【優(yōu)化方案】高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第5章§5.1數(shù)列的概念與簡單表示法精品課件 理 北師大

§5.1數(shù)列的概念與簡單表示法

§5.1數(shù)列的概念與簡單表示法考點(diǎn)探究·挑戰(zhàn)高考考向瞭望·把脈高考雙基研習(xí)·面對高考1．?dāng)?shù)列的概念按一定次序排列的一列數(shù)叫作數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫作這個(gè)數(shù)列的___．?dāng)?shù)列一般形式可以寫成a1，a2，a3，…，an，…，簡記為數(shù)列{an}，其中數(shù)列的第1項(xiàng)a1也稱____；an是數(shù)列的第n項(xiàng)，也叫數(shù)列的____．雙基研習(xí)?面對高考基礎(chǔ)梳理項(xiàng)首項(xiàng)通項(xiàng)2．?dāng)?shù)列的分類分類原則類型滿足條件按項(xiàng)數(shù)分類有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)____無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)____按項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系分類遞增數(shù)列an＋1__an其中n∈N＋遞減數(shù)列an＋1__an常數(shù)數(shù)列an＋1＝an有限無限><3.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看作定義域?yàn)開________________的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)，該函數(shù)對應(yīng)的一列______就是這個(gè)數(shù)列．4．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與__之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)式子表示成_______，那么這個(gè)式子就叫作這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．N＋或它的有限子集函數(shù)值an＝f(n)n思考感悟數(shù)列的通項(xiàng)公式唯一嗎？是否每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式？1．(教材習(xí)題質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝29－9n，則在下列各數(shù)中，不是{an}的項(xiàng)的是(

)A．20

B．11C．－2 D．－7答案：C課前熱身答案：D3．(2011年宿州質(zhì)檢)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－1，則a4等于(

)A．7

B．8C．9 D．17答案：A5．已知數(shù)列{an}滿足a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，n∈N＋，則a2011＝______；a2018＝______.答案：0

1考點(diǎn)探究?挑戰(zhàn)高考考點(diǎn)突破考點(diǎn)一數(shù)列的通項(xiàng)公式根據(jù)據(jù)數(shù)數(shù)列列的的前前若若干干項(xiàng)項(xiàng)寫寫出出數(shù)數(shù)列列的的一一個(gè)個(gè)通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式．．解解決決這這一一題題型型的的關(guān)關(guān)鍵鍵是是通通過過觀觀察察、、分分析析、、比比較較去去發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)項(xiàng)項(xiàng)與與項(xiàng)項(xiàng)之之間間的的關(guān)關(guān)系系，，如如果果關(guān)關(guān)系系不不明明顯顯，，應(yīng)應(yīng)該該將將項(xiàng)項(xiàng)作作適適當(dāng)當(dāng)變變形形或或分分解解，，讓讓規(guī)規(guī)律律突突現(xiàn)現(xiàn)出出來來，，便便于于找找到到通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式；；同同時(shí)時(shí)還還要要借借助助一一些些基基本本數(shù)數(shù)列列的的通通項(xiàng)項(xiàng)及及其其特特點(diǎn)點(diǎn)．．例1【思路路點(diǎn)點(diǎn)撥撥】由所所給給數(shù)數(shù)列列前前幾幾項(xiàng)項(xiàng)的的特特點(diǎn)點(diǎn)，，歸歸納納出出其其通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式，，注注意意項(xiàng)項(xiàng)與與項(xiàng)項(xiàng)數(shù)數(shù)的的關(guān)關(guān)系系，，項(xiàng)項(xiàng)與與前前、、后后項(xiàng)項(xiàng)之之間間的的關(guān)關(guān)系系，，通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式的的形形式式并并不不唯唯一一．．【失誤誤點(diǎn)點(diǎn)評評】在解解決決有有關(guān)關(guān)通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式的的問問題題時(shí)時(shí)易易在在以以下下環(huán)環(huán)節(jié)節(jié)出出錯(cuò)錯(cuò)：：(1)項(xiàng)數(shù)數(shù)搞搞錯(cuò)錯(cuò)；；(2)由歸歸納納法法求求通通項(xiàng)項(xiàng)時(shí)時(shí)，，只只滿滿足足前前幾幾項(xiàng)項(xiàng)，，而而不不能能滿滿足足所所有有的的情情況況．．變式式訓(xùn)訓(xùn)練練1根據(jù)據(jù)下下面面各各數(shù)數(shù)列列前前幾幾項(xiàng)項(xiàng)的的值值，，寫寫出出數(shù)數(shù)列列的的一一個(gè)個(gè)通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式．．解：：(1)符號問題可通通過(－1)n或(－1)n＋1表示．其各項(xiàng)項(xiàng)的絕對值的的排列規(guī)律為為：后面的數(shù)數(shù)的絕對值總總比它前面數(shù)數(shù)的絕對值大大6，故通項(xiàng)公式式為an＝(－1)n(6n－5)(n∈N＋)．(2)這是一個(gè)分?jǐn)?shù)數(shù)數(shù)列，其分分子構(gòu)成偶數(shù)數(shù)數(shù)列，而分分母可分解成成1×3,3××5,5×7,7×9,9×11，…，每一項(xiàng)都是是兩個(gè)相鄰的的奇數(shù)的乘積積，經(jīng)過組合合，則所求數(shù)數(shù)列的通項(xiàng)公公式為考點(diǎn)二由遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式遞推公式是給給出數(shù)列的一一種方法，根根據(jù)遞推公式式，寫出數(shù)列列的前幾項(xiàng)，，可以根據(jù)前前幾項(xiàng)的構(gòu)成成，找出數(shù)列列的基本規(guī)律律，歸納出數(shù)數(shù)列的通項(xiàng)公公式；或?qū)⑦f遞推公式變形形，推導(dǎo)出數(shù)數(shù)列的通項(xiàng)公公式．例2(3)由an＋1＝2an＋1得an＋1＋1＝2(an＋1)，令bn＝an＋1，所以{bn}是以2為公比的等比比數(shù)列．所以bn＝b1·2n－1＝(a1＋1)·2n－1＝2n＋1，所以an＝bn－1＝2n＋1－1(n∈N＋)．(4)由已知，an>0，在遞推關(guān)系系式兩邊取對對數(shù)，有l(wèi)gan＋1＝2lgan＋lg3.令bn＝lgan，則bn＋1＝2bn＋lg3.所以bn＋1＋lg3＝2(bn＋lg3)，所以{bn＋lg3}是等比數(shù)列．．所以bn＋lg3＝2n－1·2lg3＝2nlg3.所以bn＝2nlg3－lg3＝(2n－1)lg3＝lgan.所以an＝32n－1.【規(guī)律小結(jié)】(1)數(shù)列遞推關(guān)系系形如an＋1＝an＋f(n)，其中{f(n)}的前有限項(xiàng)可可求和．此種種類型的數(shù)列列求通項(xiàng)公式式時(shí)，常常是是相鄰兩項(xiàng)作作差，然后對對差式求和，，這是求通項(xiàng)項(xiàng)公式的一種種重要方法．．(2)數(shù)列遞推關(guān)系系形如an＋1＝g(n)an，其中{g(n)}的前n項(xiàng)的乘積容易易化簡．此數(shù)數(shù)列求通項(xiàng)公公式一般采用用累乘法．考點(diǎn)三由Sn求an例3已知下面各數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的公式，求{an}的通項(xiàng)公式．．(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n－2；(3)Sn＝3an－2.【解】(1)a1＝S1＝－1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5.由于a1也適合此式，，因此an＝4n－5(n∈N＋)．【失誤點(diǎn)評】在解答過程中中易忽視n＝1時(shí)，a1＝S1，而直接利用用an＝Sn－Sn－1求an的情況，導(dǎo)致致此種錯(cuò)誤的的原因是沒有有熟練掌握數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an之間的關(guān)系或或粗心大意．．1．?dāng)?shù)列的單調(diào)調(diào)性：若an＋1>an，則{an}為遞增數(shù)列，，若an＋1<an，則{an}為遞減數(shù)列，，否則為擺動動數(shù)列或常數(shù)數(shù)列．2．周期性：若若an＋k＝an對n∈N＋(k為常數(shù))成立，則{an}為周期數(shù)列．．對于一些數(shù)數(shù)列，若通項(xiàng)項(xiàng)無法求出時(shí)時(shí)，可考慮其其周期性．3．有界界性：：若{an}滿足：：|an|≥M或|an|≤M，則稱稱{an}為有界界數(shù)列列，并并能求求出數(shù)數(shù)列中中的最最大項(xiàng)項(xiàng)或最最小項(xiàng)項(xiàng)．考點(diǎn)四數(shù)列的函數(shù)特性例4【名師點(diǎn)點(diǎn)評】(1)數(shù)列是是一類類特殊殊的函函數(shù)，，解題題時(shí)注注意函函數(shù)與與方程程思想想的應(yīng)應(yīng)用，，以及及轉(zhuǎn)化化思想想也是是解題題的常常用方方法．．(2)數(shù)列的的單調(diào)調(diào)性是是高考考?？伎純?nèi)容容之一一，有有關(guān)數(shù)數(shù)列最最大項(xiàng)項(xiàng)、最最小項(xiàng)項(xiàng)、數(shù)數(shù)列有有界性性問題題均可可借助助數(shù)列列的單單調(diào)性性來解解決，，判斷斷單調(diào)調(diào)性時(shí)時(shí)常用用①作差法法，②作商法法，③結(jié)合函函數(shù)圖圖像等等方法法．方法感感悟方法技技巧1．求數(shù)數(shù)列通通項(xiàng)或或指定定項(xiàng)．．通常常用觀觀察法法(對于交交錯(cuò)數(shù)數(shù)列一一般用用(－1)n或(－1)n＋1來區(qū)分分奇偶偶項(xiàng)的的符號號)；已知知數(shù)列列中的的遞推推關(guān)系系，一一般只只要求求寫出出數(shù)列列的前前幾項(xiàng)項(xiàng)，若若求通通項(xiàng)可可用歸歸納、、猜想想和轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化的的方法法．(如例1)3．已知知遞推推關(guān)系系求通通項(xiàng)：：這類類問題題的要要求不不高，，但試試題難難度較較難把把握．．一般般有三三種常常見思思路：：(1)算出前前幾項(xiàng)項(xiàng)，再再歸納納、猜猜想；；(2)“an＋1＝pan＋q”這種形形式通通常轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為為an＋1＋λ＝p(an＋λ)，由待待定系系數(shù)法法求出出λ，再化化為等等比數(shù)數(shù)列；；(3)逐差累累加或或累乘乘法．．(如例2)4．創(chuàng)新新內(nèi)容容：體體現(xiàn)新新情境境，體體現(xiàn)與與其它它知識識的交交匯．．(如例4)1．?dāng)?shù)列列是一一種特特殊的的函數(shù)數(shù)，即即數(shù)列列是一一個(gè)定定義在在非零零自然然數(shù)集集或其其子集集上的的函數(shù)數(shù)，當(dāng)當(dāng)自變變量依依次從從小到到大取取值時(shí)時(shí)所對對應(yīng)的的一列列函數(shù)數(shù)值，，就是是數(shù)列列．因因此，，在研研究函函數(shù)問問題時(shí)時(shí)既要要注意意函數(shù)數(shù)方法法的普普遍性性，又又要考考慮數(shù)數(shù)列方方法的的特殊殊性．．失誤防防范2．根據(jù)據(jù)所給給數(shù)列列的前前幾項(xiàng)項(xiàng)求其其通項(xiàng)項(xiàng)時(shí)，，需仔仔細(xì)觀觀察分分析，，抓住住其幾幾方面面的特特征：：分式式中分分子、、分母母的各各自特特征；；相鄰鄰項(xiàng)的的聯(lián)系系特征征；拆拆項(xiàng)后后的各各部分分特征征；符符號特特征，，應(yīng)多多進(jìn)行行對比比、分分析，，從整整體到到局部部多角角度觀觀察、、歸納納、聯(lián)聯(lián)想．．3．?dāng)?shù)列列的圖圖像是是一系系列孤孤立的的點(diǎn)．．由數(shù)列列的遞遞推關(guān)關(guān)系求求數(shù)列列的項(xiàng)項(xiàng)或通通項(xiàng)公公式是是高考考的熱熱點(diǎn)，，題型型以選選擇、、填空空題為為主，，也可可能作作為一一步出出現(xiàn)在在解答答題中中，屬屬較難難題目目，旨旨在考考查學(xué)學(xué)生分分析問問題、、解決決問題題的能能力．．考查查基本本知識識的同同時(shí)又又注重重考查查等價(jià)價(jià)轉(zhuǎn)化化、函函數(shù)與與方程程、分分類討討論等等思想想方法法．預(yù)測2012年仍將將以考考查遞遞推關(guān)關(guān)系式式為主主，重重點(diǎn)考考查學(xué)學(xué)生的的運(yùn)算算能力力與邏邏輯推推理能能力．．考情分析考向瞭望?把脈高考真題透透析例(2)數(shù)列的的通項(xiàng)項(xiàng)公式式、前前n項(xiàng)和公公式都都是關(guān)關(guān)于正正整數(shù)數(shù)n的函數(shù)數(shù)，要要善于于從函函數(shù)的的觀點(diǎn)點(diǎn)認(rèn)識識和理理解數(shù)數(shù)列問問題．．?dāng)?shù)列列的通通項(xiàng)公公式的的求解解是歷歷年高高考的的重點(diǎn)點(diǎn)和熱熱點(diǎn)，，該題題中的的累加加法實(shí)實(shí)際上上也是是推導(dǎo)導(dǎo)等差差數(shù)列列通項(xiàng)項(xiàng)公式式的一一種方方法．．關(guān)于于正整整數(shù)n的對應(yīng)應(yīng)函數(shù)數(shù)，使使其取取最值值的點(diǎn)點(diǎn)就在在離單單調(diào)區(qū)區(qū)間分分界點(diǎn)點(diǎn)距離離最近近的那那兩個(gè)個(gè)點(diǎn)中中取得得，代代入檢檢驗(yàn)便便可確確定最最值．．名師預(yù)測測2．已知數(shù)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公公式是an＝n2＋Kn＋2，若對于于n∈N＋，都有an＋1>an成立，則則實(shí)數(shù)K的取值范范圍是()A．K>0B．K>－1C．K>－