第一章計數原理23《排列組合的應用》課時2

1.1.3排列組合的應用(二)（1）使學生掌握組合數的計算公式、組合數

（2）會用排列數公式和組合數公式解決實際問題.

（3）通過學習組合知識，讓學生掌握類比的學習方法，并提高學生分析問題和解決問題的能力.本節(jié)課，我們對有關排列組合的幾種常見的解題策略加以復習鞏固。排列組合歷來是學習中的難點，通過我們平時做的練習題，不難發(fā)現排列組合題的特點是條件隱晦，不易挖掘，題目多變，解法獨特，數字龐大，難以驗證。

同學們只有對基本的解題策略熟練掌握。根據它們的條件,我們就可以選取不同的技巧來解決問題.對于一些比較復雜的問題,我們可以將幾種策略結合起來應用把復雜的問題簡單化，舉一反三，觸類旁通，進而為后續(xù)學習打下堅實的基礎。有限制的排列問題限制條件：某位置上不能排某元素或只能排某元素常用方法：直接法1.優(yōu)限法：先特殊后一般2.捆綁法：元素相鄰3.插空法：元素不相鄰（有特殊元素或特殊位置，通常先排特殊元素或特殊位置，稱為“優(yōu)限法”）4.其它方法：元素限制條件多4.其它方法：元素限制條件多(1).定序問題倍縮空位插入策略(2).重排問題求冪策略(3).排列組合混合問題先選后排策略(4).元素相同問題隔板策略(5).平均分組問題除法策略(7).構造模型策略(8).實際操作窮舉策略(6).合理分類與分步策略(1).定序問題倍縮空位插入策略例1.7人排隊,其中甲乙丙3人順序一定共有多少種不同的排法？解：（空位法）設想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有

種方法，其余的三個位置甲乙丙共有

種坐法，則共有

種方法。

1思考:可以先讓甲乙丙就坐嗎?（插入法)先排甲乙丙三個人,共有1種排法,再把其余4四人依次插入共有

方法4×5×6×7練習題：期中安排考試科目9門,語文要在數學之前考,有多少種不同的安排順序?(倍縮法)對于某幾個元素順序一定的排列問題,可先把這幾個元素與其他元素一起進行排列,然后用總排列數除以這幾個元素之間的全排列數,則共有不同排法種數是：

定序問題可以用倍縮法，還可轉化為占位插入模型處理.(2).重排問題求冪策略例2.把6名實習生分配到7個車間實習,共有多少種不同的分法？解:完成此事共分六步:把第一名實習生分配到車間有

種分法.把第二名實習生分配到車間也有7種分法，依此類推,由分步計數原理共有種不同的排法。7一般地n不同的元素沒有限制地安排在m個位置上的排列數為種.

某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人,他們到各自的一層下電梯,下電梯的方法練習題:(3).排列組合混合問題先選后排策略例3.有5個不同的小球,裝入4個不同的盒內,每盒至少裝一個球,共有多少不同的裝法.解:第一步從5個球中選出2個組成復合元共有

種方法.再把5個元素(包含一個復合元素)裝入4個不同的盒內有

種方法.根據分步計數原理裝球的方法共有

.解決排列組合混合問題,先選后排是最基本的指導思想.練習題:一個班有6名戰(zhàn)士,其中正副班長各1人現從中選4人完成四種不同的任務,每人完成一種任務,且正副班長有且只有1人參加,則不同的選法有

種.192(4).元素相同問題隔板策略例4.有10個運動員名額，在分給7個班，每班至少一個,有多少種分配方案？

解：因為10個名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成9個空隙。在9個空檔中選6個位置插個隔板，可把名額分成7份，對應地分給7個班級，每一種插板方法對應一種分法共有___________種分法。一班二班三班四班五班六班七班將n個相同的元素分成m份（n，m為正整數）,每份至少一個元素,可以用塊隔板，插入n個元素排成一排的個空隙中，所有分法數為.m-1n-1練習題:10個相同的球裝5個盒中,每盒至少一個，有多少裝法？(5).平均分組問題除法策略例5.6本不同的書平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？解:分三步取書得種方法,但這里出現重復計數的現象,不妨記6本書為ABCDEF.若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF,該分法記為(AB,CD,EF),則中還有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有種取法,而這些分法僅是(AB,CD,EF)一種分法,故共有種分法。平均分成的組,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后要一定要除以(n為均分的組數)避免重復計數。1.將13個球隊分成3組,一組5個隊,其它兩組4個隊,有多少分法？2.某校高二年級共有六個班級，現從外地轉入4名學生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名，則不同的安排方案種數為

.

練習題:

練習題:3.10名學生分成3組,其中一組4人,另兩組3人但正副班長不能分在同一組,有多少種不同的分組方法?（1540）(6).合理分類與分步策略例6.在一次演唱會上共10名演員,其中8人能夠唱歌,5人會跳舞,現要演出一個2人唱歌2人伴舞的節(jié)目,有多少選派方法?解：10演員中有5人只會唱歌，2人只會跳舞3人為全能演員。以只會唱歌的5人是否選上唱歌人員為標準進行研究只會唱的5人中沒有人選上唱歌人員共有

種,只會唱的5人中只有1人選上唱歌人員

種,只會唱的5人中只有2人選上唱歌人員有

種，由分類計數原理共有

種。++本題還有如下分類標準：1.以3個全能演員是否選上唱歌人員為標準2.以3個全能演員是否選上跳舞人員為標準3.以只會跳舞的2人是否選上跳舞人員為標準都可經得到正確結果解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質進行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到標準明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標準一旦確定要貫穿于解題過程的始終。

從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座談會，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有

.34

練習題:(7).構造模型策略例7.馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈,現要關掉其中的3盞,但不能關掉相鄰的2盞或3盞,也不能關掉兩端的2盞,求滿足條件的關燈方法有多少種？解：把此問題當作一個排隊模型在6盞亮燈的5個空隙中插入3個不亮的燈有_______種.一些不易理解的排列組合題如果能轉化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊模型，裝盒模型等，可使問題直觀解決.練習題:某排共有10個座位，若4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？120(8).實際操作窮舉策略例8.設有編號1,2,3,4,5的五個球和編號1,2,3,4,5的五個盒子,現將5個球投入這五個盒子內,要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同,有多少投法?解：從5個球中取出2個與盒子對號有_____種還剩下3球3盒序號不能對應，利用實際操作法，如果剩下3,4,5號球,3,4,5號盒3號球裝4號盒時，則4,5號球有只有1種裝法,同理3號球裝5號盒時,4,5號球有也只有1種裝法,由分步計數原理有2

種.

對于條件比較復雜的排列組合問題，不易用公式進行運算，往往利用窮舉法或畫出樹狀圖會收到意想不到的結果.練習題:1.同一寢室4人,每人寫一張賀年卡集中起來,然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有多少種？(9)2.給圖中區(qū)域涂色,要求相鄰區(qū)域不同色,現有4種可選顏色,則不同的著色方法有

種.21345721.從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座談會，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有

.

34

練習題:2.3成人2小孩乘船游玩,1號船最多乘3人,2號船最多乘2人,3號船只能乘1人,他們任選2只船或3只船,但小孩不能單獨乘一只船,這3人共有多少乘船方法.27二、間接法（排除法）（先不考慮限制條件，算出所有的排列數，再從中減去不符合條件的排列數）例9.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數字中取出三個數，使其和為不小于10的偶數,不同的取法有多少種？畫龍點睛：正難則反總體淘汰策略例9.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數字中取出三個數，使其和為不小于10的偶數,不同的取法有多少種？解：這問題中如果直接求不小于10的偶數很困難,可用總體淘汰法.這十個數字中有5個偶數5個奇數,所取的三個數含有3個偶數的取法有

,只含有1個偶數的取法有

,和為偶數的取法共有

.再淘汰和小于10的偶數共

.符合條件的取法共有

.9+-9+有些排列組合問題,正面直接考慮比較復雜,而它的反面往往比較簡捷,可以先求出它的反面,再從整體中淘汰.變式1：用0，1，2，3，4這五個數，組成沒有重復數字的三位數，其中1不在個位的數共有_______種。分析：五個數組成三位數的全排列有個，0排在首位的有個，1排在末尾的有，減掉這兩種不合條件的排法數，再加回百位為0同時個位為1的排列數（為什么？）故共有種。對于含有否定詞語的問題，還可以從總體中把不符合要求的減去，此時應注意既不能多減又不能少減。變式2:某班里有43位同學,從中任抽5人,正、副班長、團支部書記至少有一人在內的抽法有多少種?解:43人中任抽5人的方法有種,正副班長,團支部書記都不在內的抽法有種,所以正副班長,團支部書記至少有1人在內的抽法有種.結論——去雜法:有些問題,正面直接考慮比較復雜,而它的反面往往比較簡捷,可以先求出它的反面,再從整體中排除.分析:此題若是直接去考慮的話,就要將問題分成好幾種情況,這樣解題的話,容易造成各種情況遺漏或者重復的情況.而如果從此問題相反的方面去考慮的話,不但容易理解,而且在計算中也是非常的簡便.這樣就可以簡化計算過程.（1）三個男生，四個女生排成一排，甲不在最左，乙不在最右，有幾種不同方法？直接練習：間接（2）五人從左到右站成一排，其中甲不站排頭，乙