【第一方案】高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二章 計數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布第八節(jié) 離散型隨機(jī)變量的均值與方差課件 （理）

第八節(jié)離散型隨機(jī)變量的均值與方差(理)點(diǎn)擊考綱1.理解取有限個值的離散型隨機(jī)變量均值、方差的概念．2.能計算簡單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些實際問題.關(guān)注熱點(diǎn)1.以選擇、填空的形式考查離散型隨機(jī)變量均值與方差的概念和計算．2.以實際問題為背景，考查均值與方差的應(yīng)用.1．離散型隨機(jī)變量的均值與方差若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值稱EX＝

為隨機(jī)變量X的均值或

，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的

．x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn數(shù)學(xué)期望平均水平平均偏離程度σX

2．均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX＋b)＝

.(2)D(aX＋b)＝

.(a，b為常數(shù))3．兩點(diǎn)分布與二項分布的均值、方差(1)若X服從兩點(diǎn)分布，則EX＝

，DX＝

．(2)若X～B(n，p)，則EX＝

，DX＝

．a(chǎn)EX＋ba2DXp(1－p)npnp(1－p)p隨機(jī)變量的均值、方差與樣本均值、方差的關(guān)系是怎樣的？提示：隨機(jī)變量的均值、方差是一個常數(shù)，樣本均值、方差是一個隨機(jī)變量，隨觀測次數(shù)的增加或樣本容量的增加，樣本的均值、方差趨于隨機(jī)變量的均值與方差．1．若隨機(jī)變量X的分布列如表，則EX＝(

)X012345P2x3x7x2x3xx答案：C答案：A3．設(shè)隨機(jī)變變量ξ～B(n，p)，且Eξ＝1.6，Dξ＝1.28，則()A．n＝8，p＝0.2B．n＝4，p＝0.4C．n＝5，p＝0.32D．n＝7，p＝0.45答案：A4．已知X的分布列為為答案：B(1)寫出ξ的分布列；；(2)求數(shù)學(xué)期望望E(ξ)．故ξ的分布列為為【方法探究】(1)隨機(jī)變量的的數(shù)學(xué)期望望等于該隨隨機(jī)變量的的每一個取取值與取該該值時對應(yīng)應(yīng)的概率乘乘積的和．．(2)均值(數(shù)學(xué)期望)是隨機(jī)變量量的一個重重要特征數(shù)數(shù)，它反映映或刻畫的的是隨機(jī)變變量取值的的平均水平平，均值(數(shù)學(xué)期望)是算術(shù)平均均值概念的的推廣，是是概率意義義下的平均均．(3)E(X)是一個實數(shù)數(shù)，即X作為隨機(jī)變變量是可變變的，而E(X)是不變的．．提醒：若隨機(jī)變量量X服從二項分分布，即X～B(n，p)，則可直接接使用公式式E(X)＝np.(1)求該學(xué)生考考上大學(xué)的的概率；(2)如果考上大大學(xué)或參加加完5次測試就結(jié)結(jié)束，記該該生參加測測試的次數(shù)數(shù)為ξ，求ξ的分布列及及ξ的數(shù)學(xué)期望望．則ξ的分布列為為：甲、乙兩個個野生動物物保護(hù)區(qū)有有相同的自自然環(huán)境，，且野生動動物的種類類和數(shù)量也也大致相等等，這兩個個保護(hù)區(qū)內(nèi)內(nèi)每個季度度發(fā)現(xiàn)違反反保護(hù)條例例的事件次次數(shù)的分布布列分別為為：甲：X10123P0.30.30.20.2乙：試評定這兩兩個保護(hù)區(qū)區(qū)的管理水水平．X2012P0.10.50.4【解析】甲保護(hù)區(qū)的的違規(guī)次數(shù)數(shù)X1的數(shù)學(xué)期望望和方差為為：EX1＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，DX1＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保護(hù)區(qū)的的違規(guī)次數(shù)數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望望和方差為為：EX2＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，DX2＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因為EX1＝EX2，DX1>DX2，所以兩個個保護(hù)區(qū)內(nèi)內(nèi)每季度發(fā)發(fā)生的違規(guī)規(guī)平均次數(shù)數(shù)是相同的的，但乙保保護(hù)區(qū)內(nèi)的的違規(guī)事件件次數(shù)更集集中和穩(wěn)定定，甲保護(hù)護(hù)區(qū)的違規(guī)規(guī)事件次數(shù)數(shù)相對分散散和波動．．∴乙保護(hù)區(qū)的的管理水平平相對要好好．【方法探究】數(shù)學(xué)期望反反映了隨機(jī)機(jī)變量取值值的平均水水平，但有有時只知道道數(shù)學(xué)期望望還不能解解決問題，，還需要知知道隨機(jī)變變量的取值值在均值周周圍變化的的情況，即即方差．記乙項目產(chǎn)產(chǎn)品價格在在一年內(nèi)的的下降次數(shù)數(shù)為X，對乙項目目每投資十十萬元，X取0、1、2時，一年后后相應(yīng)利潤潤是1.3萬元、1.25萬元、0.2萬元．隨機(jī)機(jī)變量X1，X2分別表示對對甲、乙兩兩項目各投投資十萬元元一年后的的利潤．(1)求X1，X2的概率分布布列和均值值E(X1)，E(X2)；(2)當(dāng)E(X1)<E(X2)時，求p的取值范圍圍．【思路導(dǎo)引】(1)求分布列，，應(yīng)先確定定X2的取值，再再求X2的取值對應(yīng)應(yīng)的概率；；(2)由E(X1)<E(X2)，找出關(guān)于于p的不等式，，即可求出出p的范圍．【解析】(1)法一：X1的概率分布布列為故X2的概率分布布列為所以E(X2)＝1.3×(1－p)2＋1.25×2p(1－p)＋0.2×p2＝1.3×(1－2p＋p2)＋2.5×(p－p2)＋0.2×p2＝－p2－0.1p＋1.3.X21.31.250.2P(1－p)22p(1－p)p2法二：X1的概率分布布列為X21.31.250.2P(1－p)22p(1－p)p2所以E(X2)＝1.3×(1－p)2＋1.25×2p(1－p)＋0.2×p2＝1.3×(1－2p＋p2)＋2.5×(p－p2)＋0.2×p2＝－p2－0.1p＋1.3.(2)由E(X1)<E(X2)，得－p2－0.1p＋1.3>1.18，整理得(p＋0.4)(p－0.3)<0，解得－0.4<p<0.3.因為0<p<1，所以當(dāng)E(X1)<E(X2)時，p的取值范圍圍是0<p<0.3.3．(2009·陜西高考)某食品企業(yè)業(yè)一個月內(nèi)內(nèi)被消費(fèi)者者投訴的次次數(shù)用ξ表示，據(jù)統(tǒng)統(tǒng)計，隨機(jī)機(jī)變量ξ的概率分布布如下：ξ0123P0.10.32aa(1)求a的值和ξ的數(shù)學(xué)期望望；(2)假設(shè)一月份份與二月份份被消費(fèi)者者投訴的次次數(shù)互不影影響，求該該企業(yè)在這這兩個月內(nèi)內(nèi)共被消費(fèi)費(fèi)者投訴2次的概率．．解析：(1)由概率分布布的性質(zhì)知知，0．1＋0.3＋2a＋a＝1，∴a＝0.2，則ξ的分布列為為ξ0123P0.10.30.40.2E(ξ)＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7.(2)設(shè)事件A表示“2個月內(nèi)共被被投訴2次”，事件A1表示“2個月內(nèi)有一一個月被投投訴2次，另一個個月被投訴訴0次”，事件A2表示“2個月內(nèi)每個個月均被投投訴1次”，則由事件件的獨(dú)立性性可得P(A1)＝C21P(ξ＝2)P(ξ＝0)＝2×0.4×0.1＝0.08，P(A2)＝[P(ξ＝1)]2＝(0.3)2＝0.09，P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝0.08＋0.09＝0.17，故該該企企業(yè)業(yè)在在這這兩兩個個月月內(nèi)內(nèi)共共被被投投訴訴2次的的概概率率為為0.17.(2010·山東東，，12分)某學(xué)學(xué)校校舉舉行行知知識識競競賽賽，，第第一一輪輪選選拔拔共共設(shè)設(shè)有有A、B、C、D四個個問問題題，，規(guī)規(guī)則則如如下下：：①每位位參參加加者者計計分分器器的的初初始始分分均均為為10分，，答答對對問問題題A、B、C、D分別別加加1分、、2分、、3分、、6分，，答答錯錯任任一一題題減減2分；；②每回回答答一一題題，，計計分分器器顯顯示示累累計計分分?jǐn)?shù)數(shù)，，當(dāng)當(dāng)累累計計分分?jǐn)?shù)數(shù)小小于于8分時時，，答答題題結(jié)結(jié)束束，，淘淘汰汰出出局局；；當(dāng)當(dāng)累累計計分分?jǐn)?shù)數(shù)大大于于或或等等于于14分時，答題結(jié)結(jié)束，進(jìn)入下下一輪；當(dāng)答答完四題，累累計分?jǐn)?shù)仍不不足14分時，答題結(jié)結(jié)束，淘汰出出局；③每位參加者按按問題A、B、C、D順序作答，直直至答題結(jié)束束．(1)求甲同學(xué)能進(jìn)進(jìn)入下一輪的的概率；(2)用ξ表示甲同學(xué)本本輪答題結(jié)束束時答題的個個數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)數(shù)學(xué)期望Eξ.【解析】設(shè)A、B、C、D分別為第一、、二、三、四四個問題，用用Mi(i＝1,2,3,4)表示甲同學(xué)第第i個問題回答正正確，用Ni(i＝1,2,3,4)表示甲同學(xué)第第i個問題回答錯錯誤，則Mi和Ni是對立事件(i＝1,2,3,4)．由題意得因此隨機(jī)變量量ξ的分布列為【考向分析】從近兩年的高高考試題來看看，離散型隨隨機(jī)變量的均均值與方差是是高考的熱點(diǎn)點(diǎn)，題型為填填空題或解答答題，屬中檔檔題．常與排排列組合、概概率等知識綜綜合命題，既既考查基本概概念，又注重重考查基本運(yùn)運(yùn)算能力和邏邏輯推理、理理解能力．預(yù)測2012年高考，離散散型隨機(jī)變量量的均值與方方差仍然是高高考的熱點(diǎn)，，同時應(yīng)特別別注意均值與與方差的實際際應(yīng)用．1．已知ξ的分布列為：：答案：A2．某人進(jìn)行射射擊，每次中中靶的概率均均為0.8，現(xiàn)規(guī)定：若若中靶就停止止射擊；若沒沒中靶，則繼繼續(xù)射擊，如如果只有3發(fā)子彈，則射射擊次數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望為為()A．2.14B．4.12C．1.24D．2.41解析：射擊次數(shù)ξ的分布列為∴Eξ＝0.8×1＋0.16×2＋0.04×3＝1.24.答案：Cξ