浙江理工大學線性代數(shù)綜合練習試題8套另加參考答案

...wd......wd......wd...線性代數(shù)綜合練習題〔一〕一、單項選擇題1.對于階可逆矩陣，，那么以下等式中〔〕不成立.(A)(B)(C)(D)2.假設為階矩陣，且，那么矩陣〔〕.〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕3.設是上〔下〕三角矩陣，那么可逆的充分必要條件是的主對角線元素為〔〕.(A)全都非負〔B〕不全為零〔C〕全不為零〔D〕沒有限制4.設，，，，那么〔〕.〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕5.假設向量組線性相關，那么向量組內(nèi)〔〕可由向量組其余向量線性表示.〔A〕至少有一個向量〔B〕沒有一個向量〔C〕至多有一個向量〔D〕任何一個向量6.假設，其秩〔〕.〔A〕1〔B〕2〔C〕3〔D〕47.假設方程中，方程的個數(shù)小于未知量的個數(shù)，那么有〔〕.〔A〕必有無窮多解〔A〕必有非零解〔C〕僅有零解〔D〕一定無解8.假設為正交陣，那么以下矩陣中不是正交陣的是〔〕.〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕9.假設滿足條件〔〕，那么階方陣與相似.〔A〕〔B〕〔C〕與有一樣特征多項式〔D〕與有一樣的特征值且個特征值各不一樣二、填空題1.假設向量組線性無關，那么向量組是線性.2.設為4階方陣，且，是的伴隨陣，那么的根基解系所含的解向量的個數(shù)是.3.設為階正交陣，且，那么.4.設，，線性相關，那么.5.設，那么.6.設三階方陣有特征值4，5，6，那么，的特征值為，的特征值為.三、計算題1.計算行列式2.矩陣，求.3.設三階方陣滿足，其中，，，求.4.取何值時，非齊次線性方程組〔1〕有惟一解；〔2〕無解；〔3〕有無窮多解，并求其通解.四、證明題1.設為階可逆陣，.證明的伴隨陣.2.假設，都是階非零矩陣，且.證明和都是不可逆的.線性代數(shù)綜合練習題〔一〕參考答案一、單項選擇題1.B2.B3.C4.C5.A6.B7.B8.B9.D二、填空題1.無關；2.3；3.1；4.3；5.；6.120，4，5，6，.三、計算題1.解：.2.解：先求的特征值，=，當時，由得，的對應于2的特征向量是，當時，有得，的對應于的特征向量是，當時，有得，的對應于的特征向量是，取..令，那么，所以.3.解：因為，所以，因此.又，所以，故.4.解：，〔1〕當，即且時，方程組有惟一解.〔2〕當時，此時，方程組無解，〔3〕當時，此時，方程組有無限多個解.，并且通解為.四、證明題1.證：根據(jù)伴隨矩陣的性質(zhì)有又，所以，再由于可逆，便有.2.證：假設可逆，即存在，以左乘的兩邊得，這與是階非零矩陣矛盾；類似的，假設可逆，即存在，以右乘的兩邊得，這與是階非零矩陣矛盾，因此，和都是不可逆的.線性代數(shù)綜合練習題〔二〕一、選擇題1.設是四維列向量，且，，那么〔〕?！睞〕〔B〕〔C〕〔D〕2.如果為三階方陣，且，那么〔〕?！睞〕4〔B〕8〔C〕2〔D〕163.設為階方陣，且，那么〔〕。〔A〕中必有兩行〔列〕的元素對應成比例，〔B〕中至少有一行〔列〕的元素全為0，〔C〕中必有一行〔列〕向量是其余各行〔列〕向量的線性組合，〔D〕中任意一行〔列〕向量是其余各行〔列〕向量的線性組合。4.設矩陣、的秩分別為，那么分塊矩陣的秩滿足〔〕。〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕5.設為階方陣，是階正交陣，且，那么以下結論不成立的是〔〕?！睞〕與相似〔B〕與等價〔C〕與有一樣的特征值〔D〕與有一樣的特征向量二、填空題1.階行列式。2.設，，，那么。3.設三階矩陣，滿足，且，那么。4.設四階方陣，那么。5.設向量組，，線性相關，那么。6.設三階方陣的特征值為1，2，3，那么，的特征值為，的特征值為。7.設二次型為正定二次型，那么的范圍是。三、計算題1.求向量組，，，，的秩與一個最大無關組，并把其他向量用最大無關組線性表示。2.為何值時，方程組有惟一解，無解或有無窮多解并在有無窮多解時求出方程組的通解。3.三階實對稱矩陣的特征值為，，對應于特征值的特征向量為,求。4.二次型，〔1〕寫出二次型的矩陣表達式，〔2〕用正交變換把化為標準形并寫出相應的正交變換。四、證明題1.設為階方陣，如果存在正整數(shù)，使得，證明可逆，并求逆。2.設是階方陣的特征值，對應的特征向量分別為，證明不是的特征向量。線性代數(shù)綜合練習題〔二〕參考答案一、選擇題1.C2.A3.C4.A5.D二、填空題〔每空3分〕1.；2.；3.；4.；5.6.，，6，3，2；7..三、計算題1.解：，所以，是一個最大無關組，并且有，.2.解：，當，即且時，方程組有惟一解.當時，此時，方程組有無限多個解.，并且通解為，當時，此時，方程組無解.3.解：先求對應于特征值1的特征向量，設是對應于1的特征向量，那么有，因而，，為不等于0的任意常數(shù).取，，，令，那么有，因此，.4.解：〔1〕〔2〕，所以的特征值為，，當時，由得對應于5的特征向量，當時，由得對應于的特征向量，.取，，，令，那么為正交矩陣，且，因此，所求的正交變換為，并且四、證明題1.證：所以，可逆，并且.2.證：假設是的對應于的特征向量，那么因為,所以，由于是對應于不同特征值的特征向量，所以它們線性無關，從而，矛盾！線性代數(shù)綜合練習題〔三〕選擇題1.設是矩陣，是階可逆矩陣，矩陣的秩為，矩陣的秩為，那么〔〕.〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕的關系依而定2.假設為正交陣，那么以下矩陣中不是正交陣的是〔〕.〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕3.值不為零的階行列式，經(jīng)過假設干次矩陣的初等變換，那么行列式的值〔〕.〔A〕保持不變〔B〕保持不為零〔C〕保持有一樣的正負號〔D〕可以變?yōu)槿魏沃?.設和都是階方陣，以下各項中，只有〔〕正確.假設和都是對稱陣，那么也是對稱陣假設，且，那么假設是奇異陣，那么和都是奇異陣假設是可逆陣，那么和都是可逆陣5.向量組線性相關的充要條件是〔〕.〔A〕中有一個零向量〔B〕中任意向量的分量成比例〔C〕中有一個向量是其余向量的線性組合〔D〕中任意一個向量是其余向量的線性組合6.設方陣的秩分別為，那么分塊矩陣的秩與的關系是〔〕.〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕不能確定二、填空題1.設三階方陣的特征值為1，2，3，那么.2.設為正定二次型，那么的取值范圍為.3.設，那么.4.階行列式.5.設階方陣的元素全為1，那么的個特征值為.6.設是非齊次線性方程組的個解，假設也是它的解，那么.三、計算題解矩陣方程，其中，.求以下矩陣的列向量組的一個最大無關組，并把其他向量用最大無關組線性表示：矩陣，求.向量組討論取何值時，〔1〕能由線性表示，且表示式唯一，〔2〕能由線性表示，且表示式不唯一，〔3〕不能由線性表示.四、證明題1.設是階方陣的兩個特征值，，是對應的特征向量，證明不是的特征向量.2.設是階方陣，假設存在正整數(shù)，使線性方程組有解向量，且，證明向量組是線性無關的.線性代數(shù)綜合練習題〔三〕參考答案一、選擇題1.C2.B3.B4.D5.C6.A二、填空題1.6；2.；3.；4.；5.〔個〕，；6.1.三、計算題1.解：由，得，為此對矩陣施行初等行變換化為行最簡形矩陣，所以.2.解：對施行初等行變換變成行最簡形，所以，的前三列是的列向量組的最大無關組，且，.3.解：先求的特征值，=，當時，由得，的對應于2的特征向量是，當時，有得，的對應于的特征向量是，當時，有得，的對應于的特征向量是，取.令，那么，所以.4.解：〔1〕當時，，可由線性表示，且表示式不唯一；〔2〕當，且，即時，，不能由線性表示；〔3〕當且時，，能由線性表示，但表示式唯一.四、證明題1.證：假設是的對應于的特征向量，那么因為,所以，由于是對應于不同特征值的特征向量，所以它們線性無關，從而，矛盾！2.證：因為是線性方程組的解向量，所以.從而〔〕，又由知〔〕.設，〔1〕以左乘上式兩邊，得，因而必有，以左乘〔1〕式兩邊，得，因而必有，類似地，可以證明必有，故是線性無關的.線性代數(shù)綜合練習題〔四〕一、選擇題1.設均為階方陣，假設由能推出，那么應滿足以下條件中的〔〕?！睞〕〔B〕〔C〕〔D〕2.設為階方陣，且，那么〔〕?！睞〕中必有兩行〔列〕的元素對應成比例〔B〕中至少有一行〔列〕的元素全為零〔C〕中必有一行〔列〕的向量是其余各行〔列〕的向量的線性組合〔D〕中任意一行〔列〕的向量是其余各行〔列〕的向量的線性組合3.設方陣，的秩分別為，那么分塊矩陣的秩與的關系是〔〕?！睞〕〔B〕〔C〕〔D〕不能確定4.設，，，，那么〔〕?！睞〕〔B〕〔C〕〔D〕5.設都是階非零矩陣，且，那么和的秩〔〕。〔A〕必有一個等于零〔B〕都小于〔C〕一個小于，一個等于〔D〕都等于6.設、為階方陣，且與相似，為階單位陣，那么〔〕?！睞〕〔B〕與有一樣的特征值和特征向量〔C〕與相似于一個對角矩陣〔D〕對任意常數(shù)，相似二、填空題，那么。假設對，有，那么。向量組〔Ⅰ〕：，〔Ⅱ〕：，〔Ⅲ〕：，如果R(Ⅰ)=R〔Ⅱ〕=3,R〔Ⅲ〕=4,那么的秩=。4.設為非齊次線性方程組的個解，假設也是該線性方程組的一個解，那么.5.階可逆矩陣的每行元素之和均為，那么數(shù)一定是的特征值。6.設為正定二次型，那么的取值范圍為。三、計算題設，，且，求。求向量組，，，，的秩和一個最大無關組，并把其他向量用該最大無關組線性表示。對于線性方程組討論取何值時，方程組無解、有惟一解和有無窮多解并在方程組有無窮多解時，求其通解。4.設二次型，〔1〕求一個正交變換化二次型為標準形，〔2〕設為上述二次型的矩陣，求四、證明題1.設是階方陣的兩個特征值，，是對應的特征向量，證明不是的特征向量.2.設為個線性無關的維列向量，是和均正交的維列向量，證明線性相關。線性代數(shù)綜合練習題〔四〕參考答案一、選擇題1.B2.C3.A4.C5.B6.D二、填空題1.2.93.44.15.6.三、計算題1.解：由得，，即因為，所以.2.解：所以，是一個最大無關組，并且，3.解：，當，即且時，方程組有惟一解.當時，此時，方程組有無限多個解.，并且通解為，當時，此時，方程組無解.4.解：，，〔1〕所以的特征值為，，，由得對應于的特征向量，由得對應于的特征向量，由得對應于的特征向量，取，，，令，那么得所求的正交變換即且〔2〕根據(jù)〔1〕知，所以.四、證明題1.證：假設是的對應于的特征向量，那么因為,所以，由于是對應于不同特征值的特征向量，所以它們線性無關，從而，矛盾！2.證：設，那么是一個矩陣，因為線性相關，所以，故元線性方程組的解空間的維數(shù)為1.又是和均正交的，所以是的解，因此必線性相關.線性代數(shù)綜合練習題〔五〕一、填空題1.，那么。2.設四階矩陣與相似，矩陣的特征值為，那么行列式。3.方程的標準正交解為。4.設矩陣的秩為2，那么。5.設，，是的一個正交基，那么在此基下可線性表示為。二、選擇題1.關于矩陣，以下命題正確的選項是〔〕?！睞〕假設，那么或〔B〕可經(jīng)過一系列的初等行變換把矩陣化為標準形〔C〕矩陣的標準形不惟一〔D〕假設為初等矩陣，，那么2.以下命題正確的選項是〔〕〔A〕維列向量組可以線性無關〔B〕矩陣的初等變換可能改變矩陣的秩〔C〕維列向量組必線性相關〔D〕假設方陣，那么可逆。3.設為階方陣，是階正交陣，且，那么以下結論不成立的是〔〕?！睞〕與相似〔B〕與有一樣的特征向量〔C〕與有一樣的特征值〔D〕與等價4.三階矩陣的特征值為其對應的特征向量分別是，取，那么〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕5.二次型〔是對稱矩陣〕正定的充要條件是〔〕。〔A〕對任何，有〔B〕的特征值為非負數(shù)〔C〕對任何，有〔D〕對任意，有三、計算題1.設非齊次線性方程組，〔1〕取何值時，方程組〔a〕有唯一解；〔b〕無解；(c)有無數(shù)多個解。并且方程組有無數(shù)多個解時，用該方程組的一個特解及對應齊次線性方程組的根基解系表示其通解?！?〕設該方程組的系數(shù)矩陣為，試問取何值時，存在三階非零矩陣，使得。2.設，，求一正交相似變換矩陣，使，其中為對角矩陣；求。3.設三階實對稱矩陣的特征值為對應的特征向量為，求對應的特征向量；求矩陣。4.判斷下面向量組的線性相關性，求它的秩和一個極大無關組，并把其余向量用這個極大無關組線性表示。，，，四、證明題1.設與為階矩陣，，那么與相似。2.設為正定矩陣，證明：。線性代數(shù)綜合練習題〔五〕參考答案一、填空題1.，2.，3.4.3，5..二、選擇題1.D2.C3.B4.B5.D三、計算題1.解：，〔1〕當且時，，此時方程組有惟一解.當時，增廣矩陣，顯然系數(shù)矩陣的秩為2，增廣矩陣的秩為，此時方程組無解.當時，增廣矩陣，所以,令，得，此為時對應方程組的通解.〔2〕系數(shù)矩陣的秩小于3時，線性方程組有非零解，此時存在三階矩陣，使得.由得或.2.解：〔1〕特征多項式的特征值為，.當時，解方程組，得根基解系，于是得到對應的單位特征向量.當時，解方程組，得根基解系，于是得到對應的單位特征向量.令，此時.〔2〕先求，，所以，故.3.解：〔1〕設對應于2的一個特征向量為，那么與正交，即，其根基解系為，這是對應于2的兩個線性無關的特征向量.〔2〕令，，，令，那么.所以，.4.解：，所以，向量組線性相關，為最大無關組，并且四、證明題1.證：因為，所以可逆，因而，即，所以與相似.2.證：為正定矩陣，那么特征值全為正數(shù).設的全部特征值為，那么，由于為正定矩陣，所以存在正交矩陣，使得，即所以線性代數(shù)綜合練習題〔七〕一、選擇題1.設、為階矩陣，那么下面必成立的是〔〕?！睞〕〔B〕〔C〕〔D〕2.設為階矩陣，且，那么〔〕?！睞〕〔B〕〔C〕〔D〕3.設向量組的秩為3，那么〔〕。〔A〕任意三個向量線性無關〔B〕中無零向量〔C〕任意四個向量線性相關〔D〕任意兩個向量線性無關4.線性方程組，有解的充要條件是〔〕?！睞〕〔B〕〔C〕〔D〕5.階矩陣與對角矩陣相似的充要條件是〔〕?！睞〕的個特征值互不一樣〔B〕可逆〔C〕無零特征值〔D〕有個線性無關的特征向量二、填空題1.各列元素之和為0的階行列式的值等于。2.設三階矩陣，那么。3.設矩陣，，那么，，〔為正整數(shù)〕。4.設，，那么。5.設向量組線性無關，那么向量組，，線性。6.設三階可逆矩陣的特征值分別為2、3、5，那么，的伴隨矩陣的特征值為。7.設實二次型為正定二次型，那么參數(shù)的取值范圍是。三、計算題設，求矩陣。當取何值時，線性方程組有〔1〕惟一解；〔2〕無解；〔3〕無窮多解，并求通解。設四維向量組，，，，，求該向量組的秩及一個極大線性無關組，并把其余向量用該極大線性無關組線性表示。求一個正交變換，將實二次型化為標準形，并判斷該二次型是否正定。四、證明題設為階矩陣，如果，那么。設階矩陣，〔為正整數(shù)〕，那么不能與對角矩陣相似。線性代數(shù)綜合練習題〔七〕參考答案一、選擇題1.D2.B3.C4.A5.D二、填空題1.2.3.,,4.25.無關6.30，15，10，67.三、計算題1.解：.2.解：線性方程組的系數(shù)行列式，〔1〕當，即且時，方程組有惟一解；〔2〕當時，，方程組無解；〔3〕當時，因為，所以方程組有無窮多解，且通解為，為任意實數(shù).3.解：，所以，為向量組的一個極大線性無關組，且，4.解：二次型的矩陣，的特征多項式，所以的特征值為，，.對應的線性無關的特征向量為，單位化得；對應的線性無關的特征向量為，單位化得；對應的線性無關的特征向量為，單位化得.所求正交變換為，二次型的標準形為，因為，所以該二次型不是正定二次型.四、證明題1.證：由，得，那么；又，所以.2.證：反證法，假設與對角矩陣相似，那么存在可你矩陣，使得，那么，從而，所以，，…，，因而，這與矛盾，故不能與對角矩陣相似.線性代數(shù)綜合練習題〔八〕一、填空題1.設，那么A的伴隨矩陣。2.假設向量組線性無關，那么向量組是線性。3.設二次型為正定二次型，那么取值范圍為。4.設矩陣的秩為2，那么=。5.元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是；元非齊次線性方程組有解的充分必要條件是。二、選擇題1.設與為階非零矩陣，且=0，那么與的秩〔〕〔A〕必有一個等于零〔B〕都小于〔C〕一個小于，一個等于〔D〕都等于2.設為階實矩陣，是的轉置矩陣，那么對于線性方程組〔Ⅰ〕：和〔Ⅱ〕：，必有〔〕〔A〕〔Ⅱ〕的解是〔Ⅰ〕的解，〔Ⅰ〕的解也是〔Ⅱ〕的解；〔B〕〔Ⅱ〕的解是〔Ⅰ〕的解，但〔Ⅰ〕的解不是〔Ⅱ〕的解；〔C〕〔Ⅰ〕的解不是〔Ⅱ〕的解，〔Ⅱ〕的解也不是〔Ⅰ〕的解；〔D〕〔Ⅰ〕的解是〔Ⅱ〕的解，但〔Ⅱ〕的解不是〔Ⅰ〕的解。3.設為階矩陣，且，那么必有〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕4.設向量組那么該向量組的一個最大無關組為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕5.假設滿足條件〔〕，那么階方陣與相似?！睞〕(B)〔C〕與有一樣的特征多項式〔D〕與有一樣的特征值且個特征值各不一樣三、計算階行列式。四、求下面齊次線性方程組的根基解系：五、設，，求。六、設3階對稱矩陣的特征值為6，3，3，與特征值6對應的特征向量為，求。七、求一個正交變換使化以下二次型成標準形：。八、設是一組維向量，證明：線性無關的充分必要條件是任一維向量都可由它們線性表示。線性代數(shù)綜合練習題〔八〕參考答案一、填空題1.，2.無關，3.，4.，5.系數(shù)矩陣的秩；系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩。二、選擇題B2.A3.D4.B5.D三、解：=四、解：因此，所求的根基解系為，。五、解：，因為，所以于是，。六、解：將單位化得，設正交變換矩陣為，使。因此是方程的解，于是，。并且。七、解：所以A的特征值為，，。當時，由得,當時，由得，當時，由得。于是，所求的正交變換為，的標準形為。八、證明：〔必要性〕設線性無關，并設是一個任意的維向量，于是由個向量構成的向量組：，線性相關，由根據(jù)假設線性無關，得知必能由線性表示?！渤浞中浴吃O任一維向量都可以由線性表示，那么單位坐標向量組能由向量組線性表示，因此又，從而，，因此線性無關。線性代數(shù)綜合練習題〔九〕一、選擇題1.設為階矩陣，那么以下矩陣中不是對稱矩陣的是〔〕?！睞〕〔B〕〔C〕〔D〕2.向量組線性相關，那么〔〕?！睞〕可由線性表示〔B〕不可由線性表示〔C〕假設，那么可由線性表示〔D〕假設線性無關，那么可由線性表示3.設，那么當〔〕時，?！睞〕1〔B〕〔C〕2〔D〕4.齊次線性方程組有非零解的充要條件是〔〕?！睞〕的列向量組線性無關〔B〕的列向量組線性相關〔C〕的行向量組線性無關〔D〕的行向量組線性相關5.設階矩陣的個特征值全為零，那么〔〕。〔A〕〔B〕只有一個線性無關的特征向量〔C〕不能與對角矩陣相似〔D〕當與對角矩陣相似時，二、填空題1.設四階行列式的第一行元素分別為第一行元素的余子式分別為，那么。2.設，那么。3.設，，那么。4.設是由向量組，，，，所生成的向量空間，那么的維數(shù)為。5.設三階矩陣的特征值分別為1，2，3，那么的特征值為，。6.實二次型的矩陣為。三、計算題〔1.設三階矩陣、滿足，且，求。2.當為何值時，線性方程組〔1〕有惟一解；〔2〕無解；〔3〕有無窮多解，并求通解。3.設為三階矩陣，三維列向量組線性無關，且，，〔1〕求，使得；〔2〕求。4.設三階矩陣的特征值分別為，，，對應的特征向量分別為，，求。四、證明題1.設為階可逆矩陣，為的伴隨矩陣，證明的秩。2.設維向量組線性無關，，，……，，證明：線性無關的充要條件是為奇數(shù)。線性代數(shù)綜合練習題〔九〕參考答案一、選擇題1.B2.D3.A4.B5.D二、填空題〔每空格4分，共28分〕1.100，2.，3.2，4.3，5.，48，6.三、計算題1.解：由得，，所以從而，所以故。2.解：系數(shù)行列式，〔1〕當，即且時，方程組有惟一解；〔2〕當時，可見，，方程組無解?！?〕當時，可見，方程組有無窮多解，并且由的行最簡形得，通解為，。3.解：〔1〕所以；〔2〕有〔1〕知因為，線性無關，所以，因此。4.