《古典概型》設(shè)計(jì)

《古典概型》教學(xué)設(shè)計(jì)【教學(xué)目標(biāo)】1.結(jié)合具體實(shí)例，理解古典概型．(重點(diǎn))2．能計(jì)算古典概型中簡單隨機(jī)事件的概率．【教學(xué)重點(diǎn)】理解古典概型并能計(jì)算古典概型中簡單隨機(jī)事件的概率【教學(xué)難點(diǎn)】能計(jì)算古典概型中簡單隨機(jī)事件的概率．【課時安排】1課時【教學(xué)過程】認(rèn)知初探1．古典概型的定義試驗(yàn)具有如下共同特征：(1)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個；(2)等可能性：每個樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等．我們將具有以上兩個特征的試驗(yàn)稱為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．2．古典概型的概率計(jì)算公式一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點(diǎn)，事件A包含其中k個樣本點(diǎn)，則定義事件A的概率P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(nA,nΩ)，其中n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個數(shù)．思考1：“在區(qū)間[0,5]上任取一個數(shù)，這個數(shù)恰為2的概率是多少？”這個概率模型屬于古典概型嗎？[提示]不屬于古典概型．因?yàn)樵趨^(qū)間[0,5]上任取一個數(shù)，其試驗(yàn)結(jié)果有無限個，故其基本事件有無限個，所以不是古典概型．思考2：若一次試驗(yàn)的結(jié)果所包含的樣本點(diǎn)的個數(shù)為有限個，則該試驗(yàn)是古典概型嗎？[提示]不一定是古典概型．還必須滿足每個樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等才是古典概型．小試牛刀1.下列試驗(yàn)是古典概型的是()A.口袋中有2個白球和3個黑球，從中任取一球，基本事件為{取中白球}和{取中黑球}B.在區(qū)間[-1，5]上任取一個實(shí)數(shù)x，使-3x+2>0C.拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察其出現(xiàn)正面或反面D.某人射擊中靶或不中靶【解析】選C.根據(jù)古典概型的兩個特征進(jìn)行判斷.A中兩個基本事件不是等可能的，B中基本事件的個數(shù)是無限的，D中“中靶”與“不中靶”不是等可能的，C符合古典概型的兩個特征.2.同時投擲兩顆大小完全相同的骰子，用(x，y)表示結(jié)果，記A為“所得點(diǎn)數(shù)之和小于5”，則事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù)是()A．3B．4C．5D．6D解析：事件A包含的樣本點(diǎn)有6個：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，故選D.3.若書架上放有數(shù)學(xué)，物理、化學(xué)書分別是5本、3本、2本，則隨機(jī)抽出一本是物理書的概率為()\f(1,5)\f(3,10)\f(3,5)\f(1,2)B解析：樣本點(diǎn)總數(shù)為10，“抽出一本是物理書”包含3個樣本點(diǎn)，所以其概率為eq\f(3,10)，故選B.4.從3男3女共6名學(xué)生中任選2名(每名同學(xué)被選中的概率均相等)，則2名都是女同學(xué)的概率等于．eq\f(1,5)[用A，B，C表示3名男同學(xué)，用a，b，c表示3名女同學(xué)，則從6名同學(xué)中選出2人的樣本空間Ω＝{AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc}，其中事件“2名都是女同學(xué)”包含樣本點(diǎn)的個數(shù)為3，故所求的概率為eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).]例題講解古典概型的判斷【例1】下列是古典概型的是()A．任意拋擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和作為樣本點(diǎn)時B．求任意的一個正整數(shù)平方的個位數(shù)字是1的概率，將取出的正整數(shù)作為樣本點(diǎn)時C．從甲地到乙地共n條路線，求某人正好選中最短路線的概率D．拋擲一枚均勻硬幣首次出現(xiàn)正面為止C[A項(xiàng)中由于點(diǎn)數(shù)的和出現(xiàn)的可能性不相等，故A不是；B項(xiàng)中的樣本點(diǎn)是無限的，故B不是；C項(xiàng)滿足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D項(xiàng)中樣本點(diǎn)既不是有限個也不具有等可能性，故D不是．]方法總結(jié)判斷一個試驗(yàn)是古典概型的依據(jù)判斷隨機(jī)試驗(yàn)是否為古典概型，關(guān)鍵是抓住古典概型的兩個特征——有限性和等可能性，二者缺一不可．當(dāng)堂練習(xí)1下列試驗(yàn)是古典概型的為________(填序號).

①從6名同學(xué)中隨機(jī)選出4人參加數(shù)學(xué)競賽，某人被選中的可能性大?。虎谕瑫r擲兩顆骰子，點(diǎn)數(shù)和為6；③近三天中有一天降雨；④10人站成一排，其中甲、乙相鄰.①②④【解析】①②④是古典概型，因?yàn)榉瞎诺涓判偷亩x和特點(diǎn).③不是古典概型，因?yàn)椴环系瓤赡苄?，降雨受多方面因素影?簡單的古典概型問題例2小李在做一份調(diào)查問卷，共有5道題，其中有兩種題型，一種是選擇題，共3道，另一種是填空題，共2道．(1)小李從中任選2道題解答，每一次選1題(不放回)，求所選的題不是同一種題型的概率；(2)小李從中任選2道題解答，每一次選1題(有放回)，求所選的題不是同一種題型的概率．【思路點(diǎn)撥】先寫出試驗(yàn)的樣本空間并計(jì)算樣本點(diǎn)總數(shù)，然后分別計(jì)算所求概率的事件所包含的樣本點(diǎn)數(shù)，利用古典概型的概率公式求解.解(1)將3道選擇題依次編號為1,2,3；2道填空題依次編號為4,5.從5道題中任選2道題解答，每一次選1題(不放回)，樣本空間Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，共20個樣本點(diǎn)，這20個樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性是相等的．設(shè)事件A為“所選的題不是同一種題型”，則事件A包含的樣本點(diǎn)有(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共12個，所以P(A)＝eq\f(12,20)＝.(2)從5道題中任選2道題解答，每一次選1題(有放回)，樣本空間Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}，共25個樣本點(diǎn)，這25個樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性是相等的．設(shè)事件B為“所選的題不是同一種題型”，則事件B包含的樣本點(diǎn)有(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共12個，所以P(B)＝eq\f(12,25)＝.方法總結(jié)1.求解古典概型“四步法”2.求基本事件總數(shù)的常用方法(1)列舉法:適合于較簡單的問題.(2)列表法:適合求較復(fù)雜問題中的基本事件數(shù).(3)樹形圖法:適合較復(fù)雜問題中基本事件的探求.當(dāng)堂練習(xí)2甲、乙、丙三個盒中分別裝有大小、形狀相同的卡片若干,甲盒中裝有2張卡片,分別寫有字母A和B;乙盒中裝有3張卡片,分別寫有字母C、D和E;丙盒中裝有2張卡片,分別寫有字母H和I.現(xiàn)要從3個盒中各隨機(jī)取出一張卡片.求:(1)取出的3張卡片中恰好有1張,2張,3張寫有元音字母的概率分別是多少?(2)取出的3張卡片上全是輔音字母的概率是多少?解:根據(jù)題意,可畫出如下樹形圖:由樹形圖可以得到,所有可能出現(xiàn)的基本事件有12個,它們出現(xiàn)的可能性相等.(1)只有一個元音字母的結(jié)果有5個,所以P(一個元音)=;有兩個元音字母的結(jié)果有4個,所以P(兩個元音)=;全部為元音字母的結(jié)果有1個,所以P(三個元音)=(2)全是輔音字母的結(jié)果有2個,所以P(三個輔音)=較復(fù)雜的古典概型問題【例3】某兒童樂園在“六一”兒童節(jié)推出了一項(xiàng)趣味活動．參加活動的兒童需轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)動后，待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù)．設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x，y.獎勵規(guī)則如下：①若xy≤3，則獎勵玩具一個；②若xy≥8，則獎勵水杯一個；③其余情況獎勵飲料一瓶．假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻，四個區(qū)域劃分均勻．小亮準(zhǔn)備參加此項(xiàng)活動．(1)求小亮獲得玩具的概率；(2)請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由[解]用數(shù)對(x，y)表示兒童參加活動先后記錄的數(shù)，則樣本空間Ω與點(diǎn)集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一對應(yīng)．因?yàn)镾中元素的個數(shù)是4×4＝16，所以樣本點(diǎn)總數(shù)n＝16.(1)記“xy≤3”為事件A，則事件A包含的樣本點(diǎn)個數(shù)共5個，即A＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)}．所以P(A)＝eq\f(5,16)，即小亮獲得玩具的概率為eq\f(5,16).(2)記“xy≥8”為事件B，“3＜xy＜8”為事件C.則事件B包含的樣本點(diǎn)共6個，即B＝{(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．所以P(B)＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).事件C包含的樣本點(diǎn)個數(shù)共5個，即C＝{(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}．所以P(C)＝eq\f(5,16).因?yàn)閑q\f(3,8)＞eq\f(5,16)，所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率．當(dāng)堂練習(xí)3⑴在例3中求小亮獲得玩具或水杯的概率．⑵將例3中獎勵規(guī)則改為：①若3≤x＋y≤5，則獎勵玩具一個；②其余情況沒有獎，求小亮獲得玩具的概率．[解]⑴用數(shù)對(x，y)表示兒童參加活動先后記錄的數(shù)，則樣本空間Ω與點(diǎn)集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一對應(yīng)．因?yàn)镾中元素的個數(shù)是4×4＝16，所以樣本點(diǎn)總數(shù)n＝16.記“小亮獲得玩具或水杯”為事件E，則事件E包含的樣本點(diǎn)個數(shù)共11個，即E＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．所以P(E)＝eq\f(11,16).⑵用數(shù)對(x，y)表示兒童參加活動先后記錄的數(shù)，則樣本空間Ω與點(diǎn)集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一對應(yīng)．因?yàn)镾中元素的個數(shù)是4×4＝16，所以樣本點(diǎn)總數(shù)n＝16.記“3≤x＋y≤5”為事件D，則事件D包含的樣本點(diǎn)個數(shù)共9個，即D＝{(1,2)，(2,1)，(2,2)，(1,3)，(3,1)，(1,4)，