選擇擇在在α終邊邊上上的的什什么么位位置置(原點(diǎn)點(diǎn)除除外外)，角角α的三三角角函函數(shù)數(shù)值值都都是是確確定定的的．．1．熟熟記記各各個(gè)個(gè)三三角角函函數(shù)數(shù)在在每每個(gè)個(gè)象象限限內(nèi)內(nèi)的的符符號(hào)號(hào)是是關(guān)關(guān)鍵鍵．．2．判判斷斷三三角角函函數(shù)數(shù)值值的的符符號(hào)號(hào)就就是是要要判判斷斷角角所所在在的的象象限限．．3．對(duì)對(duì)于于已已知知三三角角函函數(shù)數(shù)式式的的符符號(hào)號(hào)判判斷斷角角所所在在象象限限，，可可先先根根據(jù)據(jù)三三角角函函數(shù)數(shù)式式的的符符號(hào)號(hào)確確定定三三角角函函數(shù)數(shù)值值的的符符號(hào)號(hào)，，再再判判斷斷角角所所在在象象限限．．考點(diǎn)三三角函數(shù)值符號(hào)的判定例3這類類問問題題主主要要是是利利用用周周長(zhǎng)長(zhǎng)和和面面積積公公式式，，找找出出扇扇形形半半徑徑、、圓圓心心角角、、周周長(zhǎng)長(zhǎng)和和面面積積的的聯(lián)聯(lián)系系，，建建立立函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系式式．．已知知一一扇扇形形的的圓圓心心角角是是α，半半徑徑為為R，弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)為為l.(1)若α＝60°°，R＝10cm，求求扇扇形形的的弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)l；(2)若扇扇形形周周長(zhǎng)長(zhǎng)為為20cm，當(dāng)圓心心角α為多少弧弧度時(shí)，，這個(gè)扇扇形的面面積最大大？考點(diǎn)四弧度制的應(yīng)用例4【思路點(diǎn)撥撥】利用弧度度制下扇扇形弧長(zhǎng)長(zhǎng)及面積積公式．．【名師點(diǎn)評(píng)評(píng)】解決此類類問題時(shí)時(shí)，用弧弧度制下下的扇形形弧長(zhǎng)、、面積公公式比較較簡(jiǎn)單，，但一定定要注意意將角度度化為弧弧度．第第(2)問中的最最值問題題一般是是轉(zhuǎn)化為為函數(shù)最最值問題題或是利利用均值值不等式式求解．．變式訓(xùn)練練2已知一扇扇形的圓圓心角是是α，所在圓圓的半徑徑是R.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形形的弧長(zhǎng)長(zhǎng)及該弧弧所在的的弓形面面積；(2)若扇形的的周長(zhǎng)是是一定值值c(c>0)，當(dāng)α為多少弧弧度時(shí)，，該扇形形有最大大面積？？方法技巧巧1．在利用用三角函函數(shù)定義義時(shí)，點(diǎn)點(diǎn)P可取終邊邊上任一一點(diǎn)，如如有可能能則取終終邊與單單位圓的的交點(diǎn)．．|OP|＝r一定是正正值．(如例2)2．要熟悉悉角的弧弧度制與與角度制制間的換換算關(guān)系系．給定定一個(gè)角角，要準(zhǔn)準(zhǔn)確判斷斷它所在在的象限限或區(qū)域域．熟記記一些常常見角的的集合．．(如課前熱熱身5)方法感悟悟1．注意易易混概念念的區(qū)別別：第一一象限角角、銳角角、小于于90°的角是概概念不同同的三類類角．第第一類是是象限角角，第二二、第三三類是區(qū)區(qū)間角．．2．角度制制與弧度度制可利利用180°°＝πrad進(jìn)行互化化，在同同一個(gè)式式子中，，采用的的度量制制度必須須一致，，不可混混用．3．注意熟熟記0°～360°°間特殊角角的弧度度表示．．失誤防范范考情分析考向瞭望?把脈高考從近幾年年高考來來看，三三角函數(shù)數(shù)定義在在高考中中經(jīng)常出出現(xiàn)，既既有小題題也有大大題，主主要是與與其他知知識(shí)相結(jié)結(jié)合考查查，一般般不單獨(dú)獨(dú)命題．．預(yù)測(cè)2012年高考仍仍將與其其他知識(shí)識(shí)結(jié)合考考查，重重點(diǎn)考查查基礎(chǔ)知知識(shí)與運(yùn)運(yùn)算能力力．(本題滿分分10分)已知角θ的終邊上上一點(diǎn)P(3a,4a)(a≠0)，求角θ的正弦、、余弦和和正切值值．規(guī)范解答答例解析：選A.sin(2191°)＝sin(6×360°°＋31°)＝sin31°.故選A.名師預(yù)測(cè)測(cè)3．若角α與角β的終邊在在同一條條直線上